Codage préfixe. A : alphabet S : texte à coder f (c) : fréquence du caractère c dans S

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Léon Lheureux
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1 Codage préfixe. A : alphabet S : texte à coder f (c) : fréquence du caractère c dans S à chaque caractère c correspond un code Φ(c) (suite de bits) aucun code n est le préfixe d un autre p.

2 Codage préfixe. A : alphabet S : texte à coder f (c) : fréquence du caractère c dans S à chaque caractère c correspond un code Φ(c) (suite de bits) aucun code n est le préfixe d un autre le codage est optimal si X f (c) Φ(c) c A est minimal (taille du texte après codage) p.

3 Arbre de codage. On représente un codage préfixe par un arbre binaire a b c Codes a : b : c : d : d Chaque feuille correspond à un caractère de l alphabet Chaque branche est étiquetée par la valeur ou (un bit) dacadbaac (taille=8) p.2

4 Codage. Soit un texte à coder S calcul de l alphabet A (et des fréquences) calcul des codes des caractères de l alphabet parcours du texte en produisant à la place de chaque caractère son code (parcours des feuilles vers la racine lorsqu on utilise l arbre de codage) p.3

5 Décodage. codes + texte codé texte original Il n y a pas d ambiguité dans un codage préfixe, puisqu aucun code n est le préfixe d un autre analyse du texte codé en recherchant les codes (parcours de la racine vers les feuilles dans l arbre de codage) La représentation des codes sous la forme d un arbre de codage facilite l analyse. p.4

6 Codage préfixe optimal. Idée : les caractères les plus fréquents ont des codes plus courts L arbre de codage est complet arbre de codage optimal étiqueté par les caractères et les fréquences T a fréquences c 2 3 d Codes a: b : c : d : 2 b dacadbaac (taille=7) p.5

7 Codage préfixe optimal. Pour l alphabet A, les fréquences f et l arbre T B(T ) = X f (c) pt (c) c A est minimal (pt (c) représente la profondeur de la feuille d étiquette c) T 9 a 4 5 c 2 3 d p ( b) T 2 b p.6

8 Codage préfixe optimal : Huffman. Huffman propose un algorithme glouton pour la construction d un arbre de codage optimal initialisation : construire l ensemble F des arbres correspondants aux caractères de l alphabet (arbres-feuilles), itération : tant que F contient plus d un arbre, fusionner deux arbres dans F. p.7

9 Codage préfixe optimal : Huffman. Texte : axabataaxbcbtaabxxaazazaa Calcul des fréquences Un arbre par caractère de l alphabet a : 2 c: t:2 z:2 x:4 Ensuite tant qu il y a plus d un arbre choisir deux arbres de poids minimaux fusionner ces deux arbres : la nouvelle racine a pour poids la somme des poids des racines de ses fils p.8

10 Codage préfixe optimal : Huffman. a : 2 c: t:2 z:2 x:4 p.9

11 Codage préfixe optimal : Huffman. a : 2 z:2 x:4 3 c: t:2 p.

12 Codage préfixe optimal : Huffman. a : 2 x:4 5 z:2 3 c: t:2 p.

13 Codage préfixe optimal : Huffman. a : 2 5 z:2 8 x:4 3 c: t:2 p.2

14 Codage préfixe optimal : Huffman. a : z:2 8 x:4 3 c: t:2 p.3

15 Codage préfixe optimal : Huffman. 25 a : z:2 3 c: x:4 t:2 p.4

16 Codage préfixe optimal : Huffman. Codes a: z : c : t : x : b : 25 a : z:2 3 c: x:4 t:2 axabataaxbcbtaabxxaazazaa (24 caractères) (54 bits) (7 octets) p.5

17 Codage préfixe optimal : Huffman. procédure Huffman(T : texte) {F est une file de priorité} calculer l alphabet A et les fréquences f 2 F =, 3 pour chaque c A faire 4 F = F {CreerNoeud(c/f (c),nil,nil)}, 5 tant que card(f ) 2 faire 6 a =ExtraireLeMin(F ), 7 b =ExtraireLeMin(F ), 8 F = F {CreerNoeud(f (a) + f (b), a, b)}, 9 renvoyer (F ), ExtraireLeMin(F ) : renvoie à la structure de tas binaire p.6

18 Huffman : optimalité Deux propriétés : propriété du choix glouton : il existe toujours une solution optimale qui contient un premier choix glouton propriété de sous-structure optimale : toute solution optimale privée d un choix est elle-même une solution optimale du sous-problème. p.7

19 Huffman : optimalité (choix glouton) Propriété. Si x et y sont les caractères de fréquences les plus faibles alors il existe un arbre de codage optimal dans lequel x et y sont frères (et de profondeur maximale). Preuve. Soit T un arbre de codage optimal, a et b deux frères de profondeur maximale. On suppose f (x) f (y) et f (a) f (b). Donc T f (x) f (a) et f (y) f (b) En échangeant a et x d une part, b et y d autre part, on obtient un nouvel arbre de codage T qui fournit un codage au moins aussi bon que T x y a B(T ) = X b f (c) pt (c) c A p.8

20 Huffman : optimalité (choix glouton) T T x y a b a b x y p.9

21 Huffman : optimalité (sous-structure optimale) Trouver un arbre de codage optimal pour le problème P a : 2 c: d:2 e:2 f:4 revient à trouver un arbre de codage optimal pour le problème P (obtenu après la fusion des arbres de plus petits poids) a : 2 z : 3 e:2 f:4 Il suffit de montrer qu à tout arbre optimal pour P correspond un arbre optimal pour P p.2

22 Huffman : optimalité (sous-structure optimale) c et d caractères de plus petites fréquences dans P T un arbre de codage pour P T : arborescence dérivée de T en substituant la feuille z au noeud interne de fils c et d, avec f (z) = f (c) + f (d) T T z : f(c)+f(d) c : f(c) d : f(d) Propriété. T est optimal T est optimal p.2

23 Huffman : optimalité (sous-structure optimale) a : 2 c: d:2 e:2 25 f:4 a : 2 a : 2 z : 3 e:2 f:4 3 8 a : 2 z2 : f:4 f:4 c: z3 : 8 a : 2 f:4 d:2 z2 : 5 25 a : 2 a : 2 3 z4: a : a : 2 25 a : 2 5 f:4 z : 3 e:2 z2 : 5 3 z4:3 z3 : 8 f:4 z2 : 5 p.22

24 Projet lecture du texte et stockage dans un tableau de char calcul de l alphabet et des fréquences construction de l arbre de codage optimal en utilisant un tas binaire codage et sauvegarde des codes et du texte codé procédure de reconstruction de l arbre et de décodage Le texte codé sous forme de caractères ASCII et n est pas compressé. Il faut produire une suite de bits stockés dans des unsigned char par exemple, en utilisant l opérateur de décalage << et écride dans des fichiers binaires (fread et fwrite) p.23

25 Projet : modules module toto.c : #include <stdio.h> #include titi.h #include toto.h UN_TYPE *matable = NULL; /* Variable globale */ int Bidon(int a, int b) {... } Fichier toto.h : typedef struct bidon *UN_TYPE; struct bidon {... }; extern UN_TYPE *matable; /* Utilisable dans d autres modules */ int Bidon(int a, int b); /* Utilisable dans d autres modules */ p.24

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