Fiche n 1 sur la dérivation et l intégration
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1 Fiche n sur la dérivation et l intégration Table des matières. Dérivation Dérivées simples Produit et quotient de fonctions Fonctions composées Notations de Leibniz et de Newton Eercices Intégration Primitives simples Quelques astuces Produit ou quotient d une fonction avec sa dérivée Fonctions trigonométriques Eercices Correction des eercices Dérivation... 5
2 . Dérivation.. Dérivées simples n avec n R e ln() cos() sin() tan() f () n n e sin () cos () + tan 2 ou cos 2 Remarque : les dérivées des fonctions ou sont des cas particuliers de la dérivation de n. L utilisation du résultat ci-dessus permet d obtenir les classiques résultats (à connaître également) : f () = 2 = 2 = /2 2 /2 = 2.2. Produit et quotient de fonctions Pour la dérivée d un produit de deu fonctions : Pour la dérivée d un quotient : (f g) = f g + f g ( f g ) = f g f g g 2 Remarque : il peut s avérer tentant de dériver un quotient comme le produit f. Cette méthode n est pas g recommandée car elle nécessite de recourir à la dérivation de la fonction composée. Comme on cherche souvent g à annuler la dérivée, le calcul du numérateur f g f g s avère souvent amplement suffisant..3. Fonctions composées La formule de dérivation d une fonction composée est : (f(g()) = f (g()) g ()
3 Elle est applicable simplement : ln(a) cos(k) sin(k) f () a a k sin (k) k cos (k) f () f 2 ().4. Notations de Leibniz et de Newton Il est courant, en physique, de manipuler des epressions littérales comportant plusieurs grandeurs. Pour préciser eplicitement la grandeur par rapport à laquelle on dérive, on utilise usuellement la notation de Leibniz dans laquelle on écrit df d à la place de f (). Avec cette notation, la dérivée n-ième s écrit dn f d n à la place de f(n) (). Remarque : l intérêt de cette notation est de donner simplement la dimension de la dérivée n-ième d une dérivée. Par eemple : [ df d ] = [f] L, [ d2 f dt 2] = [f] T 2. Enfin, dans le cas des dérivations par rapport au temps, on peut utiliser la notation de Newton dans laquelle chaque ordre de dérivation est représenté par un point au-dessus de la fonction : f (t) pour la dérivée temporelle première, f (t) pour la dérivée temporelle seconde..5. Eercices Eercice : Dériver les fonctions suivantes : f () = 3 4 f 2 () = 7 f 3 () = ( + 4) 6 f 4 () = f 5 () = f 6 () = f 7 () = ln ( 3 2 ) f 8 () = 3 cos 2 sin tan f 9 () = + tan
4 Eercice 2 : Déterminer les valeurs de pour lesquelles la dérivée de la fonction D() = ( 2 ) Q 2 s annule, où Q est une constante strictement positive. On distinguera plusieurs cas en fonction de la valeur de Q. 2. Intégration 2.. Primitives simples Les primitives usuelles sont : n avec n R \{ } cos(k) F() n+ n + ln a sin (k) k sin(k) cos (k) k Remarque : ces primitives sont valables à une constante près. En physique, on utilisera les conditions initiales et/ou les conditions au limites pour déterminer l epression de la constante d intégration Quelques astuces Produit ou quotient d une fonction avec sa dérivée Si on reconnaît une fonction de la forme : Alors, une primitive G() de g() est la fonction : g() = f () G() = 2 f2 () Remarque : une méthode similaire est utilisable dans le cas où g() = f n () f () avec n. De même, si on reconnaît une fonction de la forme : Alors, une primitive G() de g() est la fonction : g() = f () G() = ln( ) Fonctions trigonométriques Dans le cas d une fonction trigonométrique élevée à la puissance n, il est nécessaire de linéariser la fonction pour trouver simplement une primitive. Par eemple : cos 2 () = +cos(2) 2
5 Si possible, on essaiera de faire apparaître des produits de la forme cos n () sin() ou sin n () cos() pour se ramener au astuces ci-dessus Eercices Eercice : Donner une primitive pour les fonctions suivantes : f () = 3 4 f 2() = 7 f 3 () = f 4 () = f 5 () = 7 cos sin 4 Eercice 2 : Donner la primitive de u(t) = u 0 e t/τ qui s annule en t = 0. Eercice 3 : Une force conservative unidirectionnelle est reliée à son énergie potentielle par la relation : F = de p d u Déterminer les énergies potentielles associées au forces F = mgu, F = ku et F = K u 2 Eercice 4 : Trouver la primitive de tan() qui s annule en = 0. Eercice 5 : Trouver la primitive de cos 3 () qui s annule en = 0. Eercice 6 : Calculer la valeur moyenne de la fonction cos 2 θ définie par : M = 2π 2π cos2 θdθ 3. Correction des eercices 3.. Dérivation Eercice : f () = 2 3, f 2 () = 7 8, f 3 () = 6 (+4) 7, f 4 () = , f 5 () = 62 (2+4 3 ) 3 2 f 6 () = 2 4 (2+2 ), f (3+7 2 ) 2 7 () =, f 3 8 () = 3(cos 3 2 cos sin 2 ), f 9 () = tan2 + tan (+tan 2 ) (+tan ) 2 Eercice 2 : La dérivée de D est : dd d = 2D ( Q 2) La première annulation évidente est obtenue pour = 0. La seconde annulation vérifie : 2 = 2Q 2 Et n eiste que si Q 2 > 2, tan Intégration Eercice : F () = 3 5 5, F 2 () = 6 6, F 3() = 7 ln( ), F 4 () = 4 ln( ), F 5 () = 7 5 sin5 Eercice 2 : U(t) = u 0 τ ( e t τ) Eercice 3 : E p = mg, E p = 2 k2, E p = K Eercice 4 : F() = ln( cos ) Eercice 5 : Pour faciliter l intégration, on peut mettre la fonction sous la forme = ( sin 2 ) cos. On trouve ensuite : F() = sin ( 3 sin2 ) Eercice 6 : M = 2
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