Nombres complexes. i² = -1

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1 Prof : Hadj Salem Habb I ] Forme 1. Défntons Le nombre complexe est tel que algébrque ² = -1 Un nombre complexe s'écrt de façon unque sous la forme a + b ; a IR, b IR C = ensemble des nombres complexes ( N Z ID Q R C ) On dt que a + b est la forme algébrque du nombre complexe. a est la parte réelle de, on note a = Re() b est la parte magnare de, on note b = Im(). Les complexes de la forme b avec b IR, sont appelés magnares purs.. Représentaton géométrque d'un nombre complexe Le plan rapporté à un repère orthonormal drect (O;u;v) est appelé plan complexe = a + b, on peut assocer le pont M(a ; b) ou le vecteur w (a ; b). complexe. u L'axe des abscsses est appelé l'axe des réels L'axe des ordonnées est appelé l'axe des magnares. = a + b est l'affxe de M et de w. M(a ; b) est l'mage ponctuelle, w (a ; b) est l'mage vectorelle de = a + b. Le pont Q (-a ; -b), symétrque de M par rapport à O a pour affxe -, opposé de. Le pont N(a ; -b), symétrque de M par rapport à l'axe des abscsses a pour affxe le complexe appelé conjugué de et noté. S = a + b alors = a b. S M a pour affxe = a + b et s M' a pour affxe ' = a' + b', alors le vecteur MM' a pour affxe ' - = (a' - a) + (b' - b) le mleu I de [ MM' ] a pour affxe I = + ' α+ β' le barycentre G de (M ; α) et (M ' ; β) a pour affxe G = α + β (α + β 0). nombre nombre 3. Proprétés dans C : pour = a + b, ' = a' + b' Deux nombres complexes sont égaux s et seulement s, ls magnare. : = ' a = a' et b = b' ddton : + ' = (a + a' ) + (b + b ' ) Produt : ' = (a a' b b' ) + (a b' + b a' ) Inverse : pour non nul : 1 1 a = = b a+ b a² + b² a+ b (a+ b)(a' b') Quotent : pour ' non nul : = = ' a' + b' a'² + b'² ont même parte réelle et même parte Proprétés de : ² = -1 ; 3 = - ; 4 = 1 ; 1 = =. ² Proprétés des nombres complexes conjugués : = ; + ' = + ' ; ' = - ' ; ' = = (a + b) ( a b) = a² + b² est un réel postf ou nul. 1 1 S ' # 0 = ' ' est réel = ; = ' ' ; est magnare pur = - ' ; Prof : Hadj Salem Habb Page 1

2 Prof : Hadj Salem Habb II] Forme trgonométrque 1. Module d'un nombre complexe S le pont M est l'mage du complexe = a + b ( a IR, b IR) dans le plan complexe C, on appelle module de,noté, la dstance OM Proprétés : = 0 = 0 ; - = ; + ' + ' Pour ' non nul : ' =. ' ; 1 1 ' = = et ' ' '² n = n ; = ' = ' S M a pour affxe et s M' a pour affxe ' alors OM = et MM' = ' - S u a pour affxe, alors IIuII =.. rgument d'un nombre complexe Défnton : Un argument du nombre complexe non nul est une mesure de l'angle polare du pont M dans le plan complexe mun du repère(o;u;v), c'est à dre une mesure θ de l'angle orenté(u;om). π Le réel 0 n'a pas d'argument. Le nombre complexe a pour module 1 et pour argument +. Proprétés : L'argument d'un nombre complexe n'est pas unque, l est défn modulo π. S θ est un argument de, on notera arg = θ [ π ] ou arg = θ + kπ (k ZZ ) On appelle argument prncpal de l'argument de appartenant à ]-π ; π]. Tout réel postf a un argument égal à 0. Tout réel négatf a un argument égal à π. Tout nombre magnare pur, de parte magnare strctement postve a un argument égal à π et tout nombre magnare pur, de parte magnare strctement négatve a un argument égal à - π. Sot nombre complexe non nul : = a + b, alors = OM = a² + b² ou = = r et arg = θ [ π ] r= a² + b² a Re() b Im() cos θ= = ;snθ= = r r équvaut à Pour CI * et ' CI *, on a = ' { = ',arg = arg ' [π] et ' étant deux nombres complexes non nuls on a : a = rcosθ b = rsn θ arg(') = arg + arg ' [π] ; arg 1 = - arg [π] arg ' = arg - arg ' [π] ; Pour n enter : arg ( n ) = n arg [π] arg ( ) = - arg [π] ; arg (- ) = arg + π [π] Prof : Hadj Salem Habb Page

3 Prof : Hadj Salem Habb 3. Forme trgonométrque d'un nombre complexe non nul Tout nombre complexe non nul peutêtre écrt sous la forme : M = r (cos θ + sn θ) avec θ snθ IR et r IR + * C'est la forme trgonométrque de. r est le module de, r = θ est un argument de. θ cos θ 1 r = S = r (cos θ + sn θ) alors Re() = r cos θ et Im() = r sn θ. 1 1 = r (cos(-θ) + sn(-θ)) ; - = r (cos(θ + π) + sn(θ + π)) ; et = (cos ( θ ) + sn ( θ )) r 4. Utlsaton en géométre La noton de dstance correspond au module - La noton d'angle à l'argument., B, C et D étant quatre ponts dstncts d'affxes, B, C et D dans (O;u;v), alors : le vecteur B a pour affxe B -, B = B - l'angle (u;b) a pour mesure arg( B - ) [π] l'angle ( B;CD ) a pour mesure arg( D - C ) - arg( B - ) = arg D B C Comment démontrer que tros ponts, B et C sont algnés : C B;C B est un nombre réel l'angle ( ) arg C B = 0 [π] est nul Comment démontrer que les drotes (B) et (CD) sont orthogonales : D C est un magnare pur B π π l'angle ( B;CD ) a pour mesure ou - arg π D C B = [π] III] Notaton exponentelle Tout nombre complexe non nul de module r et d'argument θ peut s'écrre : = r e θ ; et récproquement, tout nombre complexe qu s'écrt = r e θ ou = r (cosθ + sn θ ) avec r >0 a pour module r et pour argument θ + k π. On a : e θ = 1 et rg ( e θ ) = θ. Prof : Hadj Salem Habb Page 3

4 Prof : Hadj Salem Habb Formules d'euler : Pour tout nombre réel θ on a : e θ = cos θ + sn θ et e θ = cos θ - snθ θ θ θ θ e + e e e alors : cosθ= et snθ= Proprétés : r e θ. r' e θ' = r r' e (θ+θ') 1 1 ; re = θ r e -θ re ; r'e Formule de MOIVRE : pour tout n ZZ, (e θ ) n = e nθ ou (cos θ + sn θ)n = cos (n θ) + sn (n θ) θ ' θ = r r' e (θ-θ') L'utlsaton des formules d'euler et de Movre permet de lnéarser les polynômes trgonométrques, c'est à dre que le polynôme trgonométrque s'écrt unquement avec des termes de la forme a cos(mθ) et b sn (nθ) avec a,b,m, n et θ des réels IV ] Equaton du second degré à coeffcent réels L'équaton a.² + b. + c = 0, où a, b et c sont des réels (avec a 0) admet dans CI deux solutons (éventuellement confondues). Sot = b² - 4ac le dscrmnant de l'équaton b b + s > 0, les deux solutons sont réelles Z 1 = et Z = a a s = 0, une soluton double Z 1 = Z = (-b) / a s < 0, on peut écrre = (δ)² avec δ IR, les deux solutons sont alors des nombres complexes, (conjugués l'un de l'autre) : b δ b b +δ b+ 1 = = ; = = a a a a Le trnôme a + b + c se factorse sous la forme a( - 1 )( - ) V ] Nombres Complexes et cercle Le cercle de centre d'affxe et de rayon r est l'ensemble des ponts M d'affxe vérfant : - = r donc une équaton paramétrque de ce cercle est : = + r e θ Equaton n =a, n > 1, aî Théorème et défnton_ Sot a un nombre complexe non nul d'argument 0 et n un enter naturel non nul. L'équaton n = a admet dans C, n solutons dstnctes défnes par : k æq+ kpö ç è n ø = re, k Î{ 0,1,...,n - 1}, où r est le réel strctement postf tel que r n = a. Ces solutons sont appelées les racnes nèmes du nombre complexe a._ rr Le plan est mun d'un repère orthonormé drect ( O,,j) Lorsque n ³ 3, les ponts mages des racnes nèmes de l'unté sont les sommets d'un polygone réguler nscrt dans le cercle ( O,r). Exemples d'équatons de degré supéreur ou égal à 3 Théorème :_ Sot a 1,a,... et an des nombres complexes tels que an ¹ 0 ; n ³. Sot P() = an n +a n-1 n a1+a0. S 0 est un éro de P, alors P()=(-0)g(), où g() = an n-1 +bn- n b0, avec b0, b1,..., et bn- complexes. Prof : Hadj Salem Habb Page 4

5 Prof : Hadj Salem Habb VI] Nombres Complexes et Transformaton Translaton : sot une translaton de vecteur u d'affxe a ; le pont M (d'affxe ) est transformé en un pont M' (d'affxe ' ) tel que : MM' = u donc ' - = a d'où l'expresson complexe d'une translaton est : ' = + a ; où a est l'affxe du vecteur de translaton. Homothéte : sot une homothéte de rapport k et de centre Ω d'affxe ω ; le pont M (d'affxe ) est transformé en un pont M' (d'affxe ' ) tel que : Ω M' = kωm donc ' - ω = k( - ω) d'où l'expresson complexe d'une homothéte est : ' - ω = k( - ω) ; où ω est l'affxe du centre et k le rapport de cette homothéte. Rotaton : sot une rotaton d'angle θ et de centre Ω d'affxe ω ; le pont M (d'affxe ) est transformé en ΩM; ΩM' = θ donc ' - ω = e θ ( - ω) d'où l'expresson un pont M' (affxe ' ) tel que : l'angle ( ) complexe d'une rotaton est : ' - ω = e θ ( - ω) ; où ω est l'affxe du centre et θ l'angle de cette rotaton. L'applcaton qu au pont M d'affxe assoce le pont M' d'affxe ' =.e θ où θ est un nombre réel fxé, est la rotaton de centre O et d'angle θ. Prof : Hadj Salem Habb Page 5

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