1 Exponentielles de base a

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1 Lycée Sainte Geneviève BCPST Révisions : Fonctions usuelles et trigonométrie. Exponentielles de base a Définition. Pour tout a ]0,+ [, on définit la fonction x a x par x R,a x = e xln(a) Proposition. (x,y) R, a x+y = a x a y x R, a x = a x (x,y) R a xy = (a x ) y (a,b) (R +), x R,a x b x = (ab) x Proposition. L application x a x est C sur R, sa dérivée première est x ln(a)a x et elle est strictement croissante si a ],+ [ strictement décroissante si a ]0,[ constante si a = a ]0,[ a > a = Figure Exponentielles en base a. Proposition 3. (a,b) (R + ), x R, a x b x = (ab) x a R +, (x,y) R, (a x ) y = a xy

2 . Deux remarques importantes pour dériver I est un intervalle de R. { Proposition 4. Si u : I R + est une fonction dérivable à valeurs strictement positives, alors f : I R est dérivable et sa dérivée vaut : x I, f x ln(u(x)) (x) = u (x) u(x) Proposition 5. Si u { : I R + est une fonction dérivable à valeurs strictement positives, et si v : I R I R est dérivable alors f : x u(x) v(x) est dérivable et sa dérivée vaut x I, f (x) = ( ) v (x)ln(u(x))+ v(x)u (x) e v(x)ln(u(x)) u(x) Fonctions puissances Définition {. Soit α R, on appelle puissance d exposant α l application R p α : + R x x α = e αlnx Proposition 6. Pour tout α R, p α est C sur R + et x R +, p α (x) = αxα Remarque Si α > 0 on peut prolonger p α par continuité en 0 en posant p α (0) = 0. Et si α alors ce prolongement est dérivable en 0. α > α = α ]0,[ α = 0 α < 0 Figure Fonctions puissances x x α.

3 3 Comparaisons locales des fonctions ln, exp, puissances 3. Au voisinage de + Proposition 7. lim x + lnx x = 0 Proposition 8. Pour tout (a,b) (R + ), lim x + (lnx) a x b = 0 Proposition 9. Pour tout a ], + [ et pour tout α R, lim En particulier lim x + x α e x = 0 x + x α a x = 0 Corollaire. Pour tout a ],+ [ et pour tout α R, lim x + (lnx) α a x = 0 3. Au voisinage de 0 Proposition 0. Pour tout (a,b) (R + ), lim x 0 + xb lnx a = 0 En particulier lim x 0 + xlnx = Au voisinage de Proposition. Pour tout a ],+ [, et pour tout α R, lim x ax x α = 0 En particulier lim x ex x α = 0 3

4 4 Fonctions circulaires 5 Sinus et arcsinus 5. Sinus Proposition. (définition) sin : R R est impaire - périodique -antipériodique i.e. sin(x + ) = sin(x) bornée : sin(r) = [,] C sur R avec sin = cos et même n N, x R, sin (n) (x) = sin ( x+n ) Proposition 3. sin(x) = sin(y) x y[] ou x y[] 5. Arcsinus Remarque sin : R R n est pas une bijection donc elle n a pas de réciproque. Par contre la restriction de sinus à [, ] qu on note sin [ est continue et strictement croissante donc elle réalise une bijection, ] de [, ] sur [ sin ( ),sin ( )] = [,] Définition 3. On appelle arcsinus l application réciproque de sin [, ] : arcsin : [,] [, ] x arcsin(x) Ainsi on a x [,], y [, ], y = arcsin(x) x = sin(y) Proposition 4.. x [,], sin(arcsinx) = x. x [,], cos(arcsinx) = x x 3. x ],[, tan(arcsinx) = x 4. x [, ], arcsin(sinx) = x Đ Attention La propriété (4) n est plus vraie si x / [, ]! Par exemple si x =, alors sin(x) = 0 et arcsin(0) est l arc dans [, ] dont le sinus vaut 0 et c est donc 0. D où arcsin(sin()) = 0 4

5 Proposition 5. La fonction arcsin est : impaire continue et strictement croissante sur [,] dérivable et même C sur ],[ (Attention!) et x ],[, arcsin (x) = x y = x arcsin sin Figure 3 Graphes symétriques des fonctions sin et arcsin. 6 Cosinus et arccosinus 6. Cosinus Proposition 6. (définition) cos : R R est paire - périodique -antipériodique i.e. cos(x + ) = cos(x) bornée : cos(r) = [,] C sur R avec cos = sin et même n N, x R, cos (n) (x) = cos ( x+n ) Proposition 7. cos(x) = cos(y) x y[] ou x y[] 5

6 6. Arccosinus Remarque cos : R R n est pas une bijection donc elle n a pas de récirpoque. Par contre la restriction de cosinus à [0,] qu on note cos [0,] est continue et strictement décroissante donc elle réalise une bijection de [0, ] sur [, ] Définition 4. On appelle arccosinus l application réciproque de cos [0,] : arccos : [,] [0,] x arccos(x) Ainsi on a x [,], y [0,], y = arccos(x) x = cos(y) Proposition 8.. x [,], cos(arccosx) = x. x [,], sin(arccosx) = x x 3. x [,]\{0}, tan(arccosx) = x 4. x [0,], arccos(cosx) = x Đ Attention La propriété (4) n est plus vraie si x / [0,]! Par exemple si x =, alors cos(x) = et arcsin( ) est l arc dans [0,] dont le cosinus vaut et c est donc. D où arccos(cos( )) = Proposition 9. La fonction arccos est : continue et strictement décroissante sur [,] dérivable et même C sur ],[ (Attention!) et x ],[, arccos (x) = x 6

7 y = x arccos cos 7 Tangente et arctangente 7. Tangente Figure 4 Graphes symétriques des fonctions cos et arccos. Proposition 0. (définition) tan est une application définie sur R\{ +k ; k Z} à valeurs réelles qui est impaire - périodique C sur chaque intervalle ] +k, +k[ avec tan = +tan = cos Figure 5 La fonction tangente. Proposition. tan(x) = tan(y) x y[] 7

8 7. Arctangente Remarque tan n est pas une bijection sur R car elle n est même pas définie sur R. Par contre la restriction de tangente à ], [ qu on note tan ] est continue et strictement croissante donc elle réalise une, [ bijection de ] ] [, [ sur lim tan(x), lim tan(x) =],+ [= R x x Définition 5. On appelle arctangente l application réciproque de tan ], [ : arctan : R ], [ x arctan(x) Ainsi on a x R, y ], [, y = arctan(x) x = tan(y) Proposition.. x R, tan(arctanx) = x. x ], [, arctan(tanx) = x Đ Attention La propriété () n est plus vraie si x / ], [! Par exemple si x =, alors tan(x) = 0 et arctan(0) est l arc dans ], [ dont la tangente vaut 0 et c est donc 0. D où arctan(tan()) = 0 Proposition 3. La fonction arctan est : impaire continue et strictement croissante sur R dérivable et même C sur R et lim x arctan(x) = x R, arctan (x) = +x et lim x + arctan(x) = 8

9 tan y = x arctan Trois inégalités à connaître Figure 6 Graphes symétriques des fonctions tan et arctan. Proposition 4. Ce qui s écrit aussi : x R +, ln(x) x x ],+ [, ln(+x) x Proposition 5. x R, e x x+ Proposition 6. Et par imparité on a aussi : x R +,sin(x) x x R, sin(x) x 9

10 8. Formulaire Proposition 7. Pour tout (a,b,x) R 3 on a : acos(x)+bsin(x) = rcos(x ϕ) où r = a +b et ϕ est défini par a r = cos(ϕ) b r = sin(ϕ) Dans les formules suivantes, x, a, b, p, q désignent des réels. Théorème de Pythagore cos x+sin x = Formules d addition cos(a+b) = cosacosb sinasinb cos(a b) = cosacosb+sinasinb sin(a+b) = sinacosb+sinbcosa sin(a b) = sinacosb sinbcosa tan(a+b) = tana+tanb tanatanb Formules de duplication cosa = cos a = sin a sina = sinacosa Formules de factorisation cosp+cosq = cos p+q cos p q cosp cosq = sin p+q sinp+sinq = sin p+q sin p q cos p q Passage à l angle moitié t = tan x Formules d Euler sinp sinq = cos p+q cosx = t +t sinx = t +t tanx = t t cosx = eix +e ix sinx = eix e ix i sin p q 0