Probabilités Licence 2 Sciences économiques et Economie - Langues Année universitaire Livret d exercices. x k pour tout x R. k!

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1 Licence 2 Sciences économiques et Economie - Langues Année universitaire Probabilités A.L Basdevant, C. Hardouin Livret d exercices 1 Rappels, calculs utiles Exercice 1. 1) On rappelle que e x = En déduire le calcul de 2) Calculer k=0 k=0 λ k k! e λ, x k pour tout x R. k! k=0 k λk k! e λ, k=0 k=0 n q k ; puis q k (discuter suivant la valeur de q). k=0 Exercice 2. Soient trois ensembles A, B et C. 1) Exprimer A B, A B, A \ B en fonction de A, B, A, B. 2) Développer (A B) C, (A B) C, (A \ B) (B \ A). 3) On suppose C = (A B) (Ā B). Exprimer C. 4) On suppose que A B = et Ā B =. Montrer que B = C? Exercice 3. Pour les fonctions définies ci-dessous, calculer F (x) = k(k 1) λk k! e λ puis f(t) = 1 [0,1] (t) ; f(t) = λe λt si t 0 et 0 sinon où λ est un réel > 0. Exercice 4. Calculer les intégrales : 0 λte λt dt (λ > 0) ; 0 xe x2 /2 dx ; k=0 k 2 λk k! e λ. Ā. Que se passe-t-il pour C? Pour x + f(t)dt : xe x2 /2 dx Exercice 5. Combien de nombres peut-on former avec les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, chaque chiffre n étant présent qu une fois, de façon que chaque nombre commence par 7 et soit divisible par 5? 1) Si les nombres sont de 8 chiffres? 2) Si les nombres sont de 6 chiffres? Exercice 6. On dispose de 5 billes rouges, 2 blanches et 3 bleues. Si les billes de même couleur sont indiscernables, de combien de façons peut-on les aligner? Exercice 7. Un groupe de 5 mathématiciens et 7 économistes doit élire un comité représentatif formé de 2 mathématiciens et 2 économistes. Quel est le nombre de résultats possibles si : - les 12 personnes sont éligibles? - un économiste est élu d office? - 2 mathématiciens ne sont pas éligibles? 1

2 2 Événements, équiprobabilité, indépendance Exercice On lance deux dés identiques. Quel est l ensemble fondamental attaché à cette épreuve? Décrire A : "la somme des points est inférieure ou égale à Décrire l univers si on s intéresse seulement à la parité du résultat. 3. On joue avec deux dés discernables. Quel est l ensemble fondamental? Décrire A. Exercice 9. Une entreprise possède 3 machines A, B et C. On note A n (respectivement B n et C n ) l évènement n ouvriers travaillent sur A" (respectivement B et C). Avec ces notations, écrivez les évènements suivants : 1) Personne ne travaille sur la machine A. 2) 2 ouvriers travaillent sur A et 1 ouvrier travaille sur B. 3) Moins de trois ouvriers travaillent sur A. 4) Plus de trois ouvriers travaillent sur A. 5) 2 ouvriers travaillent sur A et au moins 1 ouvrier travaille sur B. Exercice 10. Trois boules sont tirées d une urne contenant des boules blanches et des boules rouges. Soient les évènements : A : la première boule est blanche" B : la deuxième boule est blanche" C : la troisième boule est blanche" Exprimer les évènements suivants en fonction de A, B et C : D : toutes les boules sont blanches" E : les deux premières boules sont blanches" F : au moins une boule est blanche" G : seulement la troisième boule est blanche" H : exactement une boule est blanche" I : au moins deux boules sont blanches" J : aucune boule n est blanche" Exercice 11. Soient A, B, C trois événements. Exprimer à l aide des opérations ensemblistes les événements ci-dessous : (i) A seul se produit. (ii) A et C se produisent, mais non B. (iii) Les trois événements se produisent. (iv) L un au moins des événements se produit. (v) Deux événements au moins se produisent. (vi) Un événement au plus se produit. (vii) Aucun des trois événements ne se produit. (viii) Exactement deux événements se produisent. (ix) Pas plus de deux événements se produisent. 2

3 Exercice 12. Soient A, B, C trois événements. Déterminer en fonction de P (A), P (B), P (C), P (A B) P (B C), P (C A), P (A B C) les probabilités suivantes : (i) un et un seul événement est réalisé ; (ii) deux événements sont réalisés ; (iii) aucun n est réalisé. Exercice 13. Les trois questions sont indépendantes. On considère deux évènements A et B. 1) Calculer P (Ā), P (A B), P (A B), P (A B) en fonction de P (A), P (B) et P (A B). 2) On suppose que P (A B) = P (A)P (B) : A et B sont indépendants en probabilité. Montrer qu alors A et B puis Ā et B le sont aussi. 3) Soit C un autre évènement. Calculer P (A B C). Exercice 14. On considère deux évènements A et B. On suppose P (A) = 1 4, P (B) = 2 3 et P (A B) = 1 8. Calculer les probabilités de E : au moins un évènement se produit" et F : un seul évènement se produit". Exercice 15. Soient A et B deux évènements tels que P (A) = 0.2 et P (B) = ) Choisir pour P (A B) une des deux valeurs 0.15 ou 0.5. En déduire P (A B). 2) Choisir pour P (A B) une des deux valeurs 0.2 ou 0.5. En déduire P (A B). Exercice 16. On jette un dé un nombre illimité de fois. On considère les évènements : A k : obtention de la face 6 au kième jet" B k : obtention de la face 6 pour la première fois au kième jet" où k=1,2,3... 1) Exprimer B n en fonction des A k, k n 2) Calculer P (B n ) pour un dé équilibré et sa limite lorsque n. Exercice 17. On lance un dé quatre fois ; calculer la probabilité d obtenir au moins un 6. Exercice 18. Une urne contient quatre boules rouges, quatre vertes et deux bleues. On tire trois boules ; quelle est la probabilité d avoir trois boules de couleurs distinctes? Exercice 19. On lance deux dés. On note par A l événement " la somme des dés est impaire", par B l événement "au moins l un des dés montre 1", et C " la somme des dés est 5". Décrire A B, A B, B C, A B c, A B C. Exercice 20. On lance trois dés. Quels sont les jets qui donnent une somme égale à 11? à 12? Quelle somme est-elle la plus probable? Exercice 21. On dispose de 3 urnes contenant chacune 50 boules identiques numérotées de 1 à 50. On extrait au hasard une boule de chaque urne. Quelle est la probabilité que le plus grand nombre obtenu soit 25? Exercice 22. Une urne contient huit boules rouges, trois blanches et neuf noires. On tire successivement et sans les replacer trois boules de l urne. Quelle est la probabilité d obtenir a trois boules blanches? 3

4 b dans l ordre, une rouge, une blanche et une noire? c une rouge, une blanche et une noire, dans le désordre? d deux rouges et une blanche dans le désordre? Exercice 23. On considère deux dés équilibrés. Est-il plus probable d obtenir au moins une fois un 6 en jetant quatre fois un dé ou d obtenir au moins une fois un double six en jetant 24 fois deux dés? Exercice 24. Soit A, B, C trois événements aléatoires avec P(A) = 1 2, P(B) = 1 4 et P(C) = 1 8 Calculer P(A B C) a lorsque les trois événements sont mutuellement indépendants. b lorsqu ils sont incompatibles deux à deux. Exercice 25. Trois tireurs A, B et C tirent simultanément et de manière indépendante sur un cactus. Sachant que les probabilités de faire mouche sont, pour chaque tireur, 1 2, 2 3 et 1 4. Quelle est la probabilité que le cactus soit touché 1 par les trois tireurs? 2 par au moins deux tireurs? 3 par aucun des tireurs? 4 par au moins un tireur? 5 par un seul tireur? Exercice 26. Un concessionnaire de voitures vend, le même jour, 5 véhicules identiques à des particuliers. Sachant que la probabilité pour que ce type de voiture soit en état de rouler après deux ans d utilisation est 0.8, calculer la probabilité pour que : 1. les 5 véhicules soient en service deux ans plus tard, 2. les 5 véhicules soient hors service deux ans plus tard, 3. trois véhicules soient hors service deux ans plus tard, 4. deux véhicules au plus soient hors service. Exercice 27. Alors qu il se prépare à sortir, se produit chez le savant Cosinus une panne d électricité. Il choisit au hasard dans son tiroir qui est dans le plus grand désordre deux chaussettes et deux gants. Sachant que ce tiroir contenait 20 chaussettes noires, 16 bleues et 6 paires de gants noirs et 4 paires de gants rouges (les gants sont séparés), quelle est la probabilité qu il ait choisi deux chaussettes de la même couleur et une paire de gants de la même couleur? (Une paire de gants est composée d un gant droit et d un gant gauche). Exercice 28. Soit l épreuve aléatoire : on jette trois dés successivement. 1) Définir l espace fondamental associé à cette épreuve. Quel est son cardinal? Quelle est la probabilité qu avec les trois numéros obtenus on puisse former le nombre 432? 4

5 2) Soient les évènements suivants : A : il y a au moins un as sur une des trois faces" B : deux au moins des trois faces sont identiques" C : la somme des points est paire" Evaluer la probabilité des évènements A, B, C, A B, A C, B C, A B C. Exercice 29. (Septembre 2007) Dans un jeu de 32 cartes, on a remplacé une carte autre que l as de pique par un second as de pique. Une personne prend au hasard et simultanément trois cartes du jeu. Quelle est la probabilité qu elle s aperçoive de la supercherie? 3 Probabilités conditionnelles Exercice 30. On jette deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité qu au moins l un d entre eux montre 6? Quelle est la probabilité qu au moins l un d entre eux montre 6, sachant que les deux résultats sont différents? Exercice 31. On jette 2 dés. Calculer la probabilité pour que la somme obtenue soit au moins égale à 10. Calculer la probabilité pour que la somme obtenue soit au moins égale à 10 sachant que l un des dés à donné un 5. Exercice 32. On tire 2 cartes dans un jeu de 52. Quelle est la probabilité pour que la deuxième soit noire. Exercice 33. Dans une ville, 36% des familles possèdent un chien et 22% de celles qui ont un chien possèdent aussi un chat. De plus, 30% des familles ont un chat. Quelle est la probabilité qu une famille séléctionnée au hasard possède un chien et un chat? Quelle est la probabilité qu une famille choisie au hasard possède un chien sachant qu elle a un chat? Exercice 34. Une compagnie d assurances répartit ses clients en trois classes : personnes à bas risque, risque moyen et haut risque. Ses statistiques indiquent que la probabilité pour qu une personne ait un accident au cours d une année est de 0, 05, 0,15 et 0,30 pour les personnes à bas, moyen et haut risque, respectivement. On estime que 20% de la population est à bas risque, 50% est à risque moyen et 30% est à haut risque. Quelle proportion des clients ont un accident ou plus au cours d une année donnée? Si un client n a pas eu d accident en 2001, quelle est la probabilié qu il fasse partie de la classe à bas risque? Exercice 35. On considère un stock d ampoules électriques. 70% viennent de l usine 1 et 30% de l usine 2. Il y a deux types d ampoules : type A et type B. L usine 1 produit 80% d ampoules de type B et l usine 2 en produit 60%. On prélève au hasard une ampoule dans le stock. 1) Quelle est la probabilité qu elle soit de type B? 2) Quelle est la probabilité qu elle sorte de l usine 1 sachant qu elle est de type B? Exercice 36. Une carte a été perdue dans un jeu de 52 cartes mais on ignore laquelle. 1) On tire au hasard une carte dans ce jeu incomplet ; quelle est la probabilité que ce soit l as de coeur? 2) Quelle est la probabilité que la carte perdue soit l as de coeur sachant qu on a tiré l as de trèfle? 5

6 Exercice 37. Un examen systématique de dépistage est institué pour détecter une maladie X. On sait que dans la population générale le risque d avoir cette maladie est de alors que dans la population dite à risque, il est de 0.2. L examen donne des faux positifs" avec une probabilité de 0.1 et des faux négatifs" avec une probabilité de 0.3. Un individu subit un examen qui se révèle positif ; quelle est la probabilité qu il soit malade 1) s il fait partie de la population générale? 2) s il fait partie de la population à risque? Exercice 38. On jette 2 fois un même dé. Soient A, B, C les évènements suivants : 1) A : la somme des points vaut 6". B : on obtient 4 au premier jet". C : la somme des points vaut 7". 2) A : le premier jet est impair". B : le second jet est impair". C : la somme des points est impaire". A, B et C sont-ils indépendants deux à deux? Dans leur ensemble? Exercice 39. 1) Considérons un pays où il fait beau en moyenne 7 jours sur 10. Dans ce pays, deux stations de radio diffusent chaque matin un bulletin de prévisions météorologiques pour la journée. Une longue expérience a montré à Monsieur Eco que la station R avait raison, en moyenne, 95 fois sur 100, tandis que la station E n avait raison, en moyenne, que 90 fois sur 100. Un certain matin, M. Eco doit sortir, il écoute alors les deux stations : R annonce qu il pleuvra et E qu il fera beau. Doit-il prendre son parapluie? (On fera des hypothèses d indépendance qui s imposent et on admettra que chaque station a la même fiabilité dans ses prévisions optimistes et dans ses prévisions pessimistes.) 2) Quelle est la conclusion s il fait beau 6 jours sur 10? S il fait beau tous les jours? Exercice 40. (Contrôle continu avril 2005) Un virus est présent dans une population. Un individu étant tiré au hasard, on note M l événement l individu est porteur du virus, S l événement l individu n est pas porteur du virus, et l on note p = P (M). On effectue un test de dépistage. On note + l événement le test est positif et l événement le test est négatif. On obtient expérimentalement les propriétés suivantes sur un échantillon de la population. (i) Calculer P(+) en fonction de p, r et s. (ii) Calculer P(M +) en fonction de p, r et s. P(+ M) = r ; P(+ S) = s. (iii) Application numérique. On donne r = 0, 99, s = 0, 001. Calculer numériquement P(M +) dans les deux cas suivants. (a) p = 0, 001 ; (b) p = 0, 3. (iv) Dans lequel de ces deux cas peut-on dire que le test est bon? Exercice 41. (Juin 2004) Deux écoles distinctes A et B forment des ingénieurs en informatique. L école A forme 1/3 des ingénieurs de ces deux écoles. Une entreprise recrute ses ingénieurs informaticiens de ces deux écoles. 6

7 A l issue du recrutement on constate que 20% des ingénieurs de l école A et 30% des ingénieurs de l école B ont été recrutés par cette entreprise. On notera A, B, R les événements respectifs l ingénieur vient de l école A, l ingénieur vient de l école B et l ingénieur est recruté. (i) Calculer P (R), la probabilité pour qu un ingénieur (pris au hasard parmi tous les ingénieurs formés par ces deux écoles) soit recruté. (ii) Quelle est la probabilité pour qu un ingénieur pris au hasard provienne de l école A sachant qu il a été recruté. (iii) Quelle est la probabilité pour qu un ingénieur pris au hasard provienne de l école B sachant qu il a été recruté. On exprimera les données de l exercice en fonction des événements A, B et R, et on donnera les valeurs exactes des probabilités recherchées. On citera le nom des formules du cours utilisées. Exercice 42. (Juin 2005) Dans un élevage, on a décelé une maladie A. La probabilité pour qu un animal soit atteint par cette maladie est 2/10. Sachant qu un lapin est atteint par la maladie A, la probabilité qu il présente une réaction positive à un test B est 9/10. Par contre, s il n est pas atteint par la maladie A, la probabilité qu il présente une réaction négative au test B est 95/100. (i) Calculer la probabilité pour qu un lapin, pris au hasard, présente une réaction positive au test B. (ii) En déduire la probabilité pour qu un lapin, pris au hasard soit atteint par la maladie A sachant qu il présente une réaction positive au test B. Exercice 43. (Septembre 2005) La proportion réelle des électeurs votant pour le candidat A est p. Au cours d un sondage, un électeur qui va réellement voter pour le candidat A répond honnêtement avec la probabilité 90%. Ceux qui ne voteront pas pour A répondent honnêtement à 99%. (i) Calculer en fonction de p la probabilité q pour qu un électeur, pris au hasard, réponde qu il va voter pour A. (ii) En déduire en fonction de p la probabilité r pour qu un électeur, pris au hasard, vote réellement pour A sachant qu il a répondu qu il vote pour A. (iii) Application numérique. Calculer q et r lorsque p = 5% et p = 45%. Exercice 44. (Septembre 2007) Lors des huitièmes de finale de la coupe de France, une équipe de ligue 1 peut rencontrer une équipe de ligue 1 (huit équipes possibles), une équipe professionnelle de niveau inférieur (cinq équipes possibles) ou une équipe amateur (deux équipes possibles). L entraîneur estime que son équipe a une chance sur deux de battre une équipe de même niveau, deux chances sur trois de battre une équipe professionnelle de niveau inférieur et neuf chances sur dix de battre une équipe amateur. 1. Quelle est la probabilité que l équipe se qualifie pour les quarts de finale? 2. Quelle est la probabilité qu elle ait rencontré une équipe amateur, sachant qu elle a été éliminée lors des huitièmes de finale? 7

8 4 Variables aléatoires discrètes Exercice 45. Une famille de dauphins est composée de 6 femelles et 4 mâles. On choisit au hasard, dans cette famille, un groupe de 4 dauphins. Soit Y la variable aléatoire représentant le nombre de femelles que l on peut observer dans ce groupe. Déterminer sa loi de probabilité, sa fonction de répartition, son espérance et sa variance. Exercice 46. Soit Y la variable aléatoire représentant le nombre de garçons que l on peut observer dans une famille de 6 enfants. Déterminer sa loi de probabilité, son espérance et sa variance. Exercice 47. On jette 2 dés non pipés. Soit X la variable aléatoire représentant la somme des chiffres obtenus. (i) Déterminer la loi de probabilité de X. (ii) Calculer son espérance et sa variance. (iii) Calculer la probabilité des évènements : X 6, X < 4 et 2 X < 8. (iv) On pose Y = 2X. Quelles sont l espérance et la variance de Y? Exercice 48. On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit X la variable aléatoire associant à la carte tirée sa valeur selon la règle suivante : 4 pour un as, 3 pour un roi, 2 pour une dame, 1 pour un valet et 0 pour toute autre carte. (i) Déterminer la loi de probabilité de X. (ii) Calculer la probabilité de l évènement X 2. (iii) Calculer l espérance et la variance de X. (iv) On pose Y = X. Quelles sont l espérance et la variance de Y? Exercice 49. Soit X une variable aléatoire d espérance 10 et variance 3. Calculer l espérance, la variance et le moment d ordre 2 des variables suivantes : Y = 2X + 3; Z = 1 X 2 ; T = X 5 2; U = 2X 3 3 Exercice 50. Soit X une variable aléatoire réelle. Comment faut-il choisir a et b pour que la variable Y = ax + b soit centrée et réduite? Exercice 51. On lance deux dés discernables. On note X le plus grand des numéros obtenus, et Y le plus petit. 1) Déterminer les lois de X et Y. 2) Calculer E(X) et E(Y), puis les comparer. 3) Calculer V(X) et V(Y). 8

9 Exercice 52. Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : X P (X = k) ) Calculer et représenter graphiquement la fonction de répartition de X. 2) Calculer les quantités P (X < 4.5), P (X 2) et P (2 X < 4.5). Exercice 53. Soit X la variable aléatoire discrète définie par P (X = 0) = (1 p) 2, P (X = 1) = 2p(1 p) et P (X = 2) = p 2. où p est un paramètre réel avec 0 p 1. (i) Vérifier qu on a bien défini ainsi une loi de probabilité. (ii) Calculer l espérance et la variance de X. (iii) On pose Y = 3X + 1. Quelles sont l espérance et la variance de Y? Exercice 54. Soit X la variable aléatoire de loi P (X = k) = q k 1 p, pour tout k N où 0 < p < 1 et q = 1 p. 1) Vérifier que P est bien une probabilité. 2) Calculer E(X) Exercice 55. Soit a R + et X la variable aléatoire à valeurs dans {1, 2,..., 5} dont la loi de probabilité est : P (X = k) = 1 (k a)2 6a 1. Pour quelle(s) valeurs de a, la loi définie ci-dessus est bien une loi de probabilité? 2. Calculer l espérance et la variance de X. Exercice 56. Soit a R + et X une variable aléatoire à valeurs dans {1, 2,..., 8}, dont la loi de probabilité est : P (X = k) = ak(8 k). On rappelle que : n i = i=1 n(n + 1), 2 n i 2 = i=1 n(n + 1)(2n + 1), 6 n i=1 i 3 = n2 (n + 1) Pour quelle(s) valeurs de a, la loi ci-dessus définit bien une loi de probabilité? 2. Calculer l espérance de X. Exercice 57. Dans une entreprise, une machine produit des pièces dont les dimensions très précises doivent être respectées. (i) Après un premier réglage, on constate que la probabilité pour une pièce d être défectueuse est de 1/3. On examine 5 pièces choisies au hasard dans la production. Soit X la variable aléatoire "nombre de pièces défectueuses parmi les 5". 9

10 Quelle sont la loi, l espérance et la variance de X? Quelle est la probabilité pour qu il n y ait pas de pièce défectueuse? Quelle est la probabilité pour qu il n y ait pas plus d une pièce défectueuse? (ii) Après un second réglage, la probabilité pour une pièce d être défectueuse tombe à On examine maintenant un lot de 100 pièces. Calculer la probabilité : de ne pas trouver de pièce défectueuse, de trouver deux pièces défectueuses, de trouver un nombre de pièces défectueuses compris entre un et trois (au sens large). Exercice 58. Un commerçant estime que la demande d un certain produit saisonnier est une variable aléatoire X de loi, c R : P(X = k) = cpk (1 + p) k, k N 1 Déterminer c pour que la loi ci-dessus soit une loi de probabilité. 2 Calculer l espérance et la variance de X. 3 Connaissant son stock s, calculer la probabilité de rupture de stock. Exercice 59. Soit X une variable aléatoire de loi Binomiale B(8, 1/2) et Y une variable aléatoire de loi de Poisson P (6). 1. Donner leur espérance et leur variance. 2. Calculer la probabilité des événements X > 6, 1 X 4, Y 2, 5 < Y 8 Exercice 60. On admet que le nombre de défauts X sur le verre d une ampoule obéit à une loi de Poisson de paramètre λ = 4. Calculer la probabilité des évènements suivants : 1. L ampoule est sans défaut. 2. Il y a plus de deux défauts sur l ampoule. 3. Il y a entre trois et sept défauts sur l ampoule. Exercice 61. Le nombre de rhumes attrapés en un an par un individu est une variable aléatoire de Poisson de paramètre 5. Un médicament réduit ce paramètre à 3 (lorsqu il fait de l effet). La probabilité pour que ce médicament fasse de l effet est 0,75. Un individu essaie ce médicament et attrape deux rhumes dans l année. Quelle est la probabilité pour que ce médicament ait eu un effet sur cet individu? Exercice 62. Une urne contient six boules rouges et quatre bleues. On tire une boule et on gagne 5 francs si elle est bleue. 1) Construire une variable aléatoire X qui représente les deux états possibles du jeu ; donner sa loi, son espérance et sa variance. 2) On joue maintenant 5 fois de suite (on remet la boule tirée en jeu à chaque fois). Quels sont les gains possibles et avec quelles probabilités? Combien peut-on gagner en moyenne? 10

11 Exercice 63. Soit un restaurant de 50 places. La probabilité qu une personne ayant réservé une table ne vienne pas est de 20%. Un jour, le restaurateur a pris 52 réservations. Quelle est la probabilité qu il se retrouve dans une situation embarrassante? Exercice 64. On admet que la probabilité d apparition d une maladie M chez un individu est de 2%. Combien de personnes faut-il examiner pour que la probabilité de trouver au moins un malade soit supérieure à 95%? On donne log ; log ; log Exercice 65. Un bureau de contrôle de fabrication doit étudier le nombre de pannes d un certain type d appareil durant un intervalle de temps T. Soit N la variable aléatoire égale au nombre de pannes ct (ct )k d un appareil pendant ce temps T. On admet que P (N = k) = e k! paramètre positif. Pour une période de 24 heures, c vaut 1/6. Calculer la probabilité pour que dans une journée il y ait : - aucune panne - 4 pannes - au moins 1 panne. (On donne e ). où k N et c est un Exercice 66. (Juin 2009) On suppose que le temps d attente T (exprimé en minutes) entre le passage de deux RER consécutifs suit une loi géométrique de paramètre 1 4 (c est-à-dire le temps s écoulant entre le départ d un RER et l arrivée du suivant). 1. Quel est le temps moyen d attente? Calculer la variance de T. 2. Calculer P (T > t). 3. Quelle est la probabilité d attendre strictement plus de 10 minutes? Quelle est la probabilité que le temps d attente du prochain RER soit inférieure ou égale à 10 minutes? Calculer P (T > 10 T > 5)? Exercice 67. (Juin 2009) Dans une chaîne de production de paquets de bonbons, une machine dépose dans un paquet un nombre aléatoire 25 + X de bonbons où X est une variable aléatoire discrète à valeurs dans 2, 1, 0, 1, 2 de loi de probabilité : où p est un nombre réel positif. k P (X = k) p 2p 4 4 p 1 2 2p 1. Pour quelle(s) valeur(s) de p la distribution donnée est-elle une loi de probabilité? 2. Quel est le nombre moyen de bonbons déposés par la machine (que l on exprimera en fonction de p)? 3. On suppose dans cette question que p = 1 8. L entreprise décide de retirer de la vente tous les paquets de bonbons contenant 23 ou 24 bonbons. On suppose que la machine produit 50 paquets de bonbons (de manière indépendante) et on note Y le nombre de paquets de bonbons produits pouvant être vendus. 11

12 (a) Déterminer la loi de probabilité de Y. Que valent E(Y ) et V ar(y )? (b) Quelle est la probabilité i. que les 50 paquets de bonbons puissent être vendus? ii. qu aucun des 50 paquets de bonbons ne puisse être vendu? iii. qu au moins 48 des 50 paquets de bonbons puissent être vendus? *************************************************************** 12

13 5 Lois à densité Exercice 68. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer les valeurs possibles des paramètres a, b tels qu on obtienne une fonction de densité d une variable aléatoire réelle. 1. f(x) = ae bx si x 0 et f(x) = 0 sinon 2. f(x) = ae bx2, sachant que + e x2 dx = π. Exercice 69. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [1; + [ de fonction de densité p définie par p(x) = αx Déterminer α et la fonction de répartition de X. 2. Calculer l espérance et la variance de X. Exercice 70. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [1; e] dont la fonction de répartition est donnée par F (x) = ln x si x [1; e], F (x) = 0 sinon 1. Calculer la probabilité P (3/2 X 2). 2. Déterminer la fonction de densité de X. 3. Calculer l espérance mathématique et la variance de X. 4. Soit Y = (ln X) Calculer E(Y ). Exercice 71. Soit X une v.a. dont la loi admet la densité : f(x) = x si x [0, 1] f(x) = 2 x si x [1, 2] f(x) = 0 sinon 1. Déterminer la fonction de répartition F de X. Tracer son graphe ainsi que celui de f. 2. Donner le mode et la médiane de la loi de X. 3. Calculer E(X) et V ar(x). 4. Calculer p 1 = P ( X 1 < 1/2) 5. On pose Y = ln X. Déterminer la fonction de répartition et la densité de probabilité de Y. 6. On pose Z = (X 1) 2. Déterminer la fonction de répartition et la densité de probabilité de Z. Exercice 72. Soit X une v.a. continue de densité : 1. Vérifier que f est bien une densité. f(x) = 1 x+1 si 0 x e 1 = 0 sinon 2. Calculer p 1 = P (X > 1) et p 2 = P (0.7 < X < 1.7). 3. Déterminer la fonction de répartition F de X. 13

14 4. Déterminer la loi de la v.a. Y = ln(x + 1). 5. Déterminer la loi de la v.a. Z = X 2. Exercice 73. Soit X une variable aléatoire réelle absolument continue de fonction de répartition F X et de densité f X. Exprimer en fonction de F X et f X la fonction de répartition F Y et la densité f Y de la variable aléatoire lorsque 1. Y = 2X Y = X 2 Exercice 74. La durée du processus d atterrissage d un avion est le temps T, mesuré en minutes, qui s écoule entre la prise en charge par la tour de contrôle jusqu à l immobilisation sur la piste. On estime que le temps T est une variable aléatoire de densité f définie par : f(t) = { te t si t 0 0 sinon 1 Calculer l espérance et la variance de T. 2 Déterminer la fonction de répartition de T. 3 Quelle est la probabilité que : a T dépasse 2 minutes? b T soit compris entre 45 secondes et 3 minutes? c T soit inférieur à 4 minutes sachant qu il dépasse 2 minutes? Exercice Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Montrer que s R +, t R +, P (X > t + s X > s) = P (X > t) 2. La durée de vie d un certain type d ampoules est une variable aléatoire T continue dont la densité de probabilité est donnée par f(t) = 0.05 exp( 0.05t) si t 0, 0 sinon an prenant le mois comme unité de temps. Quelle est l espérance de vie d une telle ampoule? Quelle est la probabilité pour que la durée de vie d une ampoule soit supérieure à 2 ans? Quelle est la probabilité que la durée de vie d une ampoule dépasse 3 ans, sachant qu elle est supérieure à 1 an? Exercice 76. Soit la fonction Γ du paramètre réel a > 0 définie par l intégrale Γ(a) = + 0 x a 1 e x dx 1. Montrer que Γ(a + 1) = aγ(a). En déduire la valeur de Γ(n) lorsque n N. 14

15 2. Soit la fonction f a (x) définie par f a (x) = kx a 1 e x si x 0 et f a (x) = 0 si x < 0. Déterminer en fonction du paramètre a la valeur de la constante k pour que f a soit une densité de probabilité. Soit X la variable aléatoire réelle continue admettant f a comme densité de probabilité. Déterminer E(X) et V (X). Exercice 77. Loi de Pareto. 1. Montrer que la fonction définie par f(x) = 375 x 4 si x 5 et f(x) = 0 si x < 5 est une densité d une variable aléatoire X sur [5; + [. Calculer son espérance et sa variance. 2. Soient c et α deux réels strictement positifs. Montrer que la fonction définie par f(x) = αc α x (1+α) si x c et f(x) = 0 si x < c est une densité d une variable aléatoire X sur [c; + [. Calculer son espérance et sa variance. Exercice 78. (Septembre 2004) Soit α > 0 et soit f la fonction définie sur [0, 1] par f(x) = cx α 1. (i) Déterminer c en fonction de α pour que f soit une densité de probabilité sur [0, 1]. (ii) On choisit désormais c comme ci-dessus. Soit X une variable aléatoire de densité f. Déterminer la fonction de répartition de X. (iii) Calculer E[X] et var(x) en fonction de α. (iv) Déterminer α lorsque E[X] = 2/3. Exercice 79. (Juin 2007) Soit X une variable aléatoire continue de densité de probabilité f définie par { 3 f(x) = 4 (1 x2 ) si 1 x 1 0 sinon. 1. Vérifier qu il s agit bien d une densité de probabilité. 2. Déterminer la fonction de répartition de X. 3. Calculer les probabilités : 4. Calculer l espérance de X. 5. Calculer la variance de X. P ( X < 1 ) (, P X > 1 ), P (2 X 1). 2 2 Exercice 80. (Septembre 2007, Questions 1 à 3) Soit X une variable aléatoire réelle suivant une loi de Pareto de paramètre α > 1 et r > 0, c est-à-dire, de loi de densité f(x) = αrα x α+1, x > r 15

16 1. Vérifier que f est une densité de probabilité. 2. Déterminer la fonction de répartition F de X. 3. Calculer l espérance de X. 4. Calculer la variance de X. 5. Calculer P(X > a), a > 0. Exercice 81. (Juin 2008) X est une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre Déterminer la fonction de répartition de X. 2. Calculer P (X > 5), P (1 < X < 3) et P (X > t + 1 X > t) pour t > 0. Exercice 82. (Juin 2008) Soit X une variable aléatoire réelle de densité de probabilité { a(x x R, f(x) = 2 + 1) exp( x) si x 0 0 si x < 0 Note : on pourra utiliser la formule + 0 x n e x dx = n! 1. Calculer a pour que f soit une densité de probabilité. 2. Calculer l espérance puis la variance de X. Exercice 83. (Septembre 2008) Soit f une fonction définie de R dans R par f(x) = c si x > 1 et 0 sinon. x4 1. Pour quelle(s) valeur(s) de c la fonction f est-elle une densité de probabilité? 2. Soit X une variable de loi f. (a) Déterminer la fonction de répartition de X. (b) Calculer P (X > 2) et P (2 X < 3). (c) Calculer E(X) et V ar(x). Exercice 84. (Juin 2009) Soit X une variable aléatoire réelle de densité de probabilité x R, f(x) = 1. Déterminer la fonction de répartition de X. 2. Calculer P (X < 1), P (X > 2) et P (1 X 2). { x exp( x 2 2 ) si x 0 0 si x < 0 3. Quelle est la densité de probabilité d une loi normale centrée réduite (c est-à-dire de moyenne 0 et variance 1)? En déduire la valeur de l intégrale + 0 x 2 exp( x2 2 )dx. 16

17 4. Déterminer l espérance de X. 5. Calculer la variance de X. Exercice 85. (Juin 2009) On suppose que lors d une crue, le niveau d un fleuve augmente de X mètres, où X est une variable aléatoire réelle suivant une loi exponentielle de paramètre Quelle est l augmentation moyenne du niveau du fleuve lors d une crue? 2. Pour protéger une des berges du fleuve, on construit une digue de deux mètres. (a) Quelle est la probabilité que les berges du fleuve soient inondées lors d une crue? (b) Quelle devrait être la hauteur h de la digue pour que la probabilité que les berges soient inondées soit inféireure ou égale à 1 e 3? Exercice 86. (Septembre 2009) Soit X une variable aléatoire réelle de densité de probabilité { x exp( x) si x 0 x R, f(x) = 0 si x < 0 1. Montrer que f est bien une densité de probabilité. 2. Déterminer la fonction de répartition de X. 3. A l aide de la fonction de répartition, calculer les quantités P (X < 2), P (X > 3), P (2 X 3). 4. En utilisant la formule + 0 x n e x dx = n!, donner l espérance puis la variance de X. 6 Couples de variables discrètes Exercice 87. Soient X et Y des variables aléatoires discrètes dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant. X \ Y ,10 0,05 0,15 0,05 1 0,15 0,20 0,25 0,05 (i) Vérifier que ce tableau définit bien une loi de probabilité bivariée. (ii) Quelle est la loi marginale de X? (iii) Quelle est la loi marginale de Y? (iv) Calculer P(Y 0 X = 1). (v) Calculer E[X], E[Y ], var(x), var(y ) et cov(x, Y ). Exercice 88. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant : X \ Y c/8 c/ c/8 3c/8 c/8 17

18 (i) Déterminer la constante c telle que ce tableau définisse bien une loi de probabilité. (ii) Calculer E[X], E[Y ]. (iii) Calculer var(x), var(y ). (iv) Calculer cov(x, Y ). Exercice 89. Soit (X, Y ) deux variables aléatoires discrètes telles que X est à valeurs dans {1, 2, 3, 4} et Y est à valeurs dans {1, 2}. On définit la loi conjointe de X et Y par P (X = i, Y = j) = p ij = 1 ij 7 (1 30 ). 1. Vérifier qu on a bien une loi de probabilité. 2. Déterminer les lois marginales. 3. Déterminer les lois conditionnelles de X sachant (Y = 1) et de Y sachant (X = 2). Exercice 90. Soient X et Y deux variables aléatoires réelles dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant. Y \ X /4 1/6 1/4 1 1/8 p + 1/12 p + 1/8 1. Que doit vérifier p pour que ce tableau représente la loi jointe d un couple de variables aléatoires? 2. Calculer la loi de X ainsi que E(X). Même chose pour Y. 3. Déterminer la covariance de (X, Y ). Pour quelles valeurs de p le couple (X, Y ) est-il de corrélation nulle? 4. Quelle est la loi conditionnelle de X sachant (Y = 0)? 5. Existe-t-il des valeurs de p qui rendent X et Y indépendantes? Exercice 91. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant. Y \ X Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 2. Calculer la covariance de X et Y. 3. Déterminer la loi de la variable aléatoire S = X + Y. Exercice 92. Une urne contient 3 boules numérotées 1, 2 et 3. On extrait sans remise 2 boules de l urne. Soit X la variable aléatoire représentant le numéro de la première boule sortie et Y la moyenne arithmétique des numéros des 2 boules. (i) Déterminer les lois de probabilité de (X, Y ), de X et Y. 18

19 (ii) Calculer cov(x, Y ). Exercice 93. Une urne contient 6 boules nuémrotées de 1 à 6. On tire deux boules au hasard sans remise. On considère les deux variables aléatoires suivantes : X : Plus petit des nombres et Y : Somme des nombres. 1. Déterminer la loi du couple (X, Y ) 2. En déduire les lois marginales de X et Y. Calculer E(X), E(Y ), V ar(x), V ar(y ). 3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 4. Déterminer la loi conditionnelle de Y sachant (X = 2). Calculer l espérance et la variance de cette distribution. Exercice 94. Reprendre l exercice précédent lorsque le tirage se fait avec remise. Exercice 95. On dispose de deux dés ; l un a 2 faces blanches et 4 faces rouges, l autre a 3 faces blanches, 1 face rouge et 2 faces vertes. On lance les deux dés et on s intéresse aux couleurs blanche et verte. Soit X le nombre aléatoire de faces blanches apparues sur les deux dés, et Y le nombre aléatoire de faces vertes. 1. Déterminer la loi du couple (X, Y ) et les lois marginales de X et Y. 2. Calculer E(X), E(Y ). 3. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant (Y = 2). Exercice 96. Une variable aléatoire X peut prendre les valeurs -1,0,1 avec les probabilités respectives p 2, 1 p, p 2. Calculer la covariance de X et X2. Exercice 97. Soient X et Y deux variables indépendantes de loi : P (X = k) = 0.8(0.2) k 1 k = 1, 2, 3... P (Y = r) = 0.5(0.5) r 2 r = 2, 3, Vérifier que k P (X = k) = 1 et r P (Y = r) = Quelle est la loi du couple (X, Y )? 3. Déterminer la loi de la variable X + Y. 4. Calculer la probabilité que X + Y soit supérieure ou égale à 4. Exercice 98. Une entreprise emploie 10 personnes : les 2 patrons, 3 employés et 5 ouvriers. Un journaliste s intéressant à cette PME décide d interviewer 3 personnes au hasard. Soit X le nombre de patrons et Y le nombre d ouvriers parmi ces 3 personnes interrogées. (i) Déterminer les lois, les espérances et les variances de X et de Y. (ii) Déterminer la loi du couple (X, Y ). Retrouver les lois de X et de Y. (iii) X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 99. (Juin 2008) Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes de loi jointe : 19

20 1. Déterminer les lois marginales de (X, Y ). 2. Calculer E(X) et E(Y ). 3. Calculer Cov(X, Y ). XY /12 1/6 1/ /4 1/6 1/12 1/6 4. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 100. (Septembre 2008) Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes de loi jointe : 1. Calculer E(X) et E(Y ). 2. Calculer Cov(X, Y ). XY /24 7/24 1/24 1 6/24 3/24 2/24 Exercice 101. (Juin 2009) Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes de loi jointe : XY Donner les lois marginales de X et Y. Calculer leurs espérances. 2. Calculer la covariance Cov(X, Y ). Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 3. Calculer P (X = 1 Y = 2) et P (X = 3 Y = 2). Exercice 102. (Septembre 2009) Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes de loi jointe : XY Donner les lois marginales de X et Y. Calculer leurs espérances. 2. Calculer la covariance Cov(X, Y ). Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 3. Calculer P (X = 2 Y = 2). En justifiant en une phrase, en déduire P (X = 1 Y = 2). 7 Couples de variables aléatoires réelles Exercice 103. Soient (X, Y ) un couple de variables aléatoires continues. Soit f la densité de la loi jointe du couple (X, Y ) donnée par : f(x, y) = { x y si 0 < y x 1 0 sinon 20

21 1 Déterminer les densités marginales de X et Y. 2 Calculer cov(x, Y )? 3 X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 104. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires continues dont la densité de probabilité est définie par h(x, y) = kx 2 y (x, y) [ 1, 1] [0, 1] h(x, y) = 0 ailleurs 1. Déterminer en fonction de k les densités marginales f(x) et g(y) des variables aléatoires X et Y. En déduire la valeur de la constante k. 2. Déterminer la densité de la variable aléatoire X conditionnée par l évènement (Y = y). 3. Déterminer la densité de la variable aléatoire Y conditionnée par l évènement (X = x). 4. Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 105. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles de loi jointe où C est un nombre réel. 1. Déterminer C. { (x, y) R 2 C(y, f(x, y) = 4 + x 4 ) si (x, y) [ 1, 1] [0, 1] 0 sinon 2. Déterminer les lois marginales de X et de Y. 3. Calculer cov(x, Y ). 4. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant Y = 0 et Y sachant X = Les variables X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 106. Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles de loi jointe : (x, y) R 2, f(x, y) = { 2xe y si x [0, 1] et y R + 0 sinon 1. Déterminer les lois marginales de X et Y. 2. Calculer cov(x, Y ). 3. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant Y = Déterminer laloi conditionnelle de Y sachant X = 1/2. 5. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 107. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes et de lois exponentielles de paramètres respectifs λ et µ. 1. Soit U le maximum de X et Y, c est-à-dire U = max(x, Y ). Déterminer la loi de U. 21

22 2. Soit V le minimum de X et Y, c est-à-dire V = min(x, Y ). Déterminer la loi de V. 3. Déterminer la loi de S = X + Y. Exercice 108. Une digue est haute de 4.5 mètres. On suppose que l amplitude (en m) d une vague est une variable aléatoire de loi uniforme sur [1, 5]. 1. Quelle est la probabilité qu une vague dépasse la digue? 2. On observe trois vagues et on suppose que les amplitudes X 1, X 2, X 3 sont indépendantes et identiquement distribuées. Quelle est la probabilité que de l eau franchisse la digue? 3. Quelle devrait être la hauteru de la digue pour que cette probabilité soit de 10%? 4. Un repère enregistre l amplitude maximale Y de trois vagues. Quelle est son espérance? Exercice 109. Juin 2008 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles de loi jointe : f(x, y) = Déterminer les densités marginales de X et Y. { 3 4 x y si x [0, 1] et y [0, 2] 0 sinon Exercice 110. Juin 2009 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles de loi jointe : { 1 f(x, y) = 4 (y + x)e x si y [0, 2] et x 0 0 sinon 1. Déterminer les densités marginales de X et Y. 2. Calculer la densité conditionnelle de Y sachant (X = 1). 3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? Exercice 111. Septembre 2009 Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles de loi jointe : { a(x f(x, y) = 2 + y)e x si x [0, 1] et y (0, 1] 0 sinon 1. Déterminer a pour que f soit bien une densité de probabilité. 2. Calculer les densités marginales de X et Y. 3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes? 22

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