Contrôle de mathématiques 4
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- Rose Bernier
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1 Terminale ES 2 5 janvier 2017 Contrôle de mathématiques 4 Exercice I f est la fonction définie sur [ ; 1,5] dont la courbe C est donnée ci-dessous O 1 C 5 On ne demande pas de justifications pour les questions 1 et 2, mais pour les autres on attend des explications (courtes). 1. Sur quel(s) intervalle(s) f est-elle croissante? 2. Résoudre graphiquement l inéquation f(x) 0.. Sur quel(s) intervalle(s) f est-elle convexe? 4. Résoudre graphiquement l équation f (x) = Sur quel(s) intervalle(s) f est-elle décroissante? 6. Résoudre graphiquement l inéquation f (x) < Résoudre graphiquement l inéquation f (x) 0. Exercice II f est une fonction définie et dérivable deux fois sur R. On sait que pour tout x, f (x) = 2 x 5 2 x2 + x Prouver que pour tout x, f (x) = 2x 2 5x Établir le tableau de signes de f (x).. En déduire les variations de f. 4. La courbe représentative de f admet-elle des points d inflexion? Si oui, en donner les abscisses. 5. Sur quel(s) intervalle(s) f est-elle concave?
2 Exercice III Une entreprise fabrique chaque jour des objets. Cette production ne peut dépasser 700 objets par jour. On modélise le coût total de production par une fonction C. Lorsque x désigne le nombre d objets fabriqués, exprimé en centaines, C(x), le coût total correspondant, est exprimé en centaines d euros. La courbe représentative de la fonction C est donnée ci-dessous. Partie A Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes en arrondissant au mieux. On laissera apparents les traits de construction sur la figure. 1. Quel est le coût total de production pour 450 objets? 2. Combien d objets sont produits pour un coût total de euros?. On considère que le coût marginal est donné par la fonction C dérivée de la fonction C. (a) Estimer le coût marginal pour une production de 100 objets puis de 600 objets. (b) Que pensez-vous de l affirmation : le coût marginal est croissant sur [0 ; 7]? centaines d euros centaines d objets Partie B Le prix de vente de chacun de ces objets est de 75 euros. 1. On note r la fonction recette. Pour tout nombre réel x dans l intervalle [0 ; 7], r(x) est le prix de vente, en centaines d euros, de x centaines d objets. Représenter la fonction r dans le repère donné. 2. En utilisant les représentations graphiques, répondre aux questions qui suivent. (a) En supposant que tous les objets produits sont vendus, quelle est, pour l entreprise, la fourchette maximale de rentabilité? Justifier la réponse. (b) Que penser de l affirmation : il est préférable pour l entreprise de fabriquer 500 objets plutôt que 600 objets?
3 Terminale ES 2 5 janvier 2017 Exercice I Corrigé du contrôle de mathématiques 4 1. f est croissante sur [ ; 2] [0 ; 1,5]. 2. L inéquation f(x) 0 apour solution [1 ; 1,5] { 2}.. f est convexe [ 1 ; 1,5]. Le point de coordonnées ( 1; 2) semble être un point d inflexion, et arpès ce point, la courbe de f est au-dessus de ses tangentes. 4. L équation f (x) = 0 a pour solutions -2 et 0. Pour ces abscisses, les tangentes à la courbe de f sont horizontales. 5. f est décroissante là où la fonction f est concave : sur [ ; 1]. 6. L inéquation f (x) < 0 a pour solution ] 2 ; 0[. Sur cet intervalle, la fonction f est décroissante. 7. L inéquation f (x) 0 a pour solution [ 1 ; 1,5], là où f est convexe. Exercice II Pour tout x, f (x) = 2 x 5 2 x2 + x Pour tout x, f (x) = 2 x x + = 2x 2 5x + 2. f (x) est du signe de 2 sauf entre ses racines 1 et 2. (on a calculé Δ = 1, puis x 1 = = 1 et x 2 = = 2 ). x f (x) Variations de f. x f (x) f 4. La courbe représentative de f admet des points d inflexion quand la dérivée seconde s annule et change de signe. C est le cas en 1 et f est-elle concave quand f (x) est négative, c est-à-dire sur [1 ; 2 ].
4 Exercice III Partie A 1. C(4,5) 250. Le coût de production de 450 objets est donc AC. 2. C(6,5) 600. Un coût de euros correspond à 650 objets.. (a) Le coût marginal pour une production de 100 objets, est environ C (1). On lit graphiquement le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d abscisse 1. Ce coefficient directeur est à peu près égal à 75. Donc le coût marginal pour 100 objets est environ 75 euros. Pour 600 objets, on trace la tangente au point de la courbe d abscisse 6 c està-dire B ; son coefficient directeur est à peu près 00. Donc le coût marginal correspondant à 600 objets est à peu près de 00 AC. Partie B (b) L affirmation est fausse. Sur [0 ; 4,5], la fonction C est concave,donc le coût marginal C est décroissant. 1. r(x) est le prix de vente, en centaines d euros, de x centaines d objets. La vente de x centaines d objets rapporte 75 x 100 euros, donc 75x centaines d euros : donc r(x) = 75x. La fonction r est une fonction linéaire, donc elle est représentée par une droite passant par l origine. r(0) = 0 et r(8) = 600 donc la fonction recette est représentée par la droite D passant par les points de coordonnées (0 ; 0) et (8 ; 600). 2. (a) Pour que l entreprise fasse des bénéfices, il faut que la recette soit supérieure au coût, donc que r(x) > C(x). Graphiquement, il s agit de chercher les valeurs de x pour lesquelles la droite D est au dessus de la courbe. On trouve à peu près l intervalle [2,8 ; 6,], ce qui correspond à un nombre d objets compris entre et 280 et 60. Il faut donc produire entre 280 et 60 objets pour réaliser des bénéfices. (b) Le bénéfice réalisé pour 500 objets est donné alors par r(5) C(5) qui est la longueur du segment [MN]. Le bénéfice réalisé pour 600 objets est donné alors par r(6) C(6) qui est la longueur du segment [P R]. Sur le graphique, on voit que le segment [MN] est plus grand que le segment [P R] donc le bénéfice réalisé pour 500 objets est supérieur au bénéfice réalisé pour 600 objets. L affirmation proposée dans le texte est donc vraie.
5 centaines d euros A 75 D B R 00 2,8 4,5 6, centaines d objets M N P 6,
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