Leçon n 6 : Magnétostatique

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1 1/16 Leçon n 6 : Magnétostatique 1. LE CHAMP MAGNÉTIQUE ET SON ACTION SUR DES COURANTS 1.1. Intoduction Les effets magnétiques (liés aux substances aimantées) sont connus depuis des siècles. Ils coespondent à des actions mécaniques à distance qui montent l'existence d'inteaction d'un type spécifique (difféent de la gavitation et de l'électostatique). Un aimant possède une dissymétie : il possède deux pôles. Une aiguille aimantée placée loin de tout aute aimant, de tout cicuit électique et de toute masse feeuse s'oiente dans la diection géogaphique Nod-Sud : - son extémité diigée ves le nod est appelée pôle nod ; - son extémité diigée ves le sud est appelée pôle sud L'aimantation est une popiété micoscopique de la matièe. En effet chaque atome se compote comme une petite boucle de couant. Dans la matièe non aimantée, ces boucles s'oientent au hasad et compensent ainsi leus effets magnétiques. Dans la matièe aimantée ces boucles de couant sont oientées dans une position déteminée et leus effets s'ajoutent. Il est donc impossible de sépae un pôle nod d'un pôle sud. (Expéience de l'aimant bisé : il appaaît 1 pôle nod et un pôle sud au niveau de la cassue) L'étude du magnétisme a éellement commencé au début du XIXe avec les expéiences d'oestedt concenant l'effet d'un couant électique su un aimant I = 0 I = 0 : aiguilles s'oiente seule I 0 I 0 : aiguille // au couant - I I : aiguille change de sens L'effet écipoque existe : un conducteu mobile pacouu pa un couant électique et placé au voisinage d'un aimant est soumis à des actions mécaniques qui le déplacent. Encoe ici, l'invesion du sens du couant change le sens des effets.

2 /16 Des effets semblables appaaissent chaque fois qu'il y a couant électique (dans un solide, un liquide, le vide...) qui peut ainsi ête mis en mouvement. Enfin, on peut pévoi qu'il y a inteaction ente deux couants électiques. C'est à Ampèe [ ] qu'on doit la pemièe epésentation cohéente de tous ces effets magnétiques.. CHAMP MAGNÉTIQUE.1. Définition Quels que soient les effets magnétiques obsevés en un point de l'espace, une gandeu (et une seule) est nécessaie pou les décie : c'est un champ vectoiel appelé champ magnétique qu'on désignea pa B. On définit le vecteu champ magnétique B (que l on désignea pafois pa induction magnétique) en un point de l espace au moyen de la foce magnétique execée su un élément matéiel test appopié. Celui-ci est constitué pa une paticule chagée q se déplaçant à la vitesse v dans un espace où il n existe ni champ électique ni champ gavitationnel. La foce magnétique F est donnée pa la elation : F = q v B [6 1] Règle de epéage Règle des tois doigts v Règle du tie-bouchon F q B v La diection de la foce est pependiculaie à la fois à v et à B et son intensité est F q v Bsinq

3 3/16 F +q q B v -q q B v F B a pou unité le Tesla [T], la foce F est en Newton [N], la chage q est en Coulomb [C] et la 1 vitesse v est en ms.. On note que F est nulle losque v est paallèle à B q 0 ou q 180 maximale quand v est pependiculaie à B q 90. ; que F est Application Un poton se déplace à une vitesse de m.s -1 selon l axe des x. Il ente dans un espace où ègne un champ magnétique de.5 T qui fome un angle de 60 avec l axe des x dans le plan (xy). Calcule la foce magnétique subie pa le poton. Solution F q v Bsinq F = (1, ) ( )(.5).(sin60 ) = N.. Mouvement d une paticule chagée dans un champ magnétique unifome Nous avons vu que la foce magnétique agissant su une paticule chagée se déplaçant dans un cham magnétique est toujous pependiculaie à la vitesse v de la paticule. Le tavail accompli pa la foce magnétique est nul puisque v est toujous pependiculaie à F. Pa conséquent, l action d un champ magnétique statique modifie la diection de v, mais pas sa valeu, ni l énegie cinétique de la paticule. Penons le cas d une paticule de chage q et de masse m dans un champ B unifome.

4 4/16 v (+q) F F x B (+q) v F q vb est une foce centipète. Selon les lois de la mécanique : étant le ayon le tajectoie Pa conséquent mv = qb v Fm q v B Ainsi le ayon de la tajectoie est constant, de plus il est popotionnel à la quantité de mouvement mvet invesement popotionnel à B. La vitesse angulaie de otation de la paticule su la tajectoie est m T est égale à : T qb v qb m et la péiode.3. Topogaphie des champs magnétiques Lignes de champs : On appelle ligne de champ une coube tangente au vecteu champ magnétique en chacun de ses points, oientée dans le sens du champ magnétique. Spectes magnétiques : aimant doit specte obtenu avec la limaille aimant en U (schéma)

5 5/16 Champ magnétique unifome : Un champ magnétique est unifome dans un domaine de l espace si, en tout point de ce domaine, le vecteu champ magnétique conseve la même diection, le même sens et la même valeu. Les lignes de champs sont paallèles. Pou obteni un champ unifome on peut se place à l'intéieu d'un solénoïde, dans l'entefe d'un aimant en U ou au voisinage du milieu de l'axe des bobines d'helmholtz. (image ci-conte).4. Loi de Loentz Quand une paticule de chage q se déplace dans une égion où ègnent un champ électique E et un champ magnétique B, la foce totale à laquelle elle est soumise est la ésultante de la foce électique qe et de la foce magnétique qv B. On a donc : F qe qvb [6 ] F L est appelée foce de Loentz L Remaque su le tavail de la foce de Loentz La foce magnétique étant nomale à la vitesse, son tavail est nul. Elle ne poduit donc aucune vaiation de l'énegie cinétique de la paticule. Ceci peut ête démonté en effectuant le poduit scalaie de la foce F L pa la vitesse v. dl F v F [6 3] dt On fait appaaîte le poduit scalaie de Loentz los d un déplacement infiniment petit Donc, L L F L dl qui epésente le tavail dw effectué pa la foce dw FL v dt d l de la paticule. Ce qui epésente la puissance cédée à la paticule pa les champs électique et magnétique. FL v q E qv B v O, q E v qv B v

6 6/16 La vitesse v étant toujous nomale à la foce magnétique q v B, le poduit scalaie q v v est nul. On obtient alos dw F v q E v L [6 4] dt C est donc le champ E qui founit la puissance et donc de l énegie à la paticule. Application : sélecteu de vitesse pou paticules chagées B x q v B qe v Fente Pou sélectionne les paticules ayant la même vitesse on conçoit un dispositif où s appliquent simultanément un cham électique E et un champ magnétique B pependiculaie. Si q est positif, la foce magnétique est diigée ves le haut et la foce électique est diigée ves le bas. En églant soigneusement l intensité des champs de manièe à obteni une foce de Loentz nulle, les paticules se déplacent en ligne doite à l hoizontale (1 èe loi de Newton). Pou cela il faut donc que : q E q v B, soit v B E..5. Action d une foce magnétique su un conducteu pacouu pa un couant : foce de Laplace La foce de Laplace taduit l action d un champ magnétique su un conducteu pacouu pa un couant.

7 7/16 Loi de Laplace I B dl Un élément dl d un conducteu filifome pacouu pa un couant I, placé dans un champ magnétique B est soumis à une foce df df I dl B De là, on peut généalise et die que la foce de Laplace F qui s exece su un cicuit pacouu pa un couant I et placé dans un champ magnétique B vaut : [6 5] 3. CHAMP D'INDUCTION MAGNETIQUE CREE PAR DES COURANTS PERMANENTS 3.1. Fome généale de la Loi de Biot et Savat Un champ magnétique B statique en un point de l espace peut avoi deux oigines : - un couant constant - un aimant pemanent Nous taiteons ici le champ magnétique B céé pa un couant constant. Soit un élément de cicuit linéaie d l placé dans le vide et pacouu pa un couant I. Conventionnellement le sens du vecteu d l sea toujous pis dans le même sens que le couant I. Soit un point M situé à une distance de l élément de cicuit l d. Soit un vecteu unitaie u poté pa et oienté de l d ves M (voi figue ci-conte). Cicuit I dl u M x x db Dans ces conditions le champ magnétique élémentaie o I.dl u db 4 d B céé pa I dl en M vaut : [6 6] (Loi de Biot et Savat) où µ o désigne la peméabilité du vide. C est une gandeu dimensionnée dont la valeu est : Heny pa mète (H.m -1 ).

8 8/16 En epenant l expession de d B et en notant l angle ente le vecteu I dl et le vecteu unitaie u, on peut expime la nome de d B ainsi : o db I. dl.1.sin [6 7] 4 Pou un cicuit C de dimension finie, le champ magnétique B céé en M vaut : o I.dl u B 4 C [6 8] 3.. Fome patique de la Loi de Biot et Savat Dans la patique il est souvent plus utile de considée dans l expession de la loi de Biot et Savat, non pas l angle que fait le vecteu I dl avec le vecteu u, mais l angle (qu on notea dq) H dx A dl u dq M x sous lequel du point M on voit le segment dl. L angle dq est suffisamment petit pou pouvoi faie les appoximations suivantes : dx tg( dq ) dq En considéant le tiangle HMA, on peut écie : d où : sin( ) dx dl dq sin( ) d l En emplaçant sin() dans la elation [6 7], on obtient la fomulation de Biot et Savat : db o I.dq [6 9] Application de la Loi de Biot et Savat à quelques cas simples

9 9/ Champ d'induction céé pa un fil y q U I a P db x o I.dl u D apès la Loi de Biot et Savat on a : db 4 Soit k le vecteu unitaie poté pa l axe des z. Dans ce cas : db dbk, sin avec : I dl o q db 4 on pose : dl dx sin q a x a cotg q dx d q a sin q Pa conséquent : oi 1 db sin q dl 4 oi sin q a db sin q dq 4 a sin q oi db sin q dq 4a

10 10/16 q P q 1 q I q q q 4a o B db sin d q1 q1 oi B cosq cosq 4a 1 Pou un fil infini : q1 0 q Et donc : I o B a Calcul du champ magnétique su l axe d une boucle de couant ciculaie. Soit un fil conducteu fomant une boucle ciculaie de ayons R située dans le plan (yz) et pacouue pa un couant continu d intensité I. On popose de calcule le champ magnétique en un point P de l axe à une distance x du cente O de la boucle. M u

11 11/16 Notons tout d abod que tous les éléments dl de la boucle sont situés à une même distance de P R x. o I. dl u D apès la Loi de Biot et Savat on a : db 4 o Donc : db I dl 4 x R La diection de db, poduit pa l élément de cicuit dl pacouu pa un couant I, est pependiculaie au plan fomé pa u et dl (Cf. figue). Tout vecteu db peut se décompose en une composante suivant l axe des x, composante pependiculaie à l axe des x, db y. db x et une La composante db y associée à l élément dl en M est annulée pa la composante pependiculaie associée à un élément dl diamétalement opposé. Pa conséquent le champ ésultant en P s expime uniquement pa la somme des composantes db x suivant l axe des x Boucle x Boucle B db db cosq R, x et q sont des constantes pou tous les éléments dl de la boucle. Comme : cos q x R R o R I or I B dl dl 4x R x R 3 4 x R O : dl R D où : B R I o 3 x R

12 1/16 Remaques Au cente de la boucle x = 0 I o B R Los que x R B x RI o 3 4. Théoème d Ampèe 4.1. Intoduction A poximité d un long fil vetical pacouu pa un couant continu, l oientation de B, poduit pa ce fil, est telle que les lignes de champ foment des cecles autou du fil. R B R 1 B ' D apès la symétie du système la nome de B est la même en n impote quel point situé su un pacous ciculaie centé su le fil et disposé dans un plan pependiculaie à ce denie. Evaluons maintenant le poduit scalaie B. dl. Comme dl est un élément pis su une ligne de champ on a : B. dl Bdl Et si nous faisons la somme de tous ces poduits, on obtient pou la boucle ciculaie de ayon µi 0 R 1 d une ligne de champ : B. dl Bdl R 1µ 0I R 1 Le ésultat obtenu dans le cas paticulie d une tajectoie ciculaie (en l occuence une ligne de champ) autou d un fil ectiligne peut s applique au cas généal d un pacous femé de fome quelconque tavesé pa un couant continu.

13 13/ Enoncé du Théoème d Ampèe La ciculation du vecteu champ d induction magnétique le long d une coube femée, entouant un cicuit C + - I d pacouu pa un couant I est égale à µ o I : Bd o I C Application Soit un feuillet conducteu vetical infini tanspotant un couant dans la diection de l axe des "z". Soit i (en A/m) la densité de ce couant pa unité de lageu (le long de l axe des "x"). Déteminons, en un point M quelconque situé en dehos du plan défini pa ce feuillet, le champ d induction magnétique B céé pa celui-ci. Solution On peut considée que ce plan conducteu infini est constitué pa un nombe infini de fils paallèles et adjacents. Dans ce cas les lignes de champ sont des lignes hoizontales (paallèles à l axe des "x"). X i Z B l B i

14 14/16 On choisit comme coube un ectangle de lageu l (voi figue). De cette façon, le vecteu élémentaie su sa longueu. d et le champ B sont paallèles su la lageu du ectangle et pependiculaies Donc, on peut écie : B d Bl 0 o Bl 0 I I est le couant tanspoté pa la patie du feuillet qui est entouée pa la coube (c est à die I= i l). Bl i o l 1 B i o 4.3. Remaques : 1- Le théoème d Ampèe joue le ôle, pou le calcul du champ d induction magnétique B, du théoème de Gauss pou le calcul du champ électique E. - Si la coube tavese n fois un cicuit C, on a alos : B d n o I I n spies 4.4. Applications du théoème d Ampèe C Le champ magnétique à l intéieu d une bobine tooïdale La bobine tooïdale est un exemple impotant de l'application de la loi d'ampèe. Effectivement, nous etouvons paticulièement ce type de configuation dans l'électonique de petite puissance (odinateus pa exemple) ou les inductances sont pou la plupat tooïdales ou la poduction d'énegie avec les fameux Tokomak qui de façon schématisée (tès ) se éduisent à des bobines tooïdales.

15 15/16 Pou des aisons de symétie il est clai que les lignes d'induction magnétique foment des cecles concentiques à l'intéieu de la bobine. Appliquons la loi d'ampèe au tajet d'intégation ciculaie de ayon : B dl oi C'est-à-die : B I N I Il s'ensuit que : B NI Le champ magnétique à l intéieu d un solénoïde tès long Un solénoïde est une bobine fomée pa un fil conducteu enoulé en hélice et pacouu pa un couant d'intensité I. Dans ce qui suit, nous supposons que le champ d'induction B d'un solénoïde est nul ente les spies et paallèle à l'axe du solénoïde. Considéons le schéma suivant et intéessons nous en appoximation qu'à la patie intene du solénoïde en admettant que le champ extéieu est nul pa la longueu infinie de celui-ci et la pafaite jointue des bobines... : Appliquons la loi d'ampèe au tajet ectangulaie abcd. Ainsi : b c d a B dl B dl B dl B dl B dl I a b c d o

16 16/16 La pemièe intégale du membe de doite donne B.h où B est la nome de B à l'intéieu du solénoïde et h, la longueu du segment ab. Nous pouvons emaque que le segment ab, même s'il est paallèle à l'axe du solénoïde, ne doit pas nécessaiement coïncide avec lui. La deuxième et la quatième intégale sont nulles ca, pou ces deux segments. B et dl sont patout pependiculaies : étant donné que B. dl est nul patout, les deux intégales sont nulles. La toisième intégale est également nulle puisque le segment calculé se touve à l'extéieu du solénoïde où nous avons supposé que le champ magnétique de la bobine était idéal. Ainsi, l'intégale B dl pou tout le tajet ectangulaie est tel que : B dl B hoi Le couant I est la somme des couants I 0 passant dans chacune des N spies contenues dans le chemin d'intégation. Mais en électonique nous avons l'habitude de tavaille avec la valeu n (nous choisissons la lette minuscule pa analogie avec la themodynamique ou les minuscules epésentent des densités) qui est le nombe de spie pa unité de longueu : n N h Ainsi, nous avons : NI B dl B hon I B n I h o 0 0 o 0 Bien que cette elation ait été établie pou un solénoïde idéal infini, elle donne une gandeu assez pécise (sans ête exacte!) du champ d'induction magnétique pou les points d'intéieu situés pès du cente d'un solénoïde éel. Cette elation évèle pa ailleus que le champ magnétique est en appoximation indépendant du diamète du solénoïde et qu'il est unifome à taves la section de celui-ci. En laboatoie, un solénoïde est un dispositif patique pou poduie un champ d'induction unifome de la même façon que le condensateu plan est utilisé pou poduie un champ électique unifome.