FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE MEMOIRE DE MAGISTER OPTION : PHYSIQUE DES MATERIAUX. Présenté par : Zahia KEBCI.

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1 MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI DE TIZI-OUZOU FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE MEMOIRE DE MAGISTER OPTION : PHYSIQUE DES MATERIAUX Présenté par : Zahia KEBCI Thème Modélisation FDTD de nano-structures métalliques périodiques :Application à la structure AAA Jury : Mémoire dirigé par : Abderrahmanne BELKHIR Soutenu le 19 Novembre 2012 Omar LAMROUS Professeur U.M.M.T.0 Président Abderrahmanne BELKHIR M.C.A U.M.M.T.0 Rapporteur Ali BOUKELLAL M.C.A U.M.M.T.O Examinateur Rabah MOKDAD Professeur U.M.M.T.O Examinateur

2 Remerciements Ce travail a été réalisé au laboratoire de Physique et Chimie Quantique (LPCQ) de l'université Mouloud MAMMERI de Tizi-Ouzou. A cet eet, je tiens à présenter mes remerciements et ma reconnaissance à tout le personnel du laboratoire. Et Je remercie le Professeur Omar LAMROUS de m'avoir accueillie au sein de son équipe. Je tiens particulièrement à remercier tout d'abord mon promoteur Monsieur Abderrahmane BELKHIR, Maître de conférences à l'université de Tizi Ouzou, pour avoir bien voulu diriger ce travail et pour m'avoir constamment aidée tout au long de ce dernier. Qu'il trouve ici mes très sincères remerciements et mon profond respect. Je tiens à remercier Monsieur Omar LAMROUS professeur à l'université Mouloud MAMMERI de Tizi ouzou, d'avoir bien voulu accepter de présider le jury. J'adresse toute ma gratitude à Monsieur Rabah MOKDAD professeur à l'université Tizi Ouzou et Ali BOUKELLAL maitre de conférences au sein de la même université pour l'intérêt qu'ils ont porté à ce travail en acceptant de faire partie du jury de cette thèse. Je tiens à exprimer ma reconnaissance et adresser mes très sincères remerciements à toutes les personnes qui ont contribué d'une manière ou d'une autre, au bon déroulement et à l'aboutissement de ce travail,en particulier Monsieur Mahdi HAMIDI et Madame Ouiza ARRAR. Je remercie bien évidemment toute ma famille pour son soutien permanent durant toutes ses années, je remercie mes parents d'avoir toujours été là à mes côtés, de m'avoir encouragée tout au long de mes études. Mes trois s urs Malha, Hassina et Djamila et mes trois frères Youcef, Kaci et Mouyoud. Et mes cousins Hocine, chabha, Lilia et Hakim. Enn, j' exprime ma dernière pensée à tous mes ami(e)s qui m' ont soutenue et encouragée durant mon cursus. 1

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4 Résumé Ce travail porte sur la modélisation des nano-objets par la méthode des diérences nies dans le domaine temporel (FDTD) pour des applications en optique. Les objets les plus ns sont pris en compte dans le maillage FDTD en considérant les techniques de sous-maillage ou du maillage non uniforme. La dispersion des métaux nobles dans la gamme optique est décrite par le modèle de Drude intégré à la FDTD. L'application envisagée concerne l'étude paramétrique de la transmission exaltée à travers la structure à ouvertures annulaires AAA (Annular apperture Array). L'eet des rayons interne et externe des ouvertures annulaires sur la longueur d'onde du mode TEM ainsi que sur son intensité est simulé. Mots-clés : Dispersion, FDTD, cristaux photoniques, structure AAA, mode TEM, PML 3

5 Table des matières Remerciements 4 Résumé 4 Table des matières 4 Table des gures 7 Introduction générale 7 1 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques Introduction Rappels sur les structures périodiques Exemples de structures de bande Applications des cristaux photoniques Défauts ponctuels et cavités Défauts linéaires et guides d'ondes Les propriétés optiques des métaux Modèle de Drude Structures métalliques : transmission exaltée Bref historique Structure AAA Les modes guidés dans une cavité coaxiale Mode Transverse Electrique et Magnétique (TEM) Mode Transverse Magnétique (TM) Mode Transverse Electrique (TE) Avantages de la structure AAA Conclusion Techniques de modélisation : Méthode FDTD 29 4

6 Table des matières Introduction Equations de Maxwell Equations de Maxwell aux diérences nies centrées Intégration du modèle de Drude à la FDTD Schéma de Yee Conditions aux limites Conditions aux limites périodiques Les conditions d'absorption aux frontières : PML de Berenger Stabilité et dispersion numérique Avantages et inconvénients de FDTD Avantages Inconvénients Sous maillage pour lisser des objets ronds Validation et limite de la technique Maillage non uniforme Conclusion Etude paramétrique de la structure AAA Introduction Excitation du mode TEM de la structure AAA Eet de l'épaisseur de la couche métallique et de la dispersion sur le mode TEM Eet de l'angle d'inclinaison sur la position et l'intensité du mode TEM Eet de polarisation sur la position et l'intensité du mode TEM Eet des rayons intérieur et extérieur sur la positon et l'intensité du mode TEM Eet du rayon intérieur R i Eet du rayon extérieur R e Conclusion Bibliographie 63 Conclusion générale

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8 Introduction générale A l'heure actuelle, les structures périodiques métalliques de taille nanométrique, appelées cristaux photoniques (CP) [1], constituent un grand champ d'investigation en nano-optique. Elles permettent de conner et de transmettre ecacement la lumière, ouvrant la voie à de nombreuses applications dans le domaine de la photonique (spectroscopie, ltrage, modulation,...). Citons comme exemple les réseaux de nano-particules d'or utilisés en plasmonique [2,3] notamment dans le domaine du SERS (Surface Enhanced Raman Scattering) et les structures métalliques à ouvertures sublongueur d'onde pour des applications de ltrage fréquentiel optique (FSS pour Frequency Selective Surfaces) [4] et de transmission exaltée [5,6,7]. L'interprétation et la compréhension de la propagation de l'onde électromagnétique dans ces nanostructures est de première importance et requiert un eort théorique considérable. En eet, la maitrise de l'interaction d'une onde électromagnétique avec ces nanomatériaux nécessite la résolution des équations de Maxwell. On a alors recours aux méthodes numériques qui sont nombreuses. La plus populaire d'entre elles est la méthode des diérences nies dans le domaine temporel FDTD (Finite Dirence Time Domain) [8] utilisée dans ce mémoire de Magister. Cette méthode, basée sur le schéma de Yee [9], présente l'avantage de travailler dans l'espace direct et permet de suivre l'évolution d'une onde électromagnétique en temps réel. Elle est large bande ; un seul calcul FDTD sut pour disposer des caractéristiques électromagnétiques de la structure étudiée sur une large gamme de fréquences. L'objectif de ce travail est d'appliquer cette méthode à l'étude paramétrique de la structure à ouvertures annulaires AAA (Annular Aperture Array) [10,11] tout en optimisant l'espace mémoire et le temps de calcul requis pour son exécution. En eet, la prise en considération d'objets ns dans le maillage FDTD implique un grand espace mémoire, et par conséquent un temps de calcul considérable. Pour s'aranchir de cette contrainte, ces objets ns et incurvés sont considérés dans la grille FDTD par l'intermédiaire des 7

9 8 Table des matières techniques de sous maillage et du maillage non uniforme. Dans le premier chapitre, les généralités sur les cristaux photoniques métalliques sont présentées. Nous nous sommes intéressés plus particulièrement à la structure métallique à ouvertures annulaires. Les diérents modes pouvant se propager à travers cette structure particulière sont décrits. Les avantages de cette structure par rapport à d'autres structures guidantes sont mentionnés. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation de la méthode des diérences nies dans le domaine temporel utilisée dans ce mémoire. La manière dont est intégré le modèle de Drude à la méthode FDTD, pour la prise en compte de la dispersion des métaux nobles (argent, or) dans la gamme optique, est présentée. Les conditions aux limites périodiques et absorbantes [12] pour décrire l'espace libre sont aussi introduites. Les deux techniques de sous-maillage et du maillage non uniforme sont incorporées. Des tests de validation de ces techniques sont eectués. La dernière partie de ce manuscrit concerne les travaux de simulation réalisés sur la structure à ouvertures annulaires (AAA). Une étude paramétrique est menée sur la transmission exaltée à travers cette structure via son mode TEM ; mode sans fréquence de coupure. L'eet des paramètres physiques et géométriques sur la position et l'intensité de ce pic TEM dans le cas de la structure AAA inclinée est étudié. Nous terminons ce travail par une conclusion générale résumant les principaux travaux réalisés au cours de ce mémoire. Des perspectives futures à ce travail sont données.

10 Chapitre 1 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques 1.1 Introduction Les cristaux photoniques sont un assemblage périodique d'objets diélectriques ou métallo-diélectriques avec une périodicité inférieure à la longueur d'onde à laquelle ils sont destinés [1]. Cette périodicité leur confère la possibilité d'empêcher la propagation des photons dans certaines directions. Ces cristaux, qui sont articiels, permettent d'envisager la réalisation des dispositifs nano-métriques pour la manipulation de la lumière. La première structure photonique créée est le miroir de Bragg (1915) réalisée par le physicien anglais Sir William Lawrence Bragg. Ce miroir est une succession de surfaces planes transparentes d'indices de réfraction diérents qui permet de rééchir 99,5% de l'énergie incidente grâce à des phénomènes d'interférences constructives. Ceci est possible à condition que l'onde incidente soit proche de l'incidence normale. En 1987 Eli Yablonovitch proposa d'étendre le concept des miroirs de Bragg aux fréquences micro-ondes et ce pour des incidences quelconques. Et ce n'est qu'en 1991 qu'il réalisa la première structure photonique 3D fonctionnant aux longueurs d'onde centimétriques [13]. Dans ce chapitre, nous rappellerons quelques notions de base relatives aux cristaux photoniques métalliques permettant leurs modélisations. Les diérents types de cristaux photoniques, leurs propriétés optiques ainsi que certaines de leurs applications seront rappelés. La structure métallique à ouvertures annulaires sera présentée. Les diérents 9

11 10 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques modes pouvant se propager à travers cette structure ainsi que ces avantages seront décrits. 1.2 Rappels sur les structures périodiques Les structures à bandes interdites photoniques (BIP) sont constituées d'éléments diélectriques ou métalliques qui se répètent de manière périodique suivant une, deux ou trois directions (gure1.1). Figure 1.1: Représentation schématique des cristaux photoniques unidimensionnels (1D), Bidimensionnels (2D) et Tridimensionnels (3D). Les structures périodiques 1D, connues sous le nom de miroirs de Bragg, sont les structures périodiques les plus simples et les plus anciennes. Elles sont constituées d'un empilement de couches d'indice diélectrique diérent et d'épaisseurλ/4, où λ représente la longueur d'onde du rayonnement guidé. Les bandes interdites de ces structures sont sensibles à l'angle d'incidence de l'onde. Pour obtenir des bandes interdites quel que soit l'angle d'incidence, il faut passer aux cas de structures 2D voir 3D. Cependant, ces dernières sont à nos jours diciles à réaliser. De ce fait, les structures bipériodiques, faciles à fabriquer expérimentalement, sont les plus utilisées. Les structures 2D sont périodiques suivant deux directions et invariantes dans la troisième direction. Elles sont classées selon la géométrie de leur réseau : réseau carré, triangulaire et hexagonal (gure 1.2) [14].

12 1.2. Rappels sur les structures périodiques 11 Figure 1.2: Structures 2D : a) carrée, b) triangulaire et c) hexagonale. Dans ces structures, on distingue deux types de polarisations pour les ondes électromagnétiques qui sont la polarisation transverse électrique (TE) et la polarisation transverse magnétique (TM) (voir chapitre 2). Leurs structures de bandes photoniques dépendent de la polarisation de l'onde électromagnétique, du type de réseau, du taux de remplissage de la structure, du motif élémentaire et du contraste d'indice [14] Exemples de structures de bande La gure 1.3 présente un exemple de diagramme de bande correspondant aux polarisations TE et TM obtenu par la méthode FDTD. Les points Γ, M et X sont les points de haute symétrie dans la zone de Brillouin. La maille est triangulaire, composée de trous d'air (n 1 = 1) de formes cylindriques plongés dans un milieu diélectrique d'indice de réfraction (n 2 = ). Pour la polarisation TE, la bande interdite photonique est située pour les valeurs de ωa/2πc allant de 0.35 à 0.52 et pour la polarisation TM elle est comprise entre 0.44 et La bande interdite correspondant au cas de la polarisation TE est dite partielle. Une bande interdite complète doit être commune pour les deux polarisations. Pour cet exemple, on remarque que la bande interdite du mode transverse magnétique (TM) est incluse dans celle correspondant à la polarisation TE, elle est donc une bande interdite totale [14]. Il a été montré que l'élargissement des bandes interdites photoniques peut être

13 12 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques Figure 1.3: Diagramme de bande d'une structure triangulaire diélectrique pour la polarisation TE et TM. obtenu avec un fort contraste d'indice. Les structures métallo-diélectriques permettent d'avoir des bandes interdites complètes assez larges. Figure 1.4: Structure à ouvertures annulaires (AAA) en argent 2-D avec a=75nm, b= 50nm et p=160nm. Sur la gure 1.4 on présente l'une de ces structures métallo-diélectriques qui est la structure métallique à ouvertures annulaires (Annular apperture Array) largement utilisée pour des applications de transmission exaltée et étudiée dans ce mémoire. La gure1.5 montre le diagramme de bande de cette structure AAA dans le cas de

14 1.3. Applications des cristaux photoniques 13 Figure 1.5: Diagramme de bande de la structure AAA en argent dans le cas de la polarisation TE. la polarisation TE. Sur cette gure, on observe la présence d'une bande interdite dans la gamme optique entre 492 nm et 630 nm. Cette bande est totale car les fréquences propres correspondant à la polarisation TM se trouvent au-dessus de la fréquence 0.45 c/p [15]. 1.3 Applications des cristaux photoniques La modulation périodique de la permittivité diélectrique est à l'origine de l'apparition de bandes d'énergie interdites, empêchant la propagation de la lumière dans certaines directions et pour certaines énergies. Cette propriété rendent les cristaux photoniques intéressants et permettent d'envisager leurs utilisations comme matériaux de base pour la réalisation de composants pour l'optique intégrée. La majorité des applications des cristaux photoniques diélectriques repose sur leurs bandes interdites photoniques (BIP) et la génération de fréquences permises à l'intérieur de cette BIP par l'introduction de défauts dans ces structures. Ces défauts sont généralement créés par omission d'un trou (défaut ponctuel) ou d'une rangée de trous (défaut linéaire) et sont utilisés pour la réalisation de cavités résonantes et de guides d'onde [16] Défauts ponctuels et cavités Un cristal photonique bidimensionnel est constitué en général soit d'un réseau de trous perforés dans un matériau diélectrique, ou de tiges diélectriques dans l'air. Un trou omis ou une tige manquante constitue un défaut localisé [17] (gure1.6). Si on injecte dans ce défaut un mode électromagnétique dont l'énergie est située dans la bande interdite du cristal photonique, ce mode se retrouve complètement conné vu qu'il est entouré d'un

15 14 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques matériau rééchissant à cette longueur d'onde. On forme alors ce qu'on appelle une cavité résonante dont la longueur d'onde de résonance dépend du volume de défaut localisé. Ces cavités peuvent être utilisées pour la réalisation des sources de lumières très intenses et localisées [18]. Figure 1.6: Exemple de cavité hexagonale [17]. Figure 1.7: Spectres de transmission d'un cristal hexagonal de tiges diélectriques avec ou sans défaut lacunaire [16].

16 1.3. Applications des cristaux photoniques 15 Sur la gure 1.7 sont comparés les spectres de transmission obtenus à travers un cristal 2D hexagonal et à travers la même structure mais en présence d'un défaut [16]. Dans le cas de la symétrie hexagonale sans défaut, on note la présence d'une bande interdite comprise entre 0.9 et 1.3µm. Après l'introduction du défaut localisé, un pic de transmission (un mode localisé) étroit est apparu dans la bande interdite à λ = 1.1µm [16,19].

17 16 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques Défauts linéaires et guides d'ondes Comme le connement de la lumière peut être obtenu en rompant la périodicité du réseau par l'introduction d'un défaut ponctuel, son orientation dans une direction donnée est également possible en créant un défaut linéaire formant ainsi un guide d'onde. Ces défauts linéaires sont construits en retirant (ou modiant) une ou plusieurs rangées de motifs du cristal photonique (gure 1.8.a). La direction d'alignement des cavités (défauts ponctuels) xe la direction de propagation permise pour les ondes électromagnétiques [16]. La chaîne de cavités forme donc un guide optique. La lumière ne pouvant pénétrer au sein du cristal photonique, elle est contrainte de se propager le long du défaut. La gure 1.8, illustre diérentes formes de défauts linéaires. Figure 1.8: Quelques exemples de structures guidantes dans un cristal photonique bidimensionnel [18]. Des eets de couplage dans un cristal photonique peuvent être obtenus en rapprochant les défauts ponctuels (gure 1.8.b). Dans le cas de cette gure, les cavités sont séparées les unes des autres par une seule rangée de motifs. On assiste, dans ces conditions, à un couplage de modes de résonance de cavités voisines. Les modes couplés se

18 1.4. Les propriétés optiques des métaux 17 dédoublent et le dédoublement se reproduit de cavité à cavité. On nit alors par obtenir une bande de transmission (une bande permise) au lieu du pic de transmission unique observé sur la gure 1.7. La chaîne de cavités forme donc un guide optique que l'on désigne sous l'acronyme CROW (Coupled Resonator Optical Waveguide). Les guides courbés permettent de réaliser des virages avec des rayons de courbure de l'ordre de la longueur d'onde. La gure 1.8.c présente un virage réalisé au sein d'un cristal photonique bidimensionnel. Le virage est constitué de deux bras faisant entre eux un coude. Une telle géométrie de guidage est inconcevable dans l'optique guidée classique. Et si un guide se recourbe sur lui-même (gure 1.8.d), on obtient un anneau. Seuls quelques modes peuvent rester dans cet anneau, et il est possible d'en coupler certains avec un guide rectiligne passant à proximité. On obtient ainsi un ltre très sélectif. Il est également possible de réaliser ce type de ltre en utilisant la sélectivité d'une cavité résonante couplée à des guides d'ondes. Comme on vient de le voir, les applications des cristaux photoniques diélectriques reposent essentiellement sur les bandes interdites photoniques. En remplaçant dans ces cristaux photoniques les motifs diélectriques par des objets métalliques, d'autres propriétés optiques très intéressantes peuvent être obtenues rendant plus vaste le domaine d'application de ces structures. 1.4 Les propriétés optiques des métaux Du fait qu'ils sont très rééchissants, les métaux sont très utilisés en nano-optique notamment pour la fabrication des cristaux photoniques pour des applications en plasmonique et en particulier en transmission exaltée [14]. Dans la gamme optique, le métal est dispersif, il est caractérisé par une constante diélectrique complexe et dépendant de la pulsation du champ électromagnétique ε(ω) = ε 1 (ω) + iε 2 (ω). Cette constante tient compte des transitions électroniques et des eets d'amortissement. Dans ce mémoire, la dispersion des métaux dans la gamme optique est prise en considération par le modèle de Drude Modèle de Drude Le modèle de Drude décrit le comportement des électrons libres dans le métal, il suppose que le métal massif est un ensemble de charges positives immobiles (les ions) et

19 18 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques de charges négatives libres (les électrons de conduction délocalisés dans tout le métal). Ce modèle ne tient compte que des transitions optiques sans changement de bandes, appelées transitions intrabandes. La fonction diélectrique du métal peut être obtenue en résolvant l'équation du mouvement d'un électron soumis à l'action d'un champ électromagnétique. Avec e : La charge de l'électron. m 2 r 2 t = mγ r D t e E e v B (1.1) E : Le champ électrique. B : Le champ magnétique. Γ D : Coecient d'amortissement de Drude. e E : Force électrique. e v B : Force magnétique est considérée négligeable devant la force électrique aux fréquences optiques. mγ D r t : Force des collisions. Pour une densité électronique n e, la densité de courant s'écrit : La résolution de l'équation 1.1 nous donne : J = ne e v = in e eω r (1.2) e E r = m (ω 2 + iγ D ω) On remplace (1.3) dans (1.2) on obtient : (1.3) J = n e e 2 m E (Γ D iω) = σ E

20 1.4. Les propriétés optiques des métaux 19 Avec σ = n ee 2 m (Γ D iω) En considérant les équations de Maxwell suivantes : rot H E = µ 0 t (1.4) (1.5) rot E H = ε 0 t + σ E (1.6) Pour une onde plane monochromatique de vecteurs champs électromagnétiques : E = E0 exp i( ωt) H = H0 exp i( ωt) H = ε0 E t + σ E = iωε 0 E + σ E (1.7) E = µ0 H t = iµ 0ω H (1.8) En combinant 1.7 et 1.8 : 2 E = µ0 ω 2 (ε 0 + i σ ω ) E (1.9) La constante diélectrique complexe est dénie : 2 E + k 2 E = 0 (1.10) ˆε = ε 0 + i σ ω (1.11) En remplaçant (1.4) dans (1.11) ; on aura la fonction diélectrique donnée par le modèle de Drude : ε D = 1 ω 2 p (ω 2 + iωγ D ) (1.12) ω 2 p = nee2 mε 0 : Pulsation plasma du métal.

21 20 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques 1.5 Structures métalliques : transmission exaltée Bref historique Les structures périodiques métalliques ont des propriétés intéressantes lorsque leurs dimensions sont inférieures à la longueur d'onde du rayonnement. Grâce à des résonances des plasmons de surface, elles permettent de conner et de transmettre ecacement la lumière dans des ouvertures très petites devant la longueur d'onde, ouvrant la voie à de nombreuses applications. En 1998, Ebbesen et al. [7] ont observé pour la première fois le phénomène de transmission extraordinaire à travers une couche métallique perforée par une matrice périodique de trous cylindriques de dimensions bien inférieures à la longueur d'onde du rayonnement incident. La transmission à travers une matrice de trous est caractérisée par une intensité transmise largement supérieure à la somme de toutes les intensités obtenues à travers chaque trou pris séparément. Le résultat obtenu était inattendu, car les calculs de Bethe (1944) [20] sur la diraction de la lumière à travers une ouverture unique plus petite que la longueur d'onde prévoyaient une transmission négligeable. La transmission mesurée par Ebbesen et al. à travers ces ouvertures est de 6 % alors que Bethe prévoyait 1000 fois moins. L'explication de ce phénomène repose sur le couplage entre les plasmons de surface de chaque interface métallique-diélectrique. La transmission par couplage plasmon, observée par Ebbesen et al., à travers ce réseau de trous sub-longueurs d'onde et de formes cylindriques reste cependant assez faible. Pour améliorer cette transmission, F. Baida et D. Van Labeke [10] ont proposé de remplacer la forme cylindrique des trous par une forme annulaire. La transmission à travers cette nouvelle structure à ouverture annulaire (Annular Aperture Array,AAA) peut atteindre une transmission d'ordre 90 % dans la gamme du visible. L'explication de cette forte exaltation de la transmission repose sur l'excitation des modes guidés dans la cavité coaxiale. La suite de ce chapitre sera consacrée à cette nouvelle structure Structure AAA La structure AAA est une matrice de trous annulaires percés dans une couche métallique d'épaisseur h comme le montre la gure 1.9. Cette nouvelle structure a été proposée en [10] pour des applications de transmission exaltée, car une telle cavité admet un mode guidé sans fréquence de coupure qui est le mode TEM. Les transmissions extraordinaires

22 1.6. Les modes guidés dans une cavité coaxiale 21 observées expérimentalement à travers de telles structures se sont révélées dues au mode guidé TE 11. Malgré que ce mode admet une fréquence de coupure, une forte exaltation de la transmission accompagnée d'un redshift (déplacement vers le rouge) est obtenue comparativement au cas de la structure cylindrique [21]. Récemment, il a été montré la possibilité, sous quelques conditions sur l'onde incidente, d'exciter son mode TEM à des longueurs d'onde largement supérieures à celle TE 11 [22]. Figure 1.9: Structure à ouvertures annulaires AAA gravée dans une couche en métal d'épaisseur h. R i est le rayon intérieur, R e est le rayon extérieur et P représente la période. 1.6 Les modes guidés dans une cavité coaxiale Pour une onde électromagnétique se propageant dans une cavité coaxiale, le calcul des champs électromagnétiques s'eectue en recherchant les solutions de l'équation de propagation déduite des équations de Maxwell, compte tenu des conditions aux limites imposées sur les parois de ce guide. Dans cette partie, nous décrirons brièvement les diérents modes pouvant se propager dans le guide coaxial Mode Transverse Electrique et Magnétique (TEM) Le mode TEM est caractérisé par un vecteur d'onde de coupure nul k c =0, donc une longueur d'onde de coupure λ c innie. Toutes les longueurs d'ondes peuvent se propager si le mode est excité. Le champ guidé est perpendiculaire à la direction de propagation,

23 22 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques il se propage comme une onde plane dans le vide. Il ne possède aucune composante longitudinale E z = 0, H z = 0. - Les composantes électromagnétiques en coordonnées cylindriques (r, θ, z) de ce mode TEM sont [23] : E z = E θ = H z = H r = 0 (1.13) E r = ωµ H 0 β r e imθ e iβz (1.14) H θ = H 0 r e imθ e iβz (1.15) où H 0 est une constante, m est un entier et β représente la composante du vecteur d'onde le long de la direction de propagation Mode Transverse Magnétique (TM) Le champ magnétique dans le cas du mode TM est transverse à la direction de propagation (H z = 0) et les composantes du champ électrique sont toutes diérentes de zéro. En coordonnées cylindriques, ces dernières s'écrivent comme suivant [23] : E r = E 0 iβ k c [Y m (k c R i )J m(k c r) J m (k c R i )Y m(k c r)] (1.16) E θ = E 0 mβ k 2 cr [Y m(k c R i )J m (k c r) J m (k c R i )Y m (k c r)] (1.17) E z = E 0 [Y m (k c R i )J m (k r r) J m (k c R i )Y ( mk c r)] (1.18) Les composantes magnétiques sont données par : mωε H r = E 0 [Y kc 2 m (k c R i )J m (k c r) J m (k c R i )Y m (k c r)] (1.19)

24 1.6. Les modes guidés dans une cavité coaxiale 23 H θ = E 0 iωε k 2 cr [Y m(k c R i )J m(k c r) J m (k c R i )Y m(k c r)] (1.20) H z = 0 (1.21) J m et Y m représentent respectivement les fonctions de Bessel de premier et deuxième espèce où m est un entier positif indiquant l'ordre des fonctions de Bessel. E 0 est une constante, k c est le nombre d'onde de coupure. Le mode transverse magnétique possède une longueur d'onde de coupure au delà de laquelle aucune onde électromagnétique ne peut se propager. Elle est approchée par [14] : λ C 2(R e R i ) n (1.22) où n est un entier strictement positif (n>0) Mode Transverse Electrique (TE) Pour le mode TE, le champ électrique est transverse à la direction de propagation (E z = 0). Les composantes du champ magnétique sont toutes non nulles. En coordonnées cylindriques, les composantes électriques sont [23] : mωµ E r = H 0 [Y k m(k c 2 c R i )J m (k c r) J m(k c R i )Y m (k c r)] (1.23) E θ = H 0 iωµ k c [Y m(k c R i )J m(k c r) J m(k c R i )Y m(k c r)] (1.24) Pour le champ magnétique : E z = 0 (1.25) H r = H 0 iβ k c [Y m(k c R i )J m(k c r) J m(k c R i )Y m(k c r)] (1.26)

25 24 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques H θ = H 0 mβ k 2 cr [Y m(k c R i )J m (k c r) J m(k c R i )Y m (k c r)] (1.27) où H 0 est une constante. H z = H 0 [Y m(k c R i )J m (k c r) J m(k c R i )Y ( mk c r)] (1.28) La longueur d'onde de coupure associée au mode transverse électrique est approximée par : λ C π(r e + R i ) (1.29) m Notons que le mode dominant dans le cas de la structure coaxiale est le mode TEM qui est un mode sans fréquence de coupure. Le deuxième mode est le mode T E 11 possédant une fréquence de coupure plus basse (une longueur d'onde de coupure plus élevée). Sur la gure 1.10 sont représentées les intensités lumineuses dans une cavité coaxiale pour quelques modes guidés [23]. Figure 1.10: Exemple d'intensité lumineuse I dans une cavité annulaire pour les modes guidés correspondants [23] Avantages de la structure AAA Dans le tableau 1.11 sont rapportées les longueurs d'ondes de coupure des modes électromagnétiques des structures guidantes en métal parafait de formes géométriques diérentes [24] : rectangulaire, cylindrique et coaxiale. On remarque que pour les mêmes

26 1.6. Les modes guidés dans une cavité coaxiale 25 paramètres géométriques (mêmes diamètres des ouvertures), la longueur d'onde de coupure du mode T E 11 de la structure coaxiale est toujours supérieure aux longueurs d'onde de coupures des modes fondamentaux des structures cylindrique et carrée. Figure 1.11: Longueurs d'onde de coupure des premiers modes guidés dans le cas d'une structure rectangulaire, cylindrique et coaxiale en métal parfait [24]. Cet écart en longueur d'onde de coupure est beaucoup plus important en remplaçant le métal parfait par le métal réel. De plus, la structure à ouvertures annulaires possède le mode TEM sans fréquence de coupure, mode pouvant être excité à de longueurs d'onde largement supérieures à celle du mode T E 11. Donc on peut faire passer beaucoup plus de lumière à travers la structure AAA qu'à travers les autres structures guidantes. L'autre avantage de cette cavité par rapport au guide cylindrique est mis en évidence en comparant les deux spectres de transmission à travers ces deux structures [11] (gure 1.12.a et gure 1.13.a). Dans le cas de la structure cylindrique (gure 1.12.a), le maximum de transmission est de 6% à la longueur d'onde λ = 1001nm(gure 1.12.b). En insérant des cylindres de rayon r 2 = 50nm dans les trous précédents pour obtenir la structure AAA, le spectre de transmission est complètement modié. En passant de la structure cylindrique à la structure AAA, une grande amélioration du coecient de transmission est obtenue (gure 1.13.b), 17% de transmission à λ = 1010nm et 22% à

27 26 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques λ = 1148 nm (gure 1.13.b). Figure 1.12: Transmission à travers une structure cylindrique gravée dans une couche métallique d'or d'épaisseur e=250 nm, p = p x = p y = 600nm et r 1 = 100nm [11]. Notons que plusieurs paramètres comme la nature du métal, la période, la hauteur..., peuvent inuencer considérablement la position et l'intensité de la transmission. Comme le montre la gure 1.14, en remplaçant l'or par l'argent, les pics de transmission à travers la structure AAA sont déplacés vers les petites longueurs d'ondes, déplacement accompagné d'une augmentation considérable en intensité.

28 1.6. Les modes guidés dans une cavité coaxiale 27 Figure 1.13: Transmission à travers une structure coaxiale gravée dans une couche métallique d'or d'épaisseur e=250 nm, p = p x = p y = 600nm et r 1 = 100nm, r 2 = 50nm [11]. Figure 1.14: Transmission à travers les structures coaxiale et cylindrique en argent, avec : p = 300nm, r 1 = 75nm et r 2 = 50nm (traits continus), r 2 = 0nm (traits discontinus).

29 28 Généralités sur les cristaux photoniques métalliques Conclusion Dans ce chapitre, nous avons donné un rappel sur les cristaux photoniques. Les diérents types de cristaux photoniques, leurs propriétés optiques ainsi que certaines de leurs applications sont brièvement présentés. Le modèle de Drude est décrit pour la prise en compte des métaux nobles dans la gamme optique. Une intention particulière est portée sur les structures périodiques métalliques notamment sur la structure à ouvertures annulaires (AAA) pour des applications de transmission exaltée. Les diérents modes pouvant se propager à travers cette structure coaxiale ainsi que ces avantages par rapport à d'autres structures guidantes sont mentionnés.

30 Chapitre 2 Techniques de modélisation : Méthode FDTD 2.1 Introduction La modélisation électromagnétique des nano-matériaux structurés pour la compréhension de leurs interactions avec une onde électromagnétique incidente, nécessite la résolution des équations de Maxwell. Pour ces systèmes électromagnétiques complexes, constitués d'objets à nature physique et géométrie quelconques, la résolution analytique des équations de Maxwell reste très dicile voir impossible sans avoir recours aux méthodes numériques. Les méthodes numériques de modélisation des structures nano-optiques sont nombreuses et sont classées en deux groupes. Le premier groupe celles qui travaillent dans l'espace de Fourier dites méthodes fréquentielles telle que la méthode des ondes planes (PWE) [25] et la méthode modale de Fourier (FMM) [26] et Le deuxième groupe concerne celles travaillant dans l'espace direct dites méthodes temporelles comme la méthode des Diérences Finies dans le Domaine Temporel (Finite Dirence Time Domain,FDTD) [8]. Cette dernière, la plus populaire et la plus générale, est celle utilisée dans le cadre de ce mémoire. Dans ce chapitre, nous rappellerons les principes de base de la méthode FDTD tout en montrant la manière dont est prise en considération la dispersion des métaux dans la gamme optique. Les conditions aux limites périodiques de Floquet-Block ainsi que celles absorbantes de Berenger (Perfectly Matched Layer,PML) seront décrites. Pour bien prendre en considération les objets les plus ns dans le maillage FDTD tout en gagnant 29

31 30 Techniques de modélisation : Méthode FDTD en espace mémoire, nous avons fait appel aux techniques de sous-maillage (subgriding) et de maillage non uniforme. 2.2 Equations de Maxwell La méthode FDTD est basée sur la discrétisation aux diérences centrées selon le schéma de Yée [9] des équations de Maxwell qui régissent la propagation d'une onde électromagnétique dans la matière. En absence de charges libres, ces équations s'écrivent sous leur forme diérentielle comme suit : rot E = B t rot H = D t (2.1) (2.2) div E = 0 (2.3) div H = 0 (2.4) Avec E et D sont respectivement les vecteurs champ électrique et induction électrique. H et B désignent les vecteurs champ magnétique et induction magnétique respectivement. Ces champs sont reliés par les équations constitutives du milieu comme suit : D = ε E (2.5) B = µ H (2.6) avec ε est permittivité diélectrique et µ dénote la perméabilité magnétique. Dans le vide et dans les matériaux non magnétique, la valeur de la perméabilité µ= µ 0 =4π.10 7 H/m. Celle de la permittivité diélectrique dans le vide est ε= ε 0 = F/m.

32 2.2. Equations de Maxwell 31 La méthode FDTD est basée essentiellement sur l'approximation aux diérences centrées des dérivées partielles spatio-temporelles apparaissant dans les équations (2.1) et (2.2). En projetant ces deux équations sur les trois axes de coordonnées x, y et z et en tenant compte des relations (2.5) et (2.6), on arrive : H x t = 1 µ 0 ( E y z E z y ) (2.7) H y t = 1 µ 0 ( E z x E x z ) (2.8) H z t = 1 µ 0 ( E x y E y x ) (2.9) E x t = 1 ε ( H z y H y z ) (2.10) E y t = 1 ε ( H x z H z x ) (2.11) E z t = 1 ε ( H y x H x y ) (2.12) Pour les structures bi-périodiques selon x et y et invariantes selon z, le système d'équation précédent est découplé en deux sous systèmes indépendants. L'un fait intervenir les composantes du champ électrique du plan (E x, E y ) et la composante magnétique H z normale au plan, qui dénissent le mode TE (Transverse Electrique) : E x t = 1 ε H z y E y t = 1 ε H z x (2.13) H z t = 1 µ 0 ( E x y E y z )

33 32 Techniques de modélisation : Méthode FDTD Et l'autre fait intervenir les composantes du champ magnétique (H x, H y ) et la composante électrique normale au plan E z, qui dénissent le mode TM (Transverse Magnétique) : H x t = 1 µ 0 E z y (2.14) H y t = 1 µ 0 E z x E z t = 1 ε ( H y x H x y ) Equations de Maxwell aux diérences nies centrées La résolution par FDTD des équations de Maxwell nécessite de discrétiser l'espace et le temps. L'espace continu est remplacé par un espace discret, un ensemble de n uds repérés par des indices (i,j,k). Ces points de discrétisations sont séparés par des incréments x, y et z suivant les directions x, y et z respectivement. Le temps est aussi échantillonné suivant un pas temporel t, et le nombre d'échantillonnage temporel est repéré par un indice n. Dans ces conditions, une fonction dépendante de l'espace et du temps f(x, y, z, t) et pouvant représenter l'une des composantes du champ électromagnétique s'écrit : f(x, y, z, t) = f(i x, j y, k z, n t) = f n (i, j, k) La dérivée de f(x, y, z, t) en un point x est approximée par une diérence nie centrée comme suit : f n (i, j, k) x = f n (i + 1/2, j, k) f n (i 1/2, j, k) x (2.15)

34 2.2. Equations de Maxwell 33 En remplaçant les dérivées spatiales et temporelles du système d'équations de Maxwell (2.1 et 2.2) par des diérences centrées, comme indiqué par l'exemple de l'équation (2.15), on construit le système d'équations de Maxwell aux diérences nies centrées : H n+1/2 x H n+1/2 y H n+1/2 z (i, j, k) = H n 1/2 x (i, j, k) = H n 1/2 (i, j, k) = H n 1/2 (i, j, k) + t [ En y (i, j, k + 1) Ey n (i, j, k) µ 0 z En z (i, j + 1, k) Ez n (i, j, k) ] y y (i, j, k) + t [ En z (i + 1, j, k) Ez n (i, j, k) µ 0 x En x (i, j, k + 1) Ez n (i, j, k) ] z z (i, j, k) + t [ En x (i, j + 1, k) Ex n (i, j, k) µ 0 y En y (i + 1, j, k) Ez n (i, j, k) ] x (2.16) (2.17) (2.18) E n+1 x (i, j, k) = E n x (i, j, k) + t [Hn+1/2 z ε(i, j, k) (i, j, k) H n+1/2 z (i, j 1, k) y (2.19) Hn+1/2 y (i, j, k) Hy n+1/2 (i, j, k 1) ] z Ey n+1 (i, j, k) = Ey n (i, j, k) + t [Hn+1/2 x (i, j, k) Hx n+1/2 (i, j, k 1) ε(i, j, k) z (2.20) Hn+1/2 y (i + 1, j, k) Hz n+1/2 (i 1, j, k) ] x Ez n+1 (i, j, k) = Ez n (i, j, k) + t [Hn+1/2 y ε(i, j, k) (i, j, k) H n+1/2 y (i 1, j, k) x (2.21) Hn+1/2 x (i, j, k) Hx n+1/2 (i, j 1, k) ] y Ces équations permettent de mettre à jour les 6 composantes du champ électrique et magnétique dans la grille FDTD et aux diérents instants d'échantillonnage temporel.

35 34 Techniques de modélisation : Méthode FDTD Intégration du modèle de Drude à la FDTD Les milieux dispersifs comme les métaux sont caractérisés par une permittivité complexe dépendant de la fréquence de l'onde électromagnétique. Comme la méthode FDTD est temporelle, dans de tels milieux l'implémentation directe des équations précédentes, qui font apparaitre explicitement la permittivité, reste impossible. La solution à ce problème est de calculer les composantes du vecteur déplacement par FDTD et ensuite remonter aux composantes électriques en utilisant la relation de constitution du milieu ( D = ε E ) et un modèle analytique décrivant la permittivité du milieu. Dans ce travail, les métaux nobles dans la gamme optique sont décrits par le modèle de Drude. Rappelons que l'expression de la fonction diélectrique de Drude est donnée par : ε D (ω) = 1 ω 2 p (ω 2 + iωγ D ) (2.22) En remplaçant ε E par D pour éliminer la dépendance en fréquence dans les équations de Maxwell discrétisées (2.19, 2.20 et 2.21), on arrive aux équations de mise à jour des composantes du vecteur déplacement : D n+1 x (i, j, k) = D x (i, j, k) + t[ Hn+1/2 z (i, j, k) Hz n+1/2 (i, j 1, k) y (2.23) Hn+1/2 y (i, j, k) Hy n+1/2 (i, j, k 1) ] z D n+1 y (i, j, k) = D y (i, j, k) + t[ Hn+1/2 x (i, j, k) Hx n+1/2 (i, j, k 1) z (2.24) Hn+1/2 z (i, j, k) Hz n+1/2 (i 1, j, k) ] x D n+1 z (i, j, k) = D z (i, j, k) + t[ Hn+1/2 y (i, j, k) Hy n+1/2 (i 1, j, k) x (2.25) Hn+1/2 x (i, j, k) Hx n+1/2 (i, j 1, k) ] y

36 2.2. Equations de Maxwell 35 Une fois que ces composantes sont calculées, on passera à la détermination des composantes de E à l'aide de la relation : D = εo (1 ω 2 p ω 2 + iωγ D ) E (2.26) Après une transformée de Fourier inverse, on obtient l'équation aux dérivées partielles : 2 D 2 t + Γ D D t = ε o( 2 E 2 t + Γ E D t + ω2 p E ) (2.27) La discrétisation aux diérences centrées de cette dernière nous conduit à l'équation de calcul du vecteur champ électrique : E n+1 = (a2 E n 1 + 4ε0 E n + b1 D n+1 + b2 D n 1 4 D n )/a1 (2.28) Avec : a 1 = ε o (ω 2 p t 2 + Γ D t + 2) a 2 = ε o (2 + ω p t 2 Γ D t) b 1 = 2 + Γ D t b 2 = 2 Γ D t ω p : Pulsation plasma. Γ D : Coecient d'amortissement de Drude.

37 36 Techniques de modélisation : Méthode FDTD Schéma de Yee La méthode des diérences nies dans le domaine temporel (FDTD) est fondée sur le schéma de Yee [9]. Les composantes électriques sont calculées en des points de la cellule de Yee (gure 2.1) appelés n uds électriques qui sont toujours situés au milieu d'une arête. Les composantes magnétiques sont calculées en des points spatiaux diérents (n uds magnétiques), qui sont localisées aux centres des faces de la cellule. De même, dans le temps les champs électriques et magnétiques y sont évalués à des instants diérents (gure 2.2). Le champ électrique est évalué aux instants n t et le champ magnétique est mis à jour aux instants (n + 1/2) t [27]. Cette disposition assure un processus itératif entièrement explicite, aucune inversion de matrice n'est nécessaire. Figure 2.1: Cellule élémentaire de Yee montrant les points de calcul des composantes du champ électromagnétique.

38 2.3. Conditions aux limites 37 Figure 2.2: Enchaînement temporel des calculs dans l'algorithme de Yee. 2.3 Conditions aux limites Les conditions aux limites constituent un point important dans la méthode FDTD. La fenêtre de calcul FDTD doit être nie, et des traitements particuliers sont nécessaires aux limites du domaine d'étude tronqué. Dans ce travail, deux types de conditions aux limites sont utilisées : les conditions périodiques de Floquet Block pour modéliser l'espace inniment périodique et les conditions d'absorption aux frontières PML ( Perfectly Matched Layer) de Berenger [10] pour décrire l'espace libre Conditions aux limites périodiques Ces conditions s'appliquent sur des structures périodiques qui se répètent jusqu'à l'inni. En raison de la symétrie, on ne prend qu'une seule maille élémentaire (gure2.3). Dans le cas de la gure 2.3, pour reproduire tout le cristal, aux frontières de la maille élémentaire, les conditions de périodicité sont appliquées sur les composantes électromagnétiques comme suit :

39 38 Techniques de modélisation : Méthode FDTD Figure 2.3: Structure périodique 2D et Maille élémentaire E (x = a, y, t) = E (x = 0, y, t)e (ik xa) (2.29) E (x, y = a, t) = E (x, y = 0, t)e (ik ya) (2.30) H (x = a, y, t) = H (x = 0, y, t)e (ik xa) (2.31) H (x, y = a, t) = H (x, y = 0, t)e (ik ya) (2.32) Les conditions d'absorption aux frontières : PML de Berenger Les PML de Berenger [12], entourant un objet à modéliser, ont la propriété d'absorber une onde en incidence quelconque sans réexion vers l'objet. Sans ces couches d'absorption, des réexions non physiques et parasites, apparaissent et perturbent le signal physique réel.

40 2.3. Conditions aux limites 39 Figure 2.4: PML de Berenger. Ces conditions sont basées sur le principe d'adaptation d'impédance à l'interface entre deux milieux de même indice mais dont l'un est absorbant de conductivité électrique σ e et magnétique σ m non nulles. Cette condition d'adaptation s'exprime : σ e ε = σm µ 0 (2.33) Pour optimiser l'absorption et minimiser les réexions parasites, on impose une augmentation progressive de façon polynomiale de l'absorption σ dans la couche PML : σ = ( x pml e pml ) m σ max (2.34) x pml est la profondeur dans le milieu PML mesurée à partir de l'interface, e pml représente l'épaisseur de la couche PML et σ max la conductivité maximale et m dénote le degré de la loi polynomiale qui est généralement égal 2.

41 40 Techniques de modélisation : Méthode FDTD 2.4 Stabilité et dispersion numérique L'approximation des dérivées partielles par des diérences centrées peut engendrer des solutions numériques non physiques. Des valeurs quelconques des pas de discrétisation peut mener vers des solutions innies du champ électromagnétique. Pour éviter ce problème d'instabilité, les pas de discrétisation spatiaux et temporels doivent satisfaire le critère suivant [28] : 1 t v 1 (2.35) max x 2 y 2 z 2 x, y et z sont les pas de discrétisation spatiale, t est celui temporel et v max représente la vitesse maximale de l'onde dans le milieu FDTD. Un autre problème pouvant être causé par l'approximation des dérivées partielles, apparaissant dans les équations de Maxwell, par des diérences centrées est celui de la dispersion numérique. En eet, dans la grille FDTD, la vitesse numérique de propagation de l'onde dépend de plusieurs paramètres comme les pas spatio-temporels et la direction de propagation. Les erreurs de phase, les anisotropies numériques et la déformation des signaux sont les principales conséquences de ce problème de dispersion numérique. Pour minimiser ces eets parasites, on doit mailler très n dans la grille FDTD. Plusieurs études ont montré que le pas spatial doit être inférieur à λ min /15, avec λ min est la longueur d'onde minimale des ondes se propageant dans la grille FDTD. 2.5 Avantages et inconvénients de FDTD Ce paragraphe récapitule en quelques lignes les points forts et faibles de la méthode FDTD Avantages 1. La méthode FDTD est temporelle. Une excitation impulsionnelle dans le domaine temporel sut pour avoir une réponse spectrale large bande via une transformation de Fourier. 2. Elle travaille dans l'espace direct, sa formulation est relativement simple.

42 2.6. Sous maillage pour lisser des objets ronds Elle permet de suivre en temps réel le comportement d'une onde électromagnétique. Toutes les composantes électromagnétiques sont calculées dans tout l'espace et à tous les instants. 4. La méthode FDTD est aussi bien adaptée aux structures périodiques qu'aux structures apériodques. 5. Elle peut considérer des systèmes très complexes. Elle permet de tenir compte des eets non linéaires, de l'anisotropie et de la dispersion des métaux sans la modication du c ur de l'algorithme de base. 6. Son critère de convergence est parfaitement adapté en nano-optique Inconvénients Comme toutes les méthodes numériques, la méthode FDTD présente ces inconvénients. Son problème majeur est celui d'espace mémoire et du temps de calcul. Comme la méthode nécessite de mailler tout le domaine de calcul et sous un pas de discrétisation susamment petit pour échantillonner la plus petite longueur d'onde et le plus petit détail géométrique de la structure, une étude rigoureuse par cette méthode peut impliquer un nombre important de places mémoire et un temps de calcul considérable. Ces problèmes sont souvent rencontrés en présence d'objets avec des bords incurvés ou très ns comparativement à d'autres éléments constituant la structure à étudier. Dans de telles situations et dans le but d'assouplir nos codes de calculs, nous avons fait appel à la technique de sous-maillage pour lisser des objets arrondis et à celle du maillage non uniforme. La suite de ce chapitre sera consacrée à la description de ces deux techniques que nous avons intégré à la méthode FDTD pour une bonne prise en compte d'éléments ns. Des tests de leurs validations seront présentés et discutés. 2.6 Sous maillage pour lisser des objets ronds Cette technique consiste à dénir des permittivités eectives dans la grille FDTD. Chaque point dans le maillage FDTD sera décrit par une permittivité dont la valeur est le résultat d'une moyenne sur un ensemble de points dans un espace sous maillé n et entourant le point du maillage FDTD considéré. La gure 2.5 illustre un exemple de sousmaillage suivant une direction. Comme le montre cette gure, 10 points dans le maillage FDTD représentent 50 (10 m avec m=5) points du sous-maillage.

43 42 Techniques de modélisation : Méthode FDTD Figure 2.5: Exemple à 1D. Dans cet exemple, en chaque point N de la grille FDTD, la permittivité est la moyenne des permittivités d'un sous ensemble de m point qui entourent le point N. La précision peut être améliorée en augmentant simplement le nombre m et en gardant le nombre de points de calcul FDTD et donc sans aecter le temps de calcul FDTD Validation et limite de la technique Pour valider et montrer les avantages de la technique, nous avons considéré dans un premier temps une structure annulaire diélectrique (gure 2.6). La structure est périodique suivant x (p x = 200nm), nie suivant z et innie suivant y. La permittivité relative des anneaux entourés d'air est ε r = 10. Sur la gure 2.7, on compare les spectres de transmission à travers cette structure calculés par FDTD dans les cas suivants : 1. Sans sous maillage et un pas de discrétisation x = 10nm ( x = y = z). 2. Sans sous maillage et un pas de discrétisation x = 2.5nm ( x = y = z). 3. Avec sous maillage et un pas de discrétisation x = 10nm et m=5 ( x = y = z). La gure 2.7 montre que les résultats obtenus par la méthode FDTD sans sous maillage sont presque identiques à ceux trouvés par FDTD avec sous-maillage mais avec un pas spatial grossier (4 fois plus grand que dans le cas sans le sous maillage). Donc la technique de sous maillage est très ecace, dans le cas diélectrique, pour gagner en espace mémoire et en temps de calcul sans perdre de précision sur les résultats de la modélisation.

44 2.6. Sous maillage pour lisser des objets ronds 43 Figure 2.6: Structure coaxiale diélectrique, R i = 50nm et R e = 80nm. Figure 2.7: Transmission à travers une structure annulaire diélectrique 1D périodique.

45 44 Techniques de modélisation : Méthode FDTD Pour étendre cette technique aux cas des métaux (interface métal -diélectrique), nous avons supposé que le diélectrique de permittivité relative ε r est décrit par un modèle de Drude ε D (ω) = ε r ω2 P D avec ω (ω 2 +iωγ D ) P D = 0. La technique de sous maillage qui consiste à moyenner sur la permittivité est appliquée dans le cas métallique en moyennant sur ε r et ωp 2 D des diérents milieux (diélectrique ou métallique). Pour tester cette méthode dans le cas des métaux, nous avons refait les simulations précédentes en remplaçant les anneaux diélectriques par des anneaux en argent. La dispersion de l'argent dans la gamme optique est prise en compte par le modèle de Drude décrit précédemment. Les constantes (ω p = H z, Γ D = H z ) sont celles correspondantes aux valeurs expérimentales de Johnson et Christy [29]. Comme le montre la gure 2.8, les résultats sont complètement faussés en considérant la technique de sous maillage. Cela est dû probablement au changement de nature du milieu diélectrique au voisinage immédiat de l'interface. A proximité du métal, le diélectrique acquiert une fréquence plasma eective non nulle et non physique et donc change de nature, il devient dispersif. Figure 2.8: Transmission à travers une structure coaxiale en argent de R i = 50nm et R e = 80nm.

46 2.7. Maillage non uniforme 45 Pour contourner cette diculté dans le cas dispersif et pouvoir bien considérer les objets métalliques ns, nous avons fait appel à une autre technique qui est le maillage non-uniforme. 2.7 Maillage non uniforme Cette technique consiste à mailler nement au niveau d'objets ns et grossièrement (gure 2.9) partout ailleurs dans la grille FDTD. Le passage d'une zone maillée nement vers une autre maillée grossièrement peut provoquer des réexions parasites pouvant perturber et erroner le signal physique. Pour remédier à ce problème, le passage est eectué de manière graduelle comme le montre la gure 2.10, 10 points spatiaux au minimum séparent le petit pas du grand pas de discrétisation. Pour tester cette technique, nous avons calculé la transmission à travers la structure AAA en métal parfait schématisée sur la gure 2.11 en utilisant deux maillages diérents : 1. Maillage uniforme avec x = y = z = 5nm partout dans le domaine de calcul. 2. Maillage non uniforme suivant la direction z avec z varie de 5nm (au niveau de la couche métallique) jusqu'à 20 nm en dehors de la couche. x et y sont xés à 5 nm. Figure 2.9: La fenêtre de calcul. Sur la gure 2.12 sont comparés les spectres de transmission obtenus dans les deux cas. On voit que les deux spectres sont identiques avec un gain considérable en espace mémoire et en temps de calcul en utilisant le maillage non uniforme.

47 46 Techniques de modélisation : Méthode FDTD Figure 2.10: Évolution du pas de discrétisation selon l'axe oz. Figure 2.11: Structure métallique à ouvertures annulaires entourée d'air d'épaisseur h = 240nm, R i = 50nm et R e = 100nm.

48 2.8. Conclusion 47 Figure 2.12: Test de validation : Transmission à travers une structure AAA. 2.8 Conclusion Dans ce chapitre, nous avons rappelé les principes de la méthode FDTD utilisée dans ce travail. La manière dont est intégré le modèle de Drude à cette méthode pour la prise en compte de la dispersion des métaux nobles dans la gamme optique est donnée. Les conditions aux limites périodiques et celles absorbantes de Berenger sont décrites. Pour mieux décrire les objets incurvés ainsi que les éléments ns sans alourdit les codes de calcul, deux techniques du maillage sont incorporées à l'algorithme FDTD. Ces techniques sont testées et discutées. Le chapitre suivant sera consacré à l'étude par cette méthode de la structure AAA pour des applications de transmission exaltée.

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50 Chapitre 3 Etude paramétrique de la structure AAA 3.1 Introduction L'objectif de ce dernier chapitre est de présenter une étude paramétrique, par la méthode FDTD, de la transmission exaltée à travers la structure AAA via le mode TEM. Nous commençons par rappeler les quelques travaux eectués sur les possibilités d'exciter ce mode, sans fréquence de coupure, par une lumière polarisée linéairement. Par la suite, nous étudions l'eet de plusieurs paramètres, géométriques et physiques, sur la position et l'intensité du pic TEM dans le cas de la structure à ouvertures annulaires inclinées. Les rayons interne et externe de la structure, la polarisation de l'onde incidente, l'angle d'inclinaison ainsi que la nature de la couche métallique sont considérés. La dispersion du métal réel dans la gamme optique est prise en compte par le modèle de Drude. Les résultats obtenus sont commentés. 3.2 Excitation du mode TEM de la structure AAA Le mode TEM présente plusieurs avantages par rapport au mode TE 11, il est sans fréquence de coupure et sa position spectrale dépend directement de l'épaisseur de la couche métallique. Il peut être excité à des longueurs d'ondes largement supérieures à celles correspondant à la coupure du mode TE 11. Sa position est donnée par la formule suivante : λ T EM = 49 2πnh lπ φ r (3.1)

51 50 Etude paramétrique de la structure AAA où n est la partie réelle de l'indice eectif, h représente l'épaisseur de la couche métallique, φ r représente la variation de phase due aux réexions du mode guidé par les deux extrémités ouvertes des cavités annulaires, et l est un entier positif non nul. Figure 3.1: Structure AAA classique gravée dans une couche métallique d'épaisseur h. La possibilité d'exciter ce mode TEM de la structure AAA (gure 3.1), faite en métal parfait, via une lumière polarisée linéairement a été démontrée pour la première fois par F. Baida [22] sous deux conditions sur l'onde incidente : la première est qu'elle doit se propager en incidence oblique et la deuxième, qu'elle soit polarisée TM. Cette étude a été ensuite étendue aux cas des métaux réels dans la gamme optique [15,30]. Sur la gure (3.2) [30] sont présentés les spectres de transmission à travers la structure AAA faite en métal réel (argent et or) dans les cas suivants :

52 3.2. Excitation du mode TEM de la structure AAA 51 Figure 3.2: (a)transmission à travers une structure AAA gravée dans une couche d'épaisseur h=240 nm en argent et en or, avec R i = 50nm et R e = 100nm. [b, c et d] modules des composantes du champ électrique en coordonnées cylindriques E r (x, y),e φ (x, y) et E z (x, y) pour le cas du lm en argent, polarisation TM et θ = 45 [30]. 1. La structure est excitée par une onde se propageant en incidence oblique et polarisée TM. 2. La structure est excitée par une onde se propageant en incidence oblique et polarisée TE. 3. La structure est excitée par une onde se propageant en incidence normale (Dans ce cas, pour raison de symétrie les deux polarisation TE et TM sont les mêmes). Sur la gure (3.2.a), on voit l'apparition d'un pic supplémentaire dans le premier cas (oblique et polarisation TM) par rapport aux cas 2 et 3. La distribution spatiale des modules des composantes radiale, azimutale et axiale du champ électrique à la longueur d'onde correspondant à ce pic supplémentaire dans le cas de l'argent est représentée sur la gure (3.2.b, c, d] [30]. La composante radiale ne dépend pas de l'angle azimutal φ, les composantes azimutale et axiale sont presque nulles ce qui conrme la nature TEM de ce mode [22].

53 52 Etude paramétrique de la structure AAA Ces résultats conrment bien les calculs analytiques de F. I. Baida dans le cas du métal parfait [22]. L'eet de la dispersion est aussi montré sur la gure (3.2). En remplaçant l'argent par l'or, le pic TEM est déplacé vers le rouge. Ce déplacement est accompagné par une diminution de son intensité, ce qui est du à la forte absorption de l'or par rapport à celle de l'argent. Récemment, notre équipe de recherche a démontré la possibilité d'exciter ce mode TEM même par une lumière se propageant en incidence nulle et cela en inclinant simplement les ouvertures annulaires [6]. Dans le cas de la structure AAA inclinée (voir gure 3.3), les résultats obtenus en [6] ont montré une meilleure transmission accompagnée d'un redshift (déplacement vers le rouge) du pic TEM comparativement au cas de la structure AAA non inclinée. Figure 3.3: Structure AAA inclinée suivant x d'un angle θ par rapport à z. Sur la gure (3.4), on compare les spectres de transmission à travers la structure AAA inclinée, en métal parfait, obtenus dans les deux cas de polarisation TE et TM en incidence nulle. Le mode TEM est excité en polarisation TM (polarisation parallèle à l'axe d'inclinaison) et non pas en polarisation TE. On peut conclure que le mode TEM peut être toujours excité en incidence nulle sauf dans le cas où la polarisation est perpendiculaire à l'axe d'inclinaison.