Notes provisoires LE202
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- Jules Laporte
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1 Chapite 1 Méthodes de base d étude des dipôles linéaies 1.1 Cicuits linéaies en égime statique Dipôle caactéistique loi d Ohm Un dipôle est un cicuit électique accessible pa deux bones et à pati desquelles sont définis : le couant entant pa ; la tension = = aux bones du dipôle. Note la convention écepteu dans laquelle le couant ente dans le dipôle pa son pôle : le dipôle consomme de l énegie quandp => 0. Notes povisoies LE202 Fig. 1.1 Dipôle La caactéistique statique du dipôle est la epésentation = f( ) du couant continu dans le dipôle en fonction de la tension à ses bones. Le dipôle est qualifié de linéaie si sa caactéistique statique est une doite. Le dipôle est dit passif si sa caactéistique passe pa l oigine. Exemple : une ésistance est un dipôle linéaie passif. Elle suit la loi d Ohm : = où est la ésistance en Ohm ou =G où G est la conductance en Siemens P< 0 0 P> 0 P> 0 P< 0 1/ Fig. 1.2 Caactéistique d une ésistance : une ésistance est un dipôle linéaie passif. = ou =G oùg est la conductance. = 0 0 Fig. 1.3 Caactéistique d un cout-cicuit : = 0 = 0 = 0 Fig. 1.4 Caactéistique d un cicuit ouvet : = 0 G = 0 1
2 Univesité Pais vi Souces continues La convention généateu est employée pou ces dipôles actifs : et dans le même sens dans le dipôle Souces pafaites Souce de tension idéale Souce de couant idéale E généateu écepteu E Fig. 1.5 Souce de tension idéale : impose la tension =E epos Fig. 1.7 Caactéistique d une souce de tension idéale 0 Notes povisoies LE202 écepteu epos 0 Fig. 1.6 Souce de couant idéale : impose le couant = 0 généateu Fig. 1.8 Caactéistique d une souce de couant idéale La puissance founie est positive dans le pemie quadant seulement. Elle s annule losque : = 0 pou la souce de tension, donc quand elle est en cicuit ouvet. = 0 pou la souce de couant, donc quand elle est en cout-cicuit. Extinction : éteinde une souce idéale indépendante, c est annule le paamète qu elle impose. Éteinde une souce de tension idéale, c est la tansfome en cout-cicuit. Éteinde une souce de couant idéale, c est la tansfome en cicuit ouvet. E Souces éelles Fig. 1.9 Souce de tension éelle : tend à impose la tension =E ; devient idéale si 0. 0 Fig Souce de couant éelle : tend à impose le couant = 0 / ; devient idéale si. 2 LE202 c J. Lefèe
3 Univesité Pais vi cout-cicuit E/ éelle idéale cout-cicuit idéale 0 éelle 1/ 0 E cicuit ouvet 0 1/ 0 cicuit ouvet Fig Caactéistique d une souce de tension éelle Lois de Kichhoff Loi des nœuds La somme algébique des couants aivant su un nœud est nulle. k = 0 k Fig Caactéistique d une souce de couant éelle N.-. : la masse est un nœud électique paticulie qui n est pas epésenté explicitement comme un nœud du gaphe. Fig pplication de la loi des nœuds Sans calcule les couants dans les banches en paallèle, on peut affime que : 1 = Loi des mailles La somme algébique des difféences de potentiel oientées dans une maille est nulle : k = 0 k Fig Loi des mailles : = 0 N.-. : la maille peut se efeme via la masse du cicuit. Fig Loi des mailles avec la masse : 1 = 2 3 e Notes povisoies LE Fig Loi des nœuds c J. Lefèe LE202 3
4 Univesité Pais vi mpédance équivalente et diviseus ssociation séie diviseu de tension Le couant est commun aux dipôles en séie l élimine dans l expession des tensions. 1 1 = 2 2 = = = équiv. 2 2 On en déduit équiv. = 1 2 et 1 = N.-.1 : N.-.2 : Généalisation : Fig Diviseu de tension Si 1 2, équiv. 1 : en séie, c est la plus gande ésistance qui l empote. si une des ésistances devient un cicuit ouvet, la ésistance équivalente tend ves l infini. Dans le cas de n ésistances en séie, équiv. = k ssociation paallèle diviseu de couant k et i = i k k La tension est commune aux dipôles en paallèle l élimine dans l expession des couants. On en déduit 1 1 = = 2 2 = et = 1 2 =Y 1 Y 2 = (Y 1 Y 2 ) Y équiv. =Y 1 Y 2 et 1 = Y 1 Y 1 Y 2 Dans le cas de deux banches en paallèle, on peut écie le diviseu de couant en temes de ésistances : 1 = en plaçant au numéateu la esistance de la banche opposée à celle dont on calcule le couant. N.-.1 : N.-.2 : Généalisation : équiv. = Si 1 2, équiv. 2 : en paallèle, c est la plus petite ésistance qui l empote. si une des ésistances devient un cout-cicuit, la ésistance équivalente tend ves zéo. Dans le cas de n ésistances en paallèle, Y équiv. = k Y k et i = Y i k Y k Notes povisoies LE Fig Diviseu de couant L expession du diviseu de couant en temes de ésistances devient apidement tès complexe 1 quand le nombe de banches est supéieu à deux. 1 Pa exemple pou tois banches, 1 = s annule dès que l une des ésistances ( 2 ou 3 ) des autes banches s annule. 4 LE202 c J. Lefèe
5 Univesité Pais vi 1.2 epésentation des dipôles linéaies : théoèmes de Thévenin et de Noton E Th Le compotement d un dipôle linéaie peut ête epésenté, vis à vis de l extéieu, pa un schéma équivalent à deux éléments : séie : schéma de Thévenin ; paallèle : schéma de Noton. Séie : schéma de Thévenin Th Fig Séie : schéma de Thévenin cicuit linéaie Fig Dipôle linéaie : note la convention généateu pou le couant. =E Th Th Notes povisoies LE202 Équation linéaie associée Équivalence ente les deux schémas E Th = Th Noton et Th Y Noton = 1 cout-cicuit Noton 0 Fig Caactéistique statique du dipôle Paallèle : schéma de Noton Noton Y Noton Fig Paallèle : schéma de Noton = Noton Y Noton Y Noton = 1/ Th cicuit ouvet E Th N.-. 1 : Les souces idéales n admettent qu une epésentation : souce de tension : Th = 0 Y Noton = Doite veticale. Thévenin seulement. c J. Lefèe LE202 5
6 Univesité Pais vi souce de couant :Y Noton = 0 Th = Doite hoizontale. Noton seulement. N.-. 2 : SiE Th et Noton sont positifs, les dipôles fonctionnent en généateu pou les points du pemie quadant (0 E Th ou 0 Noton ) et en écepteu dans les quadants et Détemination des éléments des schémas équivalents de Thévenin et Noton Essai à vide chage infinie = 0 =E Th dipôle = 0 =E Th Fig Essai à vide Extinction des souces indépendantes En éteignant toutes les souces indépendantes pésentes dans le cicuit, on le end passif. En changeant la convention de couant, maintenant oienté entant dans le dipôle, on peut évalue sa ésistance comme si on la mesuait (en continu) avec un ohmmète (qui compote bien un généateu). ( ) Th = souces indépendantes éteintes Essai en cout-cicuit chage nulle = 0 = Noton dipôle passivé E i = 0 k = 0 Notes povisoies LE202 dipôle = Noton Fig Essai en cout-cicuit généateu auxilliaie Fig Extinction des souces indépendantes Conclusion : Les schémas équivalents ne compotent que 2 paamètes libes alos qu une infinité d essais est envisageable en choisissant difféentes valeus pou la chage (dont les éléments du schéma équivalent ne dépendent pas). Taditionnellement, on choisit les essais simplifiant les calculs, donc avec une chage infinie ou nulle 2, sachant que l on peut détemine diectement impédance de Thévenin ou admittance de Noton pa l extinction des souces indépendantes. Selon les cicuits, on peut choisi pami les tois essais ci-dessus, les deux qui pésentent les calculs les plus simples. Le toisième essai pemet alos une véification Exemple 1 à vide := 0 donc 0 cicule dans en cout-cicuit : = 0 = 0 =E Th diviseu de couant Noton = 0 extinction de la souce de couant 0 : cicuit ouvet éification : Th = E Th Noton = 0 Fig Théoème de Thévenin : exemple 1 2 Expéimentalement, on ne éalisea jamais un cicuit ouvet pafait à cause de la ésistance du voltmète mesuant la tension à vide, ni un vai cout-cicuit pafait à cause de la ésistance de l ampèemète mesuant le couant de cout-cicuit. = 0 6 LE202 c J. Lefèe
7 Univesité Pais vi Exemple 2 E 0 Fig Schéma de Thévenin vu pa à vide E en cout-cicuit E = 0 N = 0 N. 0 extinction des souces indépendantes Cas paticulies Quand on pend le schéma équivalent de Thévenin d une souce de tension idéalee 0 en paallèle avec une ésistance, on fait «dispaaîte» la ésistance! En effet, la souce de tension impose la tension à ses bones, quelle que soit l impédance placée en paallèle. Du point de vue de l extéieu, tout se passe comme si la ésistance dispaaissait. Mais ne pas coie qu elle n influe pas su la souce initialee 0, qui doit founi le couant que la ésistance consomme. E Th E Th =E 0 Noton E 0 E cout cicuit 0 cicuit ouvet éification : E =Noton (Noton 0) Noton = E 0 Th = E Th Noton = Notes povisoies LE202 E Th =E 0 Fig Schéma de Thévenin paticulie c J. Lefèe LE202 7
8 Univesité Pais vi Quand on pend le schéma équivalent de Noton d une souce de couant idéale 0 en séie avec une ésistance, on fait «dispaaîte» la ésistance! En effet, la souce de couant impose le couant à ses bones, quelle que soit l impédance placée en séie. Du point de vue de l extéieu, tout se passe comme si la ésistance dispaaissait. Mais ne pas coie qu elle n influe pas su la souce initiale 0, qui doit founi la tension aux bones de la ésistance. 0 Noton = 0 Fig Schéma de Noton paticulie 1.3 Cicuits linéaies en égime sinusoïdal pemanent mplitude et impédances complexes mplitude complexe v(t) = cos(ωt ϕ) = (e j(ωtϕ)) = ( e jϕ e jωt) v(t) = ( Ṽe jωt) Ṽ =e jϕ est l amplitude complexe de la la tension sinuoïdalev(t). Les couants peuvent ête epésentés de la même façon en égime sinusoïdal pemanent ntégation et déivation La déivation d une fonction sinusoïdale du temps se taduit pa une multiplication pa jω dans le domaine des amplitudes complexes. v(t) = ( Ṽe jωt) = cos (ωt ϕ) dv ( dt = ωsin (ωt ϕ) =ωcos (ωt ϕπ/2) = ωe j(ωtϕπ/2)) = (jωe j(ωtϕ)) = ( jωṽe jωt) d dt jω De même, l intégation d une fonction sinusoïdale du temps se taduit pa une division pa jω dans le domaine des amplitudes complexes. t dt 1 jω 0 N.. : la puissance instantannée compote une composante continue et une patie sinusoïdale, mais à la pulsation 2ω ; elle ne peut donc pas ête epésentée pa une amplitude complexe Loi d Ohm impédance et admittance complexes impédance complexe ésistances pafaites Z = Ṽ Ĩ admittance complexe Y = Ĩ Ṽ ux bones d une ésistance pue, couant et tensions sont en phase. La loi tempoelle v(t) = i(t) (avec >0) oui(t) =Gv(t) (oùg=1/>0 est la conductance) se taduit en amplitudes complexes paṽ =Ĩ ouĩ =GṼ. L impédance complexe d une ésistance pue est donc éellez =ainsi que son admittance Y =G=1/. Notes povisoies LE202 8 LE202 c J. Lefèe
9 Univesité Pais vi Self-inductances pafaites ux bones d une self-inductance pafaite,v(t) =L di dt, donc =jlω L. L impédance complexe d une L self-inductance pafaite est imaginaie pue :Z L =jlω ety L = 1/jLω. Une self se compote comme un vai cout-cicuit en continu, et tend ves un cicuit ouvet à tès haute féquence Condensateus pafaits ux bones d un condensateu pafait de capacitéc,i(t) =C dv dt, donc =jcω. L impédance complexe C C d un condensateu pafait est imaginaie pue :Z C = 1/jCω ety C =jcω. Une capacité se compote comme un vai cicuit ouvet en continu, et tend ves un cout-cicuit à tès haute féquence : une capacité de liaison placée en séie ente deux paties de cicuit pemet de laisse passe le couant altenatif mais pas le continu ssociations d impédances complexes Les lois d association des ésistances se généalisent aux impédances complexes de même que les notions de diviseus de tension et de couant : en association séie, les impédances s ajoutent :Z= k Z k en association paallèle, les admittances s ajoutent :Y = k Y k En paticulie, la capacité équivalente à plusieus condensateus en paallèle est la somme de leus capacités. N.-. : Ne pas oublie que l impédance complexe dépend de la féquence et donc que si le cicuit compote plusieus généateus de féquences difféentes, il faut taite sépaément ces féquences et utilise (si le cicuit est linéaie) le théoème de supeposition (cf ) pou calcule les couants et tensions composites Exemples d application Diviseu de tension Cicuits ésonnants Cicuit ésonnant séie C e(t) =E cosωt Ṽ Ẽ = 1 = jcω 1 jcω jcω Fig Diviseu de tension sinusoïdal L ( Z = j Lω 1 ) Cω Z minimale silcω 2 = 1. Cicuit ésonnant paallèle Notes povisoies LE202 C e(t) v(t) C L Y = 1 jcω 1 jlω Y minimale (cicuit bouchon) silcω 2 = 1. c J. Lefèe LE202 9
10 Univesité Pais vi utes théoèmes Théoème de Millmann ssociation de n dipôles linéaies en paallèle epésentés chacun pa : leu schéma équivalent de Thévenin (e k,z k ) pou les banches actives ; leu impédance équivalentez k pou les banches passives ; Oiente tous les couants et toutes les souces de tension dans le même sens et écie la loi des nœuds. k = 0 où =E k Z k k N.-. 1 : k donc k =Y k (E k ) k = Y ke k = k Y k 1 E 1 2 E 2 Notes povisoies LE202 Z 1 E k kz k 1 kz k Z 2 Z k k E k Fig Théoème de Millmann S il existe des banches passives, le numéateu compote moins de temes que le dénominateu. N.-. 2 : L utilisation des impédances complexes epose su l hypothèse que toutes les souces sont à la même féquence dès los que l une des impédances n est pas éelle : dans le cas contaie, il faut faie appel au théoème de supeposition (cf ). Fig ( Exemple ) d application ( du théoème ) de Millmann avec e 1 (t) = E ejωt 1 e 2 (t) = E 2 = E 1 ejωt jcωe jcω Théoème de supeposition e 1 C e 2 Dès que l on tavaille avec des souces à plusieus féquences et en paticulie avec du continu et une souce sinusoïdale, pou lesquels les éléments passifs non ésistifs ne pésentent pas la même impédance complexe, on ne peut pas taite globalement les difféentes féquences. Si le cicuit est linéaie, on peut calcule les contibutions de chacune des souces en éteignant toutes les autes, puis faie la somme de leus contibutions : c est le théoème de supeposition. Ce théoème est bien entendu applicable aux cicuits linéaies compotant plusieus souces de même féquence. 10 LE202 c J. Lefèe
11 Univesité Pais vi Exemple Fig Utilisation du théoème de supeposition ( ) e 1 (t) = E 1t 1 ejω ( e 2 (t) = E 2 e jω2t) vec des souces à des féquences difféentes (sinon, on peut utilise Millmann), on echeche la tension aux bones dez. e 2 est emplacée pa un cout-cicuit. e 1 est emplacée pa un cout-cicuit. Fig Contibution dee 1 1 =E Z/Z 2 1 Z 1 Z/Z 2 Fig Contibution dee 2 2 =E Z/Z 1 2 Z 2 Z/Z 1 pplication du théoème de supeposition 1.5 Souces commandées Définition usage Ṽ = 1 2 Notes povisoies LE202 Z 1 Z 2 e 1 e 2 Z Z 1 Z 2 e 1 1 Z Z 1 Z 2 Z 2 e 2 Pou epésente des dispositifs électoniques actifs au niveau des composants (tansistos, amplificateus opéationnels,...) ou des systèmes (étage amplificateu pa exemple), dans lesquels une tension ou un couant dépend uniquement d un aute paamète (couant ou tension) du cicuit, on intoduit la notion de souce dépendante, liée ou commandée pa ce paamète. N.-. : On n étudiea ici que les dépendances linéaies Les quate types de souces commandées Suivant la natue (couant ou tension) de la souce et du paamète de commande, on distingue quate types de souces commandées caactéisées pa une constante de type ésistance, conductance, gain en tension ou en couant. c J. Lefèe LE202 11
12 Univesité Pais vi Paamète de commande Souce de tension v Souce de couant j v =ku j =gu tension u SC k gain en tension SC g conductance couant i SC ésistance v =i j =ki SC k gain en couant Méthodes d étude des cicuits avec souces commandées Pincipe Le paamète de commande de la souce commandée pend diveses valeus suivant les essais auxquels on soummet le cicuit : il faut alos élimine ce paamète (qui est une vaiable muette) pou expime le ésulatat final en fonction des souces indépendantes et des dipôles passifs. En paticulie, dans l application des théoèmes de Thévenin ou Noton, il est pudent de modifie la notation indiquant la valeu du paamète de commande à chaque essai. La méthode de calcul de Th en endant passif le cicuit est applicable à condition de n éteinde que les souces indépendantes (et de calcule les souces commandées). N.-. 1 : Une souce commandée linéaiement ne s éteint que quand son paamète de commande s annule. N.-. 2 : Dans les tansfomations de schéma, ne pas modifie (ou laisse dispaaîte) la définition d un paamète de commande d une souce liée Cicuits à souces commandées équivalents à une impédance mpédance simple : deux fomes Une souce de tension commandée pa le couant qui la tavese ou une souce de couant commandée pa la tension à ses bones est équivalente à une ésistance... qui peut ête négative suivant l oientation des couant et tension. i v =i Multiplicateu d impédance à SC i u v =ku w i v (1 k) i w Notes povisoies LE202 i =gv v puis élimineuavec : w =u ku u =i w = (1 k)i 1/g d où une ésistance appaente de (1 k). i v 12 LE202 c J. Lefèe
13 Univesité Pais vi Diviseu d impédance à SC j i kj v 1 k i v élimine j i =jkj v =j i = (1 k)v/ d où une ésistance appaente de 1 k Exemples de cicuits actifs à souces commandées Exemple élémentaie à SC On cheche à détemine les schémas de Thévenin et de Noton ente les bones et du cicuit ci-conte qui compote une souce indépendante e et une souce de couant commandée en tension i = gv. Essai à vide e v 1 i 1 =gv 1 Essai en cout-cicuit e v 2 i 2 =gv 2 i 1 = 0 e Th e Notes povisoies LE202 v i =gv i 1 =i 1 =gv 1 = 0 v 1 = 0 Ce qui éliminev 1, donc : e Th =e v 1 et e Th =e i N i N =i 2 =gv 2 v = 0 Extinction des souces indépendantes Conclusion e v 3 i 3 =gv 3 1/g i v Éliminev 2 : v 2 =e donc i N =ge La seule souce indépendante est la souce de tension e ; elle s éteint en cout-cicuit. los, Donc ge v = v 3 Z Th = = 3 g 3 = 1 g 1/g c J. Lefèe LE202 13
14 Univesité Pais vi Exemple de cicuit à SC On cheche à détemine les schémas de Thévenin et de Noton ente les bones et du cicuit ci-conte qui compote une souce de couant indépendantei 0 et une souce de tension commandée en tension v = ku. i 0 v =ku u Essai à vide i 0 v 1 =ku 1 i = 0 u 1 Essai en cout-cicuit v 2 =ku 2 i 0 u 2 Extinction des souces indépendantes v 3 =ku 3 u 3 i i w e Th i Noton e Th =u 1 ku 1 este à élimineu 1 : i 0 = u ( 1 e Th 1 =u 1 1 k ) ( ) e Th = (1 k) / i 0 donc e Th = [(1 k)/]i 0 1 k i Noton =i 0 u 2 / este à élimineu 2 : u 2 = v 2 u 2 (1 k) = 0 u 2 =v 2 = 0 donc i Noton =i 0 donc Th = e Th i Noton =/(1 k) La seule souce indépendante est la souce de couanti 0 ; elle s éteint en cicuit ouvet. los, w =u ku Donc emaque : ne pas éteinde la souce dépendantev=ku, ce qui donneait Th =/. Conclusion Schéma équivalent de Thévenin (1 k)/ [(1 k)/]i 0 Th = W =/ W =/(1 k) Schéma équivalent de Noton i 0 Notes povisoies LE202 (1 k)/ 14 LE202 c J. Lefèe
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