Problème de contrôle optimal pour une chaîne de Markov

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1 Problème de contrôle optimal pour une chaîne de Markov cours ENSTA MA206 Il s agit de résoudre un problème d arrêt optimal pour une chaîne de Markov à temps discret. Soit X n une chaîne de Markov à valeurs réelles et φ une fonction réelle. On cherche à calculer sup E(φ(X τ )) (1) où T N est l ensemble des temps d arrêts à valeurs dans 0,...,N}. Nous allons dans un premier temps présenter un résultat théorique permettant de calculer numériquement (1). Nous appliquerons ensuite ce résultat au calcul du prix des options américaines dans 2 modèles discrets. 1 Un peu de théorie 1.1 Quelques rappels de probabilités On considère une chaîne de Markov à valeurs réelles X = X n ;n 0} avec X 0 = x, x R. On introduit la filtration naturelle de la chaîne X notée F, définie par F n = σ(x i ;i n). Une variable aléatoire τ à valeurs dans 0,...,N} est un F temps d arrêt si pour tout n 0,...,N}, τ = n} F n ou de manière équivalente τ n} F n. On sera particulièrement attentif à la notation X τ : 1.2 Enveloppe de Snell X τ(ω) (ω) = X i (ω) sur ω Ω;τ(ω) = i}. Dans ce paragraphe on se place à horizon fini, c est-à-dire que l on considère la chaîne X n pour n N. Soit Z n = ψ(n,x n ) pour 0 n N où ψ est une fonction de N R dans R. On définit la suite (u(n,x n )) n 0 par les relations u(n,x N ) = Z N, u(n,x n ) = max(z n, E(u(n + 1,X n+1 ) X n )) n < N. On appelle temps d arrêt optimal pour la suite (Z n ) 0 n N tout F temps d arrêt ν tel que : E(Z ν ) = sup E(Z τ ). Théorème 1. Le temps d arrêt ν défini par ν = infn 0;u(n,X n ) = Z n } est optimal pour la suite (Z n ) 0 n N et u(0,x 0 ) = E(Z ν ). (2) 1

2 Remarque. L hypothèse que F est la filtration naturelle de la chaîne (X n ) et que X 0 est déterministe permet d affirmer que F 0 = Ω, }. Ainsi les espérances conditionnelles sachant F 0 se réduisent à de simples espérances. Ceci devrait éclairer les esprits curieux qui auront cherché des précisions sur l enveloppe de Snell et auront trouvé que u(0,x 0 ) = E(Z ν F 0 ). En vue du Théorème 1, l algorithme (2) permet de résoudre le Problème (1). Nous allons maintenant vois comment utiliser cet algorithme pour calculer le prix d une option américaine. 2 Applications aux options américaines 2.1 Définition Une option américaine de maturité N donne le droit à son détenteur d acheter ou de vendre (selon les termes du contrat) une action pour une somme fixée à l avance (appelée strike K) à tout instant entre 0 et N. La valeur V 0 d une option américaine à l instant 0 sur un sous-jacent dont la dynamique est modélisée par le processus (X n ) n peut être décrite par sup E ( φ(x τ )(1 + r) τ). (3) où r est le taux d intérêt discret du modèle et la fonction φ dépend des termes du contrat. Grâce aux résultats de la partie 1.2, V 0 = ũ(n,x n ), où la suite (ũ(n,x n )) n est définie par ũ(n,x N ) = φ(x N )(1 + r) N, ũ(n,x n ) = max(φ(x n )(1 + r) n (4), E(ũ(n + 1,X n+1 ) X n )) n < N. Si on définit u(n,x) = ũ(n,x)(1 + r) n, on vérifie facilement que (u(n,x n )) n satisfait u(n,x N ) = φ(x N ), u(n,x n ) = max ( φ(x n ),(1 + r) 1 E(u(n + 1,X n+1 ) X n ) ) n < N. (5) Par ailleurs puisque ũ(0,x 0 ) = u(0,x 0 ), nous disposons de 2 manières pour calculer (3). 2.2 Quelques modèles d arbres Dans cette partie, nous allons supposer une dynamique discrète pour la chaîne (X n ) n et résoudre le problème (3) par la méthode précédente Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein Ce modèle peut-être représenté par une arbre binaire comme dans la Figure 1. Soit a et b deux réels tels que 1 < a < b. Pour des raisons intrinsèques à la théorie probabiliste des marchés financiers, on suppose que a < r < b. Pour X 0 fixé dans R, la dynamique de la chaîne (X n ) n est donnée par X n (1 + b) avec probabilité p X n+1 = (6) X n (1 + a) avec probabilité 1 p 2

3 x(1 + b) N x(1 + b) N 1 x instant N x(1 + a) N Fig. 1 Modèle d arbre binaire où p est défini par On choisira les paramètres de la manière suivante p = r a b a. (7) r = e ρh ; 1 + b = e σ h ; 1 + a = e σ h ; avec h = 1/N et pour σ de l ordre de 0.2 et ρ de l ordre de On s intéressera en particulier au comportement lorsque N tend vers l infini. Remarque. On rappelle que dans un modèle d arbre binomial, la quantité E(u(n+1,X n+1 ) X n ) vaut E(u(n + 1,X n+1 ) X n ) = E(u(n + 1,X n (1 + a)))(1 p) + E(u(n + 1,X n (1 + b)))p. L algorithme parcourant l arbre de manière rétrograde, à l étape n, on dispose précisément des quantités u(n + 1,X n (1 + a))) et E(u(n + 1,X n (1 + b)) Le modèle de Kamrad Ritchken On considère de nouveau deux réels a et b avec 1 < a < r < b. Pour X 0 fixé dans R, la dynamique de la chaîne (X n ) n est donnée par X n (1 + b) avec probabilité p 1 X n+1 = X n avec probabilité p 2 (8) X n (1 + a) avec probabilité p 3 avec la condition p 1 + p 2 + p 3 = 1. De nouveau on considèrera les paramètres suivants r = e ρh ; 1 + b = e λσ h ; 1 + a = e λσ h ; 3

4 x(1 + b) N x instant N x(1 + a) N Fig. 2 Modèle d arbre trinomial recombinant avec h = 1/N et pour σ de l ordre de 0.2 et ρ de l ordre de On prendra p 1 = 1 2λ + (ρ σ2 /2) h 2 2λσ, p 2 = 1 1, λ 2 p 3 = 1 h (ρ σ2 /2) 2λ 2 2λσ. Ce choix pour les paramètres a et b assure que l arbre est bien recombinant (voir Figure 2) ce qui reduit considérablement sa taille. Le paramètre λ est un paramètre libre du modèle qui doit satisfaire les conditions 1 λ σ h ρ σ 2 /2. On s intéressera en particulier au comportement lorsque N tend vers l infini. 3 Travail demandé Implémenter la résolution du problème pour le modèle Cox-Ross-Rubinstein (arbre binomial). On codera une classe d arbre binomial qui devra entre autre contenir les champs suivants la valeur initiale x le tableau des probabilités de transition les valeurs a et b une structure permettant de stocker l arbre. Dans un souci d efficacité, on stockera l arbre dans la partie supérieure d une matrice. La partie inférieure pouvant être utilisée pour stocker le calcul de u(n,x n ) n 4

5 une fonction renvoyant le vecteur E(u(n + 1,X n+1 ) X n = y) pour toutes les valeurs possibles de y. une fonction de parcours de l arbre Implémenter la résolution du problème pour le modèle de Kamrad Ritchken (arbre trinomial). On codera une classe d arbre de degré d quelconque. Cette classe devra contenir la valeur initiale x le degré de l arbre le tableau des probabilités de transition les valeurs possibles pour X n+1 /X n une structure permettant de stocker l arbre. une fonction renvoyant le vecteur E(u(n + 1,X n+1 ) X n = y) pour toutes les valeurs possibles de y. une fonction de parcours de l arbre struct tree double val ; tree next ; / tableau de descendants, chaque descendant est un arbre / tree prev ; / pour le parcours backward / }; On cherchera à faire hériter les 2 classes précédentes d une classe mère pour laquelle on implémentera l algorithme de résolution du problème optimal pour la fonction φ(x) = (K x) +. On veillera à pouvoir facilement changer la fonction φ sans avoir avoir à modifier de manière significative le code source. 5

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