CHAPITRE 1 : Utilisation des systèmes de numération

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Alizée Lucille Petit
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1 CHAPITRE 1 : Utilisation des systèmes de numération Introduction : La numération désigne les techniques de représentation des nombres, les signes ou les symboles. Compter consiste à ajouter successivement des unités, et à les grouper par paquets chaque fois qu on atteint une certaine valeur. Le nombre d unités que contient un paquet constitue la base de numération. De même au bout d un certain nombre de paquets, on groupe ces paquets plus grands et ainsi de suite. En arithmétique, une base désigne la valeur dont les puissances successives interviennent dans l écriture des nombres, ces puissances définissent l ordre de grandeur de chacune des positions occupées par les chiffres composant tout nombre. Ainsi on distingue les bases 2, 8, 10, 16 On les note comme suit :(nombre) base. I- Conversion d un nombre d une base à l autre D une manière générale, le nombre a n a n-1 a 2 a 1 a 0 si il est exprimé en base B ne pourra comporter que des chiffres a 1 compris entre 0 et B-1 sa valeur sera : a n * B n + a n-1 * B n a 2 * B 2 + a 1 * B 1 + a 0 calculée en base 10. o Cette forme est appelée forme polynomiale ; o L élément a i est le symbole de rang i et son poids est B o a n est le symbole le plus significatif (de poids le plus fort) o a 0 est le symbole le moins significatif (de poids le plus faible) Conversion en base 10. Pour convertir une base quelconque en base 10, on utilise sa forme polynomiale pour avoir son équivalence en base 10. Exemple : a. Conversion binaire en décimal. Convertissons à l aide du tableau cidessous ² Le nombre en base 10 est : = = 77. b. Conversion Octal en décimal. Convertissons 7601 à l aide du tableau cidessous ²

2 Le nombre en base 10 est : ² = 7* *64 + 0*81 + 1*80 = 3969 Remarque : Pour passer d une base B1 à B2 avec B1 et B2 différents de la base 10, on passe B1 d abord en base 10 puis en base B2. B 1 B 2 10 Conversion de la base 10 à une base quelconque. On procède généralement par division successive du nombre écrit en base 10 par la nouvelle base, puis lorsque le quotient est égal à 0, on regroupe les quotients successifs du poids le plus faible vers le poids le plus fort. Exemple : L inverse de l exemple sur le décimal. Il s agit de faire une suite de divisions euclidiennes par 2. Pour lire le résultat, on part du quotient et on lit les restes dans le sens de la flèche. L schéma suivant explique la méthode s écrit donc en base 2 : ou (77)10 = ( )2. Exercices : Faire les conversions des nombres suivants en décimal et vis vers ça (A1C)16 ; (123)8 Conversion d un nombre fractionnaire en binaire. On procède de la même façon que pour les nombres entiers. Cependant, au lieu de diviser le nombre par 2, on le multiplie par 2 en ne conservant que la partie fractionnaire. Le nombre est constitué de reports successifs.

3 Exemple : Soit à convertir 0,62 décimal en binaire. 0,62 * 2 = 1, ,24 * 2 = 0, ,48 * 2 = 0, ,96 * 2 = 1, ,92 * 2 = 1, Donc (0,62)10 = (0,10011)2 Conversion d un nombre entier, plus partie fractionnaire. On procède en deux étapes : Convertir la partie entière en binaire ; Convertir la partie fractionnaire en binaire. Exemple : convertir 37,48 en binaire Convertir 37, partie entière en binaire (37) 10 = (100101) 2 a) Convertir 0,48 la partie fractionnaire en binaire. 0,48 * 2 = 0, ,96 * 2 = 1, ,92 * 2 = 1, ,84 * 2 = 1, ,68 * 2 = 1, (0,48) 10 = (0,01111) 2 Donc enfin (37,48) 10 = (100101,01111) 2 NB : le résultat en binaire de la partie fractionnaire doit se faire avec au moins 5 caractères.

4 Conversion de la base quelconque à la base 2. Il suffit de chercher si cette base représente une puissance de deux 2 k. Ensuite regarder dans le tableau pour trouver la correspondance de chaque chiffre dans cette base et les laisser en groupe. Exemple : 1 Passage la base 8 à la base 2 : 8 = 2 3. N = ( , 3 2 ) 8 N= ( , ) 2 (2765,32) 8 = ( ,01101) 2 2 Passage de la base 16 à la base 2 : 16 = N = ( 5 F 3, 8 2 ) 16 N = ( , ) 2 (5F3,82) 16 = ( , ) 2 Conversion de la base 2 à une base quelconque. L opération dans le sens inverse se fait facilement en regroupant les bits par groupe de chiffres en tenant compte de la puissance de 2 correspondante ceci en partant de la virgule. Exemple : 1 Passage la base 8 à la base 2 : 8 = 2 3. N= ( , ) 2 N = ( , 3 2 ) 8 ( ,01101) 2 = (2765,32) 8 2 Passage de la base 16 à la base 2 : 16 = 2 4. N = ( , ) 2 N = ( 5 F 3, 8 2 ) 16 ( , ) 2 = (5F3, 82) 16 II- Les opérations dans les différentes bases a. Base 2 Ces chiffres ne peuvent prendre que deux valeurs, notées par convention 0 et 1. Ici, un nombre s obtient en ajoutant une unité au précédant avec la convention que 2 unités d un ordre donné forment l unité de l ordre supérieur. (cf. tableau d équivalence)

5 L unité d un ordre donné est une puissance de 2. Exemple : 10 = 2 1 ; 100 = 2 2 ; 1000 = 2 3 Arithmétique binaire * Exemple : * = b. Base 8 c. Base 10 d. Base 16 Tableau récapitulatif Base décimale Base hexadécimale A B C D E F Base binaire Conclusion

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