Equations à coefficients Complexes. Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct,,.
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- Sévérine Ringuette
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1 Equations à coefficients Complexes 4 ème Mathématiques Dans tous les exercices le plan P complexe est rapporté à un repère orthonormé direct,,. Exercice 1 1) Résoudre dans C l équation : = 0 2) Soient les points et d affixes respectives : 2 et 3 a) Ecrire sous forme trigonométrique les complexes 2 et 3 b) Placer dans le plan les points et 3) a) Déterminer l affixe du point tel que =. b) Montrer que le point appartient au cercle de centre et passant par c) Montrer que le quadrilatère est un losange Exercice 2 Soit dans C l équation = 0 où est un paramètre complexe. 1) a) Résoudre dans C l équation, on notera par et ses solutions. b) Montrer que = R. 2) Soient les points,, $, % et & d affixes respectives 1 ; ; + ; et. a) Montrer que $ et % sont symétriques par rapport au point &. b) Montrer que lorsque $ AMBN est un parallélogramme. 3) On suppose que = ( )* + 1 ; où +,0, 2-. a) Montrer que lorsque + varie ; le point M varie sur le cercle C de centre et de rayon 1. Exercice 3 1) Résoudre dans C l équation : 2( )/ + 2( )/ = 0 où 0 est un réel tel que 0,0, -.. 2) Ecrire les solutions trouvées sous forme exponentielle. 3) On désigne par et les points d affixes respectives : = 1 ( )/ et = 1 + ( )/ a) Calculer : b) En déduire que le triangle est rectangle et isocèle en. 4) Montrer que : , 7 0 +,2-.. 5) Déterminer la valeur de 0 pour que la droite soit parallèle à la droite d équation : : = ;. Exercice 4 1) a) Déterminer le module et un argument du complexe : b) Résoudre dans C l équation : = on donnera les solutions sous la forme exponentielle 2) Soit 5 = <2 3 <2 + 3 a) Calculer 5 b) En déduire le module et un argument de 5. Exercice 5 1) a) Résoudre dans C, l équation : + 1 = 0 Kooli Mohamed Hechmi
2 b) Mettre les solutions de sous forme exponentielles. c) En déduire les solutions de l équation :? + 1 = 0 2) Mettre le =? + 1 sous la forme d un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels. 3) On désigne par,, et A les images des solutions de l équation telles que : B( C > 0 ; &E C > 0 ; B( F > 0 et &E G > 0. a) Placer les points,, et A. b) Déterminer la nature du quadrilatère A. Exercice 6 1) Soit dans C l équation = 0 a) Vérifier que : 1 est une solution de. b) Déterminer alors l autre solution de. 2) Soit dans C l équation I = 0 a) Montrer que l équation admet une solution imaginaire pure que l on déterminera. b) Résoudre dans C l équation. 3) on considère les points et d affixes respectives = 2 ; K = 1 et L = 2 2 a) Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe : MNO b) En déduire que le triangle est rectangle, isocèle en et direct.. Exercice 7 MNP 1) Résoudre dans C l équation = 0. On désigne par,, et les points d affixes respectifs : 3 ; 5 ; 3 et ) a) Placer les points,, et b) Montrer que et sont des triangles rectangles et isocèles. 3) Soit $ un point de la droite d affixe R. a) Montrer qu il existe un réel S tel que R = 5S + 2S 3. b) Montrer que les droites $ et sont perpendiculaires si et seulement si le point $ est le milieu du segment,.. Vérifier que dans ce cas on a : = 2$. Exercice 8 Soit le nombre complexe 5 = TU + TN 1) a) Ecrire 5 sous la forme exponentielle. b) En déduire l écriture exponentielle de 5. 2) Donner les valeurs exactes de cos 9 et sin 9 3) a) Construire les points et d affixes respectives 5 et 5. b) Déterminer l ensemble des points $ d affixes z tel que [\ 4 )1U]2 1N] 7 9,2-. c) Vérifier que appartient à puis tracer.
3 Exercice 9 1) Résoudre dans C l équation = 0 2) Soit + un réel de l intervalle ^0, 9 _ on considère l équation dans C ; * : 2( )* cos + + ( )* = 0 a) Vérifier que 1 est solution de l équation *. b) En déduire l autre solution de *. 3) On désigne par et les points d affixes respectives 1 et ( )*. a) Déterminer l ensemble des points quand + varie dans l intervalle ^0, 9 _. b) Déterminer l affixe du point tel que est un losange. c) Déterminer les réels + pour que la mesure de l aire du losange soit égale à Exercice 10 1) Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équation : = 0 2) Soit E un nombre complexe de module 2 et dont un argument est 0. Résoudre dans C l équation :E 2 + E = 0, où E est le nombre complexe conjugué de E. 3) a) Montrer que les racines et de l équation s écrivent sous la forme : ` = ( )4a b N/7 et `` = ( N)4a b U/7 b) On désigne par $ et $ les points d affixes respectives ` et ` et par $ le point d affixe ` + ` Montrer que 1c =. En déduire que les vecteurs $ et $ sont orthogonaux 1`` c) Montrer que le quadrilatère $ $$ est un carré. Exercice 11 1) Résoudre dans C l équation = 0 2) Soit + un réel. On considère l équation * : + 1 2( )* 2( )* = 0 Résoudre dans C l équation *. On désigne par la solution indépendante de + et par l autre solution. 3) On considère les points et $ d affixes respectives et. Soit d le milieu de,$.. On désigne par e l affixe de d. a) Vérifier que pour tout réel + on a : + = ()*. b) Déterminer l ensemble des points d lorsque + varie dans l intervalle,0, 2-,. c) Déterminer les valeurs de + dans l intervalle,0, 2-, pour lesquels les points et d sont alignés. Exercice 12 Pour tout nombre complexe non nul on pose f = +? 1 1) Soit + un réel donné. a) Résoudre dans C l équation : +? = 4 cos +. 1 b) Ecrire les solutions trouvées sous forme exponentielle. 2) A tout nombre complexe on associe le point $ d affixe. Kooli Mohamed Hechmi
4 Déterminer et construire l ensemble des points $ tel que le nombre complexe f soit un réel. 3) Soient ; et les points d affixes respectives : 2( )* ; 4 cos + et 2( N)* avec + ^0, 9 _ a) Placer pour + = 9 les points ; et. T b) Vérifier que pour toute valeur de + ^0, 9 _ les points ; et appartiennent à l ensemble. c) Montrer que pour toute valeur de + ^0, 9 _ le quadrilatère est un losange. d) Pour qu elle valeur de + ce quadrilatère est-il un carré? Exercice 13 1) a) Donner la forme exponentielle du complexe b) Résoudre alors dans C l équation I = soit + ^0, _. Montrer que = 2( )* = Lnop q+ 2 r 3) Résoudre dans C l équation 2 1 I = I Exercice 14 1) Résoudre dans C l équation : : = 0. 2) Pour tout C on pose : s = I a) Montrer que l équation s = 0 admet une unique solution imaginaire pure que l on déterminera. b) Déterminer les nombres complexes, K et L tels que : C ; s = + K + L c) Résoudre dans C l équation s = 0. 3) a) Ecrire sous forme exponentielle le nombre complexe : b) En déduire la forme exponentielle de chacun des complexes suivants : et Exercice 15 1) Résoudre dans C l équation : = 0. 2) Soit +. -, -, et soit dans C l équation : 21 + cos cos + = 0 a) Résoudre dans C, l équation. b) Ecrire ses solutions et sous forme trigonométrique. 3) On désigne par $ et $ les points d affixes respectives et En déduire que lorsque + varie dans. -, -, les deux points $ et $ appartiennent à un même cercle que l on précisera 4) Dans cette question on suppose que + = 9 a) Calculer et (On désigne par la solution dont la partie imaginaire est positive) b) Déterminer et construire les ensembles suivants : = u$ / ` = w et x = u$ / ` = 2 w Exercice 16 1) Résoudre dans C l équation = 0 2) Soit dans C l équation : I = 0 a) Montrer que l équation admet une solution réelle.
5 b) Trouver les nombres complexes, K et L tel que : I = K + L c) Résoudre alors dans C l équation. 3) Soient les points, et d affixes respectives : 1 ; 1 et 2 + a) Placer les points, et b) Montrer que le triangle est rectangle et isocèle. c) Déterminer l affixe du point A pour que A soit un carré. Exercice 17 1) a) Résoudre dans C l équation : = 0 b) Ecrire les solutions trouvées sous la forme exponentielle c) En déduire les solutions de l équation :? = 0 2) Soit l équation : I = 0 a) Vérifier 2 est une solution de b) On pose y = I Déterminer les complexes, K et L tel que C ; y = K + L. c) Résoudre alors l équation. 3) Dans le plan complexe, on considère les points, et d affixes respectives : z = 2 ; = 3 + et = 3 a) Placer les points, et b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange. Exercice 18 1) a) Déterminer les racines sixièmes de l unité. b) Calculer 1 + T puis montrer que : T = 8 si et seulement si 4 1 U) 7T = 1 c) En déduire les racines sixièmes de 8 2) On pose pour tout C ; s = { + 1 +? + 2 I a) Vérifier que pour tout C, on a : s 1 = T + 8 b) Résoudre alors dans C l équation s = 0. Exercice 19 Soit + un réel de l intervalle.0, -, et soit * : ( )* + + ( )* 1) Résoudre dans C l équation *. 2) Soient les points $ et $ d affixes respectives = cos sin + et = 1 sin + + cos + a) Ecrire sous la forme exponentielle. b) En déduire l écriture exponentielle de. c) Montrer que le triangle $ $ est isocèle rectangle en. d) Déterminer l affixe du point $ pour que le quadrilatère $ $$ soit un carré. 3) Soit le point d affixe 1 + Kooli Mohamed Hechmi
6 a) Montrer que : P CR 3 P CR = cot * 2 b) En déduire que les points, $ et $ sont alignés. 3) Déterminer et construire l ensemble des points $ d affixe lorsque + décrit.0, -,. Exercice 20 1) Soit l équation complexe : I = 0 a) Montrer que l équation admet une solution imaginaire que l on déterminera. b) Déterminer les nombres complexes, K et L tel que tel que C on a : I = + + K + L c) Résoudre dans C l équation. 2) Soit +.0, -,. a) Résoudre dans C l équation * ; 2( )* + 2 sin + ( )* = 0 b) Vérifier que les solutions de * s écrivent sous la forme : 42 cos * 7 ()~ 2 et 42 sin * 7 ()4~ 2 Ua 2 7 c) Déterminer alors les solutions de l équation * ;? 2( )* + 2 sin + ( )* = 0 Exercice 21 Soit E un réel non nul. 1) Résoudre dans C l équation : E = 0. 2) Pour tout complexe, on pose : s = I E E. a) Vérifier que s = 0 et en déduire une factorisation de s. b) Résoudre dans C l équation : s = 0. 3) On considère les points, $ et $ d affixes respectives :, + E et E. a) Vérifier que est le milieu du segment,$ $.. b) Montrer que le triangle $ $ est isocèle. c) Déterminer les valeurs de E pour que le triangle $ $ soit équilatéral. Kooli Mohamed Hechmi
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