Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens."

Transcription

1 . Queue de la solution stationnaire d un modèle auto-régressif d ordre 1 à coefficients markoviens. Benoîte de Saporta Université de Nantes Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 1/37

2 Plan de l exposé 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 2/37

3 Introduction Le modèle Modèle AR(1) : Y n+1 = a n Y n + b n, n Z, Y n R d, d 1. (a n, b n ) va sur Gl(d, R) R d, d 1. séries chronologiques, processus de branchement, marches en milieu aléatoire, modèles AR(d), GARCH... Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 3/37

4 Introduction Solution stationnaire BRANDT 1986, BOUGEROL et PICARD 1992, (a n, b n ) stationnaire Si et α = lim 1 n log a 1 a n < 0 E log + b 0 <, unique solution stationnaire R n = k=1 a n 1 a n k b n k 1, Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 4/37

5 Introduction Moments (a n, b n ) i.i.d. s > 0, E R 1 s k=0 E a 0 a 1 a k+1 s E b k s si s < 1, (E R 1 s ) 1/s k=0 (E a 0 a 1 a k+1 s ) 1/s (E b k s ) 1/s si s 1. Si b 0 a des moments à tout ordre, R a un moment d ordre s si k(s) = lim n (E a 1 a 2 a n s ) 1/n < 1 Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 5/37

6 Introduction Convexité s log k(s) est convexe 3 cas possibles : Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 6/37

7 Introduction Références KESTEN 1973, 1974 : dimension d, matrices positives LE PAGE 1983 : dimension d, matrices quelconques GOLDIE 1991 : dimension 1 E R s 1 < si et seulement si k(s) < 1 Si k(κ) = 1, queue polynômiale : P( R 1 > t) Ct κ Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 7/37

8 Introduction Théorème en dimension 1 Théorème 1 (Goldie) (a n, b n ) iid, κ > 0 vérifiant E a 0 κ = 1, E [ a 0 κ log + a 0 ] <, E b 0 κ <, loi conditionnelle de log a 0 sachant a 0 0 non-arithmétique. Premier cas : a 0 0, alors t κ P(R 1 > t) t + C +, t κ P(R 1 < t) t + C, C + 0 et C 0 constantes. Deuxième cas : P(a 0 < 0) > 0 alors mêmes limites les limites avec C + = C 0. Dans les deux cas, C + + C > 0 ssi P(b 0 = (1 a 0 )x) < 1. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 8/37

9 Régime markovien 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 9/37

10 Régime Markovien Définition Auto-régression à régime markovien : (a n ) est une chaîne de Markov Y n+1 = a n Y n + b n, n Z, Séries chronologiques qui changent de régime au cours du temps séries économiques données climatiques Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 10/37

11 Régime Markovien Exemple de Hamilton (1) Exemple de HAMILTON 1989 v a r i Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 11/37

12 Régime Markovien Exemple de Hamilton (2) Modèle : X n = a n (0) + a n (1)X n a n (4)X n 4 + b n - X n = 100 log PIB n PIB n 1 - a n = (a n (j), j = 0,.., 4) chaîne de Markov à deux états (909, 265, 29, 126, 110)/1000 ( 420, 216, 628, 73, 97)/ Matrice de transition ( ) Interprétation des états : 1=croissance, 2=récession = Cycles économiques Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 12/37

13 Régime Markovien Hypothèses Processus auto-régressif à régime markovien scalaire : Y n+1 = a n Y n + b n, n Z, (a n ) : chaîne de Markov irréductible, apériodique, stationnaire sur E = {e 1,..., e p } R +, matrice de transition P = (p ij ), loi stationnaire µ. (b n ) i.i.d. non nulles, indépendantes de (a n ) Si E log(a 0 ) = log(e i )µ(e i ) < 0 et E log + (b 0 ) < unique solution stationnaire : R n = k=0 a n 1 a n 2 a n k b n 1 k, n Z Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 13/37

14 Régime Markovien Théorème Théorème 2 1. il existe κ > 0 tel que la matrice P κ = diag(e κ i ) t P soit de rayon spectral 1, 2. les log e i ne sont pas tous multiples entiers d un même nombre, 3. E b 0 κ <, alors pour x { 1, 1} on a : t κ P(xR 1 > t) t L(x), où L(1) + L( 1) > 0. Si b 0 0, alors L( 1) = 0, et L(1) > 0. Si b 0 0, alors L(1) = 0, et L( 1) > 0. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 14/37

15 Régime Markovien Exemple de 2 régimes (1) ( p 1 p ) 2 états : E = {e 1, e 2 }, matrice de transition P = et p + q 0 1 q q, p < 1, q < 1 loi invariante : µ = 1 2 p q (1 q, 1 p) Condition de stationnarité : e 1 1 q e 2 1 p < 1 Matrice P s : P s = ( e 1 s p e 1 s (1 q) e 2 s (1 p) e 2 s q ) Rayon spectral : ρ s = e 1 s p+ e 2 s q+ s 2, avec s = e 1 2s p 2 + e 2 2s q e 1 e 2 s (pq 2p 2q + 2) Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 15/37

16 Régime Markovien Exemple de 2 régimes (2) Condition d existence de κ : Pas de κ : moment à tout ordre si : e 1 1 et e 2 1, p = 0 et 1 < e 1 e 2 1, q = 0 et 1 < e 2 e 1 1. κ : queue polynômiale si : e 1 > 1 et p 0, p = 0 et e 2 1 < e 1 < e 2 1/1 q, e 2 > 1 et q 0, q = 0 et e 1 1 < e 2 < e 1 1/1 p. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 16/37

17 Régime Markovien Exemple de 2 régimes (3) e2 e e1 1 1 e1 1 1 Queue exponentielle Queue exponentielle Queue polynomiale Queue polynomiale ex : p = 0.5, q = 0.7 ex : p = 0, q = 0.7 Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 17/37

18 Régime Markovien Equations de renouvellement (1) LE PAGE 1983, GOLDIE 1991 z(x, t) = e t e t 0 u κ P(xR 1 > u)du. x = ±1, même comportement asymptotique que t κ P(xR 1 > t). z(x, t) = p i=1 Z i(x, t), où : Z i (x, t) = e t e t 0 u κ P(xR 1 > u, a 0 = e i )du. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 18/37

19 Régime Markovien Equations de renouvellement (2) R 1 = a 0 R 0 + b 0 = P(xR 1 > u, a 0 = e i ) = P(xa 0 R 0 + xb 0 > u, a 0 = e i ) = P(xa 0 R 0 > u, a 0 = e i ) + ψ i (x, t) On note e t G i (x, t) = e t u κ ψ i (x, u)du 0 e t = e t u κ (P(xR 1 > u, a 0 = e i ) P(xa 0 R 0 > u, a 0 = e i ))du. 0 Alors e t Z i (x, t) = e t u κ P(xe i R 0 > u, a 0 = e i )du + G i (x, t). Changement de variable 0 Z i (x, t) = e (t log e i) e κ i e t log e i 0 u κ P(xR 0 > u, a 0 = e i )du + G i (x, t). Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 19/37

20 Régime Markovien Equations de renouvellement (3) Propriété de Markov et stationnarité P(xR 0 > u, a 0 = e i ) = p j=1 P(xR 1 > u, a 0 = e j )p ji. On obtient le système : Z i (x, t) = e κ i = p j=1 p j=1 [ ] p ji Z j (x, t log e i ) + G i (x, t) Z j (x, t u)f ij (du) + G i (x, t), avec F ij (t) = e κ i p ji 1I t log ei. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 20/37

21 Renouvellement 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 21/37

22 Renouvellement Introduction F = (F ij ) 1 i,j p matrice de distributions. G = t (G 1,..., G p ) vecteur de fonctions réelles, bornées sur les compacts. Z = t (Z 1,..., Z p ) vecteur de fonctions inconnues qui vérifie Z i (t) = G i (t) + p k=1 Z k (t u)f ik (du), = comportement asymptotique de Z en +. FELLER 1971 : p = 1, F 11 probabilité : CRUMP 1970, ATHREYA et RAMA MURTHY 1976 : p > 1, F ij : R + R + Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 22/37

23 Renouvellement Notations Produit de convolution matriciel F H : H matrice p r de fonctions réelles mesurables (F H) ij (t) = p k=1 H kj (t u)f ik (du). Espérance de F : Γ = (γ ij ) 1 i,j p avec γ ij = uf ij (du). F (0) (t) = diag(1 t 0,...,1 t 0 ). F (n) (t) = F F (n 1) (t). Fonction de renouvellement U(t) = n=0 F (n) (t). Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 23/37

24 Renouvellement Arithméticité F est arithmétique si : pour tout i j, F ij est concentrée sur un ensemble de la forme b ij + λ ij Z, pour tout i, F ii est concentrée sur λ ii Z, les λ ii sont multiple entiers d un même nombre, λ le plus grand de ces nombres, pour tous a ij, a jk, a ik points d accroissement de F ij, F jk et F ik, a ij + a jk a ik est un multiple entier de λ. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 24/37

25 Renouvellement Hypothèses sur F 1. Mesures finies : 1 i, j p, F ij ( ) = lim t F ij (t)<. 2. Transience : t R, U(t) <. 3. F( ) irréductible à puissances bornées en norme. 4. Rayon spectral : ρ(f( )) = 1. m et u vecteurs propres de Perron-Frobenius : F( )m = m, p i=1 m i = 1, t uf( ) = t u, p i=1 u i m i = 1. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 25/37

26 Renouvellement Résultats Théorème 3 Première forme : hypothèses 1-4 F non arithmétique espérance Γ existe alors, γ = t uγm > 0 et U ij (t + h) U ij (t) t m i u j γ h. Deuxième forme : Mêmes hypothèses G directement Riemann intégrable Z = U G existe, alors lim t Z i(t) = 1 γ m i p j=1 [u j ] G j (u)du. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 26/37

27 Renouvellement Preuve Incréments de U uniformément bornés = (t n ) + et V ij mesures t.q. U ij (t n + dt) V ij (dt) Identification des V ij G = t (0,..., G k,..., 0) avec G k continue à support compact t n + dans l équation de renouvellement solutions de Z = F Z = V ij multiples de la mesure de Lebesgue : V ij = a ij l Identification des coefficients de proportionnalité G = t (0,..., G k,..., 0) avec G k (t) = 1I [0, 1] (t) = a ij = cm i u j G(t) = ( F( )1I t 0 F(t) ) m = c = γ 1 Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 27/37

28 Preuve 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 28/37

29 Preuve Equations de renouvellement Rappel : Z i (x, t) = e κ i = p j=1 p j=1 [ ] p ji Z j (x, t log e i ) + G i (x, t) Z j (x, t u)f ij (du) + G i (x, t), avec et G i (x, t) = e t e t 0 F ij (t) = e κ i p ji 1I t log ei, u κ[ ] P(xR 1 > u, a 0 = e i ) P(xa 0 R 0 > u, a 0 = e i ) du. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 29/37

30 Preuve Application du th de renouvellement F ij mesures finies, F ij ( ) = e κ i p ji = P κ de rayon spectral 1. Espérance de F : Γ ij = e κ i p ji log e i. Les log(e i ) ne sont pas multiples entiers d un même nombre, donc F non arithmétique. Finitude de U : U ij (t) = F (n) ij (t) e κt 2 (P κ 2 )n ij série convergente par convexité de s log ( ρ(p s ) ). Z = U G : itérer l équation de renouvellement, et F (n) Z 0 G est directement Riemann intégrable : utiliser E b 0 κ < +. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 30/37

31 Preuve Théorème de renouvellement Théorème de renouvellement pour les systèmes : Limite non nulle? lim t tκ P(xR 1 > t) = lim z(x, t) t = lim t = 1 γ p j=1 p i=1 Z i (x, t) [u j ] G j (x, s)ds. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 31/37

32 Preuve Cas particulier Si b 1 est de signe constant : Alors e t G i (x, t) = e t u κ( P(u xb 0 < xa 0 R 0 u, a 0 = e i ) 0 P(u < xa 0 R 0 u xb 0, a 0 = e i ) ) du. de signe constant sur R, car l une des de ces deux probabilités est nulle. Si b 1 0, alors R 1 0 donc z( 1, t) t 0, et limz(1, t) > 0. Si b 1 0, alors R 1 0 donc z(1, t) t 0, et limz( 1, t) > 0. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 32/37

33 Preuve Limite non nulle Première étape : GRINCEVICIUS 1980, GOLDIE 1991 P( R 1 > t) C P(sup n Inégalité de symétrisation de Lévy Lemme de Feller Chung a 0 a 1 n > 2t ε ). Deuxième étape : Evaluer P(sup n a 0 a 1 n > 2t ε ). Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 33/37

34 Preuve Etude du produit a 0 a 1 n Marche aléatoire à pas markovien : S 0 = 0, S n = n k=1 log(a 1 k ) = log(a 0 a 1 n ). Etude du processus d échelle S τn où : τ 1 = inf{n 1 : S n > 0}, τ n = inf{k > τ n 1 : S k > S τn 1 }. Arjas et Speed Renouvellement = e κt P(max(S n ) > t) = e κt P(max(S τn ) > t) C > 0, C > 0 constante explicite. Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 34/37

35 Autres Résultats 1. Introduction : le cas indépendant 2. Régime markovien 3. Théorème de renouvellement 4. Schéma de preuve 5. Autres résultats et perspectives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 35/37

36 Autres Résultats En dimension 1 On peut affaiblir l hypothèse d indépendance entre (a n ) et (b n ). Résultat analogue lorsque les a n changent de signe Diffusion continue à régime markovien En dimension supérieure Chaîne à espace d états fini inclus dans les matrices positives Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 36/37

37 Perspectives Dimension d et chaîne de Markov à support fini quelconque Chaînes de Markov plus générales Université de Nantes - 9 juin 2005 p. 37/37

Sur l équation vectorielle stochastique Y n+1 = A n Y n + B n à coefficients iid

Sur l équation vectorielle stochastique Y n+1 = A n Y n + B n à coefficients iid 1/35 Sur l équation vectorielle stochastique Y n+1 = A n Y n + B n à coefficients iid INRIA Sophia Antipolis Projet OMEGA Yves Guivarc h (Université de Rennes 1 Emile (Université de Bretagne Sud Séminaire

Plus en détail

Majeure d informatique

Majeure d informatique Nicolas Sendrier Majeure d informatique Introduction la théorie de l information Cours n 1 Une mesure de l information Espace probabilisé discret L alphabet est X (fini en pratique) Variable aléatoire

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Examen de rattrapage

Examen de rattrapage Université Denis Diderot Paris 7 7 juin 4 Probabilités et Simulations UPS36 Examen de rattrapage durée : 3 heures Les documents et calculatrices ne sont pas autorisés. On prendra soin de bien justifier

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3

Plus en détail

1 Correction de l examen du vendredi 13 novembre 2015.

1 Correction de l examen du vendredi 13 novembre 2015. Journal de bord du module Chaînes de Markov sur des espaces mesurables Les renvois de la table de matières ainsi que le texte en couleur magenta sont cliquables. Table des matières 1 Correction de l examen

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique

Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option B : Calcul Scientifique Agrégation externe de mathématiques, session 2013 Épreuve de modélisation, option (Public2014-B1) Résumé : On présente un exemple de système de deux espèces en compétition dans un environnement périodique.

Plus en détail

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques

Modèles à Événements Discrets. Réseaux de Petri Stochastiques Modèles à Événements Discrets Réseaux de Petri Stochastiques Table des matières 1 Chaînes de Markov Définition formelle Idée générale Discrete Time Markov Chains Continuous Time Markov Chains Propriétés

Plus en détail

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES

Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES O. Lader 2014/2015 Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 1 / 51 Systèmes linéaires Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

FIMA, 7 juillet 2005

FIMA, 7 juillet 2005 F. Corset 1 S. 2 1 LabSAD Université Pierre Mendes France 2 Département de Mathématiques Université de Franche-Comté FIMA, 7 juillet 2005 Plan de l exposé plus court chemin Origine du problème Modélisation

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Web Science. Master 1 IFI. Andrea G. B. Tettamanzi. Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice.

Web Science. Master 1 IFI. Andrea G. B. Tettamanzi. Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice. Web Science Master 1 IFI Andrea G. B. Tettamanzi Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice.fr 1 CM - Séance 3 PageRank et comment Google transforme des mots en

Plus en détail

Les matrices. 1 Définitions. 1.1 Matrice

Les matrices. 1 Définitions. 1.1 Matrice Les matrices 2012-2013 1 Définitions 11 Matrice Définition 1 Une matrice m n est un tableau de nombres à m lignes et n colonnes Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice

Plus en détail

Autour de Perron, Frobenius et Markov

Autour de Perron, Frobenius et Markov Université Claude Bernard Lyon 1-2007/2008 Préparation Capes - Algèbre et Géométrie - Devoir à rendre le 12 février 2008 - Autour de Perron Frobenius et Markov Rappels et notations On note M mn (K) le

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Remerciements. Partie 1 Algèbre linéaire 1

Remerciements. Partie 1 Algèbre linéaire 1 Table des matières Préface Remerciements xix xxi Partie 1 Algèbre linéaire 1 1 Compléments d algèbre linéaire 3 I Rappels du cours de première année.......................... 3 I.1 Famille dans un espace

Plus en détail

Préparation à l agrégation 2012/2013. Mots clés : Graphes. Vecteur propre ; matrices stochastiques ; matrices à coefficients positifs.

Préparation à l agrégation 2012/2013. Mots clés : Graphes. Vecteur propre ; matrices stochastiques ; matrices à coefficients positifs. Mots clés : Graphes. Vecteur propre ; matrices stochastiques ; matrices à coefficients positifs. Le jury n exige pas une compréhension exhaustive du texte. Vous êtes laissé(e) libre d organiser votre discussion

Plus en détail

INTRODUCTION AUX MÉTHODES DE MONTE CARLO PAR CHAÎNES DE MARKOV

INTRODUCTION AUX MÉTHODES DE MONTE CARLO PAR CHAÎNES DE MARKOV Séminaire MTDE 22 mai 23 INTRODUCTION AUX MÉTHODES DE MONTE CARLO PAR CHAÎNES DE MARKOV Vincent Mazet CRAN CNRS UMR 739, Université Henri Poincaré, 5456 Vandœuvre-lès-Nancy Cedex 1 juillet 23 Sommaire

Plus en détail

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz

1 - INTERPOLATION. J-P. Croisille. Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009. Université Paul Verlaine-Metz 1 - INTERPOLATION J-P. Croisille Université Paul Verlaine-Metz Semestre S7, master de mathématiques M1, année 2008/2009 1- INTRODUCTION Théorie de l interpolation: approximation de f(x) par une fonction

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I

Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Le marché boursier. Tour d horizon sur les thèmes théoriques.

Le marché boursier. Tour d horizon sur les thèmes théoriques. Le marché boursier Tour d horizon sur les thèmes théoriques. 1 Introduction : objectifs Têtes de chapitres : A - Coordination inter-temporelle et valorisation des actions: Aa - Valeur fondamentale : Fluctuations

Plus en détail

Définition d une norme

Définition d une norme Définition d une norme Définition E est un K-ev. L application N : E R + est une norme sur E ssi 1. x E, N(x) = 0 x = 0. 2. k K, x E, N(k.x) = k N(x). 3. x, y E, N(x + y) N(x) + N(y) Notation N,. Propriété

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 Motivation et objectif du cours

Plus en détail

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales

Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005. Leçons d Algèbre et de Géométrie

Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005. Leçons d Algèbre et de Géométrie http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/agreg.htm Liste complète des sujets d oral (SESSION 2004) servant pour 2004-2005 Légende : En italique : leçons dont le libellé a changé ou évolué par rapport

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Problèmes de fiabilité dépendant du temps

Problèmes de fiabilité dépendant du temps Problèmes de fiabilité dépendant du temps Bruno Sudret Dépt. Matériaux et Mécanique des Composants Pourquoi la dimension temporelle? Rappel Résistance g( RS, ) = R S Sollicitation g( Rt (), St (),) t =

Plus en détail

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève

EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005. Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 EXERCICES SANS PRÉPARATION 2008. Question 7 HEC 2006-7 F 1 élève 30-1- 2013 J.F.C. p. 1 F 1 F 2 F 3 Assez simple ou proche du cours. Demande du travail. Délicat. EXERCICES SANS PRÉPARATION HEC 2005 Question 11 D après HEC 2005-11 F 2 X est une variable aléatoire de

Plus en détail

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale

Devoir maison n 5. MP Lycée Clemenceau. A rendre le 7 janvier 2014. Centrale Devoir maison n 5 MP Lycée Clemenceau A rendre le 7 janvier 214 Centrale - Dans le problème, λ désigne toujours une application continue de IR + dans IR +, croissante et non majorée. - Dans le problème,

Plus en détail

Cahier de textes Page 1 sur 9. Cahier de textes

Cahier de textes Page 1 sur 9. Cahier de textes Cahier de textes Page 1 sur 9 Cahier de textes Jeudi 04/09/2014 9h-12h et 13h30-16h30 : Cours sur la logique : - Conjonction, disjonction, implication, équivalence - Quelques formules. - Quantificateurs

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 3 Modèles financiers discrets Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université de Franche-Comté)

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51

Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/51 Résolution de systèmes linéaires : Méthodes directes Polytech Paris-UPMC - p. /5 Rappels mathématiques s Propriétés - p. 2/5 Rappels mathématiques Soit à résoudre le système linéaire Ax = b. Rappels mathématiques

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits

Plus en détail

Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou

Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou alpha-stables Richard Eon sous la direction de Mihai Gradinaru Institut de Recherche Mathématique de Rennes Journées de probabilités 215,

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

COURS DE STATISTIQUE APPLIQUÉE

COURS DE STATISTIQUE APPLIQUÉE UNIVERSITE PROTESTANTE AU CONGO CENTRE CONGOLAIS-ALLEMAND DE MICROFINANCE COURS DE STATISTIQUE APPLIQUÉE Professeur Daniel MUKOKO Samba daniel_mukoko@yahoo.fr Quelques références Droesbeke, Jean-Jacques,

Plus en détail

Chapitre 2 Maîtrise des flux. - Chapitre 2 - Maîtrise des flux

Chapitre 2 Maîtrise des flux. - Chapitre 2 - Maîtrise des flux - - Facteurs agissant sur les flux Les modèles pour les SP Les réseaux de files d attente 1 Facteurs agissant sur les flux Au niveau physique : L implantation Le nombre de machines Automatisation (robots,

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

MATHÉMATIQUES - SPÉCIALITÉ. Table des matières

MATHÉMATIQUES - SPÉCIALITÉ. Table des matières MATHÉMATIQUES - SPÉCIALITÉ F.HUMBERT Table des matières Chapitre A - Congruences 2 Chapitre B - PGCD 5 Chapitre C - Nombres premiers 11 Chapitre D - Matrices et évolution de processus 14 Chapitre E - Matrices

Plus en détail

Modèle classique Extensions Modèle multi-branches. Théorie de la ruine. Esterina Masiello (ISFA)

Modèle classique Extensions Modèle multi-branches. Théorie de la ruine. Esterina Masiello (ISFA) Esterina Masiello Institut de Science Financière et d Assurances Université Lyon 1 Premières Journées Actuarielles de Strasbourg 6-7 octobre 2010 En résumé... Modèle classique de la théorie de la ruine

Plus en détail

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année

Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique. Analyse et Géométrie Différentielle. Première Année Programme de Mathématique Préparation Maths-Physique Analyse et Géométrie Différentielle Première Année I NOMBRES REELS ET COMPLEXES, SUITES ET FONCTIONS 1 Nombres réels et complexes 2 Suites de nombres

Plus en détail

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I

Rappels d Algèbre Linéaire de P.C.S.I Rappels d Algèbre Linéaire de PCSI Table des matières 1 Structure d espace vectoriel sur IK 3 11 Définition et règles de calcul 3 12 Exemples de référence 3 13 Espace vectoriel produit 4 14 Sous-espaces

Plus en détail

Les Probabilités du Bonheur, et les Aplications des Processus de Markov et de Levy dans les Mathématiques financières, Files d attente et Fiabilité

Les Probabilités du Bonheur, et les Aplications des Processus de Markov et de Levy dans les Mathématiques financières, Files d attente et Fiabilité Les Probabilités du Bonheur, et les Aplications des Processus de Markov et de Levy dans les Mathématiques financières, Files d attente et Fiabilité Master Mathématiques, Modélisation et Simulation Florin

Plus en détail

Licence 1ère année Mention Mathématiques

Licence 1ère année Mention Mathématiques Licence 1ère année Mention Mathématiques Semestre 1 Anglais (2 ECTS) Préparation du C2i (3 ECTS) Méthodologie du Travail Universitaire Scientifique (2 ECTS) Expression Orale et Écrite (3 ECTS) Outils Mathématiques

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Mesure quantitative de l information - Chapitre 2 - Information propre et mutuelle Quantité d information propre d un événement Soit A un événement de probabilité P (A)

Plus en détail

Web Science. Master 1 IFI. Andrea G. B. Tettamanzi. Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice.

Web Science. Master 1 IFI. Andrea G. B. Tettamanzi. Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice. Web Science Master 1 IFI Andrea G. B. Tettamanzi Université de Nice Sophia Antipolis Département Informatique andrea.tettamanzi@unice.fr 1 Annonce : recherche apprenti Projet Géo-Incertitude Objectifs

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

1 Sujets donnés en option scientifique

1 Sujets donnés en option scientifique Les sujets suivants, posés aux candidats des options scientifique, économique, technologique et littéraire BL constituent la première version d un échantillon des sujets proposés lors des épreuves orales

Plus en détail

Modèles GARCH et à volatilité stochastique 1

Modèles GARCH et à volatilité stochastique 1 Modèles GARCH et à volatilité stochastique 1 Christian FRANCQ Jean-Michel ZAKOÏAN 14 décembre 2009 1 Correction des exercices sur http://perso.univ-lille3.fr/~cfrancq Chapitre 1 Introduction Les modèles

Plus en détail

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières.

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières. Analyse fonctionnelle A. Leclaire ENS Cachan M Hadamard 25-26 TD7 Exercice Sous-espaces fermés de C ([,] formé de fonctions régulières. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de C ([,] muni de la convergence

Plus en détail

3.8 Introduction aux files d attente

3.8 Introduction aux files d attente 3.8 Introduction aux files d attente 70 3.8 Introduction aux files d attente On va étudier un modèle très général de problème de gestion : stocks, temps de service, travail partagé...pour cela on considère

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Quantification Scalaire et Prédictive

Quantification Scalaire et Prédictive Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction

Plus en détail

Contents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes

Contents. 1 Introduction Objectifs des systèmes bonus-malus Système bonus-malus à classes Système bonus-malus : Principes Université Claude Bernard Lyon 1 Institut de Science Financière et d Assurances Système Bonus-Malus Introduction & Applications SCILAB Julien Tomas Institut de Science Financière et d Assurances Laboratoire

Plus en détail

Simulations de Monte Carlo

Simulations de Monte Carlo Simulations de Monte Carlo 2 février 261 CNAM GFN 26 Gestion d actifs et des risques Gréory Taillard GFN 26 Gestion d actifs et des risques 2 Biblioraphie Hayat, Sere, Patrice Poncet et Roland Portait,

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

Détection de ruptures offline et online pour des processus causaux

Détection de ruptures offline et online pour des processus causaux Détection de ruptures offline et online pour des processus causaux Travaux avec W. Kengne (Paris 1, Yaoundé) et O. Wintenberger (Paris IX) Jean-Marc Bardet bardet@univ-paris1.fr Trimestre du Laboratoire

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL

Théorie des graphes. Introduction. Programme de Terminale ES Spécialité. Résolution de problèmes à l aide de graphes. Préparation CAPES UCBL Introduction Ces quelques pages ont pour objectif de vous initier aux notions de théorie des graphes enseignées en Terminale ES. Le programme de Terminale (voir ci-après) est construit sur la résolution

Plus en détail

Analyse du Risque et Couverture des Tranches de CDO Synthétique

Analyse du Risque et Couverture des Tranches de CDO Synthétique Analyse du Risque et Couverture des Tranches de CDO Synthétique Areski Cousin Laboratoire de Sciences Actuarielle et Financière ISFA, Université Lyon 1 Soutenance de Thèse, Lyon, 17 Octobre 2008 Directeur

Plus en détail

CHAPITRE 1 La nature de l économétrie et la structure des données économiques... 25

CHAPITRE 1 La nature de l économétrie et la structure des données économiques... 25 TABLE DES MATIÈRES Sommaire... 5 Avant- propos... 9 Remerciements... 19 À propos de l auteur... 23 CHAPITRE 1 La nature de l économétrie et la structure des données économiques... 25 1.1 Qu est- ce que

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau.

Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau. Unicité et minimalité des solutions d une équation de Ginzburg-Landau. Gilles arbou.m.l.a Ecole Normale Supérieure de achan 61, avenue du Président Wilson 9435 achan edex Résumé. - On étudie les solutions

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème...

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème... TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique................... 13 1.2 Le plan...................................

Plus en détail

Restauration d images

Restauration d images Restauration d images Plan Présentation du problème. Premières solutions naïves (moindre carrés, inverse généralisée). Méthodes de régularisation. Panorama des méthodes récentes. Problème général Un système

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE. Les candidats traiteront l'un des trois sujets au choix.

CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE. Les candidats traiteront l'un des trois sujets au choix. ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN 1 AVRIL 21 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR STATISTICIEN ECONOMISTE OPTIONS MATHEMATIQUES ET ECONOMIE EPREUVE D'ORDRE GENERAL DUREE :

Plus en détail

1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein

1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein 1 Examen 1.1 Prime d une option d achat dans le modèle de Cox, Ross et Rubinstein On considère une option à 90 jours sur un actif ne distribuant pas de dividende de nominal 100 francs, et dont le prix

Plus en détail

Modèles stochastiques et applications à la finance

Modèles stochastiques et applications à la finance 1 Université Pierre et Marie Curie Master M1 de Mathématiques, 2010-2011 Modèles stochastiques et applications à la finance Partiel 25 Février 2011, Durée 2 heures Exercice 1 (3 points) On considère une

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail