variations de f y 5 f(x + 1) 5 f(x + 1) 3 = y 5 y 3 5 4y + 10

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "variations de f y 5 f(x + 1) 5 f(x + 1) 3 = y 5 y 3 5 4y + 10"

Transcription

1 CPI - ANALYSE CORRECTION Eercices Chapitre 3 - Limites et fonctions continues Eercice 3 Correction : { Soit E }, R et On a On pose f Comme f est impaire, il suffit de l étudier sur [, 3] On trouve sup E 5 Soient E { n n, n N } et f, [, [ [, [, f ln tableau de variations suivant : e signe f + 0 variations de f On en déduit le Comme f, et f3 3 3,, on a sup E On fie y dans [, ] et on étudie f y y, [, ] On trouve sup f y y [,] y + + y qui est atteint pour On étudie ensuite gy + + y, y [, ] On trouve finalement que y + ma + + y,y [,] y Eercice 3 Correction : Soit R, on note y f On a : On calcule ensuite f + : f + f + + f + 5 f + 3 f + 5 f + f + + f + y 5 y 3 5 y + 0 y 5 y 3 3 y + y 5 y y 5 y 5 y 5 y y y f On a bien prouvé que f est -périodique Eercice 33 Correction : Soit a ]0, [ fié Considérons l application g : R R, g f + a f Puisque f est continue sur R, donc sur le segment [0, ], la restriction de f à [0, ] est bornée et atteint ses bornes d après le théorème 3 Il eiste donc, [0, ] tels que : Comme f est -périodique, on a alors f inf f, f sup f [0,] [0;] f inf f, f sup f R On a g f + a f 0, par définition de, et g f + a f 0, par définition de Ainsi, g est continue sur l intervalle R et g 0, g 0 D après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste c R tel que gc 0, c est-à-dire : fc + a fc R /9

2 Eercice 3 Correction : f +, f 3 f ε ε Donc, ε > 0, η > 0 η ε, R, η f 3 ε f +, f 3 f 3 ε + 3 ε On se borne au nombres tels que c est-à-dire tels que [0, ] On a alors , et donc En résumé, pour tout réel vérifiant à la fois et ε, on a f 3 ε Alors, 5 ε > 0, η > 0 η inf, ε, η f 3 ε 5 3 f, f 0 Soit A > 0 Pour R, Donc, A A A A > 0, η > 0 η A, η et R f A f 3, f 0 Pour 3, 3 ε 3 ε Il suffit de choisir tel que 3 c est-à-dire 3 + ε ε Donc, ε > 0, A > 0 A 3 + ε, D f et f ε Remarque : Étudions la ite de f en On a f 0 Pour que 3 3 ε soit 3 ε Soit A 3 + ε Alors, ε, il suffit que Eercice 35 Correction : Quand 0, sin 0 donc sin 0 Quand, cos e donc 3 et A f ε 0 cose Quand, e sin e donc e sin Quand, + arctan arctan π 0 donc + arctan 0 5 Quand 0, E donc E puis E 0 Ainsi, E Quand, 0 donc E 0 puis E 0 0 Alors, E 0 /9

3 Eercice 36 Correction : sin ln + tan 0 e sin sin N D Donc, cosa tanb 0 sin ln + donc 0 0 tan donc 0 e sin + 3 sin donc N 3 D On a a b a b 3 + ε 8 + ε 5 0 cosa donc 0 tanb a b b 0 6 Soit f 3 + tanπ tanπ On pose + t Alors f + t + tt tanπ donc 3 + tanπ π 7 Soit f π tan On pose π + t donc π tan π f π + t t tanπ + πt + tt cosπt sinπt 0 + t t cos t sin t 0 8 Soit f tan cotan + π tan tan + π On pose π + t On a donc tan cotan + π π f π + t tant + π tant + π tan t tant 0 9 f ln + ln ln + ln ln + + ln N D On a N ln D ln + ln + + ln + ln ln D où f et on obtient : ln ln + ln 0 0 f ln e lne ln On a e e lne Alors, lne ln et 0 ln e ln β On rappelle les résultats suivants : pour α, β > 0, α 0, α ln β 0 Si a > et α > 0, 0 e + 9 ln a α, α a 0 Soit f N e + 9 ln e [ + 9 e ln e e N D ] e π 3/9

4 g D où, D 3 + ge e et 3 e + 9 ln e [ f n n + [ n + ] ε n [ ] ce qui permet d affirmer que n n 3 Soit f N D N e ln e ln D e ln e e ln ln Ainsi, f e ln ln e ln e ln e ln [ Eercice 37 Correction : Soit f + ln f ln Soit f + ln f ln sin ] e ln 0 donc donc + e Soit f cos ln f sin lncos 0 sin cos 0 Soit f cos + sin ln f lncos + sin 0 5 Soit f [ln + e ] ln f lnln + e [ ] + 6 Soit f ln f ln cos a + sin Alors ln f a + cos + sin 0 lne donc + sin + + n ] n + nn n, n + 0 donc + + e + donc cos sin 0 e donc cos + sin e 0 [ln + e ] e cos a + sin a tan a donc tan tan e tan a 7 Soit f tan tan ln f tan lntan On pose π π t On a alors tan tan t tan t et tan + tan t π tan t π tant Ensuite, ln f t tan t ln tant + tan t tan t 0 tant + tan t 0 t t donc + 3 tan π e 8 Soit f + 3 tan π π ln + 3 ln f tan π tan + π t cos π t sin π t 0 t ln + 9t ln 3 Donc ln f ln 3 9 π π tan π On pose + t On a alors tan π π t Ensuite, t + 3 +t 3 t + 93 t 0 et + 3 tan π 3 9 π /9

5 9 Soit f ln f ln + + [ ln + ln ] ε a + b 0 Soit f ln f a ln + b ln + + ε ln + + ε Alors, ln f ln + f +ε D où ln et Si a b, ln y ln a ln a et y a a + b Si b < a, a b + et ln y a ln a ln ln a et y a De même, si a < b, y b Finalement, l supa, b ln f a ln + b a + b a + b 0 ln a + b ab Finalement, ab 0 + Eercice 38 Correction : Soit f E + [ E] D f R f est continue sur R Z Soit 0 n Z, fn En + [n En] n Si ]n, n[, E n et f n + n, Si ]n, n + [, E n et f n + n, f est donc continue sur R n > n [ln a + ln + n < n f n + + ] b On a ln y a puis ln f 0 f n ln a + ln b Soit f + E D f R f est continue sur R Z Soit 0 n Z fn n Si n, f + n n + fn f est discontinue sur Z < n 3 Soit f E + E On vérifie aisément que f est continue sur R Soit f [E + E ] sink, k R D f R Si Z, E E et donc, E + E 0 Si R Z, on a E < < E + Cela implique { E + < < E E si Z et donc E E + En résumé, f sink si R Z f est continue en 0, et f est continue sur R Z Soit n Z, fn 0 f est continue en tout point n Z n Z, sink 0 p Z, k pπ Finalement, f est continue sur R k est un multiple de π Eercice 39 Correction : Puisque + > 0 pour tout dans R, le numérateur est défini sur R, donc D f R Étudions maintenant la continuité de f sur D f Nous allons montrer que f est continue sur D f tout entier Étude du numérateur : la fonction + sera continue là où + l est Or, celle-ci est la composée de u : +, continue sur R, donc sur D f ; v : t t, continue sur J R + ; on a ud f J R + Donc, par continuité d une composée, le numérateur est continu sur D f Étude du dénominateur : la fonction 3 est continue sur R donc sur D f Conclusion, puisque le numérateur et le dénominateur sont continus sur D f, et puisque le dénominateur ne s annule pas sur D f, le quotient est continu sur D f R + 5/9

6 Puisque g f sur R, g est définie et continue sur cet ensemble D autre part, g est évidemment définie en 0 puisque g0 eiste, il ne reste donc plus qu à vérifier que g est continue en 0, c est-à-dire que 0 0 f g0 Cela se prouve à l aide de la quantité conjuguée On a, pour tout 0 : et f Eercice 30 Correction : On utilise dans cet eercice la densité de Q et de R\Q R Q dans R on rappelle qu une partie A de B est dense dans B si entre deu éléments de B distincts, il eiste au moins un élément de A On peut alors affirmer que pour tout réel, il eiste une suite de rationnels ou d irrationnels qui tende vers lui { si Q Soit f si R Q Montrons que que f est discontinue en tout point de R Q ecluant nécessairement les points 0 0 et 0 et de Q {0, } : Soit 0 R Q, alors f 0 0 Donc u n n Q, u n 0 Or, fu n u n, et donc fu n 0 f 0 0 f est donc discontinue en tout point de R Q Soit 0 Q, alors f 0 0 On remarque que f donc f peut être continue en 0 0 ou 0 Partout ailleurs, c est-à-dire si 0 Q {0, }, u n n R Q, u n 0 Or, fu n u n, et donc fu n 0 f 0 0, ce qui prouve que f est discontinue en tout point de Q {0, } Qu en est-il en 0 0 et 0? Soit 0 0 Alors, 0 Q Soit 0 Alors, Q f f 0 Q Q 0 R Q R Q f f On en déduit que l ensemble des points de continuité de f est {0, } 0 si 0 Soit f si Q si R Q 0 R Q R Q 0 Soient 0 0 et u n n Q On a fu n n par définition de f On note que u n 0 et fu n ce qui permet d affirmer que f est discontinue en 0 On montre comme précédemment que f est discontinue en tout point de R Q et de Q {0,, } Si 0, Q f Q f et On montre la même chose pour 0 L ensemble des points de continuité de f est {, } R Q f R Q f En remarquant que Q Q, on vérifie que f f Id R f est donc bijective { si Q 3 Soit f + si R Q Soit 0 R Comme précédemment, on utilise la densité de Q et de R Q pour montrer que f 0 et 0 R Q f f 0 0 Q f { si Q Soit g En remarquant que Q + Q Q, on établit que + si R Q g f f g Id R d où la bijectivité de f 6/9

7 Eercice 3 Correction : Soit f convenant, c est-à-dire f : R R continue en 0 telle que R, f3 f On peut montrer par récurrence sur n que R, n N, f f 3 n propriété P n : P 0 est vraie puisque 3 0 Supposons la propriété P n vraie au rang n Montrons alors que P n P n+ On a f 3 n+ f 3 3 n f P n 3 f Donc la propriété P n est vraie n N Comme 3 n 0 et f est continue en 0, on a f 3 n f0 Finalement, f f f 3 3 n f 3 n+ f0 cste Réciproquement, soit f telle que R, f λ, λ R Alors, f est continue en 0 et vérifie f3 f Conclusion, f : R R, λ R sont les fonctions qui conviennent λ Soit f convenant c est-à-dire f : R R continue en 0 telle que R, f f + On note ϕ : R R et n N, ϕ n ϕ ϕ }{{} + n fois Considérons le cas R + On peut montrer par récurrence sur n que n N, f fϕ n propriété P n P est vraie puisque fϕ fϕ f + f d après Supposons la propriété P n vraie au rang n Montrons alors que P n P n+ On a fϕ n+ fϕ n ϕ fϕ ϕ n P fϕ n Pn f Donc, la propriété P n est vraie n N D autre part, ϕ n 0 donc par continuité de f en 0, fϕ n f On raisonnera de même pour R f0 Réciproquement, soit f définie R par f λ, λ R Alors f est continue en 0 et vérifie f f Conclusion, f : R R λ, λ R sont les fonctions qui conviennent Prouvons : on se ramène à l étude de la suite { u0 n N, u n+ un u n + + Si 0, une récurrence immédiate montre que n N, u n 0 Ensuite, n N, u n+ u n u3 n u n + 0 donc u n n décroît Puisque u n n décroît et est minorée par 0, elle converge vers un réel l 0 En passant à la ite quand n tend vers, on obtient l l l + l3 0 l 0 Finalement, u n 0 Si 0, une récurrence immédiate montre que n N, u n 0 Ensuite, n N, u n+ u n u3 n u n + 0 donc u n n croît Puisque u n n croît et est majorée par 0, elle converge vers l 0 Finalement, u n 0 3 Montrons tout d abord que f est paire On a f f f Soit R +, on a f f f f 8 n f n pour tout n N résultat qu on peut montrer par récurrence sur n Comme n et f est continue en, on a f n f donc n f f Si f 0, la suite n f n N diverge d où une contradiction avec Ainsi, f 0 Si 0, f0 f0 f0 f0 0 7/9

8 La réciproque est évidente : f 0 est continue en et vérifie f f Conclusion, {0} est l ensemble des fonctions qui conviennent Eercice 3 Correction : On a 0, a a a 3 avec a i 0, 9, i La fonction f : [0, [ [0, [ 0, a a 3 a peut se réécrire f : [0, [ [0, [ Si 0, a alors f 0 f0, a Or f f0, a 0, a 0 a < 0, a donc f est discontinue au points tels que 0, a Partout ailleurs, la fonction est continue Eercice 33 Correction : On va utiliser le corollaire 3 du TVI, appliqué à g et l intervalle I [a, a+b ] : g est continue sur I en tant que différence de fonctions continues sur I ; comme ga f a + b a a + b fa f fa et a + b a + b g f + b a a + b a + b a + b f fb f fb f ga, a + b g et ga sont de signe contraire Par conséquent, c ]a, a+b [ tel que gc 0 Application : Soit t le temps en heures et dt la distance parcourue en km entre les instants 0 et t Supposons que la fonction t dt est continue Posons ft dt t On a donc par hypothèse f0 0 et f 0 Utilisons maintenant le résultat précédent avec a 0 et b Il eiste donc c ]0, [ tel que gc 0 f c + fc d c + c + dc c d c + dc Donc entre c et c + soit / heure, la personne court eactement km Eercice 3 Correction : On peut prouver le résultat de plusieurs façons : Raisonnons par l absurde Supposons que la fonction dmette une ite l en Alors, pour toute suite réelle n n N telle que n, on aurait cos n l Mais n N, cosnπ et π cos + nπ 0, d où l 0 et l, ce qui génère une contradiction On conclut que la fonction cos n a pas de ite en Supposons que cosn l ; il en est de même pour les suites cosn, cosn + et cosn La formule cosn + + cosn cosn cos implique que : l + l l cos, ce qui montre que l 0 car cos est différent de La formule cosn cos n implique de son côté que l l ce qui est en contradiction avec l 0 Remarque : on montrera de la même manière que la fonction sin n a pas de ite en Eercice 35 Correction : f f + f f f + f 0 0 donc f f 0 On a ensuite : 0 f f + + f f f Ceci montre f 0 Eercice 36 Correction : Soient E l équation fonctionnelle donnée et f une fonction vérifiant E Soit R En appliquant f à et à, on obtient : f + 3f f + 3f L L 3L L 8/9

9 En combinant L et L comme indiqué, on obtient 8f 3 f 3 8 Réciproquement, on considère l application f : R R, f 3 8 On a pour tout R, ce qui prouve que f convient f + 3f Conclusion, une seule application convient et est définie par f : R R, f 3 8 Eercice 37 Correction : Soit f : R R une application continue et périodique Soit T une période de f, strictement positive On a alors fr f[0, T ], et on utilise pour conclure le fait que toute fonction continue sur un segment est bornée Eercice 38 Correction : Soit f : R R une application bornée et g : R R une application continue Comme f est bornée, f g est bornée g fr gfr et fr est une partie bornée, donc incluse dans un segment [a, b] Comme g est continue, g[a, b] est bornée Eercice 39 Correction : Soit f : R ], [ f est continue et strictement croissante sur ], [ De plus, f + et f Cela implique que f est une bijection de R sur ], [ Donc, y ], [,! R, f y On sait que f y Alors 0 y < 0 y y + y f : ], [ R y 0 0 y y y + + y y y On peut aussi remarquer que f est impaire, et donc f aussi, et se iter à y [0, ] f :], [ R, f ], [, y R, y f y + y 0 Comme ], [, si y 0, y + + y Si y 0, 0 y En résumé, f est bijective et y R, f y + + y y Eercice 30 Correction : f : R R, f On vérifie que f est continue, strictement croissante et f et f Alors, f f f f f Donc f 5 Montrons : L implication de la droite vers la gauche est évidente puisque f f ff f Prouvons l implication de la gauche vers la droite : on suppose 0 E tel que f 0 > 0 Comme f est strictement croissante, on aurait f f 0 > f 0 soit 0 > f 0 ce qui est en contradiction avec l hypothèse On obtient le même résultat si l on suppose 0 E tel que f 0 < 0 Donc nécessairement, E, f 9/9

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. a) x arctan x. a) x x x b) x (ch x) x c) x ln x [ttp://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 205 Enoncés Dérivation Dérivabilité Eercice [ 0354 ] [Correction] Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes : a) 2 3 b) 2 ) arccos 2 ) Eercice 2

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

CH1 : Langages de la continuité Limites

CH1 : Langages de la continuité Limites CH : Langages de la continuité Limites I. Continuité- Théorème des valeurs intermédiaires. Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. Lorsque la courbe représentative de f ne présente

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html

Licence MIMP Semestre 1. Math 12A : Fondements de l Analyse 1. http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Licence MIMP Semestre 1 Math 12A : Fondements de l Analyse 1 http ://math.univ-lille1.fr/ mimp/math12.html Septembre 2013 Table des matières Chapitre I. Les nombres réels et les suites numériques 1 1

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Devoir surveillé n 1 : correction

Devoir surveillé n 1 : correction E1A-E1B 013-01 Devoir surveillé n 1 : correction Samedi 8 septembre Durée : 3 heures. La calculatrice est interdite. On attachera une grande importance à la qualité de la rédaction. Les questions du début

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Banque PT, 2000, Math I-A Partie I

Banque PT, 2000, Math I-A Partie I Banque PT,, Math I-A Partie I.) La fonction G de P = (;) R ; > ª dans R de nie par : G(;) = arctan composee de fonctions de classe C.On calcule successivement : @G @ (;) = = ; @G @ (;) = et donc : G(;)

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

DERIVATION. PLAN I : Dérivée

DERIVATION. PLAN I : Dérivée 203 - Gérard Lavau - http://lavau.pagesperso-orange.fr/index.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitement. Toute diffusion à titre onéreux ou

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Généralités sur les fonctions numériques

Généralités sur les fonctions numériques 7 Généralités sur les fonctions numériques Une fonction numérique est, de manière générale, une fonction d une variable réelle et à valeurs réelles. 7.1 Notions de base sur les fonctions Si I, J sont deux

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions

Sciences Po Paris 2012 Mathématiques Solutions Sciences Po Paris 202 athématiques Solutions Partie : Le modèle de althus odèle discret a Pour tout entier naturel n, on a P n+ P n = P n donc P n+ = +P n Par suite la suite P n est géométrique de raison

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Ó Ø Ó Ö ¾¼½ PSI Aurélien Monteillet ii Ce document contient les notes d un cours de mathématiques pour la classe de PSI. Les démonstrations non exigibles ou hors programme sont explicitement

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Cours d analyse 1 Licence 1er semestre. Guy Laffaille Christian Pauly

Cours d analyse 1 Licence 1er semestre. Guy Laffaille Christian Pauly Cours d analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 006 Table des matières 1 Les nombres réels et complexes 5 1.1 Nombres rationnels................................... 5 1. Nombres

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

LIMITES EXERCICES CORRIGES

LIMITES EXERCICES CORRIGES ours et eercices de mathématiques LIMITES EXERIES ORRIGES M UAZ, http://mathscyrreer Eercice n Déterminer la ite éventuelle en de chacune des onctions suivantes : ) ) ) 4 ( ) Déterminer la ite éventuelle

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble. Suites numériques. Bernard Ycart

Université Joseph Fourier, Grenoble. Suites numériques. Bernard Ycart Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Suites numériques Bernard Ycart Vous savez déjà étudier une suite et calculer sa limite. La nouveauté réside dans la rigueur. La notion de convergence

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

EXERCICES SUR LES FONCTIONS CONTINUES

EXERCICES SUR LES FONCTIONS CONTINUES EXERCICES SUR LES FONCTIONS CONTINUES. Dans chacun des cas suivants, préciser si la partie A de R proposée admet une borne supérieure, une borne inférieure, un plus grand, un plus petit élément, et les

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros

Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire. Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Cours de mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Jean-Paul Widehem 2009-2010 Lycée Roland Garros Table des matières partie 1. Récurrence et suites 1 Chapitre 1. Raisonnement par récurrence

Plus en détail

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3.

Partie I : Manipulation d inégalités. n k. k=0. (1 + a) n 1 + na. 27. Indication : On pourra utiliser les fonctions f(x) = (x+b+c)3. Mathématiques Devoirs de Vacances MPSI/PCSI août 5 Partie I : Manipulation d inégalités Eercice Soit m un réel Déterminer l'ensemble E des réels tels que e + e l'ensemble E des réels tels que (m + + m

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de et v n Déterminer si possible, ( +

Plus en détail

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités

MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE TOULOUSE MATHS Rappels Suites, Fonctions, Développements limités Pascal Floquet Xuân Meyer Première Année à Distance Septembre 006 Jean-Claude Satge Table des matières

Plus en détail

La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES. Exercice 1 - sur 4 points

La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES. Exercice 1 - sur 4 points La maison Ecole d ' Baccalauréat blanc Classe de terminale ES Année scolaire 00-004 Copyright c 004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence On veillera à détailler et à rédiger clairement les raisonnements,

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

3 2 Séries numériques

3 2 Séries numériques BCPST 9 5 3 Séries numériques I Généralités A) Dénition Soit (a n ) n N une suite à valeurs dans R. On appelle série de terme général a n, et on note a n la suite dénie par : S n = On dit que S n est la

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

MATHS VUIBERT. Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés VUIBERT MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES MATHS ECE 2 e année Tout le programme Rappels de cours Conseils de méthode Exercices guidés Exercices d approfondissement Problèmes de synthèse Tous les corrigés détaillés

Plus en détail

- Module M2 - Fondamentaux d analyse

- Module M2 - Fondamentaux d analyse - Module M - Fondamentau d analyse Cléo BARAS, cleo.baras@ujf-grenoble.fr IUT - Grenoble Département Réseau et Télécommunications DUT - ère année Année universitaire 9- Web : http ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/gtr/mathm/inde.asp

Plus en détail

Olympiades Françaises de Mathématiques 2012-2013. Test du mercredi 9 janvier Corrigé

Olympiades Françaises de Mathématiques 2012-2013. Test du mercredi 9 janvier Corrigé Olympiades Françaises de Mathématiques 202-203 Test du mercredi 9 janvier Corrigé Exercice. Soit ABC un triangle isocèle en A. On note O le centre de son cercle circonscrit. Soit D un point de [BC]. La

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES CHAPITRE SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Les suites sont un objet fondamental à la fois en mathématiques et dans l application des mathématiques aux autres sciences. Nous verrons dans ce cours et les travaux

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications

Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0 Théorème de Rolle et égalité des accroissements finis. Applications 0. Le théorème de Rolle sur un espace vectoriel normé Pour ce paragraphe, on se donne un espace vectoriel normé (E, ). Le théorème

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND. Mathématiques. Analyse. en 30 fiches

Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND. Mathématiques. Analyse. en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Analyse en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Analyse en 30 fiches Dunod, Paris, 009 ISBN

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Exercices de Khôlles de Mathématiques, premier trimestre

Exercices de Khôlles de Mathématiques, premier trimestre Exercices de Khôlles de Mathématiques, premier trimestre Lycée Louis le Grand, Paris, France Igor Kortchemski MP*2-2006/2007 Table des matières 1 Semaine 1 - Équivalents, développements asymptotiques,

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Synthèse d analyse Avril 2011

Synthèse d analyse Avril 2011 Snthèse d analse Avril 20 Cette snthèse d analse a été rédigée suite à une suggestion de M le Professeur E Delhez Elle est destinée à aider les étudiants à préparer l eamen d admission au études d ingénieur

Plus en détail

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Il s agit donc de montrer une propriété commençant par un symbole. La démonstration débute donc par : Soit (x 1, x 2 ) E 2. La propriété

Plus en détail

L équation. y = y x. Pierre Abbrugiati

L équation. y = y x. Pierre Abbrugiati { x L équation y = y x x < y Pierre Arugiati I Tale des matières 1 Introduction 1 1.1 Lemmes préliminaires........................ 1 2 Résolution dans N 2 3 3 Résolution dans Z 2 5 4 Résolutions dans Q

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Preuve.

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

Mines MP 2004, Maths 1

Mines MP 2004, Maths 1 MP 933 & 934 evoir à la Maison n o 8 Corrigé Mines MP 24, Maths Première partie Variations de la fonction ϕ. On a bien évidemment, au voisinage de : Arctant t et e πt πt, donc ϕ(t) t + /π : On peut donc

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

COURS COMMUN L1 MI & MIAGE

COURS COMMUN L1 MI & MIAGE COURS COMMUN L MI & MIAGE 5 janvier 03 Table des matières Propriétés du corps des nombres réels 3. A propos du corps des réels R.......................... 3.. Notion de corps..............................

Plus en détail

1 Topologies, distances, normes

1 Topologies, distances, normes Université Claude Bernard Lyon 1. Licence de mathématiques L3. Topologie Générale 29/1 1 1 Topologies, distances, normes 1.1 Topologie, distances, intérieur et adhérence Exercice 1. Montrer que dans un

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal

Cours d Analyse Semestre 1. Stéphane Attal Cours d Analyse Semestre 1 Stéphane Attal 2 Contents 1 Les nombres réels 5 1.1 Les ensembles usuels de nombres................ 5 1.2 Ensembles ordonnés........................ 6 1.3 Le corps des nombres

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Université Paris Diderot Langage Mathématique (LM1) Département Sciences Exactes 2011-2012 Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Durée : 3 heures Exercice 1 Dans les expressions suivantes, les

Plus en détail

Exercices de rentrée MPSI-PCSI

Exercices de rentrée MPSI-PCSI Exercices de rentrée MPSI-PCSI Lycée Saint-Louis 015-016 Introduction Cette feuille d exercices s adresse aux élèves rentrant en MPSI ou en PCSI au lycée Saint- Louis Il s agit d exercices qui sont entièrement

Plus en détail

Université 8 Mai 1945 - Guelma

Université 8 Mai 1945 - Guelma Université 8 Mai 945 - Guelma Dr HITTA Amara Cours Algèbre et Analyse I Conformément au programmes LMD : DEUG I MI/ST 8/9 Mathématiques et informatique Eercices Corrigés Faculté des Sciences et de l Ingénierie

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

THÉORÈME DE ROLLE ET THÉORÈME DE LA MOYENNE DE LAGRANGE

THÉORÈME DE ROLLE ET THÉORÈME DE LA MOYENNE DE LAGRANGE THÉORÈME DE ROLLE ET THÉORÈME DE LA MOYENNE DE LAGRANGE Théorème de Rolle 2 Théorème de la moenne de Lagrange 3 Interprétation phsique 4 Conséquences mathématiques du théorème de la moenne de Lagrange

Plus en détail

Notes de cours. Cours introductif sur la théorie des domaines. Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique

Notes de cours. Cours introductif sur la théorie des domaines. Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique Notes de cours Cours introductif sur la théorie des domaines Paul-André Melliès Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique 1 Ensembles ordonnés Definition 1.1 (ensemble

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES

OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES FRANÇAISES DE MATHÉMATIQUES OLYMPIADES OFM FRANÇAISES MATHÉMATIQUES ENVOI NO. 3 CORRIGÉ 1 Exercices du groupe B Exercice 1. Soit n 1 un entier tel que le quotient de 2 n par n est une puissance

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 1/10 Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maima. Les commandes

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

MATHEMATIQUES Option Economique

MATHEMATIQUES Option Economique Concours EDHEC 9 Classes Préparatoires MATHEMATIQUES Option Economique La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

TS - Cours sur le logarithme népérien

TS - Cours sur le logarithme népérien Lcée Europole - R. Vidonne 1 TS - Cours sur le logarithme népérien Fonction carrée et racine carrée Considérons les fonctions f : R + R + g : R + R + 2 Dans un repère orthonormal, les courbes C f et C

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés Espaces vectoriels normés Essaidi Ali 19 octobre 2010 K = R ou C. E un K-espace vectoriel. 1 Normes et distances : 1.1 Normes et distances : Définition : On appelle semi-norme sur E toute application N

Plus en détail

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin

Exo7. Topologie générale. Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Enoncés : M. Quéffelec Corrections : A. Bodin Exo7 Topologie générale Exercice 1 1. Rappeler les définitions d une borne supérieure (inférieure) d un ensemble de nombres réels. Si A et B sont deux ensembles

Plus en détail

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Développements limités. 1 Calculs. 2 Applications. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Développements ités Corrections d Arnaud Bodin. Calculs Exercice Donner le développement ité en 0 des fonctions :. cosx expx à l ordre 2. ln + x)) 2 à l ordre 4 shx x. x à l ordre 6 4. exp sinx) )

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Ensembles et applications. Motivations. Exo7

Ensembles et applications. Motivations. Exo7 o7 nsembles et applications Vidéo partie 1. nsembles Vidéo partie 2. Applications Vidéo partie 3. Injection, surjection, bijection Vidéo partie 4. nsembles finis Vidéo partie 5. Relation d'équivalence

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail