Baccalauréat S Métropole La Réunion 21 juin 2012

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1 Baccalauréat S Métropole La Réunion juin 0 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Sur l intervalle [ 3, ], tous les points de la courbe ont une ordonnée négative. VRAIE. Sur l intervalle ] ; [, on lit que f (>0, donc que f est croissante sur cet intervalle. VRAIE 3. Sur l intervalle ] ; 0[, on a f (>0 donc f est strictement croissante sur ] ; 0[. Or on sait que f (0 =. D après la croissance stricte sur l intervalle tous les points de cet intervalle ont une image par f inférieure à. FAUSSE 4. Pour = 0, on lit f (0= et on sait que f (0=. On sait que l équation de la tangente à la courbe C au point d abscisse 0 est y f(0= f (0( 0 y ( = y =. Cette tangente contient bien le point de coordonnées ( ; 0 car ces cordonnées vérifient l équation de la tangente. VRAIE EXERCICE Commun à tous les candidats 5 points. a. 0,4 D 0,7 E 0,5 0,75 E E 0,6 D 0,3 E b. On a p (E = p (D E = p(d p D (E =0,4 0,7= 0,8. c. Calculons la probabilité de ne pas être recruté, soit : ( p(f = p D +p (D E +p (D E E = 0,6+0,4 0,3+0,4 0,7 0,75 = 0,6+0,+0, = ( 0,93. D où p F = p(f = 0,93= 0,07. On peut directement calculer la probabilité d être recruté, soit : ( p F = p (D E E =0,4 0,7 0,5 = 0,07. ( D où p(f = p F = 0,07= 0,93.. a. Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité d être recruté égale à 0, 07. La variable X suit donc une loi binomiale (B, n = 5, p = 0, 07. b. On a p(x = = ( 5 0,07 0,93 3 = 0 0,07 0,93 3 0,0394 0,039 à 0 3 près 3. On reprend ici la loi binomiale mais avec n candidats chacun ayant une probabilité d être recruté égale à 0,07. La probabilité qu aucun ne soit retenu est égale à : ( n 0 0,07 0 0,93 n = 0,93 n. La probabilité qu un au moins des n candidats soit recruté est donc égale à 0,93 n. Il faut donc résoudre l inéquation : 0,93 n > 0,999 0,00 > 0,93 n ln 0,00 > n ln 0,93 (par croissance de la fonction ln n> ln0,00 car ln0,93< 0. ln 0,93 ln 0,00 Or ln 0,93 95,. Il faut donc traiter au moins 96 dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins un candidat.

2 Baccalauréat S A. P. M. E. P. EXERCICE 3 Commun à tous les candidats Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B. 6 points Partie A f (= ( + + ln = = ( Comme lim = 0, on a donc lim = et lim : + + : + + ln = 0. : + + On a lim = 0, donc finalement par somme de limites : lim : + + f (=0. : +. Comme sur [ ; + [, +> 0, et > 0 la fonction f est la somme de deu fonctions dérivables + sur [ ; + [ et sur cet intervalle : f (= (+ + u ( avec u(= u( +. Or u (+ (= (+ = (+. (+ + Donc f (= (+ + = ( = (+ (+ = (+. Comme, la dérivée est clairement positive, donc la fonction est croissante sur [ ; + [ de f (= + ln 0,93 à 0 sa limite en plus l infini. 3. Le tableau montre que f (<0 sur [ ; + [. Partie B u n = ln n. 3. L algorithme donne successivement pour u les valeurs : 0+= + = = valeur qu il affiche. 6. Il suffit de modifier la sortie en : Afficher u ln n. 3. On peut conjecturer que pour n allant de 4 à 000 la suite est décroissante et converge vers une valeur proche de 0,577. Partie C [ n + ] ln(n+ [ n ] ln n = +ln n n+. On a u n+ u n = n+ ln(n+ = ( n+ + ln n n+ montre que u n+ < u n, ce qui signifie que la suite (u n est décroissante. = f (n. On a vu que pour, f (<0, donc u n+ u n = f (n<0. a. Puisqu on intègre de strictement positif à +, on a donc 0< + 0< + On a donc en particulier 0. L intégrale sur [ ; + ] de la fonction continue et positive est un nombre positif. Métropole La Réunion juin 0

3 Baccalauréat S A. P. M. E. P. + ( Or d 0 d d (par linéarité de l intégrale. d= (+ =. L inégalité précédente s écrit donc : On a + + d = [ln ]+ = ln(+ ln. d. Donc l inégalité précédente s écrit ln(+ ln b. On obtient la suite des inégalités suivante : ln(+ ln ( ln(+ ln ln(3+ ln ln(n ln(n n ln(n+ ln n n D où par somme membres à membres et effet de «dominos» : ln(n+ ln ou encore n ln(n n c. La fonction ln étant croissante, on a ln n< ln(n+ et comme ln(n n on en déduit que ln n< n 0< n ln n, soit finalement u n > On a vu que la suite est décroissante et ensuite qu elle est minorée par 0 : elle converge donc vers une limite supérieure à zéro. EXERCICE 4 Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 5 points. a. Voir à la fin de l eercice. b. z A = z A + = + = =. z B = z B + = + i+ = + i = i ( + i( i = i 4 + = + i ( i( + i = z C = z C + = i+ = i = c. On a z = 4 ( A B 5 i = i = i. De même z = +i = +i. A C Les vecteurs A B et A C ne sont pas colinéaires, donc les points A, B et C ne sont pas alignés.. a. g est la translation de vecteur u. b. Voir la figure i 5 4 = i 4 + = 4 ( i. (+i = +i. c. Soit I le point d affie. z = z z = z 0 z z I = z z O IM = OM. Les points M sont donc équidistants de O et de I : ils appartiennent à la médiatrice de [OI] qui a pour équation = et qui est donc la droite D d après la question précédente. Métropole La Réunion 3 juin 0

4 Baccalauréat S A. P. M. E. P. 3. a. z A = = = = z z A. A z B = = z B + i = i 4 + = 4 ( 5 i = z B. i = i = (+i Enfin z C = = z C + = +i=z C b. z = z z z = = z = z. z c. Soit un point M de D d affie z. On a vu que son affie vérifie z = z, donc d après la question la question précédente z = (. Son image par h est le point M d affie z = z. La relations ( devient donc z = qui signifie que le point M appartient au cercle C de centre I et de rayon. Conclusion : l image par h de la droite D est incluse dans le cercle de centre I et de rayon. 4. Soit M un point d affie z de la droite D. Son image par g est le point M d affie z+. L image par h du point M d affie z+ est le point M d affie c est-à-dire l image par f de z+ M. Or l image par g de la droite D est la droite D et ensuite on a admis que l image par h de la droite D est le cercle C privé de O. Conclusion : l image par l application f de la droite D est le cercle de centre I de rayon privé de O. B B C A A I A C C B D D Métropole La Réunion 4 juin 0

5 Baccalauréat S A. P. M. E. P. EXERCICE 4 Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Le plan complee est muni d un repère orthonormé direct On désigne par A, B et C les points d affies respectives ( O, u, v. 5 points et D la droite d équation y = +. z A = +i, z B = i et z C = +3i.. A + = +== y A donc A D. B + =0+== y B donc B D. C + = +=3= y B donc A D. Les trois points A, B et C sont alignés et appartiennent à la droite D. (voir figure à la fin.. (+iz+ 3 i=0 z = 3+i = ( 3+i( i +i + = 3+3i+i+ = +i. += donc le point d affie +i n appartient pas à D. Dans la suite de l eercice, on appelle f l application qui, à tout point M d affie z différente de +i, fait correspondre le point M d affie (+iz+ 3 i. Le but de l eercice est de déterminer l image par f de la droite D. 3. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d affie z, fait correspondre le point M d affie (+iz+ 3 i. a. (+iz+ 3 i=az+ b avec a= +i et b= 3 i. a donc c est l écriture complee d une similitude directe, autre qu une translation. Le rapport de cette similitude est a = +i =. L angle de cette similitude est arg(a=arg(+i ; or +i= ( + i = e i π 4 donc l angle est π 4. SoitΩ, d affie ω le point fie de cette similitude. ω= b a = 3 i (+i = 3 i = 3i+ donc ω=+3i. i On peut également dire que M d affie z est invariant par g si : (+iz+ 3 i=z iz = 3+i z = 3i+=+3i. Donc unicité du point invariant. b. L affie de A est (+i( +i+3 i= +3 i= i donc z A = i. L affie de B est (+i(i+3 i= +i+3 i= +i donc z B = +i. L affie de C est +3i puisque C est le point invariant de la similitude. c. L image d une droite par une similitude est une droite. D est la droite (AB donc l image de D est la droite D passant par A et B, qui a pour équation =. 4. Soit h l application qui, à tout point M d affie z non nulle, fait correspondre le point M d affie z. a. h (A a pour affie z A = i = +i. h (B a pour affie z B = +i = i. h (C a pour affie = z C +3i = 3i 0. b. Pour tout z 0, z = z z = z = (car le module du quotient est z égal au quotient des modules de chaque terme, z = z z = z. Métropole La Réunion 5 juin 0

6 Baccalauréat S A. P. M. E. P. c. Soit M un point de D. L affie z de M est +it, t R. Alors z = +it = +it = +it= it = (+it = +it = z. D après la question précédente, cela équivaut à z =. Le point h(m appartient donc au cercle C de centre F d affie et de rayon. d. Soit M d affie Z 0 un point de C, privé de O. On a Z =. On pose z = Z et on appelle M le point d affie z. D après b., on a z = z z = z 0. Si l on note E le point d affie, on a OM =EM donc M appartient à la médiatrice de [OE] qui est la droite D, donc tout point du cercle C qui est distinct de O est l image par h d un point de la droite D 5. f = h g, donc l image de la droite D par f est l image de D par h g. Or, l image de D par g est D et celle de D par h est le cercle C privé de O. l image par l application f de la droite D est donc le cercle C privé de O. 4 3 C C B A B A O C B F A Métropole La Réunion 6 juin 0