Chapitre II - Complexes (Partie I)

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1 vq vq Forme lgérique d un nomre complexe Chpitre II - Complexes (Prtie I) Théorème. et définition. Il existe un ensemle noté C, ppelé ensemle des nomres complexes, tel que :. l ensemle C contient l ensemle R.. l ddition et l multipliction dns C suivent les mêmes règles de clcul que dns R. 3. C contient un élément, noté i, tel que i =. 4. tout nomre complexe z s écrit de mnière unique z=+i vec et réels. Définition. L écriture z=+i vec et réels s ppelle l forme lgérique de z. est l prtie réelle de z, on l note =Re(z) est l prtie imginire de z, on l note =Im(z) Remrque. z=i ( R) est un imginire pur. Exemple. Si z =5 3i lors Re(z )=5 et Im(z )= 3 z = 8 est un réel et z 3 =i est un imginire pur 0 est le seul nomre complexe à l fois réel et imginire pur. Représenttion grphique d un nomre complexe Le pln est muni d un Repère rthonormé Direct (;,vq ). Définition. Affixe d un point Soit et réels. À tout complexe z=+i, on ssocie l unique point M(x;y) du pln complexe. M est ppelé l imge de z. n note. Réciproquement, à tout point M(x; y) du pln complexe, on ssocie l unique complexe z=+i ppelé l ffixe du point M ou du vecteur M. n note z M. Remrque. n peut identifier C u pln qui est lors ppelé pln complexe. L xe (; ) est ppelé l xe des réels. L xe (; vq ) est ppelé l xe des imginires purs. xe des imginires purs A Exemple. Le point A(0;) pour ffixe z A =i. z B =3 est l ffixe du point B de coordonnées (3;0). Le nomre complexe z= i pour imge le point C(; ). B xe des réels C 3 pértions sur les complexes Pour effectuer des clculs dns C, il suffit d utiliser i = et les mêmes règles de clculs que dns R. Proposition. Soient deux nomres complexes écrits sous forme lgérique z=z=+i et z = +i (,, et réels). Somme de deux complexes : z+z =(+i)+( +i )= (+ )+i(+ ) Produit de deux complexes : zz =(+i) ( +i )= ( )+i( + ) Inverse d un complexe non nul : z = +i = i + Démonstrtion. Dns le chier de ord Remrque. Un cs prticulier de produit : (+i) ( i)= + Quotient de deux nomres complexes : z z = +i +i = (+i)( i ) ( +i )( i ) Exemple 3. Mettre sous forme lgérique les complexes suivnts : z =(3 i)(i 4) ; z = +6i et z i +5 3= +3i. z =(3 i)(i 4)=3i i +8i=3i ++8i= 0+ i z = +6i = ( 6i) (+6i)( 6i) = i +36 = i 37 z 3 = i+5 +3i = (i+5)( 3i) ( +3i)( 3i) = i 6i 5 5i = 7i = i

2 vq T le S Chpitre II - Complexes (Prtie I) Guist hu - 04/05 4 Églité de deux complexes Théorème. Deux nomres complexes sont égux si, et seulement si, ils ont l même prtie réelle et l même prtie imginire. +i= +i équivut à = et = Remrque. Soit z=+i ( et réels) z est un réel si, et seulement si, Im(z)= =0 z est un imginire pur si, et seulement si, Re(z)= =0 z=0 si, et seulement si, =0 et =0 Exemple 4.. Déterminer les réels x et y tels que (i 3)x+4i y(i )= +i (i 3)x+4iy(i )= +i ix 3x 8y 4iy= +i 3x 8y+i(x 4y)= +i 3x 8 y = x 4 y = x= 4 5 y= 0. Résoudre dns C l éqution i z + =. n pose z=x+iy vec x et y réels. i Pour z, = i=(z+) z + i=(x+iy)+ i=x++i(y) x+=0 y= x= y= 0,5 donc l éqution i z + = pour solution z= i. 3. À quelle condition le nomre complexe z=x++i( ix+x)+3i 3ix est-il un imginire pur? z=x++i( ix+x)+3i 3ix=(x+)+(3 x)i z imginire pur équivut à Re(z)=0, ce qui équivut à x+=0 soit x= 4. Dns le pln muni d un repère orthonormé, déterminer l ensemle des points M(x; y) tels que Z = x++i y soit un réel. x+i(y ) Z = x++i y x+i(y ) (x++i y)(x i(y )) = x +(y ) = y y i y +x +ix+x+i x +(y ) = y y +x +x+i(x y +) x +(y ) x y+ d où Im(Z) = x +(y ) donc Z réel équivut à Im(Z)=0, ce qui équivut à x y+ x +(y ) =0 soit x y+=0 et (x;y) (0;) L ensemle cherché est l droite d éqution x y + = 0 privée du point de coordonnées (0; ). 5 Conjugué d un nomre complexe Définition 3. Le conjugué d un nomre complexe z=+i est le nomre complexe noté z = i. Exemple 5. Si z=5 i lors z =5+i 7i= 7i Si Z = 8 lors Z = 8 Exemple 6. Résoudre dns C l éqution iz =z+i. n pose z=x+iy vec x et y réels. Alors z =x iy. iz =z+i i(x iy) =(x+iy)+i ix+y =x+yi+i y +ix=x+(y+)i y =x x= y+ x= donc l éqution iz =z+i pour solution z= i. y = Interpréttion géométrique Les imges de z et z sont symétriques pr rpport à l xe des réels. Proposition. z+z =Re(z) et z z =Im(z) M (z ) Proposition 3. z est un réel si, et seulement si, z = z z+z =0 Re(z)=0 z est un imginire pur si, et seulement si, z =z z z =0 Im(z)=0 Remrque. En cs de doute, vérifier pour des cs simples : z=5 (réel) équivut à z=z =5 z=3i (imginire pur) équivut à z= z =3i Proposition 4. pértions sur les conjugués Soit z et z deux nomres complexes. z+z =z +z zz =z z et z n =z n ( )= z zz z et = z z z =z Proposition 5. Si z=+i lors zz = + (réel positif ou nul). Démonstrtion. Immédite, dns le chier de recherche

3 T le S Chpitre II - Complexes (Prtie I) Guist hu - 04/05 6 Éqution du second degré à coefficients réels Théorème 3. Soit l éqution z +z+c=0, d inconnue z C, où, et c sont des réels ( 0). Le discriminnt de cette éqution du second degré est le réel : = 4c.. Si >0 : L éqution z +z+c=0 solutions réelles distinctes : z = et z = +. Si =0 : L éqution z +z+c=0 une solution doule réelle : z 0 = 3. Si <0 : L éqution z +z+c=0 solutions complexes conjuguées : i +i z = et z =z = Démonstrtion. Dns l chier de ord Exemple 7. x = 3 pour solutions 3 et 3 et x = 7 pour solutions i 7 et i 7. Exemple 8. Résoudre dns C les équtions suivntes : 0z +z =0 et z 4 +6z 7=0.. 0z +z =0 pour discriminnt : = 36<0 et =6 donc cette éqution deux solutions complexes conjuguées : z = 6i = +3i et z 0 0 =z = 3i 0. Posons Z =z. L éqution z 4 +6z 7=0 est équivlente à Z +6Z 7=0. Z +6Z 7=0 pour discriminnt : =64>0 donc cette éqution deux solutions réelles : Z = 6 8 = 7 et Z = 6+8 = d où z 4 +6z 7=0 z = 7 ou z = z= 7i ou z=7i ou z= ou z= n en déduit donc que z 4 +6z 7=0 pour ensemle de solutions S = 7i;7i; ;} Proposition 6. Dns C, le trinôme z +z+c peut toujours être fctorisé (éventuellement vec z =z =z 0 ) z +z+c=(z z )(z z ) 7 Module, rgument et forme trigonométrique Le pln est muni d un Repère rthonormé Direct (;,vq). Définition 4. Soit z=+i un nomre complexe et M(;) le point d ffixe z. Le module de z, noté z est égl à l distnce M =r z =r= + Un rgument de z (z non nul), noté rgz est une mesure de l ngle orienté θ= ( ;M ) cosθ= r rgz=θ+k π(k Z) vec sinθ= r vq z =r rgz=θ n note rgz=θ[π] et on dit «rgument de z égl à θ modulo π» Remrque. z est un réel positif. Dns le cs z =, on retrouve les propriétés du cercle trigonométrique. n verr ussi l nottion rgz θ[π] et on dir «rgument de z congru à θ modulo π». A Exemple 9. Dns le pln complexe, plcer les points A et B tels que : z A = et rg(z A )= 3π 4 [π] z B = et rg(z B )= 5π [π] 6 Exemple 0. Déterminer l ensemle E des points M d ffixe z du pln tels que : z =5. z =5 M =5 donc E est le cercle de centre et de ryon 5. Exemple. Déterminer l ensemle E des points M d ffixe z du pln tels que : rgz= 3π 4 [π]. rgz= 3π 4 [π] ( ;M ) = 3π 4 [π] donc E est l demi-droite d origine exclu et pssnt pr M ( B +i ). 0 Proposition 7. z =zz = + 3

4 vq T le S Chpitre II - Complexes (Prtie I) Guist hu - 04/05 Théorème 4. et définition. Tout nomre complexe z non nul peut s écrire sous l forme : z=r(cosθ+isinθ) où r= z et rgz=θ[π] Cette écriture est ppelée forme trigonométrique de z. Démonstrtion. Dns le chier de ord Remrque. Un nomre complexe écrit sous l formez=r(cosθ+i sinθ) vec r>0 pour module z =r et pour rgument rgz=θ[π]. Deux nomres complexes non nuls sont égux si, et seulement si, ils ont même module et même rgument modulo π. Si l on connît r= z et θ= rgz[π] lors (z=r(cosθ+isinθ)) z=r(cosθ+isinθ)=(r cosθ)+i(r sinθ) ou =rcosθ =r sinθ donne z=+i Si l on connît et lors r= z = + on fctorise z pr r : z=r et on identifie r et r cosθ= r sinθ= r +i r r (z=+i) u cos et u sin d un ngle θ ou permet de déterminer θ=rgz[π] Exemple. Déterminer le module et l rgument de z = 5 +i 5 et l écrire sous forme trigonométrique. r= z = ( ) 5 + ( ) 5 = 5+5= 0 Méthode : (on fctorise z pr r= z = 0 ) ( z = 5 +i 5= 0 5 ) 5 +i = 0 ( +i = 0 ) 0 0 +i forme trigonomérique de z d où rg(z)= 3π 4 [π] Méthode : (on clcule cosθ= r et sinθ= r ) cosθ= 5 = 0 = et sinθ= 5 = 0 = d où rg(z)= 3π 4 [π] on en déduit l forme trigonométrique z ( = 0 ) +i Exemple 3. Écrire sous forme lgérique le nomre complexe z de module 4 et d rgument π 6. z =4 ( cos ( π ) ( π)) ( ) 3 6 +isin 6 =4 i ( π) 3 = 3 i (on ussi : =4cos 6 =4 = 3 ( π et =4sin 6 ) =4 = ) Proposition 8. Soit z est un nomre complexe non nul,. z est un réel si, et seulement si, rgz=0[π] ou rgz=π[π] (ou ien rgz=0[π]). z est un imginire pur si, et seulement si, rgz=± π [π] (ou ien rgz= π [π]) Proposition 9. Module et rgument de l opposé et du conjugué Soit z un nomre complexe non nul. rgz = rgz rg( z)=rgz+π z = z = z M ( z) rgz+π z z rgz z rgz M (z ) z i Exemple 4. Soit z un complexe tel que z i et Z =. Montrer que Z =. z+i Z = z i z i z i z+i = = z+i z+i = z+i z+i = (cr z i = z i et z i=z ī =z+i) Proposition 0. Soit z et z deux nomres complexes non nuls et n un entier nturel.. zz = z z et rg(zz )=rg(z)+rg(z )[π]. z n = z n et rg(z n )=nrg(z)[π] 3. z = z z z et z rg z = rg(z) rg(z )[π] Exemple 5. Clculer le module et l rgument de (+i) 8. (+i) 8 = +i 8 = ( ) 8 = 4 = 6 (cr z 8 = z 8 ) rg(+i) 8 =8rg(+i)=8 π = 0[π] (cr rg(z8 )=8rg(z)[π]) 4

5 T le S Chpitre II - Complexes (Prtie I) Guist hu - 04/05 8 Interpréttion géométrique des nomres complexes Le pln est muni d un Repère rthonormé Direct (;,vq). Définition 5. Affixe d un vecteur À tout vecteur (;) du pln complexe, on ssocie l unique complexe z=+i. z est ppelé l ffixe du vecteur. n le note z. Proposition. z +z =z et z + k =kz (vec k R) Démonstrtion. Dns le chier de ord. Proposition. Soit A et B deux points d ffixes z A et z B,. z AB =z B z A. AB= z B z A 3. ( ;AB ) = rg(z B z A )[π] si A B 4. Soit I milieu de [AB], z I = z A+z B Exemple 6. Soient A, B et C trois points du pln dont les ffixes sont : z A = 3+i ; z B = i et z C =4+3i.. Déterminer l ffixe du vecteur AB. z AB =z B z A = 3+i ( )= 3i donc AB 3. Déterminer l ffixe du point D tel que ABCD soit un prllélogrmme. ABCD prllélogrmme AB = DC z AB =z DC 3i=4+3i z D z D =+6i 3. Déterminer l ffixe du centre I du prllélogrmme ABCD. n en déduit que z I = za+zb = 3+i+( i) = +4i = +i Proposition 3. Soit A, B, C et D qutre points deux à deux distincts d ffixes z A, z B, z C et z D, zd z AB ;AC = rg C [π] z B z A Exemple 7. Soit A, B et C trois points d ffixes respectives : = i ; =+i et c=3 i. n pose Z = c. Clculer Z et en déduire l nture de ABC. Z = c = AC AB et rgz=( AB ;AC ) [π] Z = c = (3 i) ( i) (+i) ( i) = i +i = i +i i i = 5i 5 = i n en déduit que : Z = i et rg(z) = rg( i) AC AB = π AB ;AC = [π] AC = AB donc ABC est un tringle rectngle isocèle en A. Exemple 8. Déterminer l ensemle E 3 des points M d ffixe z du pln tels que Z = z + est un imginire pur. z Z = z+ z imginire pur Z = Z z + z = z+ z (z +)(z )= (z )(z+) et z zz = zz = z = z = donc E 3 est le cercle de centre et de ryon privé du point d ffixe. ou ien Soit z=x+iy (x et y réels). Z = z+ z = x+iy+ x+iy = x++iy x +iy x iy x iy = x+(+iy) (x )+iy x (+iy) (x ) iy = x (+iy) (x ) (iy) = x +y yi (x ) +y Z = z+ imginire pur Re(Z)=0 z ( x Re +y ) yi (x ) +y =0 x +y =0 et (x,y) (,0) x +y = donc E 3 est le cercle de centre et de ryon privé du point d ffixe. 5

6 T le S Chpitre II - Complexes (Prtie I) Guist hu - 04/05 Exemple 9. Résoudre dns C l éqution : z +7=0. z +7=0 z = 7 z =(i 7) z=7i ou z= 7i donc z +7=0 pour solutions 7i et 7i. Exemple 0. Développer ( ) 3 puis résoudre dns C l éqution z + ( ) 3 z+ 3 =0. ( ) 3 =4 3 z + ( ) 3 z 3=0 ) 4 ( ) ( ) ( ) 3 = 4+ 3= 4 3 = 3 <0 soit pour discriminnt : = ( 3 donc cette éqution deux solutions complexes conjuguées : z = + 3 ( ) i 3 Exemple. Ensemles de points Soit le complexe z=x + y x 3+i(x + y). Déterminer l ensemle E des points M d ffixe z tel que z soit un imginire pur. z imginire pur Re(z)=0 x x +y 3=0 (x ) +y 3=0 (x ) +y = donc E est le cercle de centre Ω(;0) et de ryon. et z =z = + 3 ( ) +i 3 = ( ) 3 vq z =r= rgz=θ N(z) Si l on connît r= z et θ= rgz[π] lors z=r(cosθ+isinθ)=r cosθ+ir sinθ =r cosθ =r sinθ Si l on connît et lors z = + cosθ= r sinθ= r permet de déterminer θ= rgz[π] 6