Option informatique :

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1 Option formtique : l deuxième nnée Lurent Chéno été 1996 Lycée Louis-le-Grnd, Pris

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3 Tle des mtières I Arres 13 1 Arres ires Défitions et nottions Défition formelle d un rre ire Défition des rres ires en Cml Une dextion des éléments constitutifs d un rre Notion de profondeur dns un rre Défitions Clcul de l profondeur en Cml Squelette d un rre ire Un exemple Défition du squelette Le squelette comme une clsse d équivlence Écriture en Cml Comtoire des rres et squelettes ires Nœuds et feuilles Profondeur et tille Dénomrement des squelettes ires Exercices pour le chpitre Prcours d un rre Prcours en lrgeur d ord Description de l ordre militire Progrmmtion Cml Prcours en profondeur d ord Prcours préfixe, fixe, suffixe Progrmmtion en Cml Prolème verse Exercices pour le chpitre Arres de recherche Défition d un rre ire de recherche Défition générle Cs prticulier Recherche d un élément Position du prolème Recherche dns un rre ire de recherche Évlution Structure dynmique de recherche Ajout d un élément Suppression d un élément Appliction u tri

4 4 TABLE DES MATIÈRES Le prolème de l équilirge Exercices pour le chpitre Tri et ts Générlités Files de priorité Ts Implémenttion des ts à l ide de tleux Percoltion Description de l lgorithme Progrmmtion Évlution Appliction : crétion d un ts Letriprlests Progrmmtion Évlution Arres n-ires et expressions rithmétiques Arres n-ires Défition Implémenttion Propriétés Prcours d un rre n-ire Expressions rithmétiques Une défition Syntxe concrète et syntxe strite Expressions et rres Dérivtion formelle Dérivtion guidée pr l structure d rre Simplifiction : une première pproche Exercices pour le chpitre II Automtes 57 6 Automtes fis détermistes ou non détermistes Automtes fis détermistes Présenttion formelle Présenttion mthémtique Trnsitions et clculs Lngge reconnu pr un utomte fi détermiste Implémenttion en Cml d un fd Automtes fis non détermistes Présenttion formelle Défition mthémtique Implémenttion en Cml d un fnd Détermistion d un fnd Algorithme de détermistion Progrmmtion en Cml Exercices pour le chpitre

5 TABLE DES MATIÈRES 5 7 Lngges rtionnels et utomtes Lngges rtionnels et expressions régulières Défition Expressions régulières Le théorème de Kleene Des lngges rtionnels ux utomtes Des utomtes ux lngges rtionnels Lngges non rtionnels Exemples Le lemme de l étoile Exercices pour le chpitre III Corrigé de tous les exercices 87 1 Exercices sur Arres ires 89 2 Exercices sur Prcours d un rre 93 3 Exercices sur Arres de recherche 97 5 Exercices sur Arres n-ires Exercices sur Automtes fis Exercices sur Lngges rtionnels et utomtes 107

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7 Tle des figures 1.1 Premiers exemples d rres Indextion d un rre ire Amiguïté de l dextion Construction du squelette Tille et profondeur Squelettes d rres complets Un rre pour l exemple Amigüité de l description fixe Un rre ire de recherche sur N Arre otenu pr suppression du Arre otenu pr suppression du 7 puis du Une file de priorité Unts Un ts vec s numérottion des nœuds Un rre à percoler L étpe termédiire de l percoltion Le ts otenu pr percoltion Un exemple d rre n-ire Un utre rre n-ire de même prcours préfixe Un premier exemple d utomte fi détermiste Deux utomtes pour un même lngge Un utomte fi non détermiste Un fnd pour les mots qui fissent pr Un fnd pour les mots fissnt pr L utomte détermisé Un fnd àldétermistion coûteuse Automtes pour les expressions régulières tomiques Automte pour l somme de deux expressions régulières Automte pour le produit de deux expressions régulières Automte pour l étoile d une expression régulière Avnt l suppression de l étt x Après l suppression de l étt x Automte à2étts Quel est le lngge reconnu pr cet utomte? On supprimé l étt Après suppression des étts 2 et On recommence en supprimnt l étt Après suppression des étts 2 et

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9 Liste des progrmmes 1.1 Défition du type rre ire Clcul de l profondeur d un rre Nomre de nœuds, de feuilles d un rre, tille d un squelette Prcours d un rre ire en ordre militire Prcours d un rre ire en ordres préfixe, fixe et suffixe Reconstitution d un rre ire à prtir de s description en ordre préfixe Reconstitution d un rre ire à prtir de s description en ordre suffixe Recherche séquentielle dns une liste Recherche dns un rre ire de recherche Recherche dns un rre ire de recherche sur N Ajout d un élément dns un rre ire de recherche Suppression d un élément dns un rre ire de recherche Tri à l ide d rres ires de recherche Percoltion récursive Percoltion itértive Réorgnistion d un rre en ts Le tri pr ts (hep sort) Nomre de nœuds et feuilles d un rre n-ire Profondeur d un rre n-ire Prcours préfixe et suffixe d un rre n-ire Reconstitution d un rre n-ire à prtir de son prcours préfixe Conversions rres d expression/expressions rithmétiques Évlution des expressions rithmétiques Impressions préfixe et suffixe des expressions Impression fixe des expressions Dérivtion formelle des expressions rithmétiques Simplifiction des expressions lgériques Reconnissnce d une chîne pr un fd Quelques fonctions utiles Reconnissnce d une chîne pr un fnd Fonctions utiles sur les ensemles L détermistion des utomtes

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11 Liste des exercices Exercice 1.1 Indextion d un rre ire Exercice 1.2 Sous-rres de profondeur donnée Exercice 1.3 Clcul du squelette Exercice 1.4 Génértion des squelettes d rres ires Exercice 1.5 Squelette d rre complet de tille donnée Exercice 1.6 Test de complétude Exercice 1.7 Test d équilirge Exercice 2.1 Reconstitution à prtir de l ordre militire Exercice 2.2 Conversions préfixe/suffixe Exercice 3.1 Une utre structure d rre de recherche Exercice 3.2 Blnce et équilirge Exercice 3.3 Tille d un rre AVL Exercice 3.4 Arres Exercice 5.1 Reconstitution d un rre n-ire à prtir du prcours suffixe Exercice 5.2 Impression fixe des expressions Exercice 6.1 Quelques utomtes simples Exercice 6.2 Détermistion d un utomte simple Exercice 6.3 Preuve de l détermistion Exercice 6.4 Ajout d un étt mort Exercice 6.5 Détermistion d un fd! Exercice 6.6 Mimistion d un fd Exercice 7.1 Lngges rtionnels, tersection et complémentire Exercice 7.2 Équivlence des expressions régulières Exercice 7.3 Le lngge des fcteurs des mots d un lngge Exercice 7.4 Reconnissnce d un même lngge Exercice 7.5 Exemples de lngges non rtionnels Exercice 7.6 Expressions régulières décrivnt des lngges donnés

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13 Première prtie Arres 13

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15 Chpitre 1 Arres ires 1.1 Défitions et nottions Défition formelle d un rre ire Commençons pr une défition très mthémtique. Défition 1.1 (Arres ires) On considère deux ensemles de vleurs F (vleurs des feuilles) et N (vleurs des nœuds). Un rre ire sur ces ensemles est défi de fçon récursive comme suit. Toute feuille, élément de F, est un rre. Étnt donnés une vleur n de nœud (n N), et deux rres g et d, (n, g, d) est un nouvel rre, de rce n, de fils guche g, de fils droit d. L défition que nous vons donnée ici permet de distguer le type des formtions portées respectivement pr les nœuds et les feuilles d un rre. On utilise d hitude, u lieu d écritures comme f pour une simple feuille, ou encore, pour donner un exemple plus complexe, (n 1, (n 2,f 21,f 22 ), (n 3,f 31, (n 4,f 41,f 42 ))), l représenttion grphique qu on trouver dns l figure suivnte. f n 1 n 2 n3 f 21 f 22 f 31 n 4 f 41 f 42 Fig. 1.1: Premiers exemples d rres Dns cette représenttion, les feuilles sont dessées à l ide de crrés, les nœuds pr des cercles. Notons que certs uteurs utilisent les expressions nœuds externes pour les feuilles et nœuds ternes pour ce que nous vons ppelé les nœuds. L représenttion grphique troduit l notion de hut et de s, et ien sûr les formticiens ynt l tête un peu à l envers, tous nos rres uront leurs feuilles en s et leur rce en hut... Pour illustrer nos défitions, tentons de décrire vec notre nouveu voculire le deuxième rre de l figure ci-dessus. S rce est le nœud n 1, qui deux fils, les rres de rces n 2 et n 3. Le sous-rre 15

16 16 CHAPITRE 1. ARBRES BINAIRES guche de rce n 2 pour fils guche et droit deux feuilles, tndis que le sous-rre droit de rce n 3 respectivement pour fils guche et droit une feuille et un nouveu sous-rre de rce n 4 qui à son tour pour fils guche et droit deux feuilles. Le plus souvent, on se permettr l us de lngge qui consiste à citer un nœud en pensnt à l rre (le sous-rre) dont il est rce. Asi n 2 désigner-t-il tout ussi ien le nœud précis qui porte ce nom que tout le sous-rre qui l dmet pour rce. Remrquons pour termer que toute feuille figure nécessirement en s de l rre, puisqu elle ne peut voir de fils. Enf, on dit que est père de ussi ien qund est une feuille qui est un fils (droit ou guche) de et qund est l rce du sous-rre fils droit ou guche de Défition des rres ires en Cml En Cml, on défit un type à deux prmètres qui sont les types respectifs des feuilles et des nœuds, à l ide de l struction suivnte : Progrmme 1.1 Défition du type rre ire type ( f, n) rre_ire = Feuille of f Nœud of n * ( f, n) rre_ire * ( f, n) rre_ire ;; On défir les deux rres de l exemple ci-dessus à l ide d structions comme let f = Feuille("f") nd = Nœud("n1", Nœud("n2",Feuille("f21"),Feuille("f22")), Nœud("n3",Feuille("f31"),Nœud("n4",Feuille("f41"),Feuille("f42")))) ;; Une dextion des éléments constitutifs d un rre Nous llons mtennt défir une dextion des éléments constitutifs d un rre (feuilles et nœuds) à l ide de mots sur l lphet {0, 1}. Défition 1.2 (Mots ires) On ppelle mot ire toute suite éventuellement vide de 0 ou de 1. Autrement dit, un mot ire est ou ien le mot vide, noté ɛ, ou ien le résultt de l concténtion d un mot ire et d un 0 ou d un 1. À tout mot ire est nturellement ssocié un entier nturel, dont le mot choisi est une écriture en se 2. Pr exemple, le mot ire est ssocié à l entier 18. Pr convention, le mot vide ɛ ser ssocié à, et on noter N = N { }. Nous noterons pr un dièse ( ) cette ppliction des mots ires vers N : si écrirons-nous = 18. On peut lors numéroter les éléments d un rre en leur ssocint un mot ire. L règle est fort simple, et peut s énoncer si. Défition 1.3 (Indextion) On considère un rre ire. S il s git d une feuille, on l dexe pr le mot vide ɛ. Si en revnche il s git d un nœud (n, g, d), on commence pr dexer s rce n pr le mot vide ɛ, et pr effectuer l dextion de tous les éléments de l rre g et de l rre d. Enf, on joute devnt l dex de chque élément de l rre g (resp. d) un0(resp. un 1). On retrouver dns l figure suivnte le deuxième rre de l figure 1.1 pge précédente où chque élément est dexé à s guche pr un mot ire. L dextion si effectuée discrime effectivement les feuilles de l rre, ce qui fit l ojet du théorème suivnt. Théorème 1.1 Dns l dextion précédente, si f 1 et f 2 sont deux feuilles distctes d un même rre et m 1, m 2 les mots ires ssociés, on m 1 m 2.

17 1.2. NOTION DE PROFONDEUR DANS UN ARBRE 17 ɛ n 1 0 n 2 1 n3 00 f f f n f f 42 Fig. 1.2: Indextion d un rre ire L démonstrtion se fit pr récurrence structurelle. Pour un rre réduit à une feuille, le résultt est clir. Soit =(n, g, d) un rre. Soit f 1 et f 2 deux feuilles de cet rre. Ou ien f 1 et f 2 sont des feuilles du même sous-rre g de. Dns ce cs leurs dex m 1 et m 2 sont otenus à prtir des dex m 1 et m 2 qu elles portent dns l rre g grâce ux reltions m 1 =0m 1 et m 2 =0m 2. Comme pr hypothèse de récurrence m 1 m 2, on ien m 1 m 2. Ou ien f 1 et f 2 sont des feuilles du même sous-rre d de. Dns ce cs on otient de même m 1 =1m 1 1m 2 =m 2. Ou ien f 1 est une feuille de g et f 2 une feuille de d. Mis lors m 1 commence pr un 0 et m 2 pr un 1, et donc m 1 m 2. En revnche, il fut fire ttention à ce qu on peut voir m 1 = m 2, comme dns le cs de l figure 1.3, où les feuilles f 41 et f 31 ont pour dex respectifs 010 et 10 qui sont ien différents, certes, mis pourtnt 010 = 10 = 2. ɛ n 1 0 n 2 1 n3 00 f n 4 10 f f f f 42 Fig. 1.3: Amiguïté de l dextion 1.2 Notion de profondeur dns un rre Défitions On ppelle profondeur d un nœud ou d une feuille d un rre le nomre d rêtes qu il fut trverser pour descendre de l rce de l rre u nœud ou l feuille visé(e).

18 18 CHAPITRE 1. ARBRES BINAIRES D une fçon plus mthémtique, on peut dire que l profondeur d un élément d un rre est l longueur du mot ire qui l dexe dns l dextion décrite plus hut. L profondeur de l rre est défie comme étnt le mximum des profondeurs de ses éléments, ou encore, puisque les feuilles sont sous les nœuds, comme le mximum des profondeurs de ses feuilles Clcul de l profondeur en Cml Bien sûr, le clcul de l profondeur est isé à l ide d un progrmme récursif : Progrmme 1.2 Clcul de l profondeur d un rre let rec profondeur = function Feuille(_) -> 0 Nœud(_,g,d) -> 1 + (mx (profondeur g) (profondeur d)) ;; On ur noté que l formtion portée pr les nœuds et feuilles de l rre ne joue ucun rôle dns le clcul de l profondeur, évidemment. 1.3 Squelette d un rre ire Un exemple Considérons à nouveu l rre de l figure 1.1 pge 15. On peut commencer pr effcer toute l formtion portée pr ses nœuds et pr ses feuilles. On otient si un rre dessé à l ide de cercles et de crrés. Si on supprime purement et simplement les feuilles, on otient un squelette où figurent les seuls nœuds, comme dns l figure 1.4. n 1 n 2 n3 f 21 f 22 f 31 n 4 f 41 f 42 Fig. 1.4: Construction du squelette Si ien entendu le pssge du premier u second stde est destructif (on effcé l formtion portée), en revnche le pssge du second u dernier est réversile, comme dirient les thermodynmiciens : il suffit en effet d jouter des feuilles à tous les endroits possiles, c est-à-dire sous tous les nœuds qui ont 0 ou 1 fils Défition du squelette Défition 1.4 (Squelettes ires) Un squelette (d rre) ire est défi de fçon récursive comme suit. Le mot vide ɛ est un squelette ire. Étnt donnés deux squelettes g et d, (g, d) est un nouveu squelette, de fils guche g, de fils droit d.

19 1.4. COMBINATOIRE DES ARBRES ET SQUELETTES BINAIRES 19 Avec cette défition ssez formelle, tout squelette est un mot sur l lphet des trois crctères (, ) et l virgule,. Pr exemple, le squelette de l figure précédente est ((, ), (, (, ))). Mis ien sûr tout mot ne représente ps un squelette, comme pr exemple le mot ((,,)). On préfèrer nénmos évidemment utiliser l représenttion géométrique des squelettes d rres Le squelette comme une clsse d équivlence Le pssge d un rre ire sur des ensemles N et F à son squelette se défit sns prolème à l ide d une duction structurelle (voir l exercice 1.3 pge 24). L églité des squelettes défit sur l ensemle des rres ires une reltion d équivlence, qui défit ce qu on ppelle souvent l géométrie d un rre ire Écriture en Cml Il suffit pour trviller sur les squelettes en Cml de défir un nouveu type de l fçon suivnte : type squelette = Vide Joture of squelette * squelette ;; 1.4 Comtoire des rres et squelettes ires Nœuds et feuilles Nous commençons pr un résultt ssez simple : Théorème 1.2 Soit un rre ire, et s son squelette. Soit respectivement n, p, n le nomre de nœuds de, le nomre de feuilles de, et le nomre de nœuds de s. Alors n = n = p 1. L églité n = n est évidente. Considérons l rre termédiire entre et s, c est-à-dire oulions l formtion portée pr les nœuds et les feuilles. Pr défition même d un rre ire, tout nœud de exctement 2 fils qui sont soit une feuille soit un nouveu nœud. Inversement, toute feuille et tout nœud suf l rce dmet un nœud-père. Asi 2n est le nomre de nœuds et feuilles qui ne sont ps à l rce de l rre, ou encore 2n = n + p 1, ce qui fournit l églité demndée. On urit pu ussi démontrer ce théorème à l ide d une duction structurelle : Si est une feuille, le résultt est clir cr n =0et p =1. Son, =(x, g, d). Pr récurrence, on sit que les nomres n g et p g (resp. n d et p d ) de nœuds et feuilles de g (resp. de d) vérifient n g = p g 1 et n d = p d 1. Or pour feuilles les feuilles de g et celles de d, donc p = p g + p d et pour nœuds les nœuds de g et ceux de d à quoi il fut jouter le nœud x lui-même, donc n =1+n g +n d.là encore on ien n =1+p g 1+p d 1=p g +p d 1=p 1. Personnellement, je préfère l première démonstrtion Profondeur et tille Tille d un rre ou d un squelette ire L notion de tille d un rre vrie selon les uteurs, héls : d ucuns comptent les nœuds et les feuilles, d utres seulement les nœuds, d utres encore seulement les feuilles. Mis grâce u théorème 1.2 on psse isément de l une à l utre. Nous choisirons ici l défition suivnte. Défition 1.5 (Tille d un rre) On ppelle tille d un rre ire et on note l tille de son squelette, c est-à-dire le nomre de ses nœuds.

20 20 CHAPITRE 1. ARBRES BINAIRES On clcule isément le nomre de nœuds et/ou de feuilles d un rre ire et l tille d un squelette à l ide de progrmmes récursifs très simples. Progrmme 1.3 Nomre de nœuds, de feuilles d un rre, tille d un squelette (* clculs sur les rres ires *) let rec n_nœuds = function Feuille(_) -> 0 Nœud(_,g,d) -> 1 + (n_nœuds g) + (n_nœuds d) ;; let rec n_feuilles = function Feuille(_) -> 1 Nœud(_,g,d) -> (n_feuilles g) + (n_feuilles d) ;; (* clcul sur les squelettes ires *) type squelette = Vide Joture of squelette * squelette ;; let rec tille = function Vide -> 0 Joture(g,d) -> 1 + (tille g) + (tille d) ;; Encdrement de l profondeur d un rre On se rppelle que l profondeur d un rre est l profondeur mximle de ses nœuds et feuilles. Il est donc clir qu on dispose du Lemme 1.1 Si k est l profondeur d un rre ire, son squelette est de profondeur k 1. On se doute ien qu un rre ire peut être très profond, il suffit de descendre toujours à guche à prtir de l rce, pr exemple. Il est plus téressnt de prouver que pour une tille fixée, s profondeur est morée. L figure 1.5 montre deux squelettes de même tille et de profondeurs mimle et mximle. C est ce que précise le théorème suivnt : Fig. 1.5: Tille et profondeur Théorème 1.3 Soit s un squelette ire non vide, de tille n et de profondeur k. Alors lg n k n 1.

21 1.4. COMBINATOIRE DES ARBRES ET SQUELETTES BINAIRES 21 qui pour corollire le Théorème 1.4 Soit un rre ire non réduit à une feuille, de tille n (il donc n nœuds) et de profondeur k. Alors 1+ lg n k n. Rppelons qu en formtique lg désigne le logrithme en se 2, c est-à-dire que lg n =lnn/ ln 2, et que x désigne l prtie entière de x. Nous démontrons le théorème 1.3 pge précédente pr duction structurelle. Soit donc s =(g, d) un squelette. Notons n s tille, k s profondeur, et n g et k g (resp. n d et k d )l tille et l profondeur de g (resp. de d). Si g et d sont vides, n =1et k =0: l encdrement est correct. Si g est vide, mis ps d, n =1+n d et k =1+k d. Or on sit pr hypothèse de récurrence que lg n d k d n d 1. Onendéduit que k n d = n 1. L mjortion est ien prouvée. En outre, puisque n d 1, on1+ lg n d = 1+lgn d = lg(2n d ) lg(n d +1) = lg n, ce qui fournit l mortion souhitée. Si d est vide, mis ps g, on risonne de fçon nlogue. Si enf ni d ni g n est vide, on n =1+n d +n g et k = 1 + mx(k d,k g ).Lrécurrence permet lors d écrire les mjortions : k 1 + mx(n d,n g ) 1 + mx(n 1,n 1) = n. Pour ce qui est de l mortion, on écrit d ord que k d lg n d et k g lg n g. Mis l églité entre entiers nturels n =1+n d +n g montre que n d ou n g est plus grnd que (n 1)/2. Alors d près l hypothèse de récurrence, mx(k d,k g ) lg n 1 2. Asi -t-on k 1+ lg n 1 2. Dns le cs où n est pir, n =2p+2,onécrit k 1+ lg(p +1) = lg(2(p + 1)) = lg n. Dns le cs où n est impir, n =2p+1,onécrit k 1+ lg p = lg(2p) = lg(2p +1) = lg n. Cette dernière églité fit l ojet du lemme suivnt. Lemme 1.2 Pour tout entier nturel p 1, on lg(2p +1) = lg(2p). On ien sûr l églité lg(2p +1) lg(2p). Posons k = lg p. On2 k p 2 k+1 1, d où 2p +1 2 k+2 1 < 2 k+2. Asi lg(2p +1)<k+2, et lg(2p +1) k+1= lg(2p), ce qui conclut. Arres complets On ppelle rre complet un rre de profondeur k et de tille n =2 k 1. On trouver dns l figure 1.6 pge suivnte les premiers rres complets, ou plutôt leurs squelettes. Donnons une crctéristion des rres complets. Théorème 1.5 Un rre ire est complet si et seulement si toutes ses feuilles sont à l même profondeur. Soit en effet un rre complet, de tille n =2 k 1et de profondeur k. On sit qu il yu mos une feuille à l profondeur k. Supposons un moment qu une utre feuille soit à une profondeur strictement plus petite que k. On pourrit l remplcer pr un nœud d où pendrient deux feuilles, de profondeur u plus égle à k. L rre si étendu serit de tille n +1 (on joute un seul nœud, on retrnche une feuille et en joute deux nouvelles), et toujours de profondeur k. Mis le théorème 1.4 ffirme k 1+lg(n+1)=1+k, ce qui fournit l contrdiction souhitée. Montrons mtennt l réciproque : il suffit pour cel de compter le nomre de nœuds d un rre dont toutes les feuilles sont à profondeur k. Ceci ne pose ps de prolème prticulier, il suffit de remrquer que chque nœud terne deux fils, et on trouve effectivement 2 k 1 nœuds. Remrquons qu un rre complet de tille n =2 k 1 possède n +1=2 k feuilles (de profondeur k).

22 22 CHAPITRE 1. ARBRES BINAIRES Fig. 1.6: Squelettes d rres complets Arres équilirés Un rre ser dit équiliré qund ses feuilles se réprtissent sur u plus deux niveux seulement. On verr plus lo dns ce cours l térêt que peut voir pour un rre cet équilirge : ce ser le critère essentiel d efficcité des lgorithmes de recherche à l ide de structures d rres. Théorème 1.6 (Crctéristion des rres équilirés) Un rre ire de tille n et de profondeur k est équiliré si l une ou l utre des conditions équivlentes suivntes est vérifiée : (1) toute feuille de est de profondeur k ou k 1 ; (2) l rre otenu à prtir de en supprimnt toutes ses feuilles de profondeur k est complet. Un rre équiliré vérifie l condition k = 1 + lg n. Bien entendu, qund on dit qu on supprime des feuilles d un rre, on entend pr là que l on remplce leurs nœuds-pères pr des feuilles. L équivlence entre (1) et (2) est à peu près évidente. Montrons simplement qu on ien, pour un rre équiliré, l reltion k =1+ lg n. Soit pour cel l rre complet otenu pr suppression dns des feuilles de profondeur k. L tille de est n,ilpossède n +1feuilles, et donc 1 n n n +1. L profondeur de est k 1, donc n =2 k 1 1. Alors 1 n (2 k 1 1) 2 k 1,et2 k 1 n 2 k 1. On ien lg n = k Dénomrement des squelettes ires Il v de soi que dénomrer les rres ires eux-mêmes n ps de sens, puisqu ussi ien les ensemles des vleurs qui hillent nœuds et feuilles peuvent être fis. Il est donc nturel de s téresser ici ux squelettes d rres ires.

23 1.4. COMBINATOIRE DES ARBRES ET SQUELETTES BINAIRES 23 Une récurrence nturelle Pour compter les squelettes de tille n, on s ppuie sur le fit qu un tel squelette est constitué d une rce et de deux sous-rres dont l somme des tilles vut n 1, ce qui conduit à une formule du genre : S n = S i S n 1 i, où S k désigne le nomre de squelettes de tille k. Une convention s impose donc : S 0 =1.Onendéduit imméditement le théorème qui suit. Théorème 1.7 Le crdl S n de l ensemle des squelettes ires de tille n vérifie l récurrence (1.1) sous réserve de l convention S 0 =1. n 1 n 1,S n = S i S n 1 i, i=0 Le tleu suivnt fournit les premiers termes de cette suite. Une formule plus close n S n Les formticiens utilisent fréquemment ce qu ils ppellent des fonctions génértrices. Pour l exemple qui nous téresse, il s git de poser, pour tout (complexe) z (vérifint certes conditions dont nous nous occuperons plus trd) S(z) = + k=0 S k z k, en espérnt ien sûr qu il n y ps de prolème de convergence. L récurrence qui fit l ojet de l éqution 1.1 se trduit, d près l défition du produit de Cuchy de deux séries entières, et grâce à l condition S 0 = 1, pr l éqution (1.2) S(z) =1+zS 2 (z). (Le déclge n n 1 de l somme de 1.1 est trduit pr le fcteur z devnt S 2 (z).) On s téresse donc nturellement à l éqution du second degré (1.3) X =1+zX 2 qui pour solution X = 1 1 4z (on choisit cette solution pour que fisnt tendre z vers0on 2z otienne une limite égle à S 0 = 1). Si on demnde, pour se rssurrer (il est vri que pour l stnt on s est vriment peu soucié de rigueur mthémtique), à Mple de clculer le développement limité à l ordre 8 de X, on otient : (1.4) X =1+z+2z 2 +5z 3 +14z 4 +42z z z z 8 + O ( z 9). Ces considértions conduisent à prendre en quelque sorte le prolème à l envers. Posons { 1, si z =0; f(z) = 1 1 4z 2z, si 0 z < 1/4. On montre lors fcilement que f est de clsse C sur ] 1/4, 1/4[, et qu elle vérifie à l fois l éqution 1.3 et l condition f(0)=1.

24 24 CHAPITRE 1. ARBRES BINAIRES Or il se trouve que l on sit clculer son développement limité à l orige à tout ordre. Les coefficients de ce développement limité vérifieront lors nécessirement l éqution 1.1. Ce seront ien les termes de l suite (S n )! On trouve de cette fçon, u prix d un clcul que tout hypo-tup sit mener sns difficulté, le résultt qui s énonce sous l forme du Théorème 1.8 (Dénomrement des squelettes ires) Le nomre S n de squelettes ires de tille n, qui est ussi le nomre d rres ires portnt n nœuds (ternes) vut S n = 1 n Exercices pour le chpitre 1 Exercice 1.1 Indextion d un rre ire Écrire une fonction Cml ( ) 2n. n dextion : ( f, n) rre_ire -> (strg,strg) rre_ire qui remplce toute l formtion des nœuds et feuilles de l rre fourni en rgument pr le mot ire correspondnt à l dextion décrite à l section pge 16. Exercice 1.2 Sous-rres de profondeur donnée Écrire une fonction Cml liste_à_profondeur : ( f, n) rre_ire -> t -> ( f, n) rre_ire list qui prend en rguments un rre ire et un entier n et qui renvoie l liste (éventuellement vide) de tous les sous-rres de dont l rce est à l profondeur n dns. Exercice 1.3 Clcul du squelette Écrire une fonction Cml déshille : ( f, n) rre_ire -> squelette qui prend en rgument un rre ire et qui renvoie son squelette. Exercice 1.4 Génértion des squelettes d rres ires Écrire une fonction Cml engendre_à_profondeur : t -> t -> squelette list qui prend en rguments deux entiers n et p et qui renvoie l liste des squelettes de tille n et de profondeur p. Dns le cs où n = 0, l vleur de p ne ser ps prise en compte. En déduire une fonction engendre : t -> squelette list qui renvoie l liste de tous les squelettes dont l tille est fournie en rgument. Exercice 1.5 Squelette d rre complet de tille donnée Écrire une fonction Cml squelette_complet : t -> squelette qui prend en rgument une tille n et renvoie le squelette complet de tille n s il existe, et déclenche une erreur son.

25 1.5. EXERCICES POUR LE CHAPITRE 1 25 Exercice 1.6 Test de complétude Écrire une fonction Cml est_complet : ( f, n) rre_ire -> ool qui prend en rgument un rre ire et qui dit si oui ou non il est complet. Exercice 1.7 Test d équilirge Écrire une fonction Cml est_équiliré : ( f, n) rre_ire -> ool qui prend en rgument un rre ire et qui dit si oui ou non il est équiliré.

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27 Chpitre 2 Prcours d un rre Ce court chpitre pour ut d expliciter différentes méthodes utilisées pour lister les éléments d un rre de fçon non migüe, de telle sorte qu on puisse reconstituer s structure à l ide de cette seule liste. On verr que l distction fite dns les rres ires entre feuilles et nœuds permet de résoudre fcilement ce prolème, qund u contrire il fut dvntge d effort pour donner une description non migüe d un squelette d rre ire. Dns ce qui suit, on utiliser comme exemple privilégié celui de l rre qui est dessé dns l figure 2.1, et dont les feuilles sont des entiers, les nœuds des crctères. c d e Fig. 2.1: Un rre pour l exemple 2.1 Prcours en lrgeur d ord Description de l ordre militire Le premier type de prcours que nous llons écrire prît sns doute le plus nturel, même si ce n est ps le plus simple à progrmmer. Certs l ppellent le prcours militire d un rre, puisqu il fit penser à l xiome militire ien connu qui donne l priorité u plus ncien dns le grde le plus élevé. Il suffit d imger qu en descendnt dns l rre on descend dns l hiérrchie, et qu on dispose les fils du plus ncien u plus jeune, pour fire le rpprochement. 27

28 28 CHAPITRE 2. PARCOURS D UN ARBRE On peut églement décrire cet ordre de prcours en disnt qu on liste les nœuds et feuille pr ordre croissnt de profondeur, et de guche à droite pour une profondeur donnée. C est pourquoi d utres l ppellent le prcours en lrgeur d ord. Dns le cs de notre exemple de l figure 2.1 pge précédente, ce prcours s écrit donc : c123de645. L règle de reconstitution est simple : le premier élément écrit est l rce de l rre. À chque fois qu on desse un nœud on desse les deux rêtes pendntes qui en proviennent, et u fur et à mesure de l lecture, on remplit les trous si constitués, de guche à droite... Reste à progrmmer ce prcours en Cml Progrmmtion Cml Nous urons tout d ord à défir le type qui correspond à l description de notre rre. Il s gir d une liste d éléments qui seront ou ien des feuilles ou ien des nœuds, ce qui s écrit pr exemple si en Cml : type ( f, n) listg_d rre = F of f N of n ;; Le progrmme 2.1 permet lors de prcourir dns l ordre militire un rre donné en rgument. Progrmme 2.1 Prcours d un rre ire en ordre militire let prcours_militire = let rec prcours_rec nœuds_pendnts = mtch nœuds_pendnts with [] -> [] Feuille(f) :: reste -> (F f) :: (prcours_rec reste) Nœud(n,g,d) :: reste -> (N n) :: (prcours_rec [ g ; d ])) prcours_rec [] ;; On peut ppliquer ce progrmme à notre rre exemple, et voici le résultt : #prcours_militire exemple ;; - : (t, chr) listg_d rre list = [N ; N ; N c ; F 1; F 2; F 3; N d ; N e ; F 6; F 4; F 5] En revnche, l reconstruction de l rre à prtir d une telle liste est un prolème eucoup plus rdu Prcours en profondeur d ord Nous envisgeons mtennt d utres méthodes de prcours qui sont plus proches de l structure nturellement récursive des rres, ce qui fciliter l progrmmtion, et qui justifie qu on les préfèrer u prcours militire. L idée des trois prcours qui suivent est l même, et nous fer descendre tout en s de l rre sur s guche vnt de s téresser ux feuilles plus à droite : c est ce qu on ppelle un prcours en profondeur d ord Prcours préfixe, fixe, suffixe Ces trois prcours s ppuient sur l structure récursive des rres : on pplique récursivement le prcours ux sous-rres guche et droit, et c est le moment où on liste le nœud-père qui crctérise ces trois différents prcours. Dns le prcours préfixe d un nœud (n, g, d), on commence pr lister n, puis on prcourt le sous-rre g et enf le sous-rre d.

29 2.2. PARCOURS EN PROFONDEUR D ABORD 29 On otient si, dns le cs de notre rre exemple, l séquence 12c3de456. Dns le prcours fixe d un nœud (n, g, d), on commence pr prcourir le sous-rre guche, puis on liste n, et on terme pr le sous-rre d. On otient pour notre exemple l séquence c 4 e 5 d 6. Dns le prcours suffixe (on dit ussi postfixe), enf, on commence pr prcourir les deux sous-rres g et d et on terme en listnt n, ce qui, pour notre exemple, fournit l séquence Progrmmtion en Cml 12345e5dc. Ces trois prcours se prêtent tout à fit ien à une progrmmtion récursive, et on otient imméditement le progrmme 2.2, qui met d illeurs en évidence l ressemlnce de ces trois lgorithmes de prcours. Progrmme 2.2 Prcours d un rre ire en ordres préfixe, fixe et suffixe let rec prcours_préfixe = function Feuille(f) -> [F f] Nœud(n,g,d) -> [N (prcours_préfixe (prcours_préfixe d) ;; let rec prcours_fixe = function Feuille(f) -> [F f] Nœud(n,g,d) -> (prcours_fixe [N (prcours_fixe d) ;; let rec prcours_suffixe = function Feuille(f) -> [F f] Nœud(n,g,d) -> (prcours_suffixe (prcours_suffixe [N n] ;; Prolème verse À l différence du prcours en lrgeur d ord, il n est ps très difficile de procéder à l reconstitution de l rre itil à prtir de s description préfixe, comme le montre le progrmme 2.3. Progrmme 2.3 Reconstitution d un rre ire à prtir de s description en ordre préfixe let recompose_préfixe l = let rec recompose = function (F f) :: reste -> Feuille(f), reste (N n) :: reste -> let g, reste = recompose reste let d, reste = recompose reste Nœud(n,g,d),reste [] -> filwith "Description préfixe correcte" mtch recompose l with,[] -> _ -> filwith "Description préfixe correcte" ;; Contrirement à ce que certs s imgent prfois, le prcours suffixe d un rre ne fournit ps l description symétrique du prcours fixe, et il ne suffit ps d ppliquer recompose préfixe u miroir d une liste pour otenir recompose suffixe. Mis une pproche directe conduit à l solution, qui consiste à construire l rre fl en fisnt pousser petit à petit l rre à prtir de ses feuilles les plus sses à guche. C est ce que fit le progrmme 2.4 pge suivnte.

30 30 CHAPITRE 2. PARCOURS D UN ARBRE Progrmme 2.4 Reconstitution d un rre ire à prtir de s description en ordre suffixe let recompose_suffixe l = let rec recompose ss_rres liste = mtch ss_rres,liste with,(f f) :: reste -> recompose (Feuille(f) :: ) reste d :: g ::,(N n) :: reste -> recompose (Nœud(n,g,d) :: ) reste [ rre ],[] -> rre _ -> filwith "Description suffixe correcte" recompose [] l ;; Il nous reste le prolème de l reconstitution d un rre ire à prtir de s description en ordre fixe. Et là, surprise! on s perçoit que des trois méthodes de prcours d rre que nous venons de décrire, c est l seule qui soit migüe! C est-à-dire qu on peut très ien trouver un utre rre que celui qui été proposé dns l figure 2.1 pge 27 vec pourtnt le même prcours fixe, à svoir c 4 e 5 d 6. Pr exemple, on vérifier que l rre de l figure 2.2 ussi ce prcours fixe. c d 3 e Fig. 2.2: Amigüité de l description fixe 2.3 Exercices pour le chpitre 2 Exercice 2.1 Reconstitution à prtir de l ordre militire Écrire une fonction Cml recompose_militire : ( f, n) listg_d rre list -> ( f, n) rre_ire qui reconstitue un rre ire à prtir de s description en ordre militire. Exercice 2.2 Conversions préfixe/suffixe Écrire une fonction Cml qui à prtir de l description préfixe d un rre produit l description suffixe (sns reconstruire l rre, ien sûr). Que pensez-vous de l fonction verse?

31 Chpitre 3 Arres de recherche 3.1 Défition d un rre ire de recherche Défition générle On considère un ensemle ordonné (F, ) de feuilles et une ppliction φ : F N strictement croissnte. C est-à-dire que si f 1 f 2 lors φ(f 1 ) <φ(f 2 ). Un rre de recherche pour F est un rre ire sur les ensemles de feuilles et de nœuds F et N qui est ou ien une feuille ou ien un rre (n, g, d) tel que pour toute feuille f du sous-rre guche g on φ(f) n et pour toute feuille f du sous-rre droit d on n<φ(f). Il est clir qu on peut choisir pour vleur de n tout entier de l tervlle [M,m[, où M est le mximum des φ(f) sur les feuilles f de g et m le mimum des φ(f) sur les feuilles f de d. Engénérl on choisit n = M, mis nous verrons qu il fut svoir s ffrnchir de cette contrte, et on vérifier que tous les résultts suivnts n utilisent ps cette propriété. Si on se rppelle l défition des prcours préfixe, fixe et suffixe d un rre, on en déduit imméditement pr récurrence structurelle que les feuilles sont listées dns l ordre croissnt dns chcun de ces prcours Cs prticulier On utilise le plus générlement F = N vec l identité pour φ, et tous nos exemples seront construits sur ce modèle. On trouver dns l figure 3.1 pge suivnte un premier exemple d rre de recherche sur N, qui nous reservir dns l suite. 3.2 Recherche d un élément Position du prolème Comme leur nom l dique, les rres ires de recherche servent à l recherche d un élément d une fmille : plus précisément, on se donne un ensemle de vleurs et on veut écrire une fonction d pprtennce à cet ensemle. Une solution simple consiste à utiliser une liste simple des éléments de l ensemle considéré, et à fire une recherche dns cette liste, ce qui s écrit en Cml comme dns le progrmme 3.1 pge suivnte. Ps eso d une réflexion très pprofondie pour prouver que cet lgorithme tourne en O(n), où n est l tille de l ensemle de vleurs-ciles. 31

32 32 CHAPITRE 3. ARBRES DE RECHERCHE Fig. 3.1: Un rre ire de recherche sur N Progrmme 3.1 Recherche séquentielle dns une liste let rec recherche l x = mtch l with [] -> filwith "Élément sent de l liste" t :: q -> t = x recherche q x ;; Recherche dns un rre ire de recherche Les rres ires de recherche conduisent à une solution très simple du même prolème, si on sit construire un rre dont l ensemle des feuilles est l ensemle de nos vleurs-ciles. C est ce que propose l lgorithme du progrmme 3.2. Progrmme 3.2 Recherche dns un rre ire de recherche let rec recherche phi rre x = mtch rre with Feuille(f) -> x = f filwith "Élément sent" Nœud(n,g,d) -> if phi x > n then recherche phi d x else recherche phi g x ;; Bien sûr, ceci se simplifie dns le cs d un rre sur N et on otient le progrmme plus simple 3.3 pge suivnte Évlution Si on suit sur l rre donné dns l figure 3.1 l recherche de l élément 8, on se rend compte qu on descend dns l rre en choisissnt à chque nœud de descendre soit à droite soit à guche pr une comprison : ici, on descend successivement à droite, à guche, à droite et à guche. Si on vit cherché l vleur 6 qui ne fit ps prtie de l ensemle des feuilles, on urit utilisé l descente à droite, à guche, à guche, et on serit rrivé sur l feuille 7 6,cequidécide de l échec. On en déduit imméditement pr une récurrence structurelle le théorème qui suit. Théorème 3.1 (Coût d une recherche dns un rre ire) L recherche dns un rre ire de recherche se rélise en un nomre de comprisons u plus égl à k +1, où k est l profondeur de l rre.

33 3.3. STRUCTURE DYNAMIQUE DE RECHERCHE 33 Progrmme 3.3 Recherche dns un rre ire de recherche sur N let rec recherche rre x = mtch rre with Feuille(f) -> x = f filwith "Élément sent" Nœud(n,g,d) -> if x > n then recherche d x else recherche g x ;; En utilisnt les théorèmes 1.2 pge 19 et 1.4 pge 21, on en déduit le corollire suivnt. Théorème 3.2 (Encdrement du coût de l recherche dns un rre ire) L recherche d un élément dns un ensemle de n vleurs orgnisées en rre ire de recherche se rélise dns le cs le pire en un nomre c(n) de comprisons qui vérifie : 2+ lg(n 1) c(n) n. Dns le cs prticulier où l rre de recherche utilisé est équiliré, on l églité c(n) = 2 + lg(n 1), ce qui grntit un coût logrithmique pour notre recherche. Toute l difficulté est donc de construire un rre équiliré de recherche, ce que nous étudions dns l section suivnte. 3.3 Structure dynmique de recherche En prtique on veut mtenir une structure dynmique de l ensemle des vleurs-ciles. C est-à-dire qu on veut pouvoir jouter ou retrncher une vleur à cet ensemle. Il s git donc pour nous d jouter ou retrncher une feuille à un rre ire de recherche Ajout d un élément L jout d un élément x se rélise un peu comme l recherche : on descend dns l rre jusqu à rriver à une feuille. Ou ien c est l élément qu on veut jouter, il y est déjà, et il n y rien à fire. Ou ien c est un élément y différent de x, ce qui signifie que x n est ps encore dns l rre. On remplce lors l feuille y pr un rre (φ(x),x,y)siφ(x)<φ(y)ou(φ(y),y,x) son. Tout ceci se progrmme sns difficulté en Cml : c est le progrmme 3.4. Progrmme 3.4 Ajout d un élément dns un rre ire de recherche let rec jout phi rre x = mtch rre with Feuille(y) -> if x = y then Feuille(y) else if phi x < phi y then Nœud(phi x,feuille(x),feuille(y)) else Nœud(phi y,feuille(y),feuille(x)) Nœud(n,g,d) -> if phi x > n then Nœud(n,g,jout phi d x) else Nœud(n,jout phi g x,d) ;; L fonction jout si écrite renvoie le nouvel rre résultt. Il est immédit qu elle tourne en O(k) où kest l profondeur de l rre Suppression d un élément L suppression d un élément dns un rre ire de recherche n ien sûr de sens que si cet élément figure prmi les feuilles, sns quoi il ne se psse rien. Il suffit priori de rechercher l élément considéré, et de couper l feuille correspondnte de l rre. Puis on remplce le nœud-père pr le frère guche ou droit qui susiste.

34 34 CHAPITRE 3. ARBRES DE RECHERCHE Fig. 3.2: Arre otenu pr suppression du 7 Reprennt notre rre de l figure 3.1 pge 32, si on supprime l élément 7, on remplce le père de l feuille 7 pr son fils droit, et on otient ien un rre de recherche qui répond u prolème qu on s étit posé, comme le montre l figure 3.2. Supprimons mtennt de ce nouvel rre l élément 5. On remplce donc son père pr son frère guche, et on otient le nouvel rre de l figure Fig. 3.3: Arre otenu pr suppression du 7 puis du 5 L rre otenu est ien un rre de recherche, et l suppression ien été effectuée. En revnche on s perçoit que l propriété cosmétique qui étit jusqu à présent conservée n est plus vérifiée : les vleurs des nœuds ne sont plus nécessirement égles à l feuille mximle du sous-rre guche. Asi, l rce de notre rre vut-elle toujours 5, qui ne figure pourtnt plus dns l rre. Mis on l déjà dit, ce n est ps un prolème. On progrmme isément cette suppression en Cml : c est le progrmme 3.5 pge suivnte. Ce progrmme tourne là encore en O(k), où k est l profondeur de l rre Appliction u tri Il suffit de comer les progrmmes précédents pour otenir un tri. On construit pour commencer un rre constitué d une seule feuille contennt le premier élément de l liste à trier, uquel on joute successivement les utres éléments. Il suffit de lire les feuilles pr un prcours récursif de l rre pour otenir l liste triée. Le coût de cet lgorithme de tri s otient en sommnt les coûts des jouts successifs. Si on peut s ssurer que l rre reste équiliré tout u long de l lgorithme, on ur un coût de l ordre de lg1+lg2+ +lgn=o(nlg n);

35 3.4. EXERCICES POUR LE CHAPITRE 3 35 Progrmme 3.5 Suppression d un élément dns un rre ire de recherche let rec suppression phi rre x = mtch rre with Feuille(y) -> if x = y then filwith "Arre vide" else Feuille(y) Nœud(n,g,d) -> if phi x > n then if d = Feuille(x) then g else Nœud(n,g,suppression phi d x) else if g = Feuille(x) then d else Nœud(n,suppression phi g x,d) ;; Progrmme 3.6 Tri à l ide d rres ires de recherche let tri_pr_rre_de_recherche liste = let rec liste_feuilles = function Feuille(f) -> [ f ] Nœud(n,g,d) -> (liste_feuilles (liste_feuilles d) let rec joute_feuilles rre l = mtch l with [] -> rre t :: q -> joute_feuilles (jout (function x -> x) rre t) q mtch liste with [] -> [] t :: q -> liste_feuilles (joute_feuilles (Feuille t) q) ;; son, il se pourrit que chque jout se fsse pour un coût léire, et on retomerit lors sur un coût glol qudrtique, c est-à-dire en O(n 2 ) Le prolème de l équilirge Tout le prolème est donc ien d ssurer que l rre reste équiliré, ce qui n est ps grnti pr nos lgorithmes trop rudimentires. Il suffit pour s en convcre de considérer l rre otenu pr jout successif des éléments 1, 2,..., 8, qui est tout suf équiliré! 3.4 Exercices pour le chpitre 3 Exercice 3.1 Une utre structure d rre de recherche Une utre solution pour les rres de recherche consiste à plcer l formtion à chercher ux nœuds. On écrit donc le type type rre_de_recherche = Vide Nœud of * rre_de_recherche * rre_de_recherche ;; Ce ne sont plus les vleurs des feuilles du sous-rre guche qui seront plus petites que l rce, mis celles de ses nœuds. Écrire pour cette nouvelle structure les fonctions de recherche, d jout et de suppression d un élément. Exercice 3.2 Blnce et équilirge On reprend l représenttion des rres ires de recherche défie dns l exercice précédent. Écrire l fonction mesure équilirge qui prend un rre de type rre_de_recherche et qui renvoie en résultt un rre de type ( * t) rre_de_recherche otenu en joutnt à chque nœud l entier k g k d où k g est l profondeur de son fils guche et k d l profondeur de son fils droit. On utiliser pr convention 1 comme profondeur de Vide. Un rre ser dit AVL si on toujours k g k d { 1,0,+1}.

36 36 CHAPITRE 3. ARBRES DE RECHERCHE Exercice 3.3 Tille d un rre AVL Écrire et démontrer les églités qui constituent l encdrement de l profondeur k d un rre AVL en fonction de s tille n. On montre qu on peut utiliser ces rres comme rres de recherches, ce qui ssure des opértions élémentires (jout et suppression d un élément) toutes de coût logrithmique, même dns le pire des cs. Il fut pour cel défir des fonctions d jout et de suppression d un élément qui conserve l propriété des rres AVL. Exercice 3.4 Arres 2 3 Un rre de recherche 2 3 est un rre où l formtion recherchée est ux feuilles, dont tout nœud 2 ou 3 fils, et dont toutes les feuilles sont àlmême huteur. Proposer un type Cml pour ces rres de recherche, et écrire l fonction de recherche correspondnte. Montrer que l profondeur k des feuilles et le nomre n de ces feuilles vérifient un encdrement que l on préciser. Là encore, on peut construire des lgorithmes d jout et de suppression d un élément sur un rre 2 3, ce qui en fit une structure de recherche à coût toujours logrithmique.

37 Chpitre 4 Trietts 4.1 Générlités Files de priorité Une file de priorité est un rre ire dont les feuilles et les nœuds sont des entiers. C est pourquoi, dns l suite de ce chpitre, on ne prler plus de nœuds et de feuilles mis de nœuds ternes et de nœuds externes. On desser tous ces nœuds de l même fçon : vec un cercle. L tille de l file ser le nomre totl de ses nœuds, ternes ou externes. Mis une file de priorité doit églement vérifier l propriété suivnte : tout père est plus grnd que chcun de ses fils. Si l on préfère, on peut dire que le long de tout chem qui descend dns l rre de l rce à l un de ses nœuds, on lit une suite décroissnte d entiers. On noter qu en revnche il n y ps de condition imposée sur des frères. Évidemment l rce d une file de priorité est le plus grnd entier présent dns tout l rre. L figure 4.1 montre un exemple de file de priorité Fig. 4.1: Une file de priorité Ts Un ts est un cs prticulier de file de priorité, qui est équiliré, et dont les nœuds externes de profondeur mximle sont tous le plus à guche possile. On prle souvent dns cette sitution d rre prfit. On trouver dns l figure 4.2 pge suivnte un exemple de ts. En utilisnt les résultts générux étudiés dns les chpitres précédents, on peut démontrer le théorème 4.1 pge suivnte. 37

38 38 CHAPITRE 4. TRI ET TAS Fig. 4.2: Un ts Théorème 4.1 (Propriétés des ts) Soit T un ts de tille n. S profondeur k vérifie l églité k = lg n. Prmi ses nœuds externes, il y exctement n +1 2 k nœuds à profondeur égle à k, les utres sont de profondeur k 1. L profondeur d un rre équiliré est connue depuis le théorème 1.6 pge 22. Comme l rre otenu à prtir de notre ts en supprimnt les nœuds externes de profondeur k est complet et de profondeur k 1, ilpossède 2 k 1 nœuds, qui sont les nœuds ternes du ts et ses nœuds externes de profondeur k 1. C est dire qu il y ien n (2 k 1) nœuds externes de profondeur k Implémenttion des ts à l ide de tleux On pourrit ien entendu utiliser une structure d rre pour représenter les ts, en défissnt un type Cml de l fçon suivnte : type ts = Vide Nœud of t * ts * ts ;; Il se trouve qu il existe une implémenttion eucoup plus simple et efficce, à l ide d un ête tleu. Si en effet on veut décrire un ts, le plus simple est ssurément de donner s description dns un prcours militire. Il n y ps d migüité dns l mesure où seule l dernière ligne du ts peut être complète. Précisons ceci, en défissnt une numérottion des nœuds d un ts de fçon récursive : l rce est numérotée 0. Si i est le numéro d un nœud terne, ses nœuds fils guche et droit sont numérotés respectivement 2i + 1 et 2i +2. On trouver dns l figure 4.3 le ts de l exemple précédent vec les numéros de chcun des nœuds às guche Fig. 4.3: Un ts vec s numérottion des nœuds

39 4.2. PERCOLATION 39 Le théorème 4.2 montre que l numérottion que nous venons de défir correspond effectivement à un prcours militire du ts. Théorème 4.2 (Numérottion des nœuds d un ts) Pour l numérottion défie plus hut, on énumère les entiers de 0 à n 1 en numérotnt les nœuds dns l ordre du prcours militire d un ts de tille n. Nous procèdons pr récurrence sur l profondeur k du ts. Le résultt est clir pour un ts de profondeur nulle. Supposons le cquis pour les ts de profondeur u plus égle à k (k 0) et considérons un ts T de profondeur k +1. L défition d un ts montre qu en supprimnt dns T tous les nœuds (externes) de profondeur k +1, on otient un rre complet, de tille 2 k+1 1. On dit qu il possédit 2 k nœuds externes, et d près l hypothèse de récurrence, elles portent les numéros 2 k 1 à 2 k+1 2. Posons λ : i 2i +1et µ : i 2i +2. λet µ sont ien sûr jectives, et λ(n) et µ(n) sont clirement disjots pr rison de prité. Enf, pour tout entier i, λ(i), µ(i), λ(i +1)et µ(i +1)sont, dns cet ordre, des entiers consécutifs. Il suffit pour conclure d oserver que λ(2 k 1)=2 k+1 1. Lk+1-ième ligne du ts porte donc des numéros consécutifs qui déutent effectivement à l entier qui suit 2 k+1 2, dernier numéro porté prl ligne de profondeur k. On v donc implémenter un ts de tille n sous l forme d un vecteur v d entiers, et on user des nlogies suivntes : v 2i+1 est le fils guche de v i, v 2i+2 est son fils droit, v (i 1)/2 est son père. 4.2 Percoltion Description de l lgorithme On ppelle percoltion l opértion qui consiste àréorgniser un rre sous forme d un ts schnt que les deux sous-rres de l rce étient déjà des ts : il s git donc de mettre à s plce l rce. Pr exemple, on peut considérer l rre A de l figure 4.4, et, près percoltion, on otient le ts T de l figure 4.6 pge suivnte Fig. 4.4: Un rre à percoler L lgorithme de percoltion est simple : on descend l vleur x ppropriée de l rce (dns notre exemple x = 6) en cherchnt s nouvelle plce dns l rre. Si x est plus grnd que ses deux fils, c est qu il trouvé s plce, et on fi, son, on échnge x vec le plus grnd de ses deux fils. On trouver dns l figure 4.5 pge suivnte l étpe termédiire de l percoltion, où on entouré d un crré l position cournte de x. Évidemment l rre otenu n est un ts que dns l mesure où les deux fils guche et droit de l rce de l rre itil étient eux-mêmes des ts : on n fit que replcer u on endroit l rce.