Proposition 1 preuve proposition 1. Réciproquement Proposition 2. preuve proposition 2.

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1 Proposition 1 Soit f une transformation du plan. f est une similitude si et seulement si il existe un réel k strictement positif tel que f multiplie les distances par k. preuve proposition 1. Soit f une similitude. Considérons deux points distincts P et Q du plan et soient P' et Q' leurs images par f. Posons k= P ' Q ' PQ k est le rapport de deux distances, k est donc un réel positif. Comme f est une transformation, deux points distincts ont nécessairement deux images distinctes, on a donc k 0. Considérons deux points distincts M et N. f étant une similitude, f conserve les rapports de distances. M ' N ' On a donc P ' Q ' = MN PQ soit M ' N ' MN = P ' Q ' PQ =k ainsi M ' N '=k MN. D'autre part si M et N sont confondus, on a aussi M ' N '=k MN. En conclusion : pour tout similitude f, il existe un réel k strictement positif, tel que f multiplie les distances par k. Réciproquement supposons que g soit une transformation pour laquelle il existe un réel k strictement positif tel que g multiplie les distances par k. Alors soient M, N, P, Q ( M N et P Q ) dont les images par g sont notées M', N', P', Q'. On a : M'N'=k MN et P'Q'=k PQ alors k=m'n'/mn et k=p'q'/pq donc M'N'/MN= P'Q'/PQ soit M'N'/P'Q'= MN/PQ, g est donc une similitude. En conclusion : toute transformation multipliant les distances par un réel k > 0, est une similitude. La proposition 1 est démontrée. Proposition 2. Si f est une similitude de rapport k sa transformée réciproque est une similitude de rapport k 1 = 1 k. Si f 1 et f 2 sont deux similitudes de rapport k 1 et k 2 alors leurs composées f 1 f 2 f 2 f 1 sont deux similitudes de rapport k 1 k 2 preuve proposition 2. Soit f une similitude de rapport k. Sa réciproque f 1 est une transformation. Soit M et N deux points du plan d'image M' et N' par f. Rappel: f M =M ' M = f 1 M ' Comme M'N'=k MN alors MN = 1 k M ' N ' soit f 1 M ' f 1 N ' = 1 k M ' N ' et f 1 multiplie les distances par 1 k, c'est donc une similitude de rapport 1 k. Si f 1 et f 2 sont deux similitudes de rapport k 1 et k 2 alors leurs composées f 1 f 2 f 2 f 1 sont deux transformations et si f 1 : M M 1 et f 2 : M 1 M 2 alors f 2 f 1 : M M 2 De plus M 2 N 2 M 1 N 1 ( f 2 est une similitude de rapport k 2 ) et M 1 N 1 =k 1 MN ( f 1 est une similitude de rapport k 1 ) S. Baudet page 1 sur5.

2 ainsi M 2 N 2 M 1 N 1 k 1 MN k 1 MN soit f 2 f 1 multiplie les distances par k 2 k 1. En conclusion f 2 f 1 est une similitude de rapport k 2 k 1. Il est alors évident par identification que f 1 f 2 est une similitude de rapport k 1 k 2, Proposition 3. Toute similitude de rapport k, k0, est la composée d'une isométrie et d'une homothétie de rapport k. Preuve proposition 3. Soit f une similitude de rapport k, k0, et h une homothétie de rapport 1 k. Observons alors la composée h f, c'est une similitude de rapport k 1 k =1 (proposition 2), c'est donc une isométrie, soi u cette isométrie, h f =u, et de là : h f =u h 1 h f =h 1 u f =h 1 u h 1 est une homothétie de rapport k et la proposition est bien démontrée. Théorème 1. Les isométries sont les applications du plan d'écriture complexe: z '=e i zb ou z '=e i zb Preuve: cette démonstration n'est pas aisée notamment dans la réciproque Si f a une écriture complexe de la forme z '=e i zb ou z '=e i zb Deux approches: L'une complexe: de z '=e i zb je déduis z=e i z' b et f est une transformation (c'est une bijection) De plus z ' B z' A = e i z A =1 z A Soit encore A ' B' =1 AB f est une similitude de rapport 1 donc une isométrie. L'autre géométrique: Si f: z '=e i zb En posant r : z '=e i z rotation de centre O et d'angle t : z '= zb translation de vecteur d'affixe b alors f =t r est f est une isométrie comme composée de deux isométries. traite de même le second cas z '=e i zb Si f: z '=e i zb alors f =t r s où s est la symétrie par rapport à (O u ) et f est encore composée d'isométries. Réciproquement: 1. Soit f une isométrie du plan. Si (O, I, J) est un repère orthonormal direct alors (O',I',J') (où O', I' et J' sont les images de O,I et J par f) est un repère orthonormal (par forcément direct) car f est une isométrie. Lemme: si M a pour image M' par f et si OM = xoi yoj alors OM ' =xo' I ' yo ' J ' autrement dit : O ' M ' a les mêmes composantes dans (O',I',J') que celle de OM dans (O, I, J) Preuve Soit x', y ' les composantes de O ' M ' dans le repère (O',I',J') alors : { x= OM OI et y=om OJ { x '= O ' M ' O ' I ' y' =O ' M ' O ' J ' Mais f est une isométrie et donc conserve (propriété des similitudes) le produit scalaire. Ainsi O ' M ' O ' I '=OM OI et x '=x de même y' = y. S. Baudet page 2 sur5.

3 Soient u et v les affixes respectives de O ' I ' et de O ' J ' dans le repère (O, I, J) O ' I ' =1 donc u =1 et u=e i de même O ' J ' =1 et O ' J ' O ' I ' donc v=±i u=±i e i Soit M d'affixe z=xi y alors OM = xoi yoj et O ' M '= xo ' I ' yo ' J ' (2) d'après le lemme, alors : si b est l'affixe de O' et z' celle de M' alors (2) s'écrit z ' b=x u y v soit z '= xu y vb et dans ce cas : si v=i e i z '= x e i y i e i b=e i xi y b=e i zb si v= i e i z '= x e i y i e i b=e i x i y b=e i zb cqfd... Théorème 2. Les similitudes sont les applications du plan d'écritures complexes: z '=a zb ou z '=a zb où a et b sont des complexes, a 0. Dans les deux cas a est le rapport de la similitude. Preuve du théorème 2. L'une des implications de ce théorème a déjà été démontrée dans le corollaire 1 précédent : les applications f et g d'écritures complexes : f : z' =a zb et g : z '=a zb sont des similitudes de rapport a. Réciproquement Si f est une similitude de rapport k ( k0 ) alors, d'après la proposition 3, f est composée d'une homothétie h de rapport k et d'une isométrie u. L'écriture complexe de h est z '=k zb 1 b 1 C u a pour écriture complexe: soit z '=e i zb 2 b 2 C et alors dans ce cas : f =h u: z '=e i k zb 1 b 2 soit f : z' =a zb soit z '=e i zb 2 b 2 C et alors dans ce cas : f =h u : z '=e i k zb 1 b 2 soit f : z' =a zb Dans les deux situations a=k e i et a =k. Le théorème 2 est démontré. Proposition 4. Une similitude est directe si son écriture complexe est de la forme: z '=a zb où a C *, b C Dans le cours nous justifions ce résultat à l'aide de la conséquence du théorème 2 : une telle similitude est composée d' une rotation suivie d'une homothétie suivie d'une translation qui sont trois similitudes qui conservent les angles orientés alors qu'une application z '=a zb est une réflexion suivie des même trois transformations, la réflexion fait que cette composée ne conserve pas les angles orientés, nous allons toutefois observer une démonstration différente. Preuve proposition 4. Soit s une similitude, A,B, C trois points, A', B', C' leurs images par s. 1. s est d'écriture z '=a zb On a alors z A ' =a z A b de même pour les affixes de B' et C' z A ' B ' = ' z A' =a z A =a z AB et de même z A ' C ' =a z AC De là z A ' C ' = z AC z z A ' B ' AB d'où l'égalité des arguments de ces rapports soit: A ' B ', A' C ' = AB, AC [2] ; conclusion : s est directe S. Baudet page 3 sur5.

4 2. s est d'écriture z '=a zb On obtient dans ce cas : z A ' C ' z A ' B ' = z AC z = z AC z AB AB d'où arg z A' C ' z = arg z AC z A' B' AB [ 2 ] et ainsi: A ' B ', A' C ' = AB, AC [ 2 ] ; conclusion : s est indirecte Théorème 3. Soit A, B, A', et B' quatre points tels que A B et A ' B '. Il existe une similitude directe unique qui transforme A en A' et B et B'. Preuve : Il suffit de prouver l'existence et l'unicité de deux complexes a et b tels que s: z '=a zb vérifie s A= A' et s B= B', Or :cela revient à résoudre le système { s A= A' s B= B ' { z =a z b A' A ' =a b alors a z A =z A' ', de plus A B alors z A 0 et a= z A ' ' z A a est unique et non nul puisque A ' B ' de là b est unique. Théorème 4. Soit s la similitude d'écriture complexe z '=a zb. Dans le cas où a=1 alors s est une translation. Sinon a 1 s est la composée d'une rotation et d'une homothétie de même centre. De plus lorsque a 1, s=r h=h r la rotation et l'homothétie commutent. Preuve : le cas a=1 est évident, on suppose donc a 1. l'équation aux points fixes z=a zb admet alors une unique solution = b 1 a, ( ) est l'unique point fixe de s. { z=a zb et z ' =a z =a b en posant a=k e i avec k= a et =arg a on obtient z ' =k e i z (1). La rotation de centre d'angle et l'homothétie de centre de rapport k ont pour écriture complexe : r : z ' =e i z et h: z ' =k z Si on compose les écritures des deux transformations, quelque soit l'ordre, on obtient l'écriture (1). Ainsi : h r=r h=s. Proposition 5 Soit s une similitude directe de centre, de rapport k et d'angle - si M' est image de M alors M '=k OM et M, M ' = [2 ] - si A et B distincts ont pour image A' et B' alors A ' B' =k AB et AB, A' B ' =[ 2] preuve :. Seule la toute dernière affirmation mérite un éclaircissement : s a pour écriture z ' =k e i z l'angle AB, A' B ' n'est autre à 2 près que arg z ' A' or ' z A' = ' z A' z A z A = k ei zb k e i za z A S. Baudet page 4 sur5. z A = k ei z A =k e i z A

5 Comme k0 cette dernière écriture es tune forme exponentielle et arg k e i = en conclusion AB, A' B ' =arg z ' A' z A = [ 2 ] Deux remarques: - Ce résultat reste bien sûr vrai pour une rotation - Dans le cas particulier d'une similitude d'angle ± 2 sont perpendiculaires. on observe alors qu'une droite et son image S. Baudet page 5 sur5.