Travaux dirigés - L3 DIM Traitement Numérique du Signal

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1 Faculé des sciences e d ingénierie. Universié Paul Sabaier Travaux dirigés - L3 DIM Traiemen Numérique du Signal Exercice n o : Soi le signal x)=3 cos00 Π ). Calculez la valeur des échanillons de x) si la fréquence d échanillonnage choisie es Fe = 75Hz. Dessinez un graphe présenan les échanillons en foncion du emps.. Même quesion pour Fe = 00Hz. 3. Déerminez la fréquence minimale d échanillonnage permean d évier le repliemen de specre. Expliquez pourquoi la suie obenue à la première quesion peu correspondre à une sinusoide de fréquence f< F e. Quelle es cee fréquence? Exercice n o : L échanillonnage a éé présené en cours comme la muliplicaion du signal à échanillonner par un peigne de Dirac. Cee approche perme d éablir les résulas héorique. Il exise plusieurs varianes en praique : I) échanillonneur naurel L échanillonnage naurel consise à muliplier le signal x) à specre borné sur [ F M,+ F M ] par un rain d impulsions r) recangulaires de haueur τ, de largeurτ e de période T e = F M : x e )=x) τ + n= Π τ n Te ) ) En considéran que ce rain d impulsions r) es issu du produi de convoluion par une peigne de Dirac, calculez sa ransformée de Fourier R f ). ) En déduire l expression de la ransformée de Fourier du signal x e ) correspondan à l échanillonnage naurel de x). 3) Illusrez sur un schéma la représenaion fréquenielle du signal échanillonné. 4) Es-il alors possible de reconsruire le signal x) sans déformaions? 5) Commen es affecé le specre de x e ) si l on uilise un rain d impulsions riangulaires pluô que recangulaires. II) échanillonneur-bloqueur Avec la echnique précédene, le somme des impulsions du signal échanillonné n es pas consan. L échanillonnage-bloquage pallie à ce problème. x b )= + n= xn T e )Π Te n Te ) ) Exprimez le signal x eb ) échanillonné-bloqué en foncion de x),π τ ) e de T e. ) Comparez X eb f ) e X e f ). Expliquez les différences en erme de disorsion du specre. 3) Sur quel paramère peu-on agir pour limier les disorsions basse fréquence du specre de x eb ) e espérer une reconsrucion parfaie?

2 Exercice n o 3 : L exercice pore sur l observaion d un signal sinusoïdal observé pendan une durée finie.. Dessinez le specre du signal : x R )=cosπ f o )Π T ). Dessinez le specre de la fenêre de pondéraion de Hanning définie par : w H )= 0,5+0,5 cos π T )) Π T ) 3. Pour les fenêres de pondéraion, Recangulaire e Hanning, déerminez : La fréquence correspondan au premier passage à zéro. La valeur du rappor enre l ampliude du premier lobe secondaire e l ampliude du lobe principal. Concluez sur l influence de ces deux paramères. Exercice n o 4 : Synhèse de filre RII : Filre de Tchebycheff. On désire réaliser un filre passe bas à réponse impulsionnelle infinie RII) passan dans le gabari ci-dessous. Pour cela, on uilisera un filre de Tchébycheff de première espèce avec F e = 0kHz. Hf) 0 0.dB 4dB 3 f khz) Hω) = +ǫ T nω) Calculez les valeurs de n e deǫpermean de saisafire le gabari. Si on choisi : n= eǫ=0.7 Calculez l expression de la foncion de ransfer du filre analogique Hp). 3 Calculez les coefficiens du filre numérique en uilisan la ransformaion bilinéaire. 4 Tracez le lieu des pôles dans le plan complexe. Exercice n o 5 : Synhèse de filre RII : Filre de Buerworh. On désire réaliser un filre passe bas à réponse impulsionnelle infinie RII). Pour cela, on uilisera un filre de Buerworh d ordre n= avecω c = 00π rd/s e la ransformaion Bilinéaire. A parir de : Hω) = + ω ω c ) n ) Calculez l expression de la foncion de ransfer du filre : Hp) ) Calculez la fréquence de coupure du filre analogique. 3) Calculez l expression de la foncion de ransfer échanillonnée : Hz) 4) Calculez la valeur numérique des coefficiens de Hz) pour F e = 00 Hz 5) Donnez l équaion de récurrence permean de calculer la sorie du filre y[n].

3 6) Calculez les pôles de la foncion de ransfer, conclure sur la sabilié du filre. Exercice n o 6 : Synhèse de filre RIF : Méhode des fenêres de pondéraion. Lors d une manipulaion, nous disposons d un signal acousique, occupan la bande de fréquence 0Hz-4kHz, mélangé à une sinusoide de fréquence khz. Afin d améliorer les condiions d écoue, on désire aénuer la sinusoide au maximum. Pour cela, on désire synhéiser le filre à réponse impulsionnelle finie RIF) suivan en uilisan la méhode des fenêres de pondéraion. La fréquence d échanillonnage choisie es F e = 6kHz. Hf) f f = 00Hz f o= 000Hz f o f. Tracez la réponse impulsionnelle idéale.. Donnez l expression générale de Hz) pour une pondéraion par une fenêre recangulaire dans le cas d un filre d ordre pair Nombre de coefficiens impair). Proposez une soluion pour rendre le filre causal. 3. Donnez l expression générale des coefficiens pour une podéraion par une fenêre de Hamming. w[n]= cos π n N N ) avec n + N

4 Différenes formes de la ransformée de Fourier I) Foncion coninue Transformée de Fourier) Temps : Foncion apériodique e coninue. Fréquence : Foncion apériodique e coninue. x) X f )= x)= x) e j π f d X f ) e +j π f d f Xf) f II) Foncion coninue périodique Série de Fourier) Temps : Foncion périodique e coninue. Fréquence : Foncion apériodique e discrèe. x) X[k]=Xk f )= T x)= + k= T T x) e j πk f d Xk f ) e +j π k f f= T -T T X k. f) k III) Foncion échanillonnée Temps : Foncion apériodique e discrèe. Fréquence : Foncion périodique e coninue. T e = Fe x n.te) X f )= + n= xn T e ) e j π f n T e Xf) n x[n]=xn T e )= + Fe F e Fe X f ) e +j π f n T e d f -F e Fe f IV) Foncion échanillonnée périodique Transformée de Fourier discrèe) Temps : Foncion périodique e discrèe. Fréquence : Foncion périodique e discrèe. N πnk j X[k]=Xk f )= xn T e ) e N x[n]=xn T e )= N n=0 N πnk +j Xk f ) e N k=0 xn.t ) e 0 T=N.T e 0 Xk. f) Fe n k

5 Table des ransformées de Laplace pour des signaux causaux h) Hp) Région de convergence δ) p C δ τ) e τ p p C U) p U) p! U) p 3 e α U) p+α e α U) p+α) n n! e α U) p+α) n+ e α ) U) α p p+α) Rep) > α Rep)> α Rep)> α sin ω o ) U) cos ω o ) U) e α sin ω o ) U) e α cos ω o ) U) ω o p +ω o p p +ω o ω o p+α) +ω o p+α p+α) +ω o Rep)>α Rep)>α

6 Table des ransformées de Fourier Foncions L Table des ransformées a s)+bg) a S f )+b G f ) de Fourier usuelles sa +b) s ) S f ) s ) S f ) a S f a ) ej π b a f Foncions L s) g ) d= S f ) G f ) d f s τ) S f ) e j π fτ s) d= s) e j π f o S f f o ) S f ) d f Si o) e e) son respecivemen une foncion impaire e une foncion paire, alors x) : x) = o) + e) = Re{o)} +jim{o)} + Re{e)} +jim{e)} տ ր TF ւ ց X f ) = O f ) + E f ) = Re{O f )} +jim{o f )} + Re{E f )} +jim{e f )}

7 Transformée de Fourier de foncions pariculières e π e π f e a e ±j π f o a a +4π f δ f f o ) A cosω o +ϕ o ) A sinω o +ϕ o ) A [ejϕ o δ f f o )+e jϕ o δ f+f o )] A j [ejϕ o δ f f o ) e jϕ o δ f+f o )] Γ)= [+sign)] j π f )+ δ f ) j π) m δ m) f ) δ f ) δ) jπsign f ) π f δ± T) ±j π T f e + n= δ n T) T + n= δ f n T ) Π T )=Γ+ T sinπ T f ) ) Γ T ) T F sinπ F ) π F { Λ T )= Π T) Π T ) T pour T T = 0 pour > T F sinπ F ) π F ) Λ F f )= π T f Π F f )=Γ f+ F ) Γ f F ) T ) sinπ T f ) π T f { f F pour f F 0 pour f > F

8 Table des ransformées en Z Signal coninu Signal échanillonné Transformée en Z Région x) xn T e )=x[n] Xz) de convergence δ) δ[n] z C δ k T e ) δ[n k] z k z 0 U) U[n] z z T e U) n U[n] z ) a Te U) a n U[n] a z T e a Te U) n a n a z U[n] a z ) z > z > z > a z > a cosω o ) U) cosω o n T e ) U[n] z cosω o T e ) z cosω o T e )+z z > sinω o ) U) sinω o n T e ) U[n] z sinω o T e ) z cosω o T e )+z z > a Te cosω o ) U) a n cosω o n T e ) U[n] a Te sinω o ) U) a n sinω o n T e ) U[n] a z cosω o T e ) a z cosω o T e )+a z a z sinω o T e ) a z cosω o T e )+a z z > a z > a U T e ) U[ n ] z T e U T e ) n U[ n ] z z ) a Te U T e ) a n U[ n ] a z T e a Te U T e ) n a n U[ n ] a z a z ) z < z < z < a z < a Remarque : ) Il suffi de remplacer a par e α T e pour rerouver les expressions couranes de la ransformée de Laplace. Par exemple : a Te U) devien e α U) Foncions qui on, respecivemen, pour ransformées de Laplace : p T e lna) e p+α ) La première colonne Signal coninu ne présene aucun inérê dans le cadre du calcul de la ransformée en Z. Elle es présene ici pour le cas où nous aurions à calculer la ransformée en Z de la réponse impulsionnelle échanillonnée) d un filre connu au ravers de sa foncion de ransfer.

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