PROPORTIONNALITE. Une situation de proportionnalité : prix d'un sac de cerises

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1 PARTIE 1 : POINT DE VUE MATHEMATIQUE PROPORTIONNALITE Une situation de proportionnalité : prix d'un sac de cerises Poids du sac de cerise (en kg) Prix payé (en euros) Le prix à payer est proportionnel au poids de cerises acheté. Quel que soit le poids du sac de cerise, un kilo coûte 4 euros. 8e/2kg = 24e/6kg = 28e/7kg = 48e/12kg = 4e/kg coefficient de proportionnalité Dans le cas où les grandeurs sont de natures différentes, le coefficient de proportionnalité est une grandeur quotient. Dans le cas de grandeurs de même nature liée par une relation de proportionnalité, le coefficient de proportionnalité est alors un nombre sans unité. Une situation de proportionnalité : un agrandissement. Exemple : Le grand carré est un agrandissement du petit carré 5 (sans unité) est le coefficient de proportionnalité. Une situation de proportionnalité : une échelle Une échelle est un coefficient de proportionnalité entre les distances réelles et les distances représentées. Une situation de proportionnalité : le théorème de Thalès Les longueurs des côtés du triangle sont proportionnelles aux longueurs des côtés du petit triangle. Toute situation de proportionnalité peut être modélisée par une fonction linéaire. Coef ficient de proportionnalité = coef ficient directeur Plusieurs procédures envisageables : Comment déterminer le prix de 14kg de cerises? Poids du sac de cerise (en kg) Prix payé (en euros) ? 1 On procède à une lecture graphique 2 On utilise le coef ficient de proportionnalité Ce que mathématiquement on écrit : f(14) = 4 x 14 On calcule l'image de 14 par la fonction f 3 On utilise la propriété de linéarité pour l'addition Le prix de 14gk est égal à la somme du prix de 2gk et du prix de 12kg Ce que mathématiquement on écrit : f(14) = f(2) + f(12) Ce qui se justifie ainsi : f(2) + f(12) = 4 x x 12 = 4 x 14

2 4 On utilise la propriété de linéarité de la multiplication Le prix de 14gj est égal à 7 fois le prix de 2gk Ce que mathématiquement on écrit : f(14) = 7 x f(2) Ce qui se justifie ainsi : 7 x f(2) = 7 x 4 x 2 = 4 x 14 Ici, 7 est un opérateur «sans unité». On dit parfois «coef ficient de linéarité», à ne pas confondre avec le coef ficient de proportionnalité. 5 On fait le produit en croix Propriété des «produits en croix» si a/b = c/d alors a x d = b x c 48/12 donc 48 x 14 = 12 x c donc c = 48x14/12 = 56 Nombre total d'élèves Nombre de filles Une situation de proportionnalité : les pourcentages Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles. 0,6 (sans unité) est le coefficient de proportionnalité. Il y a 60% de filles dans la classe. PARTIE 2 : LA PROPORTIONNALITE DANS LE CURSUS DE L'ELEVE C'est tout au long des trois cycles (2,3,4) que se construisent progressivement les connaissances relatives à la notion de proportionnalité «Le chemin est long qui conduit à une bonne maîtrise de ce concept» BO 2015 Le rôle de l'école primaire est de donner l'occasion aux élèves l'occasion de «raisonner proportionnellement» Ces compétences «en acte» développées à l'école primaire pourront entre être formalisées et étudiées pour elles-mêmes au collège Cycle 2 : Les élèves rencontrent des situations de proportionnalité dans les problèmes multiplicatifs Le mot proportionnalité n'est pas prononcé On donne trois valeurs numériques, l'une d'entre elles étant 1. Exemples : Un sac de billes contient 8 billes. Combien de billes dans 5 sacs? > On fait une multiplication Un sac de billes contient 8 billes. Combien de billes pour contenir 40 billes? > On fait une division quotition (appelé aussi division groupement) > On calcule le nombre de parts J'ai 7 sacs de billes. Ils contiennent tous le même nombre de billes. En tout, j'ai 42 billes. Combien de billes contient chaque sac? > On fait une division partition (appelé aussi division partage) > On calcule la valeur d'une part. Cycle 3 : Les élèves continuent à résoudre des problèmes multiplicatifs Dès le CM1, ils commencent à résoudre des situations de proportionnalité dans lesquelles on donne trois valeurs numériques, aucun d'entre elles n'est égale à 1 Ce sont des problèmes dits «de quatrième proportionnelle» Cycle 4 : Toutes les procédures introduites au cycle 3 sont utilisées Le produit en croix est introduit après l'étude de l'égalité des fractions En fin de cycle, les élèves font le lien entre fonctions linéaires et proportionnalité

3 Quatre cadres à envisager : Cadre des grandeurs Dès le cycle 3 Cadre numérique Cycle 4 Cadre graphique Cadre géométrique On met en relation deux grandeurs telles que masse et prix masse et longueur longueur du côté et périmètre d'un carré vitesse et durée On s'intéresse uniquement aux relations entre nombres On représente la relation entre les grandeurs ou entre les nombres dans un système d'axes gradués Agrandissement / réduction Théorème de Thalès Homothéties PARTIE 3 : POINT DE VUE DIDACTIQUE AU CYCLE 3 BO : La proportionnalité doit être traitée dans le cadre de chacun des trois domaines «nombres et calculs» «grandeurs et mesures» «espace et géométrie» CM1 Recours aux propriétés de linéarité additive et multiplicative dans les problèmes mettant en jeu des nombres entiers! : Le tableau de proportionnalité est un outil pratique/intéressant pour structurer les données du problème mais ce n'est pas la finalité. Faire fréquenter aux élèves des situations qui ne sont pas des situations de proportionnalité Se constituer un répertoire de procédures pour traiter des situations de proportionnalité C'est à l'enseignant de choisir les variables didactiques afin de favoriser : 1) Au début de l'apprentissage, au CM1, les procédures utilisant les propriétés de linéarité pour l'addition et pour la multiplication 2) Ensuite, les élèves rencontrent progressivement des situations qui nécessitent de combiner des procédures utilise les propriétés de linéarité. 3) Puis, les variables didactiques sont choisies a fin de nécessiter le retour à l'unité (cas particulier de linéarité 4) Dans ce cas, il faut choisir un coef ficient de proportionnalité simple, un nombre entier ou un nombre décimal simple et surtout pas un rationnel non décimal. Utilisation du coefficient de proportionnalité Le nom n'est pas à connaître par les élèves Utilisé à l'école quand les deux grandeurs sont de même nature et que le coefficient est simple S'appuyer sur le sens!

4 Etre conscient des difficultés que peuvent rencontrer les élèves Dif ficultés : Identi fication et prise en charge des grandeurs en jeu, quand elles ne sont pas présentées dans le tableau Identi fication d'une situation de proportionnalité Exemple : Au marché 3 melons coutent 6 euros. Combien vais-je payer pour 9 melons? (que faut-il ajouter au problème pour qu'il n'y ait pas d ambiguïté «quelque soit le nombre de melons achetés, le prix est le même») Exemple : Je souhaite échanger 20 euros contre des Livres Sterling. Avec 20 euros vous aurez 17 Livres Sterling. Léa a 120 euros. Combien aura-t-elle de Livres Sterling? (que fautil ajouter au problème pour qu'il n'y ait pas d ambiguïté «1 euro = x nb de Livres Sterling») > > > Ajouter une phrase pour permettre aux élèves de comprendre qu'il s'agit d'une situation de proportionnalité Utilisation erroné d'une stratégie additive (erreur classique) Faire comprendre qu'un agrandissement respecte les proportions Nature des nombres et des grandeurs en jeu Un ou plusieurs décimaux dans les données rendent la compréhension du problème plus dif ficile. Les relations entre les nombres in fluent sur la procédure pouvant être utilisée. Certaines grandeurs, comme lex prix, sont familières aux élèves. Les problèmes d'échelles, de pourcentages, de vitesses sont moins familiers. Des situations faisant intervenir des pourcentages, des échelles, des vitesses moyennes sont rencontrées au CM2. Mais aucun procédé expert n'a à être enseigné à ce niveau. Les élèves doivent utilisé des procédures personnelles. Pourcentages à l'école Dès le CM2 avec des valeurs numériques adaptées qui permettent l'utilisation de procédures s'appuyant sur des raisonnements habituellement mobilisés par les élèves pour traiter les situations de proportionnalité Utiliser/combiner les propriétés de linéarité par exemple PARTIE 4 : CONCLUSION, la proportionnalité au CRPE Point de vue mathématique : Fonctions linéaires / représentations graphiques Calculs de pourcentages Exercices autour des vitesses Travail sur les échelles, les agrandissements et réductions Théorème de Thalès Homothétie Point de vue didactique : Analyser des travaux d'élèves, décrire les procédures utilisées Modifier les variables didactiques pour favoriser une procédure donnée Déterminer si la situation est une situation de proportionnalité ou non, en argumentant la réponse

5 Des travaux d'élèves (source revue n 90 «petit x» Travaux d'arnaud Simard (2012)) Dans la recette du poulet au citron, il faut 2 citrons pour 5 personnes. Combien faut-il de citrons pour 20 personnes? Il faut utiliser une propriété de linéarité multiplicative Quatre productions d'élèves de CM1/CM2 Elève 1 Elève 2 L'élève dessine 4 tables de 5 personnes Il utilise la linéarité additive L'élève fait un schéma : une droite Il utilise la linéarité additive Elève 3 Elève 4 L'élève utilise la linéarité de propriété additive et ensuite la multiplicative 2 citrons pour 5 personnes - 4 citrons pour 10 personnes - 6 citrons pour 15 personnes - 8 citrons pour 20 personnes 2 x 4 = 8 5 x 4 = 20 Retour à l'unité IL faut 0,4 citron pour 1 personne (avec une division) 20 x 0,4 = 8 Deux productions d'élèves de 6ème L'élève fait un tableau Cas classique d'un élève à qui on a présenté le retour à l'unité et qui cherche à l'appliquer Calcule le nb de personnes par citron n'arrive pas à faire /2,5 alors il multiplie