SOLUTION OPTIMALE POUR LA RECHERCHE DU MEILLEUR CHEMIN INTERMODAL

Transcription

1 4 e Conférence Francophone de MOdélsaton et SIMulaton Organsaton et Condute d Acttés dans l Industre et les Serces MOSIM 03 du 3 au 5 arl Toulouse (France) SOLUTION OPTIMALE POUR LA RECHERCHE U MEILLEUR CHEMIN INTERMOAL Mounr BOUSSEJRA, Chrstelle BLOCH, Abdellah EL MOUNI Unersté de Technologe de Belfort-Montbélard Laboratore Systèmes et Transports (S.e.T) 9000 Belfort France Mél : mounr.boussedra@utbm.fr RESUME : ans ce paper nous étudons le problème de plus court chemn entre deux ponts, source et destnaton, dans un réseau ntermodal. L'obectf de ce traal est de construre le chemn qu mnmse le nombre de transbordements. Le réseau de transport est modélsé sous forme de graphe. Nous exposons l'algorthme déeloppé pour trouer le plus court chemn en termes de nombre de transbordements, en détallant notamment une phase de mse à our d étquettes assocées aux nœuds du graphe. L'mplantaton de cette soluton et les résultats des tests llustrent ses performances. MOTS-CLES : Plus court chemn, réseau ntermodal, nombre de transbordements.. INTROUCTION e nombreux problèmes nterenant dans le domane du transport terrestre peuent être modélsés et résolus en utlsant les technques mathématques d'optmsaton. Cependant, la lttérature consacrée au transport comporte relatement peu d approches dans lesquelles ces outls de résoluton permettent d aborder des problèmes réels dans leur ensemble. La maorté des contrbutons tratent des modèles smplfés, qu restent lon de la complexté de la pratque. Parm les problèmes les plus ancens et les plus tratés on troue le problème de plus court chemn. Il consste à rechercher le melleur chemn entre des ponts, sources et destnatons, afn de mnmser un crtère précs, généralement le temps et/ou le coût de traet. Il exste dfférentes arantes selon la confguraton du réseau étudé (aec ou sans cycle, dynamque ou statque...) et les contrantes défnes. Un des cas mportants à étuder est la recherche du plus court chemn dynamque qu consste à trouer le melleur chemn dans un réseau dont les temps de traet sont arables (Ahua et al, 999a). ans ce paper nous tratons ce type de problème pour un réseau ntermodal dans lequel ces aleurs sont arables en foncton notamment de la date de départ et du moyen de transport utlsé. Notre obectf est de mnmser le nombre de changements de mode (ou transbordements) pour ondre deux ponts source et destnaton quelconques. Nous proposons un algorthme exact qu utlse une recherche arborescente aec une stratége d exploraton du graphe bdrectonnelle et une méthode smple pour mettre à our des étquettes assocées aux nœuds du graphe. L artcle débute par un certan nombre de défntons nécessares à la compréhenson et la présentaton de la problématque tratée (secton ). Pus un état de l art des approches de résoluton proposées pour ce type de problèmes est fourn (secton 3). La descrpton de notre contrbuton nclut le modèle adopté (secton 4) et le détal de l algorthme proposé en commençant par les prncpes de base (secton 5) et en précsant en partculer la manère dont les étquettes du graphe sont mses à our (secton 6). La complexté de l algorthme est étudée (secton 7). Nous fournssons, enfn, les résultats des tests permettant de uger des performances et de la aldté de cet algorthme (secton 8) aant de conclure (secton 9).. PROBLEMATIQUE ET EFINITIONS Un déplacement ntermodal est défn par l'utlsaton en sére de pluseurs modes de transport pour déplacer des passagers, ou des marchandses, d'une place à une autre (Febbraro et Sacone, 995). Par extenson, le terme ntermodal est utlsé pour décrre un système de transport qu utlse au mons deux modes pour effectuer un traet entre deux ponts Source S et estnaton. Cette caractérstque ndut un certan nombre de contrantes supplémentares dans le problème de recherche de plus court chemn. Le coût et le temps de traet sont arables en foncton de la date de départ et du moyen de transport chos. Ils dépendent également de la dstance entre S et. Enfn des temps d attente sur les nœuds de transbordement (ou temps de correspondance) doent être prs en compte. Ces contrantes rendent le problème encore plus complexe, l appartent alors à la classe des problèmes de plus court chemn dynamque (dynamc shortest path problem, (Ahua et al, 999a), (S. Pallotno et M.G Scutellà, 998)), (Chaban, 997), et est alors connu sous le nom de tme-dependent ntermodal optmum path

2 MOSIM 03 du 3 au 5 arl 003- Toulouse (France) (Zlasopoulos et Wardell, 000). Selon les contrantes consdérées et les obectfs sés, la foncton obectf à mnmser peut aor pluseurs formes, smple ou à crtères multples. Le facteur le plus utlsé généralement pour éaluer le melleur chemn est le temps de traet. ans ce paper, nous supposons que les dates de départ, les modes de transport dsponbles sur chaque nœud (ou staton) ans que les temps de traet correspondants sont des données fxes. e plus la requête formulée à l algorthme précse la date Td S (date de départ de S ) à partr de laquelle le traet peut commencer et la date Ta (date d arrée à ) aant laquelle l dot se termner. Nous tenons compte de pluseurs types de contrantes (respect des dates souhatées Td S et Ta, temps nécessare pour changer de mode de transport à chaque nœud, temps de traet arables). Notre obectf est de trouer le chemn qu mnmse le nombre de transbordements entre les deux ponts S et dont le temps de traet est nféreur ou égal à la dfférence entre les dates Ta et Td S spécfées par l utlsateur. ans (S. Pallotno et M.G Scutellà, 998) les auteurs ont présentés un cas d étude très smlare au notre, qu ls classent dans la catégore des problèmes de plus court chemn multcrtères. Mas dans ce traal, le crtère borné est le nombre de transbordements accepté (une aleur du nombre maxmal de transbordements est connue) et le crtère à mnmser est le coût du traet. Ans, ben que nos obectfs soent smlares à ceux présentés par (S. Pallotno et M.G Scutellà, 998), c est la manère dont ls sont consdérés qu dffère. L approche que nous proposons ne relèe d aucune stratége de résoluton multcrtère. Notre foncton obectf est smple : durant la résoluton du problème seul le premer crtère (nombre de transbordements) est utlsé pour sélectonner la melleure soluton. Le deuxème crtère (temps de traet) n est utlsé que pour éaluer la melleure soluton s deux chemns possèdent le même nombre de transbordements. Cec est lé au fat que la problématque que nous étudons concerne des applcatons dans lesquelles des crconstances partculères mposent de prléger le premer crtère par rapport au second. C est le cas par exemple pour des personnes à moblté rédute ou oyageant aec des bagages encombrants ou pour des marchandses dont le transbordement ndut des rsques, coûts ou problèmes trop mportants. 3. ETAT E L ART La recherche bblographque de Cordeau (Cordeau et al 998) montre que les outls d'optmsaton ont été peu utlsés pour résoudre des problématques lées au transport terrestre, contrarement aux outls de smulaton. Cec est surprenant, connassant le potentel consdérable de ces méthodes pour résoudre les problèmes combnatores et amélorer les performances des systèmes assocés en utlsant les ressources mathématques effcacement (Gambardella et al, 00), (Ahua et al, 999a). ans (Tallard, 998), (Hao, 999), les auteurs montrent l'mportance des méthodes heurstques telles que les algorthmes génétques, et les classent sous le nom de méthodes ou stratéges aec mémore. L utlsaton de ces méthodes est ustfée par la complexté des problèmes d optmsaton et le manque d effcacté des méthodes exactes (temps de calcul est souent mportant). L un des problèmes d optmsaton les plus ancens et les plus tratés dans le domane du transport est le problème de plus court chemn. Sa résoluton a suscté une multtude de traaux, car son effcacté et la qualté des solutons obtenues sont fortement lées au chox de la méthode et de la stratége approprées ans qu aux types de contrantes consdérées (Ahua et al, 00b). Une arété d'algorthmes classques, tels que Bellman 958, stra 959 et Floyd 96 (Gondran et Mnoux, 985) qu datent des années 50 ont été publés. Mas ces algorthmes ne sont pas conçus pour trater les contrantes spécfques lées aux réseaux ntermodaux. Ils ne permettent pas notamment de prendre en compte les temps de traet arables et les temps d attente aux nœuds. Un état de l art assez complet de S. Pallotno et M.G Scutellà (S. Pallotno et M.G Scutellà, 998) met en édence la complexté de ce problème et la qualté des solutons proposées pour le résoudre en sgnalant notamment la possblté de prendre en compte ces temps d attente. Toutefos les auteurs n abordent pas en détal la manère de consdérer ceux-c dans le cas ntermodal. autres publcatons sont consacrées plus partculèrement à ce derner. Elles peuent êtres classées en deux catégores prncpales. La premère (Febbraro et Sacone, 997), (Febbraro et Sacone, 995), (Homafar et al, 993), (Modest et Scomachen, 998), (Zlasopoulos et Wardell, 000), présente les méthodes et stratéges adoptées pour rechercher le chemn, qu elles soent exactes ou heurstques, et se à amélorer les performances des algorthmes déeloppés pour résoudre le problème. La seconde, (Bordman, 997), (Febbraro et Sacone, 995), (Modest et Scomachen, 998), est consacrée aux problèmes lés à la modélsaton et à la représentaton des données. Notre traal s'nscrt dans la premère classe : ben qu l repose sur un prncpe de changement d étquettes nspré de stra 959 (Gondran et Mnoux, 985) et sur les prncpes d optmalté défns par Bellman (S. Pallotno et M.G Scutellà, 998) (secton 6), l trate toutes les contrantes décrtes c-dessus et ntègre en partculer l aspect dynamque. En ce sens, les traaux dont l se rapproche le plus sont certanement ceux de (Zlasopoulos et Wardell, 000), (S. Pallotno et M.G Scutellà, 998). Nous aons déà précsé en quo notre approche dfférat de celle présentée dans (S. Pallotno et M.G Scutellà, 998). En ce qu concerne (Zlasopoulos et Wardell, 000), l exste deux dfférences essentelles. une part, la foncton obectf de (Zlasopoulos et Wardell, 000) est le temps de traet alors que nous recherchons le melleur chemn ntermodal en termes de nombre de transbordements. autre part (Zlasopoulos et Wardell, 000) ne consdèrent pas de date d arrée Ta, alors que notre algorthme, décrt dans les sectons suantes, l admet comme donnée d entrée.

3 MOSIM 03 du 3 au 5 arl 003- Toulouse (France) 4. MOELISATION 'UN RESEAU E TRANSPORT INTERMOAL Le modèle classque utlsé dans la lttérature pour représenter un réseau de transport un-mode est généralement un graphe orenté alué G = ( N, V ) consttué d un ensemble de nœuds N et un ensemble d arcs V étquetés qu connectent les pares de nœuds. ans le graphe, un noeud N représente une staton du réseau et un arc e = ( u, ) représente un segment de route qu connecte les statons u et dans le réseau. Les étquettes assocées aux arcs représentent souent les crtères réels de chox du chemn. Par exemple, dans le cas où elles représentent le coût de traet, la recherche du plus court chemn est effectuée afn de trouer le chemn le mons cher. S elles représentent le temps de traet alors la recherche est effectuée afn de trouer le chemn le plus rapde, et fnalement s ces étquettes représentent la dstance alors on cherche le chemn le plus court. Un réseau de transport ntermodal est souent consdéré comme une généralsaton d un réseau un-mode. Le réseau est agrand par l aout d un ensemble de paramètres (étquettes, arcs, nœuds) relatfs aux dfférents modes et aux paramètres assocés (temps et coût de transfert entre modes, dates de départ, temps de traet etc.). ans l approche proposée, l enronnement du problème est représenté en étendant le modèle classque par l aout des paramètres lés à la arété des modes de transport dsponbles dans le réseau, aux nteractons entre ces modes ans qu aux relatons entre les dates de départ, les temps de traet et les temps d attente ou de changement de modes. Certans modes de transport (bus, tran, etc.) fonctonnent en réalté sur dfférentes lgnes prédéfnes et nous deons consdérer chacune de ces lgnes comme un mode à part entère. e plus, sur certans parcours la proprété FIFO n est pas respectée : partr plus tôt d un pont ne garantt pas que l on arrera plus tôt en un pont, cela dépend de la combnason des modes utlsés et des temps de traet et d attente que cela ndut. Ces deux caractérstques se rencontrent fréquemment dès lors que le réseau étudé est ntermodal (Zlasopoulos et Wardell, 000). e ce fat, le réseau de transport est représenté par le graphe G = ( N, V, X, T ) tel que : N est l ensemble des nœuds du réseau qu représentent les statons. V est l ensemble des arcs qu représentent les segments de route qu connectent les pares de statons adacentes entre elles. X = UX () est l ensemble des modes de transport qu dessert les statons du réseau x() et fnalement T = UT est l ensemble des dates de départ assocées aux modes de transport de toutes les statons du réseau. Pratquement, sot respectement Γ, Γ l'ensemble des prédécesseurs et des succes- + seurs d'un nœud quelconque. Formellement : {Γ =...n N (,) V} et {Γ + =...n N (,) V}. Sur chaque nœud N un ensemble de données X () est défn. Il représente les modes de transport dsponbles sur le nœud pour le reler aec ses successeurs. On peut représenter cet ensemble par X ( ) = U X ( ) tel que X ( ) { x ( ), x( ),..., x ( ) pour tout Γ + on a = }. Chaque mode de transport x () possède un ensemble de dates de départ qu on note par }. Il défnt T x () = { t x (),...,t x () m les dates de départ possbles pour aller du nœud ers le nœud aec le mode x (). T ( x ) = T x ( ) U représente l ensemble des dates de départ possbles sur le nœud pour aller ers le nœud quelque sot le mode utlsé. Enfn, le facteur T x( ) = UT ( x ) défnt l ensemble de toutes les dates de départ qu relent le nœud aec ses successeurs. La dfférence entre une date de départ et une date d arrée sur un nœud quelconque du graphe défnt la aleur du temps d attente sur ce nœud. Le temps nécessare pour effectuer un changement de mode sur ce nœud est auss consdéré comme un temps d attente. La aleur de ce temps sur le nœud est égale à zéro. Elle est également nulle s le mode d arrée à un nœud donné et celu de départ sont dentques (pas de changement). Toutefos, sur S cette aleur est représentée par la dfférence entre la date de départ t chose pour qutter S et la date Td S souhatée par l utlsateur. ans le modèle défn cette aleur représente une étquette assocée au nœud. La notaton Ψ xy l (t) tel que x X (l), y X ( ) et T[ y] t est adoptée pour la représenter. Plus précsément, Ψ xy l (t) représente le temps nécessare pour effectuer un changement de mode (de x à y ) sur le nœud quand on oyage du nœud l ers le nœud en passant par et en quttant ce derner à la date t. Pour chaque couple (x, t) tel que x X () et t T[ y] une aleur du temps de traet φ ( t, x) est assgnée. Elle est représentée par une étquette de l arc (,) et défnt le temps nécessare pour aller du nœud ers le nœud aec un mode de transport x en quttant à une date t. onc chaque arc du graphe porte autant d étquettes que de modes et de dates de départ possbles. Afn d llustrer cec, les tros modes x = x ( ) = x ( ), y y h ( = ) et z = z ( ) = z ( ), de l exemple du réseau schématsé sur la fgure sont représentés par tros arcs dfférents. Mode de Transport : x y φ [] z, ) ( t o z z [] x, ) φ ( t p x zy Ψ h ( tq[ y]) φ h [ y], ) ( t q y Fgure. Représentaton graphque du réseau de transport h

4 MOSIM 03 du 3 au 5 arl 003- Toulouse (France) Un chemn est consttué d une sute de nœuds pour lesquels le couple ( x, t) de départ, aec x X () et t T[ x], et donc les aleurs de φ (t,x) et Ψ xy l (t) qu s en dédusent, sont fxés comme le montre la formule suante : Che mn = {(n = S, x, t ),(n, x, t ),...,(n, x, t ),(nf =, xf, t f ))} + où n N, x X ( ), t T n + n [ x ] et Γ + () La longueur Π S( t ) d un chemn lant le nœud S au nœud en partant de S à la date t est calculée en addtonnant tous les φn n + (t,x ) x et x Ψ ( t ) des nœuds n nn + appartenant à ce chemn. La défnton du chemn sous la forme donnée en () permet à partr de la seule donnée n de dédure la aleur du nœud successeur n +, du noeud prédécesseur n et tous les paramètres assocés. e ce fat, les notatons précédentes peuent être remplacées par φ( n ) et Ψ ( n ) respectement. Le calcul de ΠS(t) peut donc être représenté par la formule suante : ΠS (t) = {( φ (n = S) + Ψ(n )) + ( φ(n ) + Ψ(n )) φ(n f = )}. La longueur du chemn le plus court qu rele S à en partant à la date t est notée par Π S( t ). Fnalement, sot N = { n Che mn / Ψ(n ) n S} l ensemble des nœuds du chemn dont la aleur de temps d attente Ψ ( n ) est non nulle. Le nombre de transbordements dans la soluton retenue est défn mathématquement par la cardnalté de l ensemble N, formellement Trans = N. Après cette présentaton du modèle et des défntons utlsés, nous explquons dans ce qu sut les prncpes de base de l algorthme et la stratége de changement des étquettes utlsée. 5. ALGORITHME E MINIMISATION E TRANSBOREMENT ans cette secton on décrt le prncpe de l'algorthme déeloppé. Celu-c fournt la soluton exacte du melleur chemn dans un graphe orenté alué aec ou sans cycle dont les arcs sont de longueurs postes. Il effectue une recherche arborescente aec une stratége d exploraton bdrectonnelle à la recherche du premer pont d'ntersecton. Pratquement, le graphe est parcouru dans les deux sens à partr des nœuds S et alternatement en construsant progressement des chemns. La constructon consste à chosr pour chaque nœud du chemn, parm tous les couples ( x, t) ( x X () et t T[] x ) possbles, un couple ( x, t) de départ du nœud pour lequel la somme de temps de traet et de temps d attente sot mnmale. e ces chox se dédusent les aleurs φ( t, x) et Ψ yx l (t) ( y X (l) et l Γ ) à utlser pour calculer la longueur du chemn. eux structures de données sous forme de lstes chaînées sont utlsées pour stocer les nœuds élgbles (nœuds dont la aleur actuelle des étquettes est supéreure à la nouelle aleur calculée) pour appartenr au chemn chos. A chaque tératon seuls les nœuds successeurs et prédécesseurs élgbles sont sauegardés dans les lstes. Pratquement, sot SL la lste des ponts successeurs de S (SL = { N / Γ }) et PL la lste des ponts prédécesseurs de (PL = { N / Γ }). La constructon de ces lstes (au cours de l exécuton) est réalsée d une façon alternate. Le parcours de graphe est effectué par rang (à chaque étape on aance dans le graphe d un rang qu est consttué de tous les nœud successeurs, respectement prédécesseurs, des nœuds appartenant aux lstes). Au cours de ce parcours le chemn est construt nœud par nœud et les aleurs des étquettes assocées aux nœuds sont modfées selon la stratége décrte dans le paragraphe 6. Chaque nœud traté est marqué afn qu l ne sot pas traté aux prochanes tératons. Le marquage des nœuds garantt que la soluton fourne par l algorthme est optmale (en terme de nombre de transbordements). e même, la méthode de tratement permet de calculer la aleur du temps de parcours du chemn chos tout au long de sa constructon. Afn d llustrer cec, le code algorthmque suant montre les étapes de base. Mas pour le smplfer seul l aancement à partr du nœud source, étape, est représenté. Le même prncpe de tratement est retenu s le pont de départ est. Sgnalons que dans ce cas le calcul de la aleur mnmale du temps d attente et de sa mse à our (or secton 6) nécesste l aout d nstructons supplémentares. La premère étape de l algorthme consste à ntalser les aleurs des étquettes des nœuds (aleur ntale du chemn) autres que les nœuds S et à l nfn. Etape0. Intalsaton des étquettes ΠSS : = 0; ΠS : = 0; Π S : = N /{ S, }; Constructon des lstes SL : = {S}; PL : = {}; Etape. s SL I PL φ alors allez à Etape5; Etape. pour tout pont SL fare début. noeud : = ; /marquage de ; S + Π comme sut : pour tout pont de Γ + fare / n est pas marqué ; pour chaque mode de transport x X () fare pour chaque date de départ t T[] x fare yx l s ( Π Π + φ (t, x) Ψ ( t) ) alors S S + / l est un pont prédécesseur de qu appartent au plus court chemn de S à ; début yx ΠS : = ΠS + φ (t, x) + Ψ l (t); s SL alors SL : = SL U{ };

5 MOSIM 03 du 3 au 5 arl 003- Toulouse (France) fn s fn pour SL : = SL \ { }; fn pour s SL I PL φ alors allez à Etape5 ; Etape3. Le même prncpe de changement d étquettes qu en étape est retenu, sauf que le pont de départ est le pont et que l on trate les ponts de PL. e plus des nstructons sont raoutées pour le calcul de la aleur des temps d attente sur ces ponts (or secton6). Etape4. Allez à Etape ; Etape5. Fn de l algorthme SL SL h SL X S m l Les prncpales étapes de l exécuton sont llustrées sur l exemple de la fgure. Ben que l algorthme déeloppé trate des graphes étendus (aec une grande arété de modes et de dates), l exemple présenté consdère un cas smplfé. En effet, seuls les chemns possbles entre S et sont représentés. e plus, pour chaque arc une seule étquette, représentant la somme du temps de traet entre ses deux extrémtés et du temps d attente sur son nœud source, est consdérée. Cec permet de rester suffsamment concs dans l artcle tout en llustrant les ponts mportants que sont la constructon des lstes, la recherche des ponts d ntersecton et la sélecton de la soluton. S 0 5 Le schéma suant représente d une façon explcte les dfférentes étapes de l exécuton du code. Π S : = N/{S,}; SL : = {S} ; PL : = {} ; SL PL = φ; SL : = Γ SL SL = {,,l} aec Π S = { 40 }, Π S = { 5}, Sl = {0 }, SL PL = φ ; PL : = Γ PL PL = {h,m} aec Π h = { 4 }, Π m = { 0 }, PL SL = φ SL : = Γ SL SL = {h,m,} aec Π Sh = { 5}, π Sm = { 7 }, Π S = { 0 }, PL SL = { h, m}donc Che = S h Che = S m l h Fgure. Modèle d un réseau alué mn aec un coût de 9 unté. mn aec un coût de 7 unté. 0 m 0 La poltque de tratement des nœuds du graphe utlsée se base sur un parcours en largeur d abord. Elle permet de ne mémorser que les chemns dont la aleur globale du temps de traet est optmale : s, pour arrer à un nœud quelconque, deux chemns sont possbles, alors seul celu dont la aleur du temps de traet global est mnmale est sauegardé. ans l exemple c-dessus, au cours du tratement, le len (, h) est supprmé pusque la aleur du chemn du nœud S au nœud h en passant par le nœud est melleure que celle obtenue en passant par le nœud. Par conséquent, tout chemn qu content ce len est gnoré. e même, le len (, ) n est pas mémorsé pusque la aleur du chemn (déà construt) entre l et est melleure que celle entre et. Comme llustré dans la fgure 4, seuls les deux chemns S--m- et S--h- sont parcourus usqu au pont destnaton. Le chox du melleur chemn est effectué selon la aleur du temps de traet de chacun d eux. S h h 6. STRATEGIE E CHANGEMENT ES ETIQUETTES La méthode de changement des étquettes des nœuds utlsée est basée sur les mêmes prncpes que l algorthme de stra 959 [Gon85] et les condtons m PL Fgure 3. Représentaton graphque de l exécuton PL Fgure 4. Arbre de parcours l

6 MOSIM 03 du 3 au 5 arl 003- Toulouse (France) générales d optmalté défnes par Bellman (S. Pallotno et M.G Scutellà, 998) : la aleur de l'étquette représente la longueur du chemn entre un nœud de départ et les nœuds N du graphe, et elle est modfée s elle est supéreure à une nouelle aleur calculée. Cependant, comme elle s ntègre à une procédure d exploraton bdrectonnelle du graphe à la recherche du premer pont d'ntersecton (or secton 5), l exste deux ponts de départ possble : S et. Pour les chemns ssus de S, les données assocées aux nœuds permettent de fare correspondre aux étquettes Π S (t ) la aleur exacte du plus court chemn de S à : la longueur Π S ( t ). Ans, s l exste pluseurs chemns possbles du nœud S à un nœud donné, comportant le même nombre de transbordements, seul celu présentant l étquette la plus fable sera mémorsé. Par contre, pour les chemns partels aboutssant au pont l est mpossble de calculer une longueur exacte. En effet, les dates de départ exactes des nœuds appartenant à ces chemns (et donc les temps de traet et d attente assocés) ne peuent être détermnées qu au moment où un chemn complet de S à a été construt. Il faut attendre qu un (ou des) pont(s) d ntersecton entre SL et PL aent été dentfés pour calculer la aleur exacte de Π ( t). A défaut, une borne mnmale de Π ( t) est calculée en consdérant la aleur mnmale des temps d attente sur les nœuds appartenant à PL. Afn de calculer cette aleur l algorthme procède de la manère suante : pour chaque pont PL l ensemble Γ est construt. Les ponts appartenant à cet ensemble permettent de dédure les dates d arrée possbles sur. En foncton de ces dates et des dates de départ du nœud une aleur de temps d attente est calculée. La somme de cette aleur et de φ ( x, t) tel que x X ( ) et t T[] x (assocé à chaque date de départ) permet de sélectonner la melleure aleur de Ψ yx l (t) (aec y X (l) et l Γ ) à retenr. Afn de rédure la part de l espace de recherche réellement explorée et donc de dmnuer d autant la combnatore du problème, quatre contrantes temporelles sont défnes. Elles offrent derses manères d élmner, au cours du parcours, des chemns qu ne seront pas des solutons réalsables : - Premèrement, la aleur de ΠS ( t ) est calculée en addtonnant les aleurs de ΠS ( t ) et de Π ( t) au moment où le pont d ntersecton = est dentfé. Toutefos, les aleurs de ΠS ( t ) et de Π ( t) peuent être utlsées aant même d aor réalsé l ntersecton pour tester la fasablté. Pour chaque pont de SL (respectement de PL ), on érfe qu l exste au mons un pont de PL (respectement de SL ) pour lequel la somme de Π t ) et de S ( Π ( t) est nféreure à la dfférence entre T ds et Ta. Snon le pont (respectement ) peut être supprmé de SL (respectement PL ) et s tous les ponts de SL (respectement de PL ) sont dans ce cas alors l algorthme détecte une nfasablté. - euxèmement, la date d arrée au plus tôt au nœud SL est notée par r. Elle représente la somme de la date de départ t de S et de la longueur Π S ( t ) du chemn de S à. Il est donc possble de comparer la date d arrée souhatée Ta aec toutes les date d arrée sur les nœuds appartenant à la lste SL. Tous les chemns pour lesquels r est supéreure à Ta peuent être élmnés. S aucune date d arrée r n est nféreure ou égale à la date Ta alors ce cas représente auss une nfasablté et aucun chemn n est possble. - e même, la connassance des r permet auss de rédure le domane des arables ( x, t) assocées aux éléments de PL en élmnant la possblté de chosr, parm les données ( x, t) dsponbles, celles qu ont des dates de départ nféreures au mnmum des r. ans ce cas, s toutes les dates de départ sur les ponts appartenant à PL sont nféreures à la aleur de r alors on est encore dans un cas d nfasablté. Les couples ( x, t) restants (couples pour lesquels t est supéreur à r ) permettent de mettre à our la aleur mnmale des temps d attente en ces nœuds. - Fnalement, la dfférence entre Ta et la aleur mnmale du temps de traet Π ( t) (borne du temps de traet sur les nœuds de PL ) permet de calculer la date de départ au plus tard de tout nœud de PL. Par conséquent, toutes les dates de départ supéreures à cette aleur maxmale peuent être élmnées. Ans, s l ne reste aucune date de départ possble pour tous PL alors l s agt de noueau d un cas d nfasablté. Les quatre cas d nfasablté présentés sont lés au respect des contrantes temporelles défnes. Un derner cas d nfasablté ensageable est lé à l absence de chemn entre S et dans le graphe, ce qu est possble s celu-c n est pas fortement connexe. ans tous ces cas d nfasablté l algorthme s arrête en ndquant qu aucune soluton n est possble. La poltque de tratement présentée c-dessus permet d élmner de la combnatore et de rédure le champ de la recherche des temps de traet et des temps d attente en rédusant le nombre de dates de départ possbles sur chaque nœud. 7. COMPLEXITE ET OPTIMALITE La complexté des solutons proposées dépend de la talle du problème traté (nombre de nœuds, arcs, étquettes etc.) et du nombre d opératons effectuées afn de trouer la soluton. Zlasopoulos et Wardell (Zlasopoulos et Wardell, 000) éaluent en premère phase la

7 MOSIM 03 du 3 au 5 arl 003- Toulouse (France) complexté de leur soluton par O ( N X T ). Toutefos, le nombre de modes de transport sur chaque nœud est supposé nféreur ou égal à une aleur constante H. Cette caractérstque rédut la complexté de la soluton à 5 O ( N T ). ans notre cas, comme cela a déà été explqué dans les sectons précédentes, le parcours par rang du graphe garantt que le nombre d tératons nécessares pour trouer la soluton (s elle exste) est fn. En plus de la stratége de parcours, le crtère d arrêt utlsé (la rencontre de la premère ntersecton non de) et la stratége de marquage des nœuds garantssent d une façon trale que la premère soluton trouée est l optmale en termes de nombre de transbordements. une façon générale et comme l llustrent la secton 5 et la secton 6, deux cas de tratement sont possbles selon le pont de départ. S le pont de départ est S, alors les arcs du graphe ne sont parcourus qu une seule fos, au moment où leur pont orgne est traté. Pour chaque nœud de départ d un arc donné les ensembles des données ( X et T ) sont auss parcourus une seule fos. e ce fat la complexté de l algorthme est éaluée à O ( V X T ). Sachant que le nombre de successeurs est fxe la complexté dans ce cas est rédute à O( Γ + X T ). ans le second cas (le pont de départ est ), pour chaque nœud traté, deux arcs sont stés pour calculer la aleur du temps d attente sur ce nœud qu les rele. Par conséquent, chaque arc est parcouru deux fos, une premère fos lorsque l on trate son nœud destnaton et une seconde fos lors du tratement de sont nœud d orgne. e même, les ensembles de données ( X et T ) sont stés lors du tratement de deux nœuds (le nœud qu les le et son prédécesseur). e ce fat, la complexté de l algorthme est éaluée alors à O ( V X T ). e ces deux cas, on peut conclure que la complexté ne peut dépasser l ordre de O( V X T ). Toutefos, La poltque de tratement utlsée permet de ne trater que les combnasons (date de départ, mode de transport) qu érfent l ensemble de contrantes temporelles défn, ce qu rédut sblement l espace des arables tratées pendant la constructon du chemn. e même le nombre de modes dsponbles sur chacun des nœuds est généralement nféreur au nombre de modes global X défn pour l ensemble du réseau. Par conséquent les aleurs de X et T utlsées pour le calcul de la complexté sont des aleurs maxmales mas le nombre réel des opératons effectuées est dans la plupart des cas nféreur à cette borne. 8. RESULTATS EXPERIMENTAUX L algorthme déeloppé a été mplanté sur un PC équpé d un processeur GHz, ce qu l permet de dscuter dans cette secton ses performances et sa fablté. Les réseaux sur lesquels des tests ont été effectués sont générés d une façon aléatore. Ils contennent 50, 00 et 000 nœuds. Afn d augmenter le complexté des problèmes nous supposons que chaque nœud possède au maxmum cnq 5 3 destnatons (arcs). En effet, sans lmter le nombre de destnatons la probablté pour qu l exste un chemn drect ou presque drect (un seul transbordement) entre S et est trop mportante et l exemple deent sans ntérêt pour tester ce type d algorthme. Le nombre de modes de transport dans chaque nœud are entre 4 et 7. On suppose que pour chaque mode l y a 00 dates de départ. Afn de érfer les performances de l algorthme proposé, pluseurs tests ont été effectués pour cnq pares de nœuds, Source et estnaton, aec les mêmes eux de données. Le tableau suant présente les résultats de l'exécuton de cet algorthme. Il content le temps de traet, le nombre de transbordements et le temps nécessare pour la recherche de la soluton. Aucune comparason (aec les résultats d autres traaux) n a pu être effectuée pusque notre recherche bblographque ne nous a pas perms d dentfer des traaux tratant la même problématque. Ces résultats permet néanmons de uger de la talle des problèmes qu peuent être résolus par l algorthme et de sa rapdté. Nœuds Temps de traet (mn) Nombre de transbordements Temps CPU (s) 0,5 0,9 3,8 Tableau. Résultats numérques des tests 9. CONCLUSION ans le but de réorganser des réseaux de transport ntermodaux et d'amélorer l'nteracton entre les dfférents modes utlsés au sen du même réseau, nous aons déeloppé un algorthme qu nous permet de détermner le melleur chemn entre deux ponts source et destnaton en termes de nombre de transbordements. Ce crtère est un peu partculer, habtuellement l optmsaton du melleur chemn se fat en termes de longueur du traet. Il est lé à l applcaton de ces traaux qu concerne en partculer le transport de personnes à moblté rédute ou de marchandses dont le transbordement présente des rsques. e ce fat, la lttérature du domane ne nous a pas perms d dentfer de problèmes de référence pour éaluer notre approche. A défaut, l algorthme déeloppé a été testé sur des exemples générés aléatorement. Cet algorthme utlse deux lstes pour sauegarder les ponts du chemn. Il se base sur une recherche arborescente aec une stratége d exploraton bdrectonnelle du réseau. Les tests effectués fournssent de bons résultats. En partculer les temps de résoluton nécessares pour trater des réseaux ntermodaux de talle conséquente ont démontré l effcacté de l algorthme présenté. La sute de ces traaux portera sur l extenson de l algorthme pour l optmsaton de réseaux ntermodaux en termes de temps de traet, pus sur la recherche d un comproms acceptable entre les deux crtères.

8 MOSIM 03 du 3 au 5 arl 003- Toulouse (France) RÉFÉRENCES Ahua, R.K., J.B. Orln, S. Pallottno, and M.G. Scutella, 999a. mnmum tme and cost path problems n street networs wth traffc lghts. Rapport Technque, TR Ahua R.K., J.A. Orln, S. Pallotno, and M.G. Scutella, 00b. ynamc shortest paths mnmzng trael tmes and costs. In Proceedngs of the Medterranean Electrotechncal Conference,, p COEN: PMECFA. Bertseas,.P A Smple and fast label correctng algorthm for shortest paths. Appeared n Networs, 3, p Bordman, B.S., E.N. Malstrom,.P. Butler and M.H. Cole, 997. Computer asssted routng of ntermodal shpments. Computer n Engng, 33, p Chaban, I screte dynamc shortest path problems n transportaton applcaton: complexty and algorthms wth optmal run tme. Transportaton Research. Cordeau, J.F., P. Toth, and. Vgo, 993. A surey of optmzaton models for tran routng and schedulng. Transportaton Scence, 3, p Febbraro, A.., and S. Sacone, 995. A new algorthm to fndng the best path n ntermodal transportaton systems. Studes n Informatcs and Control, 4, p Febbraro, A.., and S. Sacone, 995. An on-lne nformaton system to balance traffc flows n urban areas. Porceedng of the 36 th IEEE conference on decson and control, 5, pp Hao J.K., P. Galner, et GM. Habb, 999. Métaheurstque pour l'optmsaton combnatore et l'affectaton sous contrantes. Reue d Intellgence Artfcelle, Vol. Homafar, A., S.Guan, and E. Lepns, 993. A New Approach on the Traelng Salesman Problem by Genetc Algorthms. Internatonal Conference on Genetc Algorthms, p Gambardella, L.M., M. Mastrolll, A.E. Rzzol, and M. Zaffalon, 00. An optmzaton methodology for ntermodal termnal management. Journal of Intellgent Manufacturng, (5/6), p Gondran, M., and M. Mnoux, 985. Graphes et Algorthmes. Edtons EYROLLES. Pars. Modest, P., and A. Scomachen, 998. A utlty measure for fndng multobecte shortest paths n urban multmodal transportaton networs. European Journal of Operatonal Research,, pp Tallard, E.., L.M. Gambardella, M. Gendreau and J.Y. Potn, 998. La programmaton à mémore adaptate ou l'éoluton des algorthmes éolutfs. Calculateurs Parallèles, 0(). Zlasopoulos, A., and W. Wardell, 000. An ntermodal optmum path algorthm for multmodal networs wth dynamc arc trael tmes and swtchng delays. Elseer Scence, European Journal Of Operatonal Research, 5, p