1 Tube cylindrique sous pression (12 points)

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1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE X 4 CONTRÔLE DE LA MAJEURE 1 DE MÉCANIQUE Ruptur t Plasticité MEC 551 Mardi 1 décmbr 6 - duré hurs Sujt proposé par Michl Bornrt Documnts autorisés : polycopié du cours t nots prsonnlls C contrôl comport dux xrcics indépndants. 1 Tub cylindriqu sous prssion 1 points) On s intérss à la déformation d un tub cylindriqu homogèn d sction circulair sous prssion intrn. L analys st mné dans l cadr ds transformations infinitésimals quasi-statiqus. L matériau constitutif st élastoplastiqu t obéit au critèr d von Miss t à la règl d normalité. L écrouissag st négligabl d sort qu on choisit d adoptr l modèl d comportmnt élastiqu parfaitmnt plastiqu. La limit d élasticité n traction simpl st noté σ. L comportmnt élastiqu st isotrop. On l suppos d plus incomprssibl pour simplifir ls calculs. On not µ l modul d cisaillmnt, d sort qu la contraint σ st rlié à la parti élastiqu d la déformation ε l par : σ = µε l η1 avc tr ε l) =, 1) où η st un champ d prssion associé à la liaison intrn d incomprssibilité, à détrminr, t 1 désign l tnsur idntité d ordr dux. L état initial du tub st l état naturl σ = ) sans déformations plastiqus initials ε p = ). Il srt d configuration d référnc. La prssion xtrn st null t la prssion intrn p i croît d à sa valur maximal, qu l on chrch à détrminr. Ls forcs d volum sont négligés. On not t R ls rayons intrns t xtrns du tub. L tub st très long d sort qu il st raisonnabl d supposr qu un sction transvrs rst parallèl à ll-mêm t qu il n y a pas d fforts tangntils sur un tll sction. On s intérss à un tronçon du tub d longuur L délimité par ls surfacs S t S L. Ls surfacs latérals xtrns t intrns sont notés S t S i rspctivmnt. L R S L z r S Si O p i θ z S FIG. 1 Tub sous prssion On suppos d plus qu ls conditions aux xtrémités du tronçon d tub sont tlls qu il n put pas s allongr. L déplacmnt parallèl à l ax Oz du tub st donc nul sur ls surfacs S t S L. Ls hypothèss précédnts t l invarianc du problèm par rotation autour d l ax Oz du tub t par symétri slon un plan contnant ct ax conduisnt à chrchr l champ d déplacmnt sous la form : ξ = ξ r r) r ) 1

2 où r st l vctur radial dans un systèm d coordonnés cylindriqus r,θ,z) qu l on adopt naturllmnt, la bas étant noté r, θ, z ) t l origin étant au cntr d la surfac S. 1.1 Equations gouvrnant l évolution du tub. Rapplr l nsmbl ds équations auxqulls obéissnt ls champs d déplacmnt ξ, d déformation ε t d contraint σ t lurs évolutions. 1. Champ d déplacmnt Justifir qu la déformation st d trac null t n déduir qu l champ d déplacmnt st nécssairmnt d la form : ξ = ξ i r r ) où ξ i st l déplacmnt radial sur la fac intrn du tub, ctt rlation étant satisfait qu il y ait ou non écoulmnt plastiqu. Donnr l xprssion du champ d déformation corrspondant. On introduit la notation α = θ θ r r. 1. Régim élastiqu Détrminr l équation différntill satisfait par l champ scalair η, sous l hypothès qu la parti plastiqu d la déformation st null. La résoudr t n déduir qu l champ d contraint admt la form : [ R σ = A r α + 1 4) Précisr la valur d la constant A. Qul st l domain d validité d ctt rlation? Indiqur où apparaît la prmièr plasticité t pour qull valur d p i t ξ i. 1.4 Régim élastoplastiqu On suppos qu l écoulmnt plastiqu rspct la symétri cylindriqu t on not R p l rayon d la surfac cylindriqu séparant la zon plastifié d la zon non plastifié. 1. Justifir qu la form d la solution trouvé à la qustion précédnt s appliqu toujours au domain élastiqu, n supposant qu ls composants tangntills du vctur contraint à l intrfac r = R p sont nulls. Donnr l xprssion ds champs d déplacmnt, d déformation t d contraint n fonction du déplacmnt radial n r = R p, noté ξ p, t d la composant slon r r d la contraint n R p, noté σ p rr. En xplicitant qu l critèr st attint n r = R p, précisr la rlation ntr ξ p t R p, n admttant qu ξ p >.. Chrchr un champ d contraint statiqumnt admissibl dans la zon plastifié du tub sous la form σ = aα η1 avc a >, n supposant qu l critèr y st attint partout. Détrminr, n combinant ctt solution avc cll dans la zon élastiqu, l xprssion d p i n fonction d R p.. Détrminr l champ d déformation plastiqu dans la zon plastifié t vérifir qu il st bin compatibl avc la règl d écoulmnt. 4. Qull st la prssion intrn maximal? Donnr l allur d la courb complèt p i,ξ i ) t n précisr ls points caractéristiqus. 5. Application numériqu : donnr la limit d élasticité minimal du matériau constitutif d un tub d injctur dvant supportr un prssion intrn d 16 bars, sans s déformr plastiqumnt, avc un factur d sécurité d. L métal rtnu présnt un limit d élasticité d 7MPa. Qul rapport d rayon minimal R / faut-il adoptr? Qull st alors la prssion intrn maximal supportabl?

3 1.5 Décharg On suppos qu la prssion a augmnté d manièr monoton jusqu à un valur p i, associé à un rayon plastiqu égal à R p t qu ll a nsuit chuté d manièr monoton jusqu à. On introduit l paramètr t variant d à 1 au cours d la décharg, tl qu la prssion intrn soit égal à p i = 1 t)p i. 1. En faisant l hypothès d un décharg purmnt élastiqu, donnr l xprssion du champ d contraint au cours d la décharg.. Qu faut-il vérifir pour validr l hypothès d décharg élastiqu?. Procédr à ctt vérification dans l cas particulir R = t R p =..

4 Essai d comprssion n canal 8 points) L ssai d «comprssion n canal» st un ssai complémntair aux ssais d traction, tractiontorsion ou traction-torsion-prssion intrn évoqués n cours. Il présnt l avantag d prmttr d imposr un état d contraint biaxial au moyn d un simpl machin d ssai uniaxial pu coutus ; d plus l usinag ds échantillons st rlativmnt simpl puisqu il s agit d ptits parallélépipèds rctangls. L objt d ct xrcic st d abordr qulqus aspcts d l application d ct ssai à ds matériaux plastiqus. L ssai st décrit n figur. L échantillon d largur l, d profondur p t d hautur h st placé dans un matric cylindriqu n form d «U» dont tous ls angls sont droits. Il st écrasé par un poinçon s insérant parfaitmnt dans l canal formé par la matric. On msur la résultant R ds fforts appliqués sur l poinçon ainsi qu l déplacmnt δ d c drnir msuré positivmnt vrs l bas). Matric t poinçon sont supposés indéformabls. On introduit la bas orthonormé 1,, ), tll qu 1 soit parallèl à l ax du canal t soit parallèl à la forc appliqué sur l poinçon. R Poinçon Échantillon h p l Matric 1 R FIG. Essai d comprssion n canal L matériau st supposé rigid parfaitmnt plastiqu parti élastiqu d la déformation négligabl). Il obéit au critèr d von Miss limit d écoulmnt n traction σ ) t à la règl d normalité. L critèr d plasticité st noté f σ) = σ q σ. On s plac dans l cadr ds transformations infinitésimals quasi-statiqus..1 Essai idéal On suppos dans un prmir tmps qu ls frottmnts sur ls facs n contact sont suffisammnt faibls pour pouvoir êtr négligés t qu l usinag d l échantillon st tl qu ss dimnsions 4

5 corrspondnt xactmnt à clls du canal. On fait l hypothès qu la contraint t la déformation sont homogèns dans l échantillon. 1. Justifiz qu la contraint st d la form σ = σ + σ. Qul st l taux d déformation induit par un tll contraint?. En déduir l ffort R à appliqur pour déformr un échantillon d dimnsions l p h.. Efft d un ju ntr échantillon t canal On néglig toujours ls frottmnts mais on suppos maintnant qu la largur l d l échantillon st légèrmnt plus ptit qu la largur l c du canal. L ju = l c l ) qui facilit l introduction d l échantillon dans l canal st supposé très ptit dvant l c. En supposant toujours qu la contraint t la déformation sont homogèns dans l échantillon, détrminr la courb R, δ).. Efft d un frottmnt important On suppos à nouvau l usinag parfait l c = l = l). En rvanch, l frottmnt st maintnant supposé tllmnt important qu il mpêch tout glissmnt rlatif ntr ls surfacs d normal intrfac poinçon-échantillon t échantillon-bas du canal). L déplacmnt slon ls dirctions 1 t sur ls surfacs d normal d l échantillon st donc nul. Pour simplifir, on néglig toujours l frottmnt sur ls surfacs d normal ntr l échantillon t ls facs latérals du canal). On s propos d évalur par analys limit l ffort R maximal avant l écoulmnt plastiqu d l échantillon. 1. Approch statiqu. Exhibz un minorant d R n utilisant ds champs d contraint d la form σ = σ [ + α où α st un scalair à optimisr.. Approch cinématiqu. On considèr l champ d vitsss virtulls v défini comm suit : La composant du champ slon st null : v = L champ n dépnd pas d la composant x : v = vx 1,x ) Dans l plan O,x 1,x ), l origin étant choisi au cntr d la fac supériur d l échantillon, l champ st défini comm suit dans ls quatr zons rprésntés sur la figur ci-contr : Dans l triangl A AB la vitss st uniform t égal à cll du poinçon : v = v Dans l sctur circulair ABC d cntr A, la vitss vaut v = v 1 θ où θ st l vctur orthoradial dans un systèm d coordonnés cylindriqus d cntr A t d ax t v 1 un constant. L champ d vitss dans l sctur circulair A BC st l symétriqu d clui dans ABC par rapport au plan x 1 =. La vitss st null aillurs. Poinçon C B C Échantillon Bas du canal La position du point B st paramétré par l angl φ tl qu BOtanφ = OA. A A O φ p r θ 1 h a) Montrr qu c champ d vitsss st cinématiqumnt admissibl. b) À qull condition c champ st-il prtinnt? c) En déduir un born supériur pour R n fonction d φ. d) Dans qul intrvall l angl φ put-il varir? Qull st la millur born supériur obtnu? Discutr n fonction du rapport h/p. 5

6 .4 Anisotropi d l échantillon Ctt qustion st facultativ t donn droit à ds points d bonus. L échantillon provint d un tôl laminé t présnt un comportmnt anisotrop. Il st toujours rigid parfaitmnt plastiqu mais obéit à un critèr d plasticité d Hill rlatif à un matériau d symétri cubiqu qui prnd la form suivant : [ f σ) = σ H σ avc σ H = i s ii ) + β i j s i j ) où s i j sont ls composants du déviatur d σ dans un bas orthonormé 1,, ) aligné avc ls dirctions privilégiés d la tôl. Lorsqu la constant β st égal à l unité, on rtrouv l critès d von Miss. L écoulmnt plastiqu obéit à la règl d normalité. La bas 1,, ) st toujours rlativ aux trois dirctions principals d l ssai d comprssion n canal. On prélèv un échantillon d tll sort qu = t = ). Détrminr l ffort R pour déformr l échantillon dans ls conditions d la prmièr qustion absnc d frottmnt t d ju). On aura intérêt à introduir la fonction gσ,σ ) = f σ + σ ) t à s intérssr à sa dérivé partill par rapport à σ. 6

7 ÉCOLE POLYTECHNIQUE X 4 CONTRÔLE DE LA MAJEURE 1 DE MÉCANIQUE Ruptur t Plasticité MEC 551 Mardi 1 décmbr 6 - duré hurs Élémnts d corrction 1 Tub cylindriqu sous prssion 1.1 Equations gouvrnant l évolution du tub. Compatibilité : L champ d déplacmnt ξ st continu t différntiabl par morcaux. La déformation st donné par ε = ξ x + t ξ ) x. Compt-tnu d la form du champ d déplacmnt, ctt rlation prnd la form : ε = u r) r r + ur) θ θ. 1) r Ls conditions aux limits cinématiqus sont ξ z = sur S t S L t sont naturllmnt satisfaits par la form supposé du champ d déplacmnt. Équilibr : La contraint ) st continumnt différntiabl par morcaux t satisfait l équation d équilibr div σ = problèm quasi-statiqu t forc volumiqus nulls) n tout point où ll st différntiabl, l vctur contraint σ.n étant continu à travrs tout surfac d discontinuité évntull d normal n. Ls conditions aux limits statiqus imposnt σ. r = sur S t σ. r = p i r sur S i. La nullité ds fforts tangntils sur S t S L s écrit r.σ. z = θ.σ. z =. Comportmnt : Dans l cadr ds transformations infinitésimals, la déformation ε s décompos d manièr additiv n partis élastiqu t plastiqu : ε = ε l + ε p ) L comportmnt élastiqu isotrop t incomprssibl donn : σ = µε l η1 avc tr ε l) = ) où η st l champ d prssion associé à la condition d incomprssibilité, fonction du point t du tmps. Par aillurs, l comportmnt plastiqu parfait impos qu l critèr d von Miss soit satisfait par la contraint n tout point t à tout instant : σ q = s i js i j σ 4) où s = σ trσ) 1 st la contraint déviatoriqu. L incrémnt d la parti plastiqu d la déformation obéit à la règl d normalité : ε p = λ s avc σ λ. 5) q L multiplicatur plastiqu λ n put êtr non nul qu si σ q = σ critèr attint) t σ q = pas d décharg). 1. Champ d déplacmnt La parti élastiqu d la déformation ε l st par hypothès d trac null. Il n st d mêm d tout incrémnt ε p d la parti plastiqu d après la loi d écoulmnt, t donc, par intégration, d la parti plastiqu ε p ll-mêm. La déformation ε = ε l + ε p st donc d trac null c qui s écrit : u r) + ur)/r =. On n tir rur)) = soit ncor ur) = a/r où a st un constant d intégration. R En introduisant l déplacmnt radial ξ i sur S i, on obtint ξ = ξ i i r r t par suit ε = ξ i α avc α = r θ θ r r. 1

8 1. Régim élastiqu La contraint étant faibl n début d chargmnt, l critèr n st pas attint t la parti plastiqu d la déformation st null : ε = ε l. La contraint s écrit donc, n tout point du tub : σ = µξ i r α η1. 6) L équation d équilibr projté slon θ t z donn rspctivmnt η η θ = t z = c qui assur qu l scalair η n st fonction qu d r conformémnt à la symétri du problèm). L équation d équilibr slon r s xplicit n σ rr r + σ rr σ θθ r = t conduit à η r =. L champ η st donc constant ; sa valur st détrminé par la nullité du vctur contraint sur S. On obtint : σ = µξ [ i R R r α + 1 = p ir [ i R R r α + 1 7) où la scond xprssion résult d la condition statiqu n S i qui détrmin l déplacmnt ξ i n [ [ 1, fonction d la prssion intrn p i : µξ i 1 R R = p R i, c qui donn ξ i = p i µ 1 i R qui st bin positif lorsqu p i >. Ctt xprssion du champ d contraint s appliqu tant qu la contraint n attint l critèr n aucun point du tub. On a σ q = µξ i r α q = µξi r attint pour µξ i σ = σ, soit ξ i = R i t p µ i = σ [1 R 1.4 Régim élastoplastiqu. L critèr st maximal n r = t la limit y st. L rayon R p délimit la zon où l écoulmnt plastiqu s st produit r < R p ) d la zon qui n s déform qu élastiqumnt r > R p ). 1. Ls équations locals d compatibilité, d équilibr t d comportmnt utilisés à la qustion précédnt s appliqunt ncor à la zon élastiqu r R p dans laqull ε p =. Ls conditions aux limits n S, S L t S sont égalmnt inchangés. La condition aux limits statiqu n r = utilisé précédmmnt st rmplacé par la condition d continuité du vctur contraint σ. r à travrs la surfac r = R p. En supposant qu ls composants tangntills d c vctur contraint sont nulls il faudra vérifir lur nullité dans la zon plastifié), la condition statiqu n r = R p st bin similair à cll n r = d la qustion précédnt, à condition d rmplacr p i par σ rr r = R p ) = σ p rr. La solution précédnt put dont êtr rpris pour r > R p, n rmplaçant simplmnt p i par σ p rr, par R p t ξ i par ξ p. On a donc, pour r R p : R p ξ = ξ p r r, σ = µξ pr p R ε = ξ pr p r α, 8) = σp rrr [ p R R R p r α + 1 9) [ R r α + 1 L critèr d plasticité st attint n r = R p, c qui donn µ ξ p R p = σ = σ p rr R R R p où l on a utilisé α q =. L sign d ξ p st opposé à clui d σ p rr ; on admt qu il st positif lorsqu la prssion intrn st positiv. D où : µξ p = σ R p. 1). Sous l hypothès qu la contraint st d la form σ = aα η1 avc a > t qu l critèr d plasticité st attint n tout point r < R p, on a aα q = σ soit a = σ /. L équation d équilibr projté slon z t θ assur toujours qu η n dépnd qu d r. Slon r, ll donn maintnant σ r η r = dont on tir ηr) = σ lnr)+b. La condition statiqu sur S i détrmin la constant d intégration b qui vaut p i σ + σ ln ). La contraint dans la zon plastifié st donc donné par : σ = σ α + p i + σ + σ )) r ln 1. 11)

9 C champ d contraint st bin n équilibr avc ls donnés statiqus sur S, S L t S i. La continuité du vctur contraint à la surfac r = R p, dont ls composants tangntills sont bin nulls, détrmin la rlation ntr p i t R p : σ p rr = p i + σ ln Rp ) [ 1 = µξ p R p R 1 R p [ = σ R p R 1 1) soit [ p i = σ 1 R p R + ln Rp ). 1) D après ctt rlation, la prssion intrn st bin un fonction monoton croissant d R p t ) réciproqumnt car dp i dr p = σ Rp R p + 1 > ). Il n st toutfois pas ncor crtain qu l champ R d contraint obtnu soit solution ds équations d évolution.. La parti élastiqu d la déformation dans la zon plastifié st donné par ε l = 1 µ s = σ α, µ tandis qu la déformation vaut, d après la qustion 1., ε = ξ i α = ξ pr p α. La parti plastiqu n r r découl : ε p = ε ε l ξp R p = r σ ) α = σ µ µ R p r 1 où l on a utilisé 1). Par aillurs, la règl d écoulmnt normal impos ε p = λ s σ q, avc λ >, d la form αα avc α positif. D après la qustion précédnt R p croît avc p i. À r fixé, la variation d ε p st donc bin d ctt form. La solution obtnu satisfait donc l nsmbl ds équations. 4. La solution précédnt s appliqu pour tout chargmnt tl qu R p R. Lorsqu R p = R, la contraint vaut σ = σ α+ p i + σ + σ ln r ))1 partout t doit satisfair la condition statiqu sur S soit : p i = σ ln R ), qui st la prssion intrn maximal supportabl par l tub. La courb p i,ξ i ) comport donc trois stads :, σ µ ). un phas linéair ntr,) t σ [1 R un phas élastoplastiqu non linéair ntr c point t l point σ ln R ), d p i n fonction d ξ i résult d l équation 1) t d R p = R p ξ p = ξ i. un platau avc un valur d prssion intrn maximal σ ln R ). ) α σ µ R ). L évolution µ σ ξ i qui découl d 1) t d 5. Application numériqu : avc un rapport d rayons très grand, la prssion maximal du domain élastiqu st σ /. Il faut donc σ > p max i = 16 = 554 MPa. Avc σ = 7 MPa, l rapport ds rayons doit êtr supériur à [ 1 p max 1/ i /σ =,. La prssion intrn ultim vaut alors p u i =.7/ ln,) = 67 MPa = 67 bars.

10 1.5 Décharg [ À l issu du chargmnt jusqu à p i = p i = σ 1 R p) + ln R parti plastiqu t l champ d contraint valnt : ε = R p ) R i ), l champ d déformation, sa σ R p) µ r α 14) ε p = pour r R p 15) ) σ R = p ) µ r 1 α pour r < R p 16) σ = σ R [ p ) R R r α + 1 pour r R p 17) = σ α + p i + σ + σ )) r ln 1 pour r < R p 18) On suprpos à ctt solution ls champs élastiqus associés à la prssion intrn t.p i, où t vari d à 1, donnés par : R R i ε = t p i µ R r α 19) σ = t p R [ i R i R r α + 1. ) On obtint ainsi un champ d déformation compatibl t un champ d contraint équilibré avc un prssion intrn 1 t)p i. Par construction, la parti élastiqu d la déformation st bin lié à la contraint par la loi élastiqu. La parti plastiqu n évolu pas. Pour validr c drnir point, il faut vérifir l absnc d écoulmnt plastiqu au cours d la décharg : la contraint équivalnt doit êtr infériur ou égal à σ t décroîtr n cas d égalité. Ell vaut : [ ) R p) σ q = σ r 1 t 1 R p) R p ) R i R R + ln R i R R p) pour r > R p 1) [ ) = σ 1 t 1 R p) R p ) R i R R + ln R r pour r < R p ) Avc ls valurs numériqus R = t R p =, on obtint : R i R p) σ q = σ 1 + ln4) r 1 t σ R p) r 1,8.t pour r > R p ) = σ 1 t 1 + ln4) R 6 r σ 1 1,6.t R 4r pour r < R p 4) On vérifi facilmnt qu σ q σ pour tout r t tout t [,1. L égalité n st obtnu qu n t = t pour r [,R p, mais dans c cas la variation d σ q st négativ, si bin qu il n put y avoir écoulmnt. La décharg st donc bin élastiqu. 4

11 Essai d comprssion n canal.1 Essai idéal ) 1. Un contraint homogèn satisfait l équation d équilibr div σ =. Ls facs d normal 1 étant ds surfacs librs, on a σ 11 = σ 1 = σ 1 =. L absnc d frottmnt sur ls facs d normal donn σ 1 = σ =. Ls composants tangntills du vctur contraint sur l facs d normal sont égalmnt nulls : σ 1 = σ =. La contraint st donc d la form σ = σ + σ.. La loi d normalité impos qu l écoulmnt plastiqu soit normal à la surfac suil d plasticité : ε p = λ f σ σ) avc λ. Avc un critèr d von Miss, on obtint ε p = λ σ q s où s st l déviatur d σ. La parti élastiqu d la déformation étant négligabl, on obtint ε = αs avc α. Compttnu d la form d la contraint obtnu à la qustion précédnt, on a [ ε = α σ + σ σ σ + σ σ 5). L canal s opposant à l allongmnt slon la dirction, on a ε =. Ls facs latérals du canal xrcnt donc ds fforts tls qu σ = σ [ au cours d l écoulmnt. La contraint st donc la form σ = σ + 1. L écoulmnt n s produit qu si l critèr st attint, c st-àdir si σ = σ. L ffort R sur l poinçon vaut donc : R = pl σ 1,15plσ 6) On put notr qu ls fforts sur ls facs latérals sur canal s élèvnt à ph σ. Efft d un ju ntr échantillon t canal Dans un prmir tmps, on a σ = t l ssai st un comprssion simpl σ = σ. L ffort au momnt d l écoulmnt plastiqu vaut donc R = plσ. La déformation plastiqu [ st proportionnll au déviatur d la contraint. La déformation st donc d la form ε = ε ). L échantillon touch ls facs latérals du canal lorsqu ε = /l, soit ε = /l, soit ncor δ = h/l. À partir d c momnt, on rtrouv la situation d la qustion précédnt. La courb R,δ) comport donc dux palirs. L prmir pour δ [,h/l avc R = plσ, l scond pour δ h/l avc R = plσ.. Efft d un frottmnt important 1. Approch statiqu. Un champ d contraint homogèn d la form σ = σ [ + α st statiqumnt admissibl puisqu il satisfait la condition d surfac libr sur ls facs d normal 1 t l absnc d frottmnt sur la fac d normal. Il st physiqumnt admissibl s il vérifi l critèr d von Miss, c st-à-dir si σ 1 α + α σ. À α fixé, ls fforts R supportabls sont pl tls qu R < σ 1 α+α. La minimum d 1 α + α st obtnu pour α = 1/. Ls fforts R pl σ sont donc potntillmnt supportabls. On not qu on rtrouv ainsi la valur d la qustion 1, sans utilisr la loi d écoulmnt. L fait qu il puiss y avoir ds fforts tangntils sur ls surfacs d normal n a pas été xploité.. Approch cinématiqu. a) L champ proposé assur qu v st nul sur ls facs d normal contraint cinématiqu imposé par l canal). Il st nul sur la fac infériur n contact avc la bas du canal canal immobil t absnc d glissmnt). Il st égal à v sur la fac n contact avc l poinçon t satisfait donc la condition cinématiqu imposé par c drnir. Il n y a pas d autr contraint cinématiqu. Ls champs proposés sont donc cinématiqumnt admissibls. 5

12 b) L champ d vitss st prtinnt pour l critèr d von Miss si l tnsur taux d déformation d st d trac null n tout point t si ls discontinuité normals sont nulls sur tout surfac d discontinuité d vitsss. La prmièr condition st idntiqumnt satistait dans ls scturs où d st nul. Il suffit donc d la vérifir dans l sctur ABC. Ls formuls d dérivation n coordonnés cylindriqus donnnt d = v 1 r [ r θ + θ r, qui st bin d trac null. On not qu d q = v 1 r. La nullité d tr d ) dans A BC n découl par symétri. La discontinuité sur ls arcs d crcl BC t BC st bin tangntill par construction. Ell st d norm v 1. Sur l sgmnt AB, la nullité d la discontinuité normal impos v 1 = vsinφ ; la discontinuité tangntill st alors d norm vcos φ. Il n st d mêm sur l sgmnt A B par symétri. c) La puissanc ds fforts xtériurs dans l champ d vitss v proposé vaut P R,v) = Rv. La puissanc résistant maximal st la somm ds contributions surfaciqus sur AB, A B, BC t BC t la contribution volumiqu dans ls scturs ABC t A BC. Par symétri, il suffit d évalur clls sur AB, BC t dans ABC. On a donc : P rm v) = lσ Z AB vsin φ [ABvcosφ + ABφvsinφ + φ rdr r = l pσ v [cotφ + φ 7) La majoration suivant sur l ffort R potntillmnt supportabl n découl : R l pσ cotφ + φ 8) d) L angl φ put varir ntr un valur minimal corrspondant à AB = h, soit φ min = arcsin p h t la valur maximal φ max = π. L minimum d cotφ+φ st obtnu pour φ = π/4. Si l rapport h/p st supériur à /, R st majoré par lpσ [ 1 + π 1,48l pσ. Dans l cas contrair, cotφ la millur majoration st obtnu pour φ = φ min t vaut l pσ min +φ min..4 Anisotropi d l échantillon Un calcul simpl conduit à gσ,σ ) = Or, s il y a écoulmnt plastiqu, on a 1+β 4 σ + σ σ σ σ t g σ = 1 4σ H [1 + β)σ σ. g σ = g σ : σ la présnc du canal. Donc σ = 1+β σ t f σ) = σ = 1+β β σ t donc R = σ = 1 λ ε p :. Ctt quantité st null du fait d β 1+β σ σ. L critèr étant attint, il vint 1 + β β plσ. 9) On vérifi qu lorsqu β = 1 on rtrouv l résultat obtnu avc l critèr d von Miss. 6