Collections. as Architecture des Systèmes d Information. Nicolas Delestre - Michel Mainguenaud. ollection - v / 39
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- Anne-Marie Vincent
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1 Collections Nicol Delestre - Michel Mainguenaud ollection - v / 39
2 Plan 1 Introduction 2 Les TAD collection non récursifs Pile File Le TAD Liste Le TAD ListeOrdonnee Le TAD Ensemble Le TAD Dictionnaire 3 Les TAD collection récursifs Le TAD Liste chaînée Les TAD hiérarchiques Le TAD Arbre Binaire Le TAD Arbre Binaire de Recherche Le TAD Arbre 4 Conclusion Collection - v / 39
3 Introduction Introduction Quelque soit le domaine, on a souvent besoin de stocker des éléments Les TAD collections proposent différentes façon de stocker des éléments Ces TAD sont souvent implantés dans les langages de dernières générations À la fin de ce cours, ces TAD seront des types de be de l algorithmique (comme les booléens, les naturels, etc.) Collection - v / 39
4 Introduction Avant propos Liste linéaire : un objet mathématique Une liste linéaire sur un ensemble E est une suite finie (a 1, a 2, a 3,..., a n ) d éléments de E Une liste linéaire est vide lorsque n = 0 et notée () La longueur d une liste linéaire l, c est-à-dire le nombre d éléments d une liste, est notée l La concaténation est un opération binaire, non commutative, d élément neutre (), notée. tel que : (a 1, a 2, a 3,..., a n).(b 1, b 2, b 3,..., b m) = (a 1, a 2, a 3,..., a n, b 1, b 2, b 3,..., b m) Remarques Certaines collections (Pile, File, Liste, Liste Ordonnée, Ensemble, Liste Chaînée) sont des TAD qui utilisent différemment les listes linéaires C est cette notation formelle que nous utiliserons pour représenter textuellement certains TAD Collection - v / 39
5 Les TAD collection non récursifs TAD Pile 1 / 4 Pile Définition Collection avec une gestion des éléments du type LIFO (Lt In First Out) Deux actions possibles : empiler un élément dépiler un élément Collection - v / 39
6 Les TAD collection non récursifs TAD Pile 2 / 4 Pile Nom: Pile Paramètre: Element Utilise: Booleen Opérations: pile: Pile estvide: Pile Booleen empiler: Pile Element Pile dépiler: Pile Pile obtenirelement: Pile Element Axiomes: - estvide(pile()) - non estvide(empiler(p,e)) - depiler(empiler(p,e))=p - obtenirelement(empiler(p,e))=e Préconditions: depiler(p): non(estvide(p)) obtenirelement(p): non(estvide(p)) Collection - v / 39
7 Les TAD collection non récursifs TAD Pile 3 / 4 Pile Exemple d utilisation des piles Évaluation des expréssions arithmétiques (notation préfixe, ou polonaise inversée) Gestion des appels de fonctions Vérification du fonctionnement du TAD Pile Les axiomes permettent de vérifier le bon fonctionnement du TAD Pile Exercice Que vaut obtenirelement(dépiler(empiler(empiler(pile(),e1),e2)))? Collection - v / 39
8 Les TAD collection non récursifs TAD Pile 4 / 4 Pile Que vaut obtenirelement(dépiler(empiler(empiler(pile(),e1),e2)))? Démonstration : D après Le 3ème axiome : dépiler(empiler(empiler(pile(),e1),e2)) = empiler(pile(),e1) Donc : obtenirelement(dépiler(empiler(empiler(pile(),e1),e2))) = obtenirelement(empiler(pile(),e1)) D après Le 4ème axiome : obtenirelement(empiler(pile(),e1)) = e1 Donc : obtenirelement(dépiler(empiler(empiler(pile(),e1),e2))) = e1 Collection - v / 39
9 Les TAD collection non récursifs TAD File 1 / 3 File Définition Collection avec une gestion des éléments du type FIFO (First In First Out) enfiler un élément défiler un élément Collection - v / 39
10 Les TAD collection non récursifs TAD File 2 / 3 File Nom: File Paramètre: Element Utilise: Booleen Opérations: file: File estvide: File Booleen enfiler: File Element File défiler: File File obtenirelement: File Element Axiomes: - estvide(file()) - non estvide(enfiler(f,e)) - defiler(enfiler(file(),e))=file() - non estvide(f ) et defiler(enfiler(f,e))=enfiler(defiler(f ),e) a - obtenirelement(enfiler(file(),e))=e - non estvide(f ) et obtenirelement(enfiler(f,e))=obtenirelement(f ) Préconditions: defiler(f): non(estvide(f )) obtenirelement(f): non(estvide(f )) a. Cf. le cours de B. Duval ollection - v / 39
11 Les TAD collection non récursifs TAD File 3 / 3 File Exemple d utilisation des files Exercice Programmation systèmes Gestion d une imprimante partagée Allocation du processeur aux programmes en exécution Parcours de structures de données complexes Parcours en largeur d un arbre Que vaut obtenirelement(défiler(enfiler(enfiler(file(),e1),e2)))? Collection - v / 39
12 Les TAD collection non récursifs TAD Liste 1 / 2 Le TAD Liste Définition Collection avec une gestion des éléments avec accès par position insérer un élément à une position supprimer un élément à une position Collection - v / 39
13 Les TAD collection non récursifs TAD Liste 2 / 2 Le TAD Liste Nom: Liste Paramètre: Element Utilise: Booleen, NaturelNonNul, Naturel Opérations: liste: Liste estvide: Liste Booleen insérer: Liste NaturelNonNul Element Liste supprimer: Liste NaturelNonNul Liste obtenirelement: Liste NaturelNonNul Element longueur: Liste Naturel Axiomes: - estvide(liste()) - non estvide(insérer(l,i,e)) - suprimer(insérer(l,i,e),i)=l - obtenirelement(insérer(insérer(l,i,e1),i,e2),i + 1)=e1 - longueur(liste())=0 - longueur(insérer(l,i,e))=1+longueur(l) Préconditions: inserer(l,i,e): i longueur(l) + 1 supprimer(l,i): i longueur(l) obtenirelement(l,i): i longueur(l) Collection - v / 39
14 Les TAD collection non récursifs TAD ListeOrdonnee 1 / 2 Le TAD ListeOrdonnee Définition Collection (d un type de données possédant un ordre total) avec une gestion des éléments avec accès par position insérer un élément supprimer un élément à une position Collection - v / 39
15 Les TAD collection non récursifs TAD ListeOrdonnee 2 / 2 Le TAD ListeOrdonnee Nom: ListeOrdonnee Paramètre: Element (doit posséder un ordrer, opérateur <) Utilise: Booleen, NaturelNonNul, Naturel Opérations: listeordonnée: ListeOrdonnee estvide: ListeOrdonnee Booleen insérer: ListeOrdonnee Element ListeOrdonnee supprimer: ListeOrdonnee NaturelNonNul ListeOrdonnee obtenirelement: ListeOrdonnee NaturelNonNul Element longueur: ListeOrdonnee Naturel Axiomes: - estvide(listeordonnee()) - non estvide(insérer(l,e)) - supprimer(insérer(l,e),i)=l et obtenirelement(insérer(l,e),i)=e - obtenirelement(insérer(insérer(l,e ),e),i)=e et obtenirelement(insérer(insérer(l,e ),e),j)=e et ((e < e et j < i) ou (e > e et j > i)) - longueur(liste())=0 - longueur(insérer(l,e))=1+longueur(l) Préconditions: supprimer(l,i): i longueur(l) obtenirelement(l,i): i longueur(l) Collection - v / 39
16 Les TAD collection non récursifs TAD Ensemble 1 / 2 Le TAD Ensemble Définition Collection d éléments n apparaissant qu une seule fois ajouter un élément (p de notion d ordre, et si déjà présent alors p d ajout) retirer un élément rechercher un élément parcourir les éléments présents (nouvelle instruction) Collection - v / 39
17 Les TAD collection non récursifs TAD Ensemble 2 / 2 Le TAD Ensemble Nom: Ensemble Paramètre: Element Utilise: Booleen,Naturel Opérations: ensemble: Ensemble ajouter: Ensemble Element Ensemble retirer: Ensemble Element Ensemble estpresent: Ensemble Element Booleen cardinalite: Ensemble Naturel union: Ensemble Ensemble Ensemble intersection: Ensemble Ensemble Ensemble soustraction: Ensemble Ensemble Ensemble Axiomes: - ajouter(ajouter(s,e),e)=ajouter(s,e) - retirer(ajouter(s,e),e)=s - estpresent(ajouter(s,e),e) - non estpresent(retirer(s,e),e) - cardinalite(ensemble())=0 - cardinalite(ajouter(s,e))=1+cardinalite(s) et non estpresent(s,e) - cardinalite(ajouter(s,e))=cardinalite(s) et estpresent(s,e)... Collection - v / 39
18 Les TAD collection non récursifs Une nouvelle instruction Le TAD Ensemble Pour chaque Afin de permettre le parcours d un ensemble ou de faciliter le parcours d une liste (ordonnée ou p), nous pouvons maintenant utiliser l instruction pour chaque : pour chaque element de liste actions utilisant element finpour Exemple fonction compter (l : Liste<Entier>, unentier : Entier) : Naturel Déclaration somme : Naturel e : Entier debut somme 0 pour chaque e de l si unentier = e alors somme somme + 1 finsi finpour retourner somme fin Collection - v / 39
19 Les TAD collection non récursifs TAD Dictionnaire 1 / 2 Le TAD Dictionnaire Définition Collection où les éléments sont constitués de deux parties : une clef et une valeur. Chaque valeur est identifiée par la clef. ajouter un couple (clef,valeur) retirer un élément (clef) tester la présence (clef) obtenir les clefs obtenir les valeurs obtenir une valeur (clef) Collection - v / 39
20 Les TAD collection non récursifs TAD Dictionnaire 2 / 2 Le TAD Dictionnaire Nom: Dictionnaire Paramètre: Clef,Valeur Utilise: Booleen,Liste Opérations: dictionnaire: Dictionnaire ajouter: Dictionnaire Clef Valeur Dictionnaire retirer: Dictionnaire Clef Dictionnaire estpresent: Dictionnaire Clef Booleen obtenirvaleur: Dictionnaire Clef Valeur obtenirclefs: Dictionnaire Liste<Clef> obtenirvaleurs: Dictionnaire Liste<Valeur> Axiomes: - ajouter(ajouter(d,c,v),c,v)=ajouter(d,c,v) - retirer(ajouter(d,c,v),c)=d - rechercher(ajouter(d,c,v),c)=v - estpresent(ajouter(d,c,v),c) - estpresent(d,obtenirelement(obtenirclefs(d),i)) et 0 < i longueur(obtenirclefs(d)) - non estpresent(retirer(d,c),c) -... Préconditions: obtenirvaleur(d,c): estpresent(d, c) Collection - v / 39
21 Les TAD collection récursifs TAD collection récursifs TAD collection récursifs Il s agit de TAD collection qui sont définis en partie à l aide de leur déclaration Attention Ne p oublier que nous faisons ici une présentation mathématique Leur implantation dans la paradigme de la programmation structurée les modifiera largement... Collection - v / 39
22 Les TAD collection récursifs TAD Liste chaînée 1 / 3 Le TAD Liste chaînée Définition Une liste chaînée L est : une liste vide, notée () une liste contenant un seul élément e suivie (concaténée) d une liste chaînée L, notée (e).l Collection - v / 39
23 Les TAD collection récursifs TAD Liste chaînée 2 / 3 Le TAD Liste chaînée Nom: ListeChainee Paramètre: Element Utilise: Booleen Opérations: listechainee: ListeChainee estvide: ListeChainee Booleen ajouter: ListeChainee Element ListeChainee obtenirelement: ListeChainee Element obtenirlistesuivante: ListeChainee ListeChainee Axiomes: - estvide(listechainee()) - non estvide(ajouter(l,e)) - obtenirelement(ajouter(l,e))=e - obtenirlistesuivante(ajouter(l,e))=l Préconditions: obtenirelement(l): non(estvide(l)) obtenirlistesuivante(l): non(estvide(l)) Collection - v / 39
24 Les TAD collection récursifs TAD Liste chaînée 3 / 3 Le TAD Liste chaînée Algorithmes sur les listes chaînées De part la définition récursive des listes chaînées, les algorithmes appliqués à ce type sont naturellement récursifs Méthode : ajout d un élément en fin de liste ajouteralafin(l,e) () (a).l (e).l (a).ajouteralafin(l,e) Collection - v / 39
25 Les TAD collection récursifs TAD hiérarchiques ou arbre Les TAD hiérarchiques Un arbre sur un ensemble E est une imbrication de suites finies d éléments de E, où chaque élément de cette suite permet d accéder à une nouvelle suite finie un arbre vide est notée () un arbre non vide est noté (e, A 1, A 2,..., A n) où e E et A i, i [1..n] sont des arbres On le représente souvent graphiquement : A A e A 1 A 2 A 3 A n Attention Un arbre n est p une liste linéaire Collection - v / 39
26 Les TAD collection récursifs Vocabulaire 1 / 2 Les TAD hiérarchiques Arité d un noeud Nombre de sous-arbres non vide Une feuille est un noeud d arité 0 Chemin Une séquence de noeuds (n 0, n 1,..., n p ) ou n i 1 est le père de n i (0 < i p) La longueur d un chemin (n 0,..., n p ) vaut p p = nombre d arcs p + 1 = nombre de noeuds Niveau d un noeud Le niveau (la hauteur) d un noeud est la longueur de l unique chemin de la racine à ce noeud Le niveau de la racine vaut 0 Collection - v / 39
27 Les TAD collection récursifs Vocabulaire 2 / 2 Les TAD hiérarchiques Hauteur d un arbre Le maximum des hauteurs de tous les noeuds La hauteur d un arbre vide vaut -1 par définition Un exemple niveau 0 Hauteur de a = 3 niveau 1 niveau 2 niveau 3 Racine a b c e f g h Feuilles Fils de e Père de g d Fils de d Collection - v / 39
28 Les TAD collection récursifs TAD Arbre Binaire 1 / 3 Les TAD hiérarchiques Définition Un arbre binaire est un arbre Si cet arbre n est p vide alors il a exactement deux fils (nommé fils gauche et fils droit) A A e Ag Ad Collection - v / 39
29 Les TAD collection récursifs TAD Arbre Binaire 2 / 3 Les TAD hiérarchiques Nom: ArbreBinaire Paramètre: Element Utilise: Booleen Opérations: arbrebinaire: ArbreBinaire ajouterracine: Element ArbreBinaire ArbreBinaire ArbreBinaire estvide: ArbreBinaire Booleen obtenirelement: ArbreBinaire Element obtenirfilsgauche: ArbreBinaire ArbreBinaire obtenirfilsdroit: ArbreBinaire ArbreBinaire Axiomes: - estvide(arbrebinaire()) - non estvide(ajouterracine(e,a g,a d )) - obtenirelement(ajouterracine(e,a g,a d ))=e - obtenirfilsgauche(ajouterracine(e,a g,a d ))=a g - obtenirfilsdroit(ajouterracine(e,a g,a d ))=a d Préconditions: obtenirelement(a): non(estvide(a))... :... Collection - v / 39
30 Les TAD collection récursifs TAD Arbre Binaire 3 / 3 Les TAD hiérarchiques Algorithmes sur les arbres Comme pour les listes chaînées, de part leur définition récursive, les algorithmes appliqués aux arbres sont naturellement récursifs Méthode : recherche d un élément () FAUX rechercher(a,e) (r,ag,ad) r=e VRAI r=e rechercher(ag,e) ou rechercher(ad,e) Collection - v / 39
31 Les TAD collection récursifs Parcours en profondeur 1 / 2 Les TAD hiérarchiques Il y a trois types de parcours parcoursrgd 1 Traiter la racine r r 2 parcoursrgd A g 3 parcoursrgd A d Ag Ad parcoursgrd 1 parcoursgrd A g 2 Traiter la racine r 3 parcoursgrd A d parcoursgdr 1 parcoursgdr A g 2 parcoursgdr A d 3 Traiter la racine r ollection - v / 39
32 Les TAD collection récursifs Parcours en profondeur 2 / 2 Les TAD hiérarchiques Un exemple a b c d e f g parcoursrgd a,b,d,g,e,c,f parcoursgrd d,g,b,e,a,f,c parcoursgdr g,d,e,b,f,c,a Collection - v / 39
33 Les TAD collection récursifs TAD arbres binaires de recherche 1 / 3 Les TAD hiérarchiques Définition Un arbre binaire de recherche est un arbre binaire tel que : le sous-arbre gauche et le sous-arbre droit sont des arbres binaires de recherche tous les éléments du sous-arbre gauche sont (strictement) plus petits que l élément de la racine tous les éléments du sous-arbre droit sont strictement plus grands que l élément de la racine Collection - v / 39
34 Les TAD collection récursifs TAD arbres binaires de recherche 2 / 3 Les TAD hiérarchiques Nom: ABR (ArbreBinaireDeRecherche) Paramètre: Element Utilise: Booleen Opérations: abr: ABR estvide: ABR Booleen insérer: ABR Element ABR supprimer: ABR Element ABR estpresent: ABR Element Booleen obtenirelement: ABR Element obtenirfilsgauche: ABR ABR obtenirfilsdroit: ABR ABR Axiomes: - estvide(abr()) - non estvide(insérer(e,a)) - obtenirelement(insérer(e,abr()))=e - obtenirfilsgauche(insérer(e,a))=insérer(e,obtenirfilsgauche(a) et obtenirelement(a)> e - obtenirfilsdroit(insérer(e,a))=insérer(e,obtenirfilsdroit(a) et obtenirelement(a)< e... Préconditions: obtenirelement(a): non(estvide(a))... :... Collection - v / 39
35 Les TAD collection récursifs TAD arbres binaires de recherche 3 / 3 Les TAD hiérarchiques Remarque Suivant les algorithmes qui seront utilisés pour implanter les opérations d insertion et de suppression (qui auront un impact sur la complexité de l opération estprésent), les arbres binaires de recherche peuvent changer de nom (AVL, arbre coloré, etc.) Collection - v / 39
36 Les TAD collection récursifs Les TAD hiérarchiques TAD Arbre (nommé aussi arbre n-aire) 1 / 2 Définition Un arbre n-aire est un arbre avec n fils A A e A 1 A 2 A 3 A n Collection - v / 39
37 Les TAD collection récursifs Les TAD hiérarchiques TAD Arbre (nommé aussi arbre n-aire) 2 / 2 Nom: Arbre Paramètre: Element Utilise: Booleen,Liste Opérations: arbre: Arbre ajouterracine: Element Liste<Arbre> Arbre estvide: Arbre Booleen obtenirelement: Arbre Element obtenirfils: Arbre Liste<Arbre> Axiomes: - estvide(arbre()) - non estvide(ajouterracine(e,l)) - obtenirelement(ajouterracine(e,l))=e - obtenirfils(ajouterracine(e,l))=l Préconditions: obtenirelement(a): non(estvide(a))... :... Collection - v / 39
38 Conclusion Conclusion Analyse - Conception - Développement Dans ce cours nous avons listé un ensemble de TAD collections À partir de maintenant, nous considérerons que l on possède ces types lors de la conception détaillée Cependant certains langages ne proposent p des implantations de ces TAD : il faut les développer Nous allons voir dans les prochains cours comment nous pouvons les concevoir et les implanter en C Collection - v / 39
39 Conclusion Références... Cours Structure de données linéaires de Christophe Hancart de l Université de Rouen Conception et Programmation Objet de Bertrand Meyer Eyrolles ISBN : Collection - v / 39
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