5. REGIME TRANSITOIRE OU VARIABLE, CAS D UNE PLAQUE SEMI-INFINIE

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1 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 1 5. REGIME TRANSITOIRE OU VARIABLE, CAS D UNE PLAQUE SEMI-INFINIE Le régime trasitoire correspod à u brusque chagemet de l équilibre thermique. Ue telle perturbatio se propage das le milieu et fait subir ue évolutio à tous les élémets du système. Au bout d u certai temps, le phéomèe perturbateur disparaît ou bie se stabilise et tout le système évolue vers u ouvel état d équilibre. Das le cas du régime variable le système évolue costammet sas jamais atteidre u équilibre thermique. Ces évolutios sot gééralemet plus letes et le plus souvet périodiques. Das le domaie de la sciece et techologie des matériaux, les régimes trasitoires et variables sot très importats ; par exemple, pour tous les traitemets thermiques des matériaux et pour la solidificatio. Le problème das le domaie de trasfert de la chaleur est très souvet de trouver ue solutio de type T = T (x,y,z,t) de l équatio de Fourier (.1, chapitre ) : T ( k T)+q p = ρcp (5.1) t pour >t>τ (ou τ peu ); et pour (x,y,z) décrire ue régio R (ou R peut ). La coditio iitiale (C.I) est doée sous la forme T = Ti ( x, y, z) si t = (5.) O a seulemet besoi d ue seule coditio iitiale. Pour les cas statioaires (chapitre 3 et 4) aucue C.I. est écessaire. Pour les cas périodiques où soit q,soit les coditios aux limites (C.L.) chaget de maière périodique das le temps, o peut égliger le comportemet trasitoire du début. Il faut deux C.L pour chaque coordoée. Très souvet, les coordoées motret les formes suivates : a) premier type : T est spécifié pour les limites de R (exemples x = ; x = -L et x = L) pour t> b) deuxième type : La dérivée de T das la directio perpediculaire à la paroi pour ue limite de R est spécifiée pour t> c) troisième type : La dérivée de T e directio perpediculaire d ue paroi est proportioelle à la température de la paroi. L exemple typique est le trasfert de chaleur à la surface par covectio T q= k = h( T T ) paroi (5.3) x paroi Figure 5.1 motre la distributio de la température pour les trois cas différets de C.L Echauffemet ou refroidissemet de Newtoie Avat d expliquer les solutios géérales, o va discuter u cas importat : la plaque mice: das le cas où la desité du flux de chaleur à itérieur de la pièce (coductio) peut être plus grade que la desité du flux de chaleur par covectio sortat la pièce, o peut égliger le gradiet de température à l itérieur de la pièce. Das ce cas o parle d échauffemet ou de refroidissemet Newtoie.

2 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie hl Pour le cas Newtoie il faut que.1 (Nombre de Biot.1). k Figure 5.1 : La distributio de la température pour les trois cas différets de C.L.. (Heat trasfer textbook third editio, Joh H.Liehard et al. ) Pour le cas Newtoie, le bila de chaleur sera: P arrivat = P sortat dt VρCp = ha( T Tfluid ) dt surface, coté ˆ solid (5.4) avec V le volume de la pièce et A sa surface exposée à l air (ou à u autre fluide). A partir de l équatio (5.4) o trouve la température de la pièce e foctio du temps : doc dt A = h ( T T ) VρC T Tiitial fluid dt ha = dt ( T T ) ρc V ( f ) ( i f ) fluid t= t p dt T T h A = exp t T T ρcp V p (5.5)

3 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 3 5. Solutio géérale pour le cas simplifié Supposat que le problème de trasfert de chaleur permet de égliger le flux de chaleur das les directios y et z et de plus que k est costat, l équatio (5.1) deviet : T x 1 T = α t (5.6) Cherchos u produit solutio du type T(x,t) = X(x) G(t). L équatio (5.6) deviet d X X dx aisi 1 1 d X + λ X = dx et dg dt dg = = λ αg dt αλ G + = (5.7) avec λ comme costate de séparatio des variables. La solutio pour X est X = C1cos( λx) + Csi ( λx) (5.8) et pour G : G = exp( λ αt) (5.9) doc la solutio géérale est : T( x, t) = C1cos( λx) + Csi ( λx) exp( λ αt) (5.1) 5.3 Applicatio Pour l applicatio de l équatio (5.1) o va traiter le cas suivat : Ue plaque à ue température iitiale T i homogèe a subi u refroidissemet rapide par les deux côtés x = -L et x = L. Le milieu de la plaque est l origie des coordoées (x = )! La température à la surface (T f ) est costate : T(x,) = T i (La distributio de la température est homogèe) C.I. T (, t) x = (le problème est symétrique) C.L. 1 T( L, t) h + T ( L, t ) Tf = x k (les flux arrivat et sortat de la surface sot égaux) C.L. Comme déjà motré, il faut que la température à la surface soit à zéro, doc il faut remplacer T par T-T f = θ.

4 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 4 Doc les C.I et C.L devieet θ ( x,) = Ti Tf = θi (5.11) θ (, t) x = (5.1) θ ( Lt, ) dx h + θ ( Lt, ) = (5.13) k La C.L. 1 (équatio (5.1) demade que C de l équatio (5.1) soit égal à zéro (dsi x/dx= cos x) et o peut motrer que l équatio (5.13) exige 1 λl cot ( λl) = ( λl) = (5.14) hl Bi k avec hl/k = Bi, ombre de Biot L équatio (5.14)est aalogue à 4.9 et λ à u ombre ifii de valeurs propre. E teat compte du fait que C = et e admettat que tous les λ qui satisfot l équatio (5.14) sot possibles l équatio (5.1) deviet : Dû à l équatio (5.11) Acos( x) exp( t) (5.15) θ = λ λ α = 1 ( λ x) θ = A cos (5.16) i = 1 Esuite o trouve la solutio fiale e utilisat le même processus que l o a décrit au chapitre 4, mais avec ue multiplicatio par cos( λ x m ) dx et l itégratio doe : ( λ ) ( ) cos( ) i i f = 1 θ T T f si L = = cos( λx) exp( λα t) (5.17) θ T T λ L+ si λ L λ L Pour faciliter le calcul, les modificatios suivates serot itroduites : ξ = x / L positio relative Fo = αt/l ( f ) ( Ti Tf ) ombre de Fourier Θ= T-T / température relative Bi=hL/k ombre de Biot ˆ λ = λ L

5 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 5 et l équatio (5.17) deviet : θ T T f si( λl) L L = = cos λ x exp λ αt (5.18) θi Ti Tf = 1 λl+ si ( λl) cos( λl) L L et fialemet si ˆ λ Θ= cos( ˆ ) exp( ˆ λξ λfo ˆ ˆ ˆ ) (5.19) λ + si λ cos λ = 1 Les valeurs ˆ λ sot les solutios de l équatio (5.14) et dépedet de Biot. Les solutios pour = 1,, 3, 4 et différetes valeurs de Biot sot doées au tableau 5.1. Tableau 5.1 : Solutios de l équatio (5.14) Bi 1 ˆλ La covergece de l équatio (5.19) est souvet très boe, o peut trouver des résultats assez précis avec = ou 3. Pour trouver les valeurs pour différets Bi o peut faire ue iterpolatio graphique des valeurs doées au tableau 5.1. Attetio : ces valeurs sot e radia (das les cosius et sius) et cette équatio est valable que pour les plaques. Pour les cylidres et sphères qui se refroidisset (ou au cotraire se réchauffe) à la surface R, o peut calculer la température T(r,t) e utilisat l équatio suivate : T T f Θ= = exp( ˆ A λfo) f (5.) Ti Tf = 1 Les valeurs pour A, ˆ λ et f sot doées au tableau 5. Tableau 5. : Valeurs pour la solutio de l équatio (5.) (J et J 1 sot des foctios de Bessel, premier type) Forme A ˆ λ cylidre J1 ( A ) ˆ λ ˆ ˆ J1 λ = Bir J λ ˆ ˆ λ J λ + J ( ˆ λ ) ( ( ) ) 1 sphère si ˆ λ ˆ cos ˆ λ λ ˆ λ si ˆ λ cos ˆ λ ( ) ( ) r J ˆ λ r ˆ λ cot ˆ λ = 1 Bir r ˆ λr si ˆ λ r r Pour les applicatios pratiques, des solutios graphiques des équatios (5.19) et (5.) ot été développées (voir Figures 5., 5.3 et 5.4) avec L la demi-épaisseur de la plaque et l origie de x das le cetre de la plaque. Pour des cylidres et sphères : R = L ; r = x. f

6 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 6 Figure 5. : Variatio de la température relative d ue plaque ifiie iitialemet à ue température uiforme T i puis soumise à u eviroemet à température T f. (Trasport Pheomea i metallurgy,geiger etal., Addiso-WesleyPublishigCompay, Readig MA, USA 1973)

7 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 7 Figure 5.3 : Variatio de la température relative d u cylidre ifii iitialemet à ue température uiforme T i puis soumis à u eviroemet à température T f. (Trasport Pheomea i metallurgy,geiger etal., Addiso-WesleyPublishigCompay, Readig MA, USA 1973)

8 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 8 Figure 5.4 : Variatio de la température relative d ue sphère iitialemet à ue température uiforme T i puis soumise à u eviroemet à température T f. (Trasport Pheomea i metallurgy,geiger etal., Addiso-WesleyPublishigCompay, Readig MA, USA 1973). La vitesse d échauffemet et de refroidissemet est plus importate que la température ellemême. Si o préfère ue solutio aalytique, o doit développer l expressio dt/dt des équatios doées ci-dessus. Pour des solutios graphiques o peut utiliser les figures 5.5 et 5.6.

9 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 9 Figure 5.5: Taux de refroidissemet d ue plaque ifiie iitialemet à ue température uiforme T i puis soumise à u eviroemet à température T f. (Trasport Pheomea i metallurgy,geiger etal., Addiso-WesleyPublishigCompay, Readig MA, USA 1973).

10 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 1 Figure 5.5 (suite): Taux de refroidissemet d ue plaque ifiie iitialemet à ue température uiforme T i puis soumise à u eviroemet à température T f. (Trasport Pheomea i metallurgy,geiger etal., Addiso-WesleyPublishigCompay, Readig MA, USA 1973).

11 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 11 Figure 5.6 : Taux de refroidissemet d u cylidre ifii iitialemet à ue température uiforme T i puis soumis à u eviroemet à température T f. (Trasport Pheomea i metallurgy,geiger etal., Addiso-WesleyPublishigCompay, Readig MA, USA 1973).

12 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 1 Figure 5.7: Taux de refroidissemet d ue sphère iitialemet à ue température uiforme T i puis soumise à u eviroemet à température T f. (Trasport Pheomea i metallurgy,geiger etal., Addiso-WesleyPublishigCompay, Readig MA, USA 1973).

13 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie Plaque ifiie La figure 5.8 motre ue plaque ifiie dot ue trache très mice ( x ' ) à ue distace x du cetre de la plaque se trouve à la température T i au temps t =. Ce maximum de température disparaît au cours du temps. t = t > T T x t 1 t X = - 8 x X = X = + 8 X = x X = + 8 Figure 5.8 : Répartitio de la température das u solide ifii. O peut calculer la répartitio de la température à l aide de la solutio de l équatio (5.6), c est-à-dire : T ( ') (, ) i x x T x t = exp x' (5.1) παt 4αt Si au même istat t =, il existe ue autre trache avec la même épaisseur mais à des températures différetes, l équatio (5.1) deviet : ( x x' ) Ti T( x, t) = exp x' (5.) = 1 παt 4αt La température T(x,t) est l additio du résultat de chaque trache.. Supposos que l épaisseur des traches x ted vers zéro, o peut exprimer la température iitiale par ue foctio f(x ) et la somme de l équatio (5.) deviet ue itégrale : ( x x' ) + f( x') T( x, t) = exp dx' 4 x' παt αt (5.3) =

14 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 14 Exemple : Plaque ifiie avec des coditios aux limites suivates : f(x ) = si x < a et x> b f(x ) = T i si a < x <b Alors. L équatio (5.3) deviet Soit a b ( ') T x x i (5.4) T( x, t) = dx' + exp dx' + dx' 4 a παt αt b ( x ' x) β =, l équatio (5.4) s écrira : αt ( b x) ( b x) ( a x) αt αt αt T i β Ti β β T( x, t) = e dβ = e dβ e dβ π ( a x) π β π = αt (5.5) avec la défiitio de la foctio d erreur : ( ) N u erf N = e du π (5.6) (erf = ; erf = 1 ; erfc x (foctio d erreur complémetaire) = 1 erf x ) l équatio (5.5) deviet ( ) ( ) T (, ) i b x a x T x t = erf erf αt αt (5.7) Quelques valeurs de erf(n) : N erf(n) N erf(n) N erf(n) N erf(n),3,3867,8,7411 1,8,98991,5,5637,4,4839 1,8471,9953,1,11463,5,55 1,,91314,5,999593,15,167996,6, ,4,9585 3,999978,,73,7, ,6,

15 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie La plaque semi-ifiie Ue plaque semi-ifiie existe pour x. O peut supposer les coditios aux limites suivates : T(x,) = f(x) ; T(,t) = Il est possible de développer ue solutio pour la plaque semi-ifiie, si o cosidère ue plaque ifiie avec les coditios aux limites décrits à la figure 5.9 : T f(x) X = - 8 X = + 8 f(-x) Foctio impair: f(-x) = -f(x) Figure 5.9 : Foctio impaire qui satisfait les coditio aux limites T(,t) = L équatio (5.3) deviet doc : Exemple ' ( ) + ' f( x') x x f( x') ( x x ) (5.8) T( x, t) = exp dx' + exp dx' παt 4αt παt 4αt - La foctio f(x) = T i (Température costate et homogèe) ; doc T(x,) = T i - T(,t) = T s (à la surface, la température est costate est ). Avec la défiitio θ = T T les coditios aux limites devieet : ( ) θ( x,) = T T ; θ, t = i s s Comme auparavat, o effectue le chagemet de variables suivat : x ' x β = αt x ' + x β = αt Après réarragemet, l équatio (5.8) deviet

16 Phéomèes de trasfert 5.Régime trasitoire ou variable, cas d ue plaque semi-ifiie 16 x β = αt θ 1 β β = e dβ e dβ θ + i π x β = αt L équatio (5.9) deviet Fialemet, la solutio peut s écrire : (5.9) x x αt αt β β θ 1 = e dβ = e dβ θ π π i (5.3) x αt T Ts x = erf ( ) T T αt i s (5.31) L équatio (5.31) décrit la température comme ue foctio du lieu et du temps das ue plaque semi-ifiie qui présete ue distributio homogèe de température au temps t = avec u chagemet brusque. La température iitiale (t = ) de la surface, T s, reste la même quelque soit t >. La desité de flux de chaleur q s écrit doc : T T u q= k = k x u x x avec u = αt ( Ti Ts) 1 q= k exp( u ) π αt (5.3) ( ) Ti T s x q= k exp παt 4α t k A la surface ( x = ) et puisque α = l équatio (5.3) peut s écrire : ρc q p ( T T ) i s = kρcp (5.33) La quatité kρ Cp est appelée l effusivité thermique E ou coefficiet d arrachemet thermique de la plaque. πt