Chapitre 7 Angles orientés

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1 hapitre 7 ngles orientés. ngles orientés. ercle trigonométrique Définition. Le plan est rapporté à un repère orthonormé ; i, Le cercle de et sur lequel on a choisi un sens sens inverse des aiguilles d une montre aussi appelé sens ou, est appelé cercle trigonométrique. Définition. En enroulant, sur le cercle, l axe des réels comme sur la figure ci-contre, chaque réel x vient s appliquer sur un point unique du cercle. n dit que est sur le cercle. Proposition. Tout point de est l image d une de réels. Si x est l un d entre eux, les autres sont les réels qui s écrivent sous la forme, où k est un entier relatif k Z..2 Le radian Définition. Le radian est l unité de mesure des angles telle que la mesure en radian d un angle est égale à la longueur de l arc que cet angle intercepte sur un cercle de rayon.. 2 i 2 n enroule la demi-droite rouge des réels positifs dans le sens direct, et celle des réels négatifs dans le sens indirect. + Proposition. Les mesures en degrés et en radians d un angle sont.. ngle orienté de deux vecteurs non nuls Définition. Dans un repère ; i, j, on considère le cercle trigonométrique et deux vecteurs et non nuls. Lorsque 2 est l image d un réel x et l image d un réel y, on dit que y x est une de l angle orienté, v. Proposition. Un angle orienté a une de mesures. Si m est l une d entre elles, les autres sont les nombres de la forme, où k est. otation. Par abus de langage, on confond un angle orienté et ses mesures. n note, = m ou u, = m 2π 2 2

2 signifiant qu une mesure de l angle orienté est m, les autres de la forme m+k 2π, où k est un entier relatif. Remarque. odage d un angle orienté,, ngle orienté ngle orienté n considère les deux figures ci-contre : D est un carré de sens direct, de centre et EFG est un triangle équilatéral. Le point I est le milieu de [EF]. Donner une mesure des angles orientés suivants :, GI,. D 4., D 7. GF EF, 2., 5., D 8. GF GE, IG,., 6. GF 9. GE D G.4 esure principale d un angle orienté Définition. Une seule des mesures d un angle orienté, v appartient à l intervalle. ette mesure est appelée la de l angle orienté, v. E I F éthode. Pour déterminer la mesure principale d un angle orienté ayant pour mesure 202π, on peut procéder ainsi : 202π 202π n arrondit à l entier le plus proche : 2π 2π 4. Puisque 202π 2π ] π; π], 2π orienté. 4 2π = 202π 204π = 2π avec est la mesure principale de cet angle Dire si chacune des mesures suivantes est la mesure principale d un angle orienté, sinon, la déterminer : 2π 7π 55π π 9π Relation de hasles Proposition relation de hasles. Pour tous vecteurs non nuls, et w, on a :, +, =,. w

3 . Proposition. Pour tous vecteurs non nuls et :, =, 2., =, u v., =, + 4., =, +. Soient, et w trois vecteurs non nuls tels que, π v = 2π et, π w = 2π. Déterminer une mesure de chacun des angles orientés suivants : 6 a, v b, w c w, v d w, e w, u 2. est un triangle direct, rectangle isocèle en. n note I le milieu de l hypoténuse []. près avoir réalisé une figure, déterminer une mesure des angles orientés suivants : a, c, e, g I, I, b, d, f I h I,.6 ngles orientés et colinéarité Proposition. Deux vecteurs non nuls et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un entier k tel que, = k π. De plus : si k est pair, alors et sont ; si k est impair, alors et sont. orollaire. Soient,, et D quatre points distincts. Les droites et D sont parallèles si, et seulement s il, existe un entier k tel que =. Les points, et sont alignés si, et seulement s il existe un, entier k tel que =. u, v = k π avec k pair u, v = k π avec k impair. D est un carré de sens direct. J et K sont des triangles équilatéraux tels que J est «à l intérieur» du carré et K «à l extérieur». a Déterminer une mesure de l angle D, DJ. b Déterminer une mesure de l angle D, DK. c Démontrer que les points D, J et K sont alignés. 2. Sur la figure ci-contre, D et P sont des parallélogrammes tels que D = π ; 6 2π et D; = π 2 2π. Le triangle DE est équilatéral. a Donner la mesure principale des angles orientés ; P. ; D et b Démontrer que les droites E et P sont parallèles. E D P

4 .7 ngles orientés et orthogonalité Proposition. Deux vecteurs non nuls et sont orthogonaux si, et seulement si, il existe un entier k tel que, v = + k 2π ou, v = + k 2π. orollaire. Soient,, et D quatre points distincts. Les droites et D sont perpendiculaires si, et seulement s il,, existe un entier k tel que = + k 2π ou = + k 2π.. Soient et deux points tels que = 4 cm., a onstruire le point tel que = et = π 4 2π. b onstruire le point D tel que D soit un triangle équilatéral et, D = 7π 2π. DE, c onstruire le point E le point tel que DE = cm et D = π 2 2π. d Démontrer que les droites et ED sont parallèles. F, e Soit F le point tel que, F et soient alignés et D = 5π 2 2π. Démontrer que les droites et F sont perpendiculaires. 2. est un triangle équilatéral tel que, = π. et D sont deux triangles rectangles isocèles tels que, =, D = π 2. H est le milieu du segment []. a Donner les mesures principales de : i., H ii. D, iii. D, b Démontrer que les droites D et H sont perpendiculaires. D H

5 2. Fonctions circulaires 2. Fonctions cosinus et sinus Définition. Soient x un réel et son image sur le cercle trigonométrique. lors : cosx est de dans le repère sinx est de dans le repère ; i, ; i, ;. sinx i cosx 2.2 Propriétés et valeurs remarquables Proposition. Pour tout réel x : Pour tout réel x et tout entier k : cosx, sinx et cos 2 x+sin 2 x = cosx+ 2kπ = et sinx+2kπ = [ π ] Exemple. x est un réel de 2 ; π tel que sinx = 4. alculer cosx, cosx 4π et sinx+ 6π. 5 Les valeurs remarquables suivantes sont à connaître :

6 2. ngles associés π cos 2 x = π sin 2 x = cosπ x = sinπ x = x cosπ+x = sinπ+x = cos x = sin x = Soit x un réel. Simplifier les expressions suivantes : π. cosx+π sin 2 x + sin 2 x 2. sin 2 π 2 x sinπ x sinπ+x π. cos 2 x + sin8π+x+2 sinπ+x. Équations et inéquations Proposition. Soient x et a deux réels. i i L égalité cosx = cosa équivaut à : il existe un entier relatif k tel que x = a + 2kπ ou x = a+2kπ. L égalité sinx = sina équivaut à : il existe un entier relatif k tel que x = a + 2kπ ou x = π a+ 2kπ. Résoudre les équations suivantes sur R, puis sur [0; 2π] et sur [ π; π] :. 2+2 cosx = sinx = 0. 2 cosx = 4. 4 cosx 8 = 0 Résoudre les inéquations suivantes sur [0; 2π] puis sur [ π; π] :. 2 sinx > cosx+ < 0. 2 sinx > cosx+ < 0

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