Table des matières. Eet d'un ltre sur un signal périodique. S.Boukaddid Eléctronique MP2

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1 Eet d'un ltre sur un signal périodique Table des matières 1 Effet d un filtre passe-bas sur un signal périodique Rappel Filtre passe-bas idéal Filtre passe-bas du premier ordre Fonction de transfert Action sur un signal périodique Comportement intégrateur Filtre passe-bas du second ordre Autres filtres Filtre passe-haut Filtre passe-haut idéal Filtre passe-haut du premier ordre Filtre passe-haut du second ordre Action sur un signal périodique Comportement dérivateur Filtre passe-bande Filtre passe-bande idéal Fonction de transfert Fonction de transfert factorisable : σ Fonction de transfert non factorisable : σ < Bande passante-facteur de Qualité Action d un filtre passe-bande sur un signal périodique / 16

2 1 Effet d un filtre passe-bas sur un signal périodique 1.1 Rappel Système linéaire Définition : Un circuit électronique est linéaire si la relation entre l entrée et la sortie est une équation différentielle à coéfficients constants. Filtrage Définition : le filtrage est une forme de traitement de signal qui consiste à : sélectioner une partie de l information utile dans le signal et le transmettre éliminer les fréquences parasites dans un signal Définition d un filtre Définition : Un filtre est un circuit électronique linéaire réalisant l opération filtrage Principe de superposition Enoncé : Soit respectivement s 1 (t) et s 2 (t) les réponses du système aux excitations e 1 (t) et e 2 (t). Un système linéaire satisfait au principe de superposition,c est-à-dire qu à l excitation λ 1 e 1 (t) + λ 2 e 2 (t),où λ 1 et λ 2 sont des constantes,correspond la réponse : λ 1 s 1 (t) + λ 2 s 2 (t). Les causes ajoutent leurs effets et les effets sont proportionnels aux causes. Fonction de transfert Si le signal d entré est sinusoïdal e(t) = E m cosωt,le signal de sortie est aussi sinusoïdal s(t) = S m cos(ωt + ϕ) (régime harmonique). On définit la fonction de transfert argh = arg s arge = ϕ Gain en décibel s(j ω) H(j ω) = e(j ω) G(dB) = 20log H Signal de sortie d un signal périodique Pour déterminer le signal de sortie d un signal périodique : on décompose le signal d entrée sous la forme d une somme de fonctions sinusoïdales du temps (série de Fourier) e(t) = k e k = k E k cos(ω k t + ϕ k );ω k = kω 0 On détermine la réponse associée à chaque terme e k On superpose les termes obtenus s k (j ω k ) = H(j ω k ).e k (j ω k ) s(t) = k s k (t) 2 / 16

3 1.2 Filtre passe-bas idéal Le gain du filtre passe-bas idéal de bande passante [0, f p ] est H(j ω) = 1 pourf = ω 2π f p H(j ω) H(j ω) = 0 le cas contraire 1 representation fonctionnelle Soit f 0 la fréquence du signal appliqué en entrée du filtre on distingue entre deux cas intéressants : f p f Cas n 1 : f 0 < f p < 2f 0 e k s k 1 1 f 0 f p 2f 0 3f 0 f 0 f p La composante fondamentale E 1 cosω 0 t n est pas modifiée par le filtre,puisque sa fréquence est incluse dans la bande passante. Les termes harmoniques E k cos(kω 0 t+ϕ k ) sont affectés d un coefficient d amplification H(j kω0 ) = 0,car leur fréquence est dans la bande supprimée par le filtre le signal de sortie est donc composé d un seul terme s(t) = E 1 cos(ω 0 t + ψ 1 ) ; ψ 1 = arg( H(j ω0 ) Cas n 2 : toutes les coposantes spectrales du signal d entrée sont contenues dans la bande passante e k s k 1 1 f 0 2f 0 3f 0 f p f 0 2f 0 3f 0 f p 3 / 16

4 le signal de sortie et d entrée sont identiques s(t) = e(t) Remarque : En réalité le signal d entrée présente des composantes harmoniques qui sont atténuées par le filtre,la forme du signal observé en sortie n est que voisine de celle du signal d entrée. 1.3 Filtre passe-bas du premier ordre Fonction de transfert H(j ω) = H j ω ω c ω c : pulsation de coupure et H 0 = cte C R R e(t) R C s(t) e(t) R + s(t) fig 1 fig 2 filtre passif(fig 1) : H 0 = R R + R et 1 ω c = filtre actif (fig 2) : H 0 = R R et ω c = 1 R C lediagramme de Bode (H 0 = 1) G(dB) RR (R + R )C ( ) ω log ω 0 3d B 20d B/ décade la bande passante du filtre : [0,ω c ] 4 / 16

5 1.3.2 Action sur un signal périodique Chaque composante sinusoïdale du signal d entrée : e k = E k cos(ω k t + ϕ k ) voit : son amplitude E k modifiée par le filtre selon S k = H(j kω0 ) Ek = sa phase à l origine des temps ϕ k,affectuée l expression du signal de sortie E k 1 + k 2 ω2 ω 2 c ψ k = ϕ k + argh(j kω 0 ) = ϕ k arctan (k ωωc ) s(t) = k s k (t) ; s k (t) = H(j kω) Ek cos(ω k t + ψ k ) Comportement intégrateur On pose τ = 1 ω c donc si ω >> ω c : H(j ω) = H 0 j τω = s e H(j ω) = H j τω j ωτs = τds dt = H 0e s(t) = H 0 τ e(t)dt Conclusion : Pour des fréquences élevées (f >> f c ) le filtre passe-bas du premier ordre se comporte comme un intégrateur C R 0 R + R + e(t) s(t) e(t) s(t) montage theorique Montage pratique pour le montage théorique on montre que : H(j ω) = 1 j RCω donc s(t) = 1 e(t)dt c est un intégrateur pur RC 5 / 16

6 R 0 R 1 + j R 0 Cω 1 : H(j ω) = : intégrateur approché j RCω pour le montage pratique on montre que : H(j ω) = pour ω >> ω c = 1 R 0 C intégrateur pur G(dB) log(ω/ω 0 ) Intégrateur approché 3 Exemple : signal d entré carré Cas ω << ω c : la plupart des raies spéctrales du signal se trouvent dans la bande passante du filtre e(t) e(t) t le signal de sortie est voisin du signal d entrée s(t) ω 3ω 5ω ω c pulsation t l absence de discontinuité dans le signal de sortie s explique par l atténuation imposée par le filtre aux composantes de fréquence élevée. 6 / 16

7 Cas ω >> ω c : les raies spéctrales du signal d entrée sont toutes situées dans la bande atténuée,leurs amplitudes est multipliée par H(j kω) et le déphasage q elles subissent est voisn de π 2 s(t) t ω 3ω 5ω pulsation le filtre se comporte comme un intégrateur 1.4 Filtre passe-bas du second ordre la fonction de transfert d un filtre passe-bas du second ordre s écrit H(j ω) = H 0 = 1 pour un filtre passif σ = 1 : coefficient d amortissement 2Q ω 0 : pulsation propre du circuit H j σ ω ω 0 ω2 ω 2 0 R L e(t) C s(t) On peut déterminer le comportement du filtre : ω << ω 0 : H H 0 ω 2 0 ω >> ω 0 : H H 0,diminuation de gain en 40dB/décade ω2 Les composantes spéctrales du signal d entrée situées hors de la bande passante du filtre sont d autant mieux rejetées que l ordre du filtre est élevé. 7 / 16

8 filtre passe bas du 1ordre filtre passe bas du 2 ordre Diagramme de Bode (pour une étude détaillé voir 1 er année) f la pulsation de résonance ω r,pour Q > 1 2 σ < 1 2 ω r = ω 0 1 2σ 2 la valeur du module atteinte à la résonance est : H(j ωr ) = H 0 G(dB) 2σ 1 σ 2 σ < 1 2 log(ω/ω 0 ) σ > 1 2 le cas σ = 1 2 est trés utilisé en pratique car le gain ne présente pas de maximum,c est le filtre de Butterworth ϕ log(ω/ω 0 ) π 2 π 8 / 16

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10 2 Autres filtres 2.1 Filtre passe-haut Filtre passe-haut idéal H f p f représentation fonctionnelle e(t) s(t) t t Filtre passe-haut du premier ordre Fonction de transfert j ωτ H(j ω) = H j ωτ τ = 1 ω c diagramme de Bode G(dB) log(ω/ω c ) 3dB 10 / 16

11 2.1.3 Filtre passe-haut du second ordre Fonction de transfert ( ) ω 2 ω H(j ω) = H j σ ω ω2 ω 0 ω 2 0 Diagramme de Bode G(dB) σ < 1 2 log(ω/ω 0 ) σ > Action sur un signal périodique Si les composantes spectrales sont situées dans la bande passante du filtre le signal de sortie est voisin au signal d entrée. Chaque entrée d un oscilloscope est munie d un filtre passe haut permettant d éliminer la valeur moyenne d un signal en sélectionant le mode AC. 11 / 16

12 2.1.5 Comportement dérivateur Pour des fréquences f >> f 0 : le filtre passe haut se comporte comme un dérivateur 12 / 16

13 2.2 Filtre passe-bande Filtre passe-bande idéal H f min f max f Si le spectre du signal d entré est situé dans la bande passante du filtre,le signal de sortie est voisine au signal d entrée Fonction de transfert ω 2j σ ω 0 H = H j σ ω ω2 ω 0 ω 2 0 ω 0 = 1 LC σ = R 2 H 0 = 1 C C L L e(t) R s(t) Fonction de transfert factorisable : σ 1 ω 2j σ ω H(j ω) = H 0 0 ) (1 + j )(1 ωω1 + j ωω2 c est l association de deux filtres du premier ordre associé en cascade : un filtre passe-bas et un filtre passe-haut 13 / 16

14 G(dB) log(ω/ω 1 ) log(ω/ω 2 ) log(ω/ω 0 ) cette fonction de transfert est utile pour sélectionner une bande de fréquence large. Conclusion : lorsque la fonction de transfert d un filtre passe-bande est factorisable,on peut décomposer ce filtre en un filtre passe-bas et un filtre passe-bande Fonction de transfert non factorisable : σ < 1 ω << ω 0 : H H 0 2σ j ω ω 0,pente de 20dB/décade ω >> ω 0 : H = H 0 2σ ω 0,pente de 20dB/décade j ω les deux asymptotes se rejoignent pour ω = ω 0,et le module correspondant est 20log(2H 0 σ) si ω = ω 0,H = H 0 G(dB) log(ω/ω 0 ) 14 / 16

15 2.2.5 Bande passante-facteur de Qualité Définition : la bande passante à 3dB d un filtre est l intervalle des fréquences [f m, f M ] dans lequel le gain ne diffère pas de plus de 3 décibels de sa valeur maximale. G max 2 G(ω) G max le facteur de qualité du filtre passe-bande Q = ω 0 ω = f 0 f Plus le facteur de qualité d un filtre est élevé,plus la largeur relative de la bande passante est faible. Q mesure l acuité de la résonance 1 ( ω ω ) 0 = ±1 2σ ω 0 ω H(j ω) = 1 + j 1 2σ H 0 ( ω ω 0 ω 0 ω ω 2 2σωω 0 ω 2 0 = 0 ω m = ω 0 ( σ σ 2 ) et ω M = ω 0 (σ σ 2 ) ω = Ω M ω m = 2σω 0 Q = ω 0 ω = 1 2σ ω m ω M = ω 2 0 ) 15 / 16

16 2.2.6 Action d un filtre passe-bande sur un signal périodique 16 / 16