Chapitre 5. La fonction exponentielle

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1 Ensignmnt spécifiqu Chapitr 5 La fonction ponntill I Eistnc t unicité Théorèm : Il ist un uniqu fonction f dérivabl sur tll qu : f = f t f(0) = Ctt fonction st applé fonction ponntill t noté p : Ainsi pour tout rél : p' p t p 0 p L istnc d ctt fonction st admis Mais il faut savoir prouvr son unicité à partir d la propriété suivant Propriété : Si un fonction f dérivabl sur st tll qu f = f t f(0) = alors f 0 Ainsi p 0 Soit g f f Comm fonction produit d fonctions dérivabls ctt fonction st dérivabl sur t g' f ' f f f ' On sait qu f ' f ' donc g ' f ' f f f ' Mais on sait qu f = f, donc g' f f f f 0 La fonction g st donc constant g Comm f(0) =, on a donc g 0 t par suit f f Ainsi 0 f On suppos l istnc d un duièm fonction g vérifiant g = g t g(0) = On put alors g sachant qu p 0 définir un fonction h tll qu h défini t dérivabl sur p g' p g p' g p g p h p p g constant D plus g 0 p0 d où h 0 t h p Pour tout rél on a bin g ( ) p ' 0 donc h st un fonction 3 La fonction ponntill Trminal S

2 Ensignmnt spécifiqu II Propriétés algébriqus t notation Propriété fondamntal d la fonction p Pour tous réls t y, p y p py Démonstration : Soit f la fonction défini sur R par p( y f( ) ) p Ctt fonction st dérivabl sur t f p y p p y p p p y f st donc un fonction constant t f f 0p( y) p On a donc bin p y p p y ' 0 L nombr p() noté, admt,788 pour valur approché à 0-5 près On notra : p Avc ctt notation on a ls propriétés algébriqus suivants, avc, y réls qulconqus t n un ntir rlatif qulconqu : y y,, y (qui rappllnt ls formuls avc ls puissancs qu l on connait déjà) n t n y III Variations t sign d la fonction ponntill Théorèm : Pour tout d, > 0 La fonction ponntill st strictmnt croissant sur Démonstrations : D après ls propriétés algébriqus, pour tous ls réls a t b, a + b = a b En particulir pour a = b, donc, b + b = b b, soit b = ( b )² Or comm ( b )² > 0 alors b > 0 t donc pour tout rél = b, > 0 Soit f la fonction ponntill Par définition, f = f donc d après c qui précèd, f > 0 Il vint alors qu la fonction f st strictmnt croissant sur R 3 La fonction ponntill Trminal S

3 Ensignmnt spécifiqu IV Rprésntation graphiqu V Résolution d équations t d inéquations Pour tous réls t y VI Limits d la fonction ponntill On considèr la fonction défini sur 0; Or pour tout rél positif, donc f ' par f 0 O On a alors f ' Ainsi la fonction f st croissant t comm f (0), la fonction f st positiv C qui équivaut à 0 t par suit pour tout rél positif Or lim t par comparaison lim 3 La fonctionn ponntill 3 Trminal S

4 Ensignmnt spécifiqu L a ds abscisss st asymptot à la rprésntation graphiqu d la fonction ponntill au voisinag d - On a En posant =, lim lim Donc par composition ds limits lim Ainsi par passag à l invrs lim 0 t lim 0 Autrs limits importants a lim 0 b lim c lim 0 a Soit t la fonction défini sur R* par t() = t f la fonction ponntill Pour tout 0, t() = f ( ) f(0) La fonction ponntill st dérivabl sur R donc f( ) f(0) f( ) f(0) lim f '(0) Comm f (0) =, lim On a ainsi : lim b Soit f : Ctt fonction st défini t dérivabl sur R d fonction dérivé f '( ) L sign d ctt prssion n st pas évidnt si on n considèr pas comm acquis qu la fonction ponntill st toujours au-dssus d la droit d équation y pour 0 Aussi on calcul la dérivé scond d f ;0, 0 f ' st décroissant f ''( ) Or on sait bin qu pour 0;, 0 f' st croissant On voit donc qu f '0 st un minimum d f f st donc toujours positiv t par suit f st strictmnt croissant sur R D plus sachant qu f 0, f st aussi strictmnt positiv sur R 3 La fonction ponntill 4 Trminal S

5 Ensignmnt spécifiqu f ( ) 0 En fft on a alors 0 t lim Grac au théorèm d minoration on put donc conclur qu lim c Posons = donc lim D après c qui précèd, théorèm sur la composé d limits, lim Or pour tout rél non nul, Ainsi, lim lim Donc d après l t donc lim 0 VII Dérivé d Si u st un fonction dérivabl sur l intrvall I, alors la fonction : st dérivabl sur I t 3 La fonction ponntill 5 Trminal S