Version default Titre : Eléments finis en acoustique Date : 10/04/2009 Page : 1/14 Responsable : Christophe DURAND Clé : R4.02.

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1 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : /4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 Organism(s) : EDF/EP/AMV Élémnts finis n acoustiqu Résumé : C documnt décrit n acoustiqu stationnair à bass fréqunc ls équations utilisés, ls formulations variationnlls qui n découlnt ainsi qu la traduction corrspondant n élémnts finis, pour chacun ds dux méthods utilisés dans l Cod_Astr : formulation ''classiqu" à un inconnu p (prssion acoustiqu), t formulation "mixt" à dux inconnus p, v (prssion t vitss acoustiqus). Manul d référnc Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

2 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : /4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 Tabl ds matièrs Introduction...3 Equations t conditions aux limits du problèm...4. Equations t conditions aux limits Formulation classiqu n prssion Exprssion mathématiqu du problèm Discrétisation par élémnts finis La matric d rigidité La matric d mass La matric d'amortissmnt L vctur sourc Formulation mixt prssion-vitss Exprssion mathématiqu du problèm Formulation local Formulation variationnll mixt Discrétisation par élémnts finis La matric d rigidité La matric d mass La matric d'amortissmnt L vctur sourc Commands spécifiqus à la modélisation acoustiqu Conclusion... 7 Bibliographi... Manul d référnc Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

3 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : 3/4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 Introduction Ds options d modélisation ont été dévloppés dans l Cod_Astr, prmttant d'étudir la propagation acoustiqu stationnair à bass fréqunc, n miliu clos, pour ds domains d propagation à topologi complx, c'st-à-dir y résoudr dans ls conditions cités l'équation d Hlmholtz. La résolution par élémnts finis d ctt équation put êtr réalisé suivant dux méthods : un prmièr méthod consist à s fixr comm inconnus du problèm, uniqumnt ls prssions acoustiqus complxs nodals, soit dgré d librté par nœud [bib]; c'st cll qu l'on qualifi d formulation aux élémnts finis "classiqus", dans la duxièm méthod, dit aux élémnts finis "mixts", on s fix comm inconnus à la fois ls prssions acoustiqus nodals t ls 3 composants d la vitss vibratoir nodal, soit au total 4 dgrés d librté par nœud [bib5]. Pour connaîtr ls chmins d propagation d l'énrgi dans l fluid, l'acousticin dispos d grandurs : l'intnsité acoustiqu activ I t l'intnsité acoustiqu réactiv J ; cs dux grandurs sont définis comm : I = R[ p v *] t J = Im[ p v *] éq - où v * désign l conjugué complx d la vitss vibratoir. La connaissanc d cs grandurs apport un complémnt d'information très important dans la résolution d problèms d touts sorts, comm par xmpl la msur ds puissancs rayonnés par ls machins, la rconnaissanc t la localisation ds sourcs. L calcul d l'intnsité acoustiqu par la méthod ds élémnts finis mixts doit fournir ds valurs plus préciss qu la méthod classiqu; n fft dans l cas mixt on assur la continuité ds dérivés prmièrs d la prssion t non pas simplmnt la continuité d ctt drnièr. Cpndant si ll st plus précis, la formulation mixt consomm n rvanch plus d taill mémoir t d tmps CPU, tout n gardant l'avantag d'avoir, à nombr d dgrés d librté par longuur d'ond égal, un rrur rlativ toujours plus faibl sur l calcul d l'intnsité acoustiqu. Manul d référnc Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

4 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : 4/4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 Equations t conditions aux limits du problèm. Equations t conditions aux limits L'équation à résoudr st l'équation d Hlmholtz [bib] : ( + k ) p = s éq.- k désign l nombr d'ond du problèm traité ; il put êtr complx ou rél, suivant qu la propagation s'ffctu ou non dans un domain porux [bib6] : k = ω éq.- c c désign la célérité du son, qui put êtr complx dans l cas d'un propagation n miliu porux. p st un grandur complx désignant la prssion acoustiqu t s, égalmnt complx, rprésnt ls trms sourcs du problèm. ω st un rél dans tous ls cas, qui désign la pulsation : ω = π f éq.-3 f st la fréqunc d travail du problèm harmoniqu. Nous rprésntons sur la figur [Figur.-a] l domain confiné qulconqu où s'appliqu l'équation d Hlmholtz [éq.-] t ls conditions aux frontièrs. st un ouvrt borné d R 3 d frontièr régulièr, partitionné n v t z ; = v z n Fluid z Frontièr absorbant d'impédanc localisé Z Sourc vibratoir monochromatiqu d'amplitud normal V n v z x y Figur.-a : Configuration du problèm L'équation [éq.-] st à résoudr dans un domain clos. Ls conditions aux limits à prndr n compt sur la frontièr du domain s'xprimnt sous lur form la plus général comm : Manul d référnc Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

5 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : 5/4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 α β p p+ = γ n éq.-4 / n désign l'opératur d dérivé normal. α, β, γ sont ds opératurs complxs, qui puvnt êtr ds scalairs, ou ds opératurs intégraux suivant qu la frontièr d'application d la condition à la limit st à réaction local ou à réaction non local (cas d l'intraction fluid-structur). Ls dévloppmnts actullmnt réalisés dans l Cod_Astr concrnnt uniqumnt ds conditions à la limit à réaction local, pour lsqulls ls α, β, γ sont ds scalairs ; ls cas spécifiabls sont ls suivants : α = 0, β 0, γ 0 qui désign un frontièr du domain à vitss vibratoir imposé. En fft, il xist un rlation rliant l gradint d prssion acoustiqu complx à la vitss vibratoir particulair complx. p n = jωρ éq.-5 0 V n ρ 0 désign la mass volumiqu du fluid considéré, t on impos V n, la vitss vibratoir normal à la paroi (V n = v. n où n désign l vctur unitair d la normal xtériur à la frontièr ). α 0, β 0, γ = 0 concrn un frontièr à impédanc acoustiqu Z imposé. L'impédanc acoustiqu Z st défini comm l rapport d la prssion à la vitss vibratoir particulair au voisinag d la paroi à impédanc imposé : Z = p éq.-6 V n α 0, β = 0, γ 0 rprésnt l cas où l'on impos la prssion acoustiqu p à un frontièr (l plus souvnt γ = 0, corrspondant à p = 0 ). 3 Formulation classiqu n prssion 3. Exprssion mathématiqu du problèm La procédur standard visant à posr l problèm aux élémnts finis classiqus st la suivant : on suppos la solution du problèm suffisammnt régulièr, p H ( ). On multipli l'équation : ( ) + k p = 0 éq 3.- Manul d référnc par un fonction tst φ. On intègr sur t on utilis la formul d Grn. La frontièr du domain, s subdivis n zons, un zon à vitss vibratoir imposé, v t Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

6 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : 6/4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 un zon à impédanc acoustiqu imposé, z. L'équation obtnu put êtr réécrit sous la form : ω ρ ω grad ( p ). grad ( φ ) p. φ p. φ ρ ω. φ dv j ds j 0 Vn ds = 0 c Z z v éq 3.- dv rprésnt un élémnt d volum différntil dans t ds rprésnt un élémnt d surfac sur. la vitss vibratoir particulair st nsuit détrminé par : 3. Discrétisation par élémnts finis j p éq 3.-3 ρ 0 ω v = grad ( ) Dans l cas ds élémnts finis classiqus, ls intégrals élémntairs sont au nombr d quatr K, M, C, U suivant la décomposition indiqué n [éq 3.-3] ( K st la matric d rigidité, M la matric d mass, C la matric d'amortissmnt t U l vctur sourc). Dux d'ntr lls provinnnt d'intégrals volumiqus, ls dux autrs sont l résultat d' intégrals rspctivmnt sur un surfac vibrant t sur un surfac à impédanc imposé. On supposra qu ls coordonnés globals d'un élémnt puvnt s'écrir grâc à la donné d m fonctions d form élémntairs H i : m OM = H i i= OM i éq 3.- On s donn n outr, ds fonctions d bas N i, pour décrir la prssion élémntair. La prssion à l'intériur d'un élémnt pourra s'écrir : où P i st la prssion au nœud i d l'élémnt. m ( ) = i ( ) p x, y, z N ε, η, ξ P i éq 3.- i= Dans l cas ds élémnts finis isoparamétriqus, ls fonctions d bas N i sont égals aux fonctions d form H i. Sur chaqu élémnt du domain, l problèm aux élémnts finis n prssion s'écrit : où ( P ) q ( K ω M + jω C ) q ( P ) = jω ( U ) q q q st la matric colonn ds valurs nodals d la prssion sur l'élémnt. éq 3.-3 Manul d référnc Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

7 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : 7/4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : La matric d rigidité grad grad La matric d rigidité K corrspond au calcul d : ( p ). ( φ ) Ell admt comm trm général : dv K ij = Ni N j dv éq La matric d mass La matric d mass M corrspond au calcul d : Ell admt comm trm général : c p.φ dv M ij = c N i N j dv éq La matric d'amortissmnt La matric d' amortissmnt C corrspond au calcul d : Ell admt comm trm général : ρ0 p. φ ds Z z C ij = ρ0 Z z 3..4 L vctur sourc L vctur sourc U corrspond au calcul d : Il admt comm trm général : 0 v N i N j ds éq ρ V φ ds n 4 Formulation mixt prssion-vitss 4. Exprssion mathématiqu du problèm 4.. Formulation local U = Vn ds ρ0 N i éq i L'équation d Hlmholtz [éq -] avc ls conditions aux limits [éq.-3] s déduisnt n fait ds équations locals ci-dssous : v Manul d référnc Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

8 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : 8/4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 iω χ p + div v = 0 iω ρ0 v + grad p = 0 v. n = p Z v. n = V n dans dans sur sur z v éq 4.. éq 4.. éq éq où χ = / ρ0 c st l cofficint d comprssibilité adiabatiqu du fluid. L problèm mathématiqu st l suivant: étant donné ds fonctions Z L ( Z ) t V n H, trouvr ds fonctions p t v définis dans t à valurs dans C vérifiant cs ( ) V équations. Ells décrivnt, n régim harmoniqu d pulsation ω, ls ptits fluctuations d prssion p t d vitss v à partir d l'état d rpos (c.à.d. la prssion acoustiqu t la vitss particulair acoustiqu) d'un fluid comprssibl homogèn, isotrop, non visquux, confiné dans t soumis à un distribution d vitss normal V n sur V. ρ0, χ t c rprésntnt rspctivmnt la mass volumiqu, l cofficint d comprssibilité adiabatiqu t la célérité du son rlatifs au fluid, n absnc d prturbation acoustiqu ; l cofficint α = / Z st l'admittanc localisé du matériau constituant V à la pulsation considéré. Pour construir un méthod d'approximation par élémnts finis d c problèm, il st nécssair d l mttr sous un form variationnll. 4.. Formulation variationnll mixt On prnd l produit scalair d l'équation [éq 4..-] dans L ( ) avc un fonction qulconqu q dans H ( ) (c'st la fonction-tst). La formul d Grn t l fait qu v vérifi ls conditions aux limits [éq 4..-3] t [éq 4..-4] nous prmttnt d'aboutir à : iω χ pq* + α pq* v. gradq* = Vn q* éq 4..- z On procèd d mêm avc l'équation [éq 4..-] n prnant son produit scalair dans L ( ) avc ( ) un fonction-tst u qulconqu dans ( ) L 3 on obtint : v iω ρ + 0 v. u * grad p. u* = 0 éq 4..- A présnt nous multiplions [éq 4..-] par jω ρ 0 t [éq 4..-] par jω ρ 0, puis nous faisons l changmnt d fonction : jω v Ainsi nous obtnons la formulation variationnll mixt [éq 4..-3] : Trouvr ( p, v) X M tls qu : v Manul d référnc Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

9 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : 9/4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 ρ + 0 v. gradq* ω / c pq* jω ρ0 α pq* = jω ρ0v n q* q X V Z ρ + ρ = 0 v. u * 0 grad p. u* 0 u M { i } ( L ) 3 { v ( v i ) i,, 3 ; vi L ( ) } où : X = H ( ) = p L ( ) ; p / x L ( ) i =,, 3 t : M = ( ) = = = éq Discrétisation par élémnts finis. L domain t ss frontièrs V t Z sont découpés n domains t frontièrs élémntairs : V Z,, sur lsquls sont calculés ds intégrals élémntairs. Pour rprésntr ls champs d p t d v à l'intériur d l'élémnt on utilis ls mêms fonctions d bas N i. A l'intériur d chaqu élémnt (comportant m nœuds) on écrit : OM v = i= m m i= m i= ( ε η ξ ) ( ε η ξ ) p = N,, = i N,, i ( ε η ξ ) N,, i p v i i OM ε, η, ξ sont ls coordonnés curviligns d'un élémnt tridimnsionnl ; OM i st l vctur position du nœud M i d l'élémnt à m nœuds ; N i, i =, m sont ls fonctions d bas sur l'élémnt ; v i st l vctur 'accélération' au nœud M i d l'élémnt. Dans c cas l systèm d'équations [éq 4..-3] s'écrit matricillmnt pour chaqu élémnt : i p * q * q * q v K q p j p j u * v M u * v C u * S ω + ω = ω u * * éq 4.- où : Manul d référnc Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

10 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : 0/4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 t p p v = v = l'élémnt ; 4.. La matric d rigidité { p v x v y v z pm,,,, vmx, vmy, vmz } st l vctur solution dans K st la matric d 'rigidité' élémntair, corrspondant au calcul d la parti suivant d [éq 4..-3] : ρ ρ v. grad q* v. u * + ρ grad p. u * On put l'écrir n la décomposant n mxm sous matrics K ij d dimnsions 4 x 4 comm ci-dssous : K K K j K = Ki Kij K K m K mj K avc ls trms suivants pour K ij : K ij m im mm pour i, j =,, m Ni Ni Ni 0 N j 0 N j 0 N j 0 ρ x ρ y ρ z j i i j ρ N 0 N ρ0 N N 0 0 x = j i i j ρ N 0 N 0 ρ0 N N 0 y ρ N N N N 4.. La matric d mass j 0 i 0 0 ρ0 i j z st la matric d 'mass' élémntair, corrspondant au calcul d : M Ss cœfficints sont ls suivants : / c pq* Manul d référnc M i j r m = pour, =,, 4 3,, 4 3 c / N N avc r =,, m ij i j Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

11 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : /4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 Ls autrs trms sont nuls 4..3 La matric d'amortissmnt C st la matric d' 'amortissmnt' élémntair, provnant du calcul d : Ss cœfficints sont ls suivants : C ρ0 α pq* V i j r m = pour, =,, 4 3,, 4 3 ρ0 α N N avc r =,, m ij i j V Ls autrs trms sont nuls L vctur sourc st l vctur 'sourc' élémntair, rprésntant l calcul ds trms : S Ss composants sont ls suivants : S ρ0 V n q* Z i j r m = pour, =,, 4 3,, 4 3 V ρ0 N avc r =,, m i n i z Ls autrs trms sont nuls. Après avoir obtnu l champ p,v sur l domain par résolution d l'équation [éq 4.-] assmblé, on rvint au champ p,v par l changmnt d fonction invrs; on put calculr ls intnsités acoustiqus définis par [éq -] qui sont dans c cas continus dans tout l domain. 5 Commands spécifiqus à la modélisation acoustiqu Lors d'un étud par modélisation n élémnts finis acoustiqus avc l Cod_Astr on utilis ds commands générals t ds commands qui sont proprs à l'acoustiqu, ou dont ls mots-clés t options sont particulièrs à ctt disciplin ; nous n présntons ci-dssous la list. Dfinition ds caractéristiqus ds miliux d propagation Il st nécssair d donnr la mass volumiqu (valur réll) t la célérité d propagation (valur complx) ; on utilis pour cla la command : DEFI_MATERIAU avc ls mots-clés suivants : mot-clé factur : FLUIDE mots-clés : RHO (mass volumiqu ρ 0 ) CELE_C (célérité c ) Exmpl : air = DEFI_MATERIAU(FLUIDE=_F(RHO=.3, CELE_C : RI )); Manul d référnc Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

12 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : /4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 Dans c cas ρ 0 = j0. Affctation du modèl Il faut obligatoirmnt précisr qu'il s'agit du phénomèn 'acoustiqu' t choisir l'un ds 3 modélisations possibls d l'acoustiqu; on utilis donc la command : AFFE_MODELE avc ls mots-clés suivants pour lsquls on spécifi ls valurs d'affctation possibls : mot-clés : PHENOMENE = 'ACOUSTIQUE' MODELISATION ='3D' ou 'PLAN' Conditions aux limits On doit affctr ds valurs d vitss vibratoir normal par fac (ou arêt n bidimnsionnl) aux maills définissant ls frontièrs sourcs, t aussi ds valurs d'impédanc acoustiqu par fac (arêt n bidimnsionnl) aux maills définissant ls frontièrs à impédanc imposé. On utilis la command spécifiqu à l'acoustiqu AFFE_CHAR_ACOU avc ls mots-clés suivants : mot-clé : MODELE mot-clé factur : mot-clé : mot-clé factur : mot-clé : VITE_FACE MAILLE GROUP_MA VNOR (vitss vibratoir normal V n ) IMPE_FACE MAILLE GROUP_MA IMPE (impédanc acoustiqu Z ) mot-clé factur : PRES_IMPO NŒUD GROUP_NO PRES (prssion p imposé aux nœuds) Calcul ds matrics élémntairs Ls différnts matrics élémntairs (rigidité, mass t amortissmnt) sont calculés par ds options spécifiqus. On mploi la command : CALC_MATR_ELEM avc l mot-clé OPTION pour lqul on spécifi ls valurs d'affctation possibls : mots-clés : OPTION : 'RIGI_ACOU' 'MASS_ACOU' 'AMOR_ACOU' Nota : ls matrics assmblés puvnt êtr obtnu dirctmnt avc la macro command MACRO_MATR_ASSE t ls mêms options. Calcul du vctur sourc élémntair L vctur élémntair st calculé par un option spécifiqu; il faut obligatoirmnt indiqur l chargmnt. On mploi la command : Manul d référnc CALC_VECT_ELEM avc l mot-clé OPTION pour lqul on spécifi la sul valur d'affctation possibl : mots-clé : OPTION : 'CHAR_ACOU' Documnt diffusé sous licnc GNU FDL ( Fascicul r4.0 : Acoustiqu

13 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : 3/4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 mots-clé : CHARGE Calcul d la solution Après assmblag ds matrics t vctur élémntairs la solution harmoniqu put s calculr dirctmnt avc la command : DYNA_LINE_HARM Post-traitmnts A partir du résultat d la résolution d la transcription matricill ds équations [éq 3.-] ou [éq 4..-3], ds commands d post-traitmnt prmttnt d'obtnir ls champs nodaux d grandurs acoustiqus suivants: P nivau L p d prssion acoustiqu P n db : Lp = 0 log parti réll d la prssion acoustiqu parti imaginair d la prssion acoustiqu intnsité acoustiqu activ I = [ v ] R p * intnsité acoustiqu réactiv J = [ v ] Im p * Cs champs sont calculés par utilisation d la command d post-traitmnt CALC_ELEM (l concpt du résultat st du typ 'ACOU_HARMO' ou 'MODE_ACOU') : CALC_ELEM avc ls mots-clés RESULTAT t OPTION pour lqul on spécifi ls valurs d'affctation possibls : mot-clé : RESULTAT mot-clé : OPTION : 'PRES_ELNO_DBEL' (nivau d prssion n db) 'PRES_ELNO_REEL' (parti réll d la prssion) 'PRES_ELNO_IMAG' (parti imaginair d la prssion) 'INTE_ELNO_ACTI' (intnsité activ) 'INTE_ELNO_REAC' (intnsité réactiv) 6 Conclusion Ds moduls ont donc été intégrés dans Cod_Astr, prmttant d fair ds calculs d'acoustiqu intériur n basss fréquncs pour ds géométris complxs par dux méthods : élémnts finis acoustiqus classiqus t élémnts finis acoustiqus mixts. Ls dux formulations ont été validés par comparaison à un mêm solution analytiqu; ds cas tsts sont présntés dans l manul d validation V7 sous la codification AHLV00. Comm il était prévu, la précision, à maillag idntiqu, st supériur dans l cas mixt ; si on tint compt d l'ncombrmnt mémoir ctt supériorité n'st avantagus qu si nous voulons obtnir l champ d'intnsité : on dvrait utilisr ls E.F. mixts uniqumnt dans c cas là. 7 Bibliographi [] A. BOUIZI : 'Mis n ouvr d'un cod d calcul d'élémnts finis n vu du traitmnt d l'équation d Hlmholtz n spac clos' - Travail d fin d'étuds, E.C.L [] A. BOUIZI : 'Analys spctral d l'équation d Hlmholtz.' - Rapport d DEA, Ecol Cntral d Lyon, 986. [3] A. BOUIZI : 'Elémnts finis mixts n acoustiqu linéair stationnair : Dévloppmnt du cod AIRMEF' - Départmnt Acoustiqu. DER - EDF. HE-4 / Manul d référnc Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (

14 Cod_Astr Vrsion dfault Titr : Elémnts finis n acoustiqu Dat : 0/04/009 Pag : 4/4 Rsponsabl : Christoph DURAND Clé : R4.0.0 Révision : 655 [4] A. BOUIZI, M. COURTADE, D. JEANDEL, E. LUZZATO, A. MIGNOT, C. SURRY. : 'Conditions d compatibilité d Brzzi-Babuska pour ds méthods d'élémnts finis mixts conforms n Mécaniqu t Acoustiqu' AUM, Acts du 8èm Congrès Français d Mécaniqu, Nants, 987. [5] A. BOUIZI, M. COURTADE, D. JEANDEL, E. LUZZATO, C. SURRY : 'Traitmnt d l'équation d Hlmholtz par un cod d'élémnts finis mixts n spac clos' GAMI, Colloqu Vibrations Chocs, 988, ECL, 988. [6] A. BOUIZI : 'Résolution ds équations d l'acoustiqu linéair par un méthod d'élémnts finis mixts'. Thès présnté dvant l'ecol Cntral d Lyon -Spécialité : Mécaniqu -. Soutnu l 0/03/89. [7] C. HABASQUE : 'Validation xpérimntal du cod d calcul d'acoustiqu intrn, Bass Fréqunc'. Rapport d stag d DEA. ECL 986 (+ Projt d fin d'étuds). [8] A.ADOBES : 'Etud numériqu t xpérimntal ds champs d'onds stationnairs' Rapport DER / EDF - HE-87. [9] F. STIFKENS, A.ADOBES : 'Bilan d l'intégration ds élémnts finis classiqus dans Astr' - Rapport DER / EDF - HP-64/9.49 [0] F. STIFKENS : 'Intégration ds élémnts finis acoustiqus mixts dans Astr' Rapport DER / EDF HP-6/ Dscription ds vrsions du documnt Vrsion Autur(s) Astr Organism(s) 3 F.STIFKENS EDF- R&D/AMV Dscription ds modifications Txt initial Manul d référnc Fascicul r4.0 : Acoustiqu Documnt diffusé sous licnc GNU FDL (