Contrôle d un système quantique à deux états

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1 Master Ingénierie Mathématique Contrôle es systèmes non-linéaires Examen, urée 3h Sujet onné par Pierre Rouchon, tous les ocuments sont autorisés. Contrôle un système quantique à eux états Nous prenrons ici le moèle e spin fictif 1 associé à un système quantique à eux états. Nous le supposerons ans un champs magnétique co-linéaire au vecteur B = u e 1 + Ω e 3 où ( e 1, e, e 3 ) est un trière ortho-normé, la constante Ω > est la pulsation e Larmor et u est le contrôle scalaire. Le système est écrit par les équations e Bloch avec comme état un vecteur σ = x 1 e 1 + x e + x 3 e 3 R 3 obéissant à la ynamique t σ = σ B (1) où est le prouit vectoriel ans R 3 eucliien: ( e 1 e = e 3, e e 3 = e 1, e 3 e 1 = e ). Si on mesure le spin selon l axe e 1, la probabilité avoir + 1 est (1 + x 1)/ et 1, (1 x 1)/. Ainsi x 1 / s interprète comme la valeur moyenne u spin selon l axe e 1. Il en est e même es autres composantes e σ. 1. Montrer σ = x 1 + x + x 3 est constante au cours u temps. Le système (1) est-il commanable pour σ R 3? A partir e maintenant et jusqu à la fin u problème, on suppose que x 1 + x + x 3 = 1.. Boucle ouverte (a) Montrer que t x 1 = Ωx, t x = Ωx 1 + ux 3, t x 3 = ux. () (b) On suppose u = ū constant. Quels sont les points équilibre (respectant σ = 1)? (c) Quelles sont les valeurs propres autour es points équilibre e la question précéente? Que peut-on en éuire sur leur stabilité au sens e Lyapounov? () On suppose toujours u = ū. Montrer que V (x 1, x, x 3 ) = ūx 1 + Ωx 3 est une constante u mouvement. En éuire que les points équilibre e la question b sont stables au sens Lyapounov. Sont-ils asymptotiquement stable? 3. Etue u tangent On consière le point équilibre σ = e 3 associé à ū =. (a) Calculer les équations u linéaire tangent. On notera par z i = δx i (i = 1,, 3) les petits écarts à l équilibre pour l état x (le contrôle u restant petit). (b) Ce système est-il commanable? Donner sa partie commanable et la sortie e Brunovsky associée. (c) Construire un bouclage état u = Kz stabilisant la partie commanable à et exprimer les coefficients e K en fonction es eux pôles (p 1, p ) en boucle fermée. 4. Champ faible et contrôle résonnant. (a) On consière le changement e variables x 1 y 1 cos(ωt) sin(ωt) x 1 x y = sin(ωt) cos(ωt) x x 3 y 3 1 x 3 Montrer que les équations () u système ans les variables Y = (y 1, y, y 3 ) prennent la forme suivante t y 1 = u sin(ωt)y 3, t y = u cos(ωt)y 3, t y 3 = u sin(ωt)y 1 u cos(ωt)y 1

2 (b) On choisit un contrôle résonnant u = v cos(ωt) où v est un petit contrôle lentement variable v Ω et t v Ωv. Montrer que la ynamique s écrit Y = vf (Y, Ωt) où F est une t fonction π-périoique e son secon argument. On amettra que les trajectoires e t Y = vf (Y, Ωt) sont proches e celles u système moyen t Y = v F (Y ) où F (Y ) = 1 π π F (Y, θ) θ. Calculer F. (c) Le système moyen avec le contrôle v est-il commanable? Est-il possible e trouver, pour le système moyen, une commane v qui assure le transfert e Y = (,, 1) en t = à Y = (,, +1) en t = T? Si oui, onner toutes les commanes [, T ] v(t) qui assurent un tel transfert (pour être cohérent on suppose T π/ω). 5. Champ fort Le but est e construire, pour le système (), un contrôle t u(t), continûment érivable en temps, qui assure le transfert e σ = e 3 en t = à σ = e 3 en t = T où T = /Ω. Quitte à changer t en Ωt et u en u/ω, on prenra ans les questions ci-essous Ω = 1 et onc T =. (a) Montrer que que y(t) := x 1 (t) est une sortie plate pour le système non-linéaire () sur la sphère unité. On exprimera x et u en fonction e y et ses érivées en utilisant le fait que x 1 + x + x 3 = 1. (b) On pose y(t) = (t( t)) (1 t). On amet que la fonction f(t) = 1 y (t) ( t y(t) est positive sur [, ], atteint sur [, ] son minimum uniquement en t = 1 avec t f(1) >. Montrer que la fonction g : R R éfinie par est eux fois continûment érivable. 1 si t < f(t) si t [, 1] g(t) = f(t) si t [1, ] 1 si t >. (c) Donner en fonction e y et g une trajectoire t σ(t) continûment érivable et un contrôle continûment érivable t u(t) nul en ehors e [, ] qui assure le transfert e e 3 à + e 3. () Montrer que le contrôle précéent assure le transfert symétrique e e 3 à e Dé-cohérence et issipation On consière la moification suivante u système (): t x 1 = Ωx + Γx 1 x 3, t x = Ωx 1 + ux 3 + Γx x 3, ) t x 3 = ux + Γ((x 3 ) 1) (3) où Γ >, moification corresponant à la ynamique sans saut ans les moèles e trajectoires quantiques e Monte-Carlo. (a) Montrer que, si x 1 + x + x 3 = 1 à t =, alors x 1 + x + x 3 = 1 pour tout t. (b) On suppose u = et on se place sur la sphère unité { x R 3 x 1 + x + x 3 = 1 }. Calculer les eux points équilibre e (3) et les valeurs propres associées. Que peux-t-on en éuire sur leur stabilité? (c) On suppose encore u =. Montrer que, sur la sphère unité, la fonction V (x) = x 3 est une fonction e Lyapounov. En éuire que toutes les trajectoires sauf une convergent vers l un es eux points équilibre calculés à la question 6b.

3 Corrigé: contrôle un système quantique à eux états 1. Comme t σ est orthogonal à σ sa longueur reste constante. Le système n est pas commanable.. Boucle ouverte (a) Il suffit e évelopper le prouit vectoriel en cooronnées cartésiennes. (b) On oit résoure = Ωx, = Ωx 1 + ūx 3, = ūx Les première et troisième équations onnent x =, la secone x 1 = ū Ω x 3. Comme x 1 + x + x Ω 3 = 1 on obtient une équation pour x 3 qui amet eux solutions ± Ω +ū. Ainsi on a eux points équilibre sur la sphère unité (ū ): ū Ω x 1 = ± Ω + ū, x =, x 3 = Ω + ū (c) Le polynôme caractéristique e la matrice anti-symétrique Ω A = Ω ū ū est et(si A) = s(s + Ω + ū ) et ses racines sont (, +ı Ω + ū, ı Ω + ū ). Ainsi, avec le théorème 5, page 1 u cours, on peut conclure à la stabilité au sens e Lyapounov mais pas asymptotique (théorème 4, page 19). () On a t V = ū t x 1 + Ω t x 3 = ūωx Ωūx =. Ainsi, nous avons eux intégrales premières pour caractériser les trajectoires: x 1 + x + x 3 = 1 et ūx 1 + Ωx 3 = ūx 1 + Ωx 3. On reconnaît l intersection e la sphère unité avec un plan e vecteur orthogonal ū e 1 + Ω e 3. Les trajectoires sont onc es cercles tracés sur la sphère unité. On en éuit sans peine la stabilité au sens e Lyapounov (sans être asymptotique). 3. Etue u tangent (a) Un calcul irect onne t z 1 = Ωz, t z = Ωz 1 + u, t z 3 = (4) (b) Ce système n est pas commanable car z 3 est un invariant non trivial. Sa partie commanable correspon à z 1 et z. La sortie e Brunovsky est y = z 1 car z 1 = y, z = ẏ Ω, u = Ωy + ÿ Ω. (c) On ne consière onc que le sous-système à eux états (z 1, z ). Le bouclage u = Ωz 1 + v Ω onne la forme e Brunovsky t y = v. On pose alors v = (p 1 + p )ẏ p 1 p y pour avoir (p 1, p ) comme pôles en boucle fermée. En revenant ans les variables (z 1, z, u) au lieu es variables (y, ẏ, v) on obtient le feeback stabilisant: ( u = Ω p 1p Ω ) z 1 + (p 1 + p )z 3

4 4. Champ faible. (a) Avec x 1 = cos(ωt)y 1 + sin(ωt)y, et x = sin(ωt)y 1 + cos(ωt)y l équation ifférentielle t x 1 = Ωx evient De même t x = Ωx 1 + ux 3 evient alors cos(ωt) t y 1 + sin(ωt) t y =. sin(ωt) t y 1 + cos(ωt) t y = uy 3. Ainsi on a t y 1 = u sin(ωt)y 3, t y = u cos(ωt)y 3, t y 3 = u sin(ωt)y 1 u cos(ωt)y (b) Avec u = v cos(ωt), on a F (Y, Ωt) = cos(ωt) sin(ωt)y 3 cos (Ωt)y 3 cos(ωt) sin(ωt)y 1 cos (Ωt)y Ainsi F (Y ) = y 3 / y / (c) Le système moyen n est pas commanable car y 1 et y + y3 sont es intégrales premières non triviales. Pour le transfert, on a y 1 = et y + y3 = 1. On peut onc écrire y = sin φ et y 3 = cos φ avec t φ = v/. Donc les commanes [, T ] v(t) qui assurent le transfert s écrivent comme le ouble e la érivée une fonction t φ(t) telle que φ() = π/ mo (π) et φ(t ) = π/ mo (π). 5. Champ fort (a) L équation sur t x 1 onne x = ẏ. Comme x 1 + x + x 3 = 1, on a y + ẏ + x 3 = 1. Ainsi x 3 = ± 1 y ẏ. le contrôle u s obtient avec u = ẋ3 x, soit u = ± y+ÿ. 1 y ẏ (b) Pour t proche e, y(t) est un O(t ) et ẏ un O(t). Donc f et g sont C en. De même f et g sont C en t =. Il reste à étuier g autour e 1. Un éveloppement limité e f autour e 1 onne f(t) = (t 1) ( f(1)/ + O( t 1 )) Comme f(1) >, g s écrit autour e 1 g(t) = (t 1) f(1)/ + O( t 1 ). Donc g est régulière en t = 1 (analytique). En conclusion g est C sur R. (c) On obtient une trajectoire u système en prenant x 1 = y, x = ẏ, x 3 = g, u = ġ/ẏ. En effet u = ẋ 3 /x = ġ/ẏ. Reste à vérifier que ce quotient est bien éfini lorsque ẏ =. On a ġ = ẏ(y + ÿ)/g et onc ġ/ẏ = (y + ÿ)/g. Ce quotient est bien éfini lorsque ẏ = car alors g. () Il suffit utiliser la symétrie σ σ. 6. (a) Comme t (x 1 + x + x 3) = Γx 3 (x 1 + x + x 3 1), on voit que x 1 + x + x 3 reste à 1. 4

5 (b) La troisième équation onne x 3 = ±1. Comme x 1 + x + x 3 = 1 on a x 1 = x =. Les eux points équilibre sont (,, ±1). La matrice Jacobienne en (,, ±1) est ±Γ Ω Ω ±Γ ±Γ Ses valeurs propres sont ±Γ, ±Γ+ Γ 4Ω et ±Γ Γ 4Ω. Ainsi (,, 1) est instable (toutes les valeurs propres sont à partie réelle > ) et (,, 1) est localement asymptotiquement stable car toutes les valeurs sont à partie réelle <. (c) Comme on est sur la sphère x 3 1. Comme t V = Γ(x 3 1) on a t V. Le principe invariance e LaSalle s applique ici. On consière onc les solutions u système sur-éterminé t x 1 = Ωx + Γx 1 x 3, t x = Ωx 1 + Γx x 3, t x 3 = Γ((x 3 ) 1), t V = ont les seules solutions sont les eux points équilibre calculés ci-essus (,, ±1). Comme les trajectoires sur la sphère unité qui ne émarrent pas en (,, 1) ne peuvent converger vers (,, 1) car ce point équilibre est instable selon toutes les irections (toutes les valeurs propres sont instables), la seule possibilité est la convergence vers l autre point (,, 1). Son bassin attraction est onc la sphère unité privée e l équilibre instable (,, 1). 5