Un complément à la leçon sur l équation fonctionnelle de la fonction exponentielle
|
|
- Agathe Larrivée
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Un complément à la leçon sur l équation fonctionnelle de la fonction eponentielle Il est naturel de construire la leçon Caractérisation des fonctions eponentielles par l équation fonctionnelle f( + y) = f()f(y) en supposant connue une définition de la fonction eponentielle. En effet le terme «caractérisation» indique que cette fonction a été définie auparavant. Mais soit on l a définie comme solution de l équation différentielle y = y et y(0) = 1, et cela demande d avoir démontré l eistence et l unicité de la solution de cette équation différentielle ce qui est loin d être facile, même en connaissant le principe de la méthode d Euler. Soit on l a définie comme réciproque de la fonction logarithme, mais encore a-t-il fallu démontrer auparavant l eistence d une primitive de la fonction t 1 t ce qui est aussi loin d être évident. Nous proposons ici un théorème qui permet de démontrer l eistence de fonctions vérifiant l équation fonctionnelle en n utilisant que des propriétés fondamentales de Q et R. On pourra utiliser ce résultat soit pour définir directement l eponentielle, soit comme complément à la leçon. 1. Le théorème principal Théorème Soit a un réel strictement positif. Il eiste une unique fonction f monotone sur R telle que { (1) R, y R, f( + y) = f()f(y), ( ) (2) f(1) = a ; Démonstration Analyse : Supposons qu il eiste une fonction f vérifiant ( ). Étape 1. On déduit de (1) que les valeurs de la fonction f sont positives ou nulles car pour tout R on a f() = f( 2 )2. On déduit de (2) que la fonction f ne s annule pas car f() = 0 = f(1) = f(1 )f() = 0. De plus f(0) = 1 car f(0)f(1) = f(1) et f(1) 0. On en conclut que f(0) = 1 et R, f() > 0. Étape 2. En utilisant (1), on vérifie par récurrence sur n que pour tout R et tout entier n N on a ( f(n) = f() n d où aussi f = n) n f(). Comme f(0) = 1, on en déduit que pour n Z on a f(n) = f() n. Et en utilisant (2) on conclut que r Q, f(r) = a r. Étape 3. Cas où a = 1. Dans ce cas la restriction de f à Q est constante. Comme f est supposée monotone, elle est nécessairement aussi constante sur R et égale à 1 (tout réel est compris entre deu rationnels).
2 2 Nicole Bopp Étape 4. Cas où a > 1. Dans ce cas la restriction de f à Q est strictement croissante d après l étape 2. La fonction f, supposée monotone sur R, est donc nécessairement croissante. On en déduit que pour fié dans R on a (r Q et r ) = a r f(), (r Q et r ) = a r f(). L ensemble {a r r Q, r } est non vide et majoré (par a n 0 où n 0 est un entier strictement supérieur à ). Il admet donc une borne supérieure A = sup{a r r Q, r }, et de même l ensemble {a r r Q, r } admet une borne inférieure D où nécessairement B = inf{a r r Q, r }. A f() B. On déduit des définitions des bornes inférieures et supérieures, l eistence d une suite de rationnels r n et d une suite de rationnels ρ n telles que lim n arn = A et lim n aρn = B. Or la suite a ρn rn tend vers 1 pour n tendant vers l infini (voir le lemme en annee). On en déduit que A = B. Par conséquent on a nécessairement R, f() = sup{a r r Q, r } = inf{a r r Q, r }. Étape 5. Cas où a < 1. On démontre de façon analogue (il suffit de renverser les inégalités) que R, f() = inf{a r r Q, r } = sup{a r r Q, r }. Conclusion. S il eiste une fonction f vérifiant ( ) elle est déterminée de façon unique par les résultats obtenus au étapes 3 à 5. Montrons maintenant que ces formules définissent une fonction monotone sur R vérifiant ( ). C est l objet de la Synthèse : Nous la ferons uniquement dans le cas où a > 1. C est trivial dans le cas où a = 1 et analogue dans le cas où a < 1. Soit f la fonction définie par ( ) R, f() = sup{a r r Q, r }. Propriété 1. Comme la fonction r Q a r est croissante sur Q (on a supposé a > 1), on a Q, sup{a r r Q, r } = a d où f() = a, en particulier f(1) = a. Propriété 2. Soient deu réels < y. Il eiste alors deu rationnels r 1 et r 2 tels que < r 1 < r 2 < y. Puisque la fonction r Q a r est strictement croissante sur Q, on a a r 1 < a r 2. La définition de f implique alors que d où l on déduit que f() a r 1 < a r 2 f(y), la fonction f est strictement croissante sur R.
3 Fonctions eponentielles 3 Propriété 3. Soit R. Comme la fonction f est monotone, elle admet une limite à droite f( + ) et à gauche f( ) en et comme elle est croissante f( ) f( + ). Plus précisément on définit f( + ) = inf{f(y) y R, y} et f( ) = sup{f(y) y R, y }. Comme Q R on a donc sup{f(r) r Q, r } f( ) f( + ) inf{f(r) r Q, r}. Or les deu termes etrèmes de ces inégalités sont égau (par le lemme). On en déduit que f( + ) = f( ) c est-à-dire que f est continue au point et on conclut que la fonction f est continue R. Propriété 4. Soient et y deu réels. Comme Q est dense dans R, il eiste une suite r n de rationnels tendant vers et une suite ρ n de rationnels tendant vers y. Grâce à la propriété 1 et au propriétés de la fonction r Q a r on a pour tous n N f(r n + ρ n ) = f(r n )f(ρ n ). Comme la fonction f est continue sur R, on obtient en passant à la limite dans cette relation que R, y R, f( + y) = f()f(y). On a donc démontré l eistence (et l unicité) d une fonction f vérifiant (1) (voir propriété 1) et (2) (voir propriété 4). Elle est définie par la formule ( ). Remarquons qu on cherchait une fonction monotone et qu en prime on a récupéré une fonction continue. Cette fonction est donc le prolongement continu à R de la fonction r Q a r (un tel prolongement est nécessairement unique). C est pourquoi il est désormais licite de la noter R, f() = a. Pour le moment nous utiliserons la notation f a pour cette fonction : d une part pour noter sa dépendance par rapport au paramètre a, d autre part pour lui donner un nom qui ne contient pas la variable. L égalité ci-dessous est aisément vérifiée pour Q et par prolongement continu on a aussi R, f 1 () = f a ( ). a Il suffit donc d étudier les fonctions f a pour a > 1. Proposition Pour tout a > 1, la fonction f a est une bijection strictement croissante de R sur ]0, + [. Notons fa 1 sa réciproque. Elle est de plus dérivable et on a pour tout R f a() = f a(0)f a () ( R) et ( fa 1 ) f () = a(0) ( > 0). Démonstration. Puisque la fonction f a est strictement croissante on a pour N N R et > N = a > a N et a < a N, d où lim + a = + et lim a = 0. Et comme f a est continue, on déduit du théorème des valeurs internédiares que c est une surjection de R sur ]0, + [. La stricte croissance implique de plus que c est une injection. Par conséquent l application réciproque fa 1 est bien définie sur ]0, + [ et elle est aussi continue.
4 4 Nicole Bopp Comme f a est continue on peut écrire son intégrale sur un intervalle compact et on déduit de l équation fonctonnelle (1) que pour tout R f a () 1 0 f a (y) dy = 1 0 f a ( + y) dy = +1 f a (y) dy. Or la dernière epression est une fonction de la variable qui est dérivable et 1 0 f a(y) dy est une constante non nulle car strictement positive. On en déduit que f a est dérivable sur R et que fa 1 est dérivable sur ]0, + [. On peut donc dériver par rapport à y les deu membres de l égalité f a ( + y) = f a ()f a (y) et on obtient pour tous et y réels f a( + y) = f a ()f a(y). Cette epression donne pour y = 0 R, f a() = f a(0)f a (). On peut aussi dériver l égalité fa 1 (f a ()) = et on obtient ainsi > 0, ( fa 1 ) f () = a(0). Et voilà l allure du graphe des fonctions a. g b b>a Et la fonction eponentielle ou la fonction logarithme népérien? Parmi les fonctions que nous avons définies ci-dessus il y en a deu qui seraient plus sympathiques, à savoir les fonctions f a et fa 1 telles que f a(0) = 1. Bien sûr, nous savons que c est pour a = e que nous obtenons ainsi la fonction eponentielle égale à f e et la fonction logarithme népérien égale à fe 1. Mais nous ne savons pas encore déterminer e.
5 Fonctions eponentielles 5 La question qui se pose est donc la suivante : Pour cela on remarque que pour α > 0 on a Eiste-t-il a > 0 tel que f a(0) = 1? R, f a (α) = f a α(). Il suffit de le vérifier pour α et rationnels puis de passer à la limite en utilisant la continuité de f a. On en déduit que R, f a α() = αf a(). En choisissant α = 1 f 2 = lim (0) 0 2 (par eemple) on obtient que 1 f 2 α(0) = 1. Et donc en posant e = 2 α on obtient une fonction f e définie sur R telle que et une fonction g e = f 1 e f e = f e et f e (0) = 1, définie sur ]0, + [ telle que g e() = 1 et g e(1) = 0. Conclusion Nous avons donc ainsi défini (en n utilisant que les propriétés rappelées en annee) la fonction eponentielle, à savoir f e et la fonction logarithme népérien, à savoir fe 1. Remarquons toutefois que le calcul de e défini ainsi n est pas aisé (voir Houzel). On pourrait poursuivre en caractérisant ces fonctions par l équation différentielle qu elles vérifient (il ne resterait qu à démontrer un résultat d unicité). On pourrait aussi montrer comment eprimer les fonctions a à l aide de la fonction eponentielle et de la fonction logarithme népérien. 3. Annee : les propriétés de Q et de R utilisées Nous avons utilisé le fait que Q est dense dans R et l eistence de la borne inférieure (resp. supérieure) d une partie non vide minorée (resp. majorée) de R. Nous avons aussi utilisé les propriétés de la fonction r Q a r R. Pour démontrer l eistence de a 1 n pour n N, il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires sur R (il faut donc connaître quelques propriétés des fonctions continues). Il est alors facile d obtenir son sens de variation. Le seul résultat non classique que nous avons utilisé est le Lemme Soit (r n ) n N ) une suite de rationnels strictement positifs tendant vers 0. Alors pour tout réel a > 0, la suite de réels a rn tend vers 1. Démonstration. Soit ε un réel strictement positif, que l on supposera par commodité strictement inférieur à 1. On sait alors (par eemple en utilisant la formule du binôme) que lim (1 + n ε)n = + et lim (1 n ε)n = 0. Puisque a est strictement positif, il eiste un entier M tel que (1 ε) M a (1 + ε) M.
6 6 Nicole Bopp Puisque (r n ) est une suite de nombres strictement positifs tendant vers 0, il eiste un entier N tel que n > N = 0 < r n 1 1 d où M. M r n On déduit du sens de variation des fonctions r Q (1 ± ε) r que pour n > N (1 ε) 1 rn (1 ε) M et (1 + ε) M (1 + ε) 1 rn. Et en utilisant la croissance de la fonction b R b rn, on déduit que n > N = 1 ε a rn 1 + ε, ce qui démontre que la suite a rn tend vers 1. Références O. Debarre & N. Bopp (2006) Eponentielles et logarithmes, méthode d Euler, bopp/capes/inde.htm Une définition (avec une démonstration complète) de la fonction eponentielle comme solution de l équation différentielle y = y. C. Houzel (1996) Analyse mathématique, Belin Sup. On y trouve (p. 42) la construction de la fonction eponentielle par la méthode indiquée ici. La définition de e et une méthode de calcul approché sont données p. 68. T. Lambre (1998), L épreuve sur dossier à l oral du CAPES de mathématiques, II. Analyse, Ellipses. On y trouve une démonstration plus raisonnable que dans Houzel de la dérivabilité de a et diverses caractérisations de l eponentielle et du logarithme J.-D. Mercier (2007), L épreuve d eposé au CAPES de mathématiques Vol III, Publibook. Ouvrage bien connu!. Deu leçons rédigées avec beaucoup de compléments autour de ce thème.
Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailLeçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailFibonacci et les paquerettes
Fibonacci et les paquerettes JOLY Romain & RIVOAL Tanguy Introduction Quand on entend dire que l on peut trouver le nombre d or et la suite de Fibonacci dans les fleurs et les pommes de pin, on est au
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailProbabilités conditionnelles Exercices corrigés
Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailSéminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013
Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détail108y= 1 où x et y sont des entiers
Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY 2 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble
Plus en détailTIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES
Bulletin de la SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE NILSYSTÈMES D ORDRE 2 ET PARALLÉLÉPIPÈDES Bernard Host & Alejandro Maass Tome 135 Fascicule 3 2007 SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du
Plus en détailMesures et Intégration
Mesures et Intégration Marc Troyanov - EPFL - Octobre 2005 30 avril 2008 Ce document contient les notes du cours de Mesure et Intégration enseigné à l EPFL par Marc Troyanov, version 2005-2006. Table des
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailLogique : ENSIIE 1A - contrôle final
1 Logique : ENSIIE 1A - contrôle final - CORRIGÉ Mardi 11 mai 2010 - Sans documents - Sans calculatrice ni ordinateur Durée : 1h30 Les exercices sont indépendants. Exercice 1 (Logique du premier ordre
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailF1C1/ Analyse. El Hadji Malick DIA
F1C1/ Analyse Présenté par : El Hadji Malick DIA dia.elmalick1@gmail.com Description sommaire du cours Porte sur l analyse réelle propose des outils de travail sur des éléments de topologie élémentaire
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE
ÉTUDE ASYMPTOTIQUE D UNE MARCHE ALÉATOIRE CENTRIFUGE JEAN-DENIS FOUKS, EMMANUEL LESIGNE ET MARC PEIGNÉ J.-D. Fouks. École Supérieure d Ingénieurs de Poitiers. 40 avenue du Recteur Pineau, 860 Poitiers
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailLoi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Plus en détailCours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables
Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détail