COURS L2- PC, E2i (ESGT, ENSIM),), L2-MATH Partie II: Magnétostatique. Objectifs. 1. Exemples d applications du champ magnétique

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1 COURS L- PC, E (ESGT, ENSM),), L-MATH Pate : Magnétostatque Objectfs obnes de Helmholtz 1. Exemples d applcatons du champ magnétque. Etude le champ magnétque cée pa des couants constants (Lo de ot-savat, Théoème d Ampèe) Acton d un champ magnétque su des chages en mouvement Tube de Cooks Dévaton d un fasceau d électons pa un champ magnétque Tajectoe Hélcoïdale des électons Fomulaton : Foce de Loentz F = qv 1

2 Mesue d un champ magnétque 1.Pncpe de la sonde à EFFET HALL Une plaque (conductce, sem-conductce), pacouue pa et soumse au champ magnétque à mesue. F b a θ e e e c v e Régme tanstoe a b e c v F θ Régme pemanent -ee H La foce sube pa un électon est donné pa la lo de Loentz : F = ev mgaton des électons ves la pate haute de la plaque La nouvelle épatton de chages à l ntéeu de la plaque engende un champ électque de Hall et une foce électque de Hall : F H = ee qu s oppose à la foce de Loentz. Le égme tanstoe s estompe losque les deux foces se compensent exactement : π FH + F = EH = v EH = v sn( + θ ) = v cosθ la d.d.p de Hall VH ente les faces opposées de la plaque: ( + ) VH = E H. dl = EHc = vccosθ ( ) H

3 ntensté du couant électque = nevac vc = nea Tenson de Hall V = vc = nea H cosθ cosθ S, n,a, sont fxés pa le constucteu, la mesuede V H pemetde dédue cosθ Exemples numéques Plaque. de cuve : n=8, m-3, a=,1 cm et =1, Tesla pou = 5A la tenson de Hall est VH=,5.1-6 Volt Plaque sem-conductce : n=1 m -3 a =,1 cm et =1,Tesla pou =,1 ma, VH=7mV Un sem-conducteu est plus appopé pou mette en évdence et utlse l effet Hall Acton d un champ magnétque su un conducteu pacouu pa un couant : Lo de Laplace F t = dl = L ( fl ) alance de Cotton (ntéêt hstoque) : llustaton des foces de Lapalce H F O G d d mg 3

4 (=), la balance est équlbée avec une masse mo (le bn du fl centé en H est hozontal). En pésence d un couant, l équlbe de la balance est assuée pa une masse addtonnelle (m). Condton d équlbe en foncton des moments: M F) + M ( mg) = / O( / O F : epésente la foce de Laplace su le bn du fl de longueu L centé en H (les moments des foces su les autes bns sont nuls; les bns étant des acs de cecles de cente O). F L = ; v ; / ( F)= OH F ( mg)= OG mg M O M/ O m. g. d =. L. d' L H d O d G - MAGNETOSTATQUE Lo de ot et Savat La lo de ot et Savat ele les souces (couant) au champ magnétque cée en tenant compte de la géométe du système suppot du couant électque. dl S Le champ magnétque cée en M est donné pa : M ( M) = 4π ( conducteu ) = 4π. 1 H. m 7 1 dl SM 3 SM SM Untés en S. : Tesla (T) Sous-unté : Gauss (1-4 T) 4

5 Spe cculae Paason de syméte de évoluton autou de l axe Ox, le champ magnétque total en M est dgé selon Ox et dans le sens des x cossants (ègle du te bouchon). 1èe méthode( ntégaton) Les deux vecteus dl et SM sont othogonaux et sachant que le champ total est dgé selon Ox, on ne va eten que la composante du champ élémentae selon cet axe : dl S R θ d( M) = M d Un élément de longueu de la spe cée un champ magnétque élémentae x dl SM 3 4π SM dl d( M ) = snθ 4π SM u x dl M u R Sn ( ) = sn θ =. sn u = sn u π SM π π θ 3 θ θ 4 4 R R ( spe) x x x ème méthode ( M) = 4π ( spe) dl SM 3 SM S = πr u x oenté pa le sens du couant dans la spe. SM = SO + OM ( spe) ( spe) S 3 ( M) = 3 = sn θ 4π SM R dl OM = dl OM spe = ( ) dl SO = S u x Allue du champ magnétque cée pa la spe su son axe. ONE AMANT R x (x) S on consdèe une bobne plate consttuée de N spes avec un ayon moyen R et de fable épasseu, le champ magnétque cée pa la bobne en un pont de son axe est Nx le champ magnétque cée pa une spe. 5

6 1)obnes de Helmholtz Utlté : c est l un des ae système qu pemet de éalse un champ magnétque constant dans un cetane égon de l espace. La condton epose su le chox d un écatement des deux bobnes d une dstance égale à leuayon moyen. obnes dentques compotant N spes pacouues pa un couant Composton des champs magnétques des deux bobnes obnes de Helmholtz nducton magnétque totale en foncton de la dstance x su l axe R O R 4 ε ( M) = ( O) R x = ε Ecat paappot à l ogne 6

7 Syméte en Magnétostatque Le champ magnétque est un champ axal et se tansfome pa les opéatons de syméte dfféemment que le champ électostatque ( champ polae). C-dessous les tansfomatons d un champ magnétque pa des plans de syméte et d antsyméte. PS PAS Champ magnétque = Champ axal. Théoème d Ampèe 1.Enoncé Sot une boucle de couant pacouue pa un couant. Sot un pacous femé (g) et oenté de façon abtae. s (g) ntecepte la boucle : la cculaton du champ magnétque su le pacous (g) est égale à: ± S (g) n ntecepte pas la boucle : la cculaton du champ magnétque su le pacous (g) est nulle. Fomulaton mathématque (C) (C) ng ng. dl = ± S (g) ntecepte g. dl = ( ) ( g) S (g) n ntecepte pas (g) (g) (-) (+) 7

8 Applcatons du théoème d Ampèe. Fl ectlgne nfn pacouue pa un couant constant (g) ng Syméte de évoluton mplque que le champ magnétque a une nome dépendante unquement de. Le sens de est défn pa la ègle du te bouchon - ou la ègle du onhomme d Ampèe ( couché su le fl et egadant le pont ou on cheche le champ magnétque, sa man gauche ndque la decton du champ magnétque). Le sens du pacous (g) est chos de telle façon que sa nomale sot dans le sens de. Le fl ayant une longueu nfn, on peut consdéeque c est une boucle de couant de ayon nfn. Le théoème d Ampèe donne :. dl = =. π ( ) = π u ( g ) θ Champ magnétque cée pa un solénoïde de longueu nfn Γ1 Γ Γ3 Γ1 : n ntecepte pas de couant et l est stué à l ntéeu du solénode. La cculaton de est nul mplque que est unfome dans le solénoïde : ( Γ1). dl =. l. l + unfome dans le solénoïde. Γ : extéeu au solénoïde. La cculaton su ce pacous est nulle et donc est unfome à l extéeu du solénoïde. La valeu de est nécessaement nulle en dehos du solénoïde. Γ 3 : ntecepte des couants et la cculaton est :. dl = nt. l = nl nt = n( u x ) ( Γ 3) 8

9 Champ magnétque d un solénoïde dans le cas où l on ne tent pas compte des effets de bods (solénoïde de longueu nfne) FN COURS L (16-17) Conducteu massf de longueu nfn pacouu pa un couant de densté j constante Plan d'antsyméte Plan de syméte Syméte : Axe de évoluton mplque que ne dépend que de. Plan de syméte : tout plan contenant l axe du conducteu Plan d antsyméte : tout plan pependculae à l axe du conducteu Règle du te ouchon : fxe le sens de Syméte de tanslaton : ndépendant de z. 9

10 Calcul de à l extéeu du conducteu R (g). dl = =. π ext = ( spe) π Calcule de à l ntéeu j. dl = j. π =. π nt = = πr ( spe) Flux d un champ magnétque à taves une spe pacouu pa un couant. n La suface délmté pa la spe est oenté postvement pa le sens de () pa la ègle du te-bouchon. Flux du champ magnétque Φ =. ds =. S ( S ) s le champ magnétque est unfome. 1

11 Calcul de l nductance d une longueu l d un solénoïde Le champ magnétque est unfome à l ntéeu du solénoïde : = nu x Le flux de à taves les nl spes se touvant su la longueu l est : Φ = nl. S = n ls = L L nductance d une longueu l d un solénoïde est : L = n Sl Unté (H: Heny) Coeffcent d nducton mutuelle ente deux potons de deux solénoïdes de même secton Le flux du solénoïde (1) à taves nxl spes du solénoïde () est :. Φ 1 = 1 n ls = n 1 n S l 1 = L 1 1 = M 1 Donc le coeffcent de mutuelle-nducton est M=L1=L1, son sgne est postf s les couants sont oentés dans le même sens snon, l est négatf. 11

12 nductance pope d une bobne toque de N spes ectangles ((b-a),c) pacouues pa Monte que le champ magnétque est donné pa : N π u = En calculant le flux, en dédue que l nductance est de la fome: b a N L = ( b a) Ln π b a Vo l applcaton du flux magnétque dans le phénomène De l nducton Électomagnétque 1