GELE5222 Chapitre 6 : Structures périodiques et filtres

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1 GELE5222 Chapitre 6 : Structures périodiques et filtres Gabriel Cormier, Ph.D., ing. Université de Moncton Hiver 2012 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96

2 Introduction Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Contenu Contenu : Matrice ABCD Structures périodiques Design par paramètres d image Sections à k constant Filtres dérivés en m Design par pertes d insertion Transformations de filtre Implémentation hyperfréquence Filtres à saut d impédance

3 Introduction Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Introduction Filtre : structure périodique pour contrôler la réponse en fréquence Dans presque tous les systèmes de communication Presque tous constitués de structures périodiques

4 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Matrice ABCD Matrice ABCD Relie les entrées d un circuit aux sorties. + V 1 I 1 Réseau 2 ports I 1 I 2 + V 2 } [ ] [ ] [ ] V 1 = AV 2 + BI 2 V1 A B V2 = I 1 = CV 2 + DI 2 C D I 2

5 Matrice ABCD Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Calcul Méthode 1 : A = V 1 V 2 I2 =0 B = V 1 I 2 V2 =0 C = I 1 V 2 I2 =0 D = I 1 I 2 V2 =0 On applique I 1 = 0 ou I 2 = 0.

6 Matrice ABCD Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Calcul Méthode 2 : A = V 1 V2 =1, I 2 =0 B = V 1 V2 =0, I 2 =1 C = I 1 V2 =1, I 2 =0 D = I 1 V2 =0, I 2 =1 On applique 1 V ou 1 A.

7 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Circuits en cascade Matrice ABCD Réseau 1 Réseau 2 On peut combiner multipliant les matrices, en ordre : [ABCD] T = [ABCD] 1 [ABCD] 2

8 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple Matrice ABCD Z 1 Z 1 + Z 2 = Z 2 La matrice totale est : [ ] [ ] 1 Z1 1 0 = Z 2 1 [ ] 1 + Z 1 Z 2 Z 1 1 Z 2 1

9 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Structures périodiques Ligne de transmission sans pertes On commence avec une ligne sans pertes : I 1 I V 1 Z 0, k z = 0 z = l V 2

10 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Structures périodiques Ligne de transmission sans pertes On ajoute une susceptance jb = jb/z 0 au centre de la ligne : I 1 I 2 + V 1 jb + V 2 z = d/2 z = 0 z = d/2

11 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Matrice ABCD Structures périodiques La matrice ABCD est : [ ( cos θ [ABCD] = 2) j sin ( ) θ 2 j sin ( )] [ θ 2 cos ( ) 1 0 θ jb 1 2 cos(θ) b ( 2 sin(θ) j = ( j sin(θ) + b 2 cos(θ) b ) 2 ] [ ( cos θ 2) j sin ( ) θ 2 j sin ( )] θ 2 cos ( ) θ 2 sin(θ) + b 2 cos(θ) b 2 cos(θ) b 2 sin(θ) )

12 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Assemblage de lignes Structures périodiques Soit un assemblage infini de lignes : I n I n Z 0 jb jb jb jb V n V n+1 d d d d

13 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Matrice ABCD Structures périodiques Pour cette structure périodique, il faut que : V n+1 = V n e γd I n+1 = I n e γd où γ = α + jβ, la constante de propagation (à déterminer). On a donc : [ ] [ ] [ ] [ Vn A B Vn+1 Vn+1 e = = γd ] C D I n+1 e γd I n I n+1 ou, [ ] [ ] A e γd B Vn+1 C D e γd = 0 I n+1 Le déterminant de la matrice doit être zéro, de sorte que : AD (A + D)e γd + e 2γd BC = 0

14 Structures périodiques Matrice ABCD Étant donné que AD BC = 1 pour un réseau sans pertes : 1 + e 2γd (A + D)e γd = 0 e γd + e γd = A + D cosh(γd) = A + D 2 = cos(θ) b 2 sin(θ) Puisque γ = α + jβ, on a : cosh(γd) = cosh(αd) cos(βd) + j sinh(αd) sin(βd) = cos(θ) b 2 sin(θ) alors α = 0 ou β = 0 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96

15 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Structures périodiques Classe 1 : α = 0 et β 0 Cette classe de solutions a lieu lorsque : cos(kd) b 2 sin(kd) < 1 onde non atténuée qui se propage le long de la structure, avec une constante de propagation β : cos(βd) = cos(kd) b 2 sin(kd) Note : k = 2π/λ g et b = B Y 0 sont fonction de la fréquence. Il existe donc des bandes de fréquences pour lesquelles cette équation est vraie : la bande passante de la structure périodique.

16 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Structures périodiques Classe 2 : α 0 et β = 0, π Cette classe de solutions a lieu lorsque : cos(kd) b 2 sin(kd) 1 champ atténuée exponentiellement : bande de rejet qui a lieu lorsque : cosh(αd) = cos(kd) b 2 sin(kd)

17 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Impédance Structures périodiques L impédance caractéristique normalisée de la structure infiniment longue est : z b = Z B = V n+1 Z 0 I n+1 qui est indépendant de n : impédance de Bloch. L impédance Z 0 est l impédance caractéristique de la ligne, sans charge. On peut démontrer que B Z B = ±Z 0 A 2 1 Puisque B est purement imaginaire, Z B est purement réelle pour les fréquences de la bande passante ( A < 1) et purement réactive pour les fréquences de la bande de rejet ( A > 1).

18 Structures périodiques Structure périodique Avec N sections, se comporte comme infiniment longue si : Source a une impédance Z B Charge a une impédance Z B Parfois nécessaire d utiliser un transformateur λ/4. Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96

19 Diagrammes de Brillouin Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Diagramme de Brillouin Utilisé pour caractériser le fonctionnement en dispersion Montre la bande passante et la bande de rejet

20 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Diagrammes de Brillouin Exemple : Guide rectangulaire Le nombre d onde d un guide rectangulaire est : k = β 2 + kc 2 k Bande passante Point d opération TE 10 k = β k c Rejet 0 Pente = v p /c Pente = v g /c β

21 Design par paramètres d image Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Méthodes de design de filtres Deux méthodes principales : Technique des paramètres d image (image parameter technique) Méthode des pertes d insertion (insertion loss technique)

22 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Impédances image Design par paramètres d image Impédances image Les impédances images pour un circuit à 2 ports sont définies comme suit : Z i1 : impédance d entrée au port 1 quand le port 2 est terminé par Z i2 Z i2 : impédance d entrée au port 2 quand le port 1 est terminé par Z i1 I 1 I 2 + C [ A B ] + Z i1 V 1 D V 2 Z i2 Z in1 Z in2

23 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Impédances image Design par paramètres d image Impédances image Les deux ports sont terminés par leur impédance image. On peut démontrer que : AB BD Z i1 = Z i2 = CD AC où Z i2 = D A Z i1 On obtient aussi les relations suivantes entre les tensions et les courants : V 2 D ( ) = AD BC V 1 A I 2 I 1 = A D ( AD BC )

24 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Impédances image Design par paramètres d image Impédances image Le rapport D/A est comme le rapport d enroulement N d un transformateur ; et on peut définir un facteur de propagation du réseau : ce qui donne e γ = AD BC V 2 V 1 = Ne γ I 2 I 1 = 1 N e γ où γ = α + jβ. On peut démontrer que cosh(γ) = AD

25 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Réseaux symétriques Design par paramètres d image Impédances image Le réseau T et Π sont symétriques : a) Réseau T b) Réseau Π

26 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple Design par paramètres d image Impédances image Calculer Z i1, Z i2 et γ pour le réseau L suivant : C L

27 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Design par paramètres d image Impédances image À partir du tableau 4.1, p.185 (Pozar), on peut calculer les paramètres ABCD : Z 1 = Z 2 = jωl Z 3 = j ωc avec une fréquence de résonance ω 0 = 1/ LC. On définit une impédance Z m = L/C. Les paramètres du réseau sont : A = 1 + Z 3 = 1 1 Z 2 ω 2 LC = 1 ω2 0 ω 2 = ω2 ω0 2 ω 2 B = Z 3 = j ωc C = Z 3 = j Z 1 Z 2 Z 1 Z 2 ωl D = 1 + Z 3 Z 1 = 1

28 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Design par paramètres d image Impédances image Les impédances images : Z i1 = Z i2 = AB CD = BD AC = L ( ) ω 2 ω0 2 C ω 2 L ( ) ω 2 C ω 2 ω0 2 Noter que Z i1 et Z i2 sont réels pour ω > ω 0 et imaginaires pour ω < ω 0. La constante de propagation est : ) γ = α + jβ = cosh 1 ( AD) = cosh 1 ( ω 2 ω 2 0 ω et α = Re(γ), β = Im(γ).

29 Design par paramètres d image Impédances image Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Si C = 2.61 pf et L = 46.1 nh, la résonance f 0 = MHz et Z m = Ω. Le graphe des impédances en fonction de la fréquence : Z (Ω) résonance R i1 X i1 R i2 X i f (GHz)

30 Design par paramètres d image Impédances image Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Diagramme de α et β en fonction de la fréquence : α (Np) et β (rad) 4 2 résonance α β f (GHz)

31 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Réseau T Design par paramètres d image Sections à k constant Z 1 /2 Z 1 /2 + + Z i1 V 1 Z 2 V 2 Z i2 Puisque le réseau est symétrique, Z i1 = Z i2 = Z it et le rapport de tension : où le rapport N = 1. V 2 V 1 = Ne γ

32 Design par paramètres d image Sections à k constant Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Réseau T La constante de propagation est : Par contre : e γ = [ 1 + Z 1 2Z 2 + ] 1 Z 1 + Z2 1 Z 2 4Z2 2 Il faut que le filtre soit terminé par Z i1 et Z i2 (difficile en pratique) Atténuation faible à la fréquence de coupure Impédance image qui n est pas constante

33 Design par paramètres d image Filtres dérivés en m Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Filtres dérivés en m Ressemblent aux sections à k constant Ajoute un élément réactif à l impédance shunt Valeurs des éléments dépend d un coefficient m m dépend de la réponse fréquentielle voulue

34 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Filtres dérivés en m Design par paramètres d image Filtres dérivés en m Filtre passe-bas : m L m L 2 2 ( ) 2 ωc mc 1 rejet abrupt m = ω 0.6 adaptation 1 m 2 4m L L = 2 R 0 C = 2 ω c ω c R 0

35 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Filtres dérivés en m Design par paramètres d image Filtres dérivés en m Filtre passe-haut : 2C m L m 4m 1 m 2C 2C m ( ) 2 ω 1 rejet abrupt m = ω c 0.6 adaptation L = 2 R 0 ω c C = 2 ω c R 0

36 Design par paramètres d image Filtres dérivés en m Réponse en fréquence α (Np) Bande passante Rejet 0 ω c ω ω ω c Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96

37 Design par paramètres d image Filtres dérivés en m Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Réponse en fréquence Atténuation élevée à la fréquence de coupure L atténuation diminue avec la fréquence (pas bien!) Pôle à ω contrôlé par la valeur de m Pour faire l adaptation, on choisit m = 0.6

38 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Filtre composite Design par paramètres d image Filtres dérivés en m On corrige le désavantage du filtre dérivé en m en ajoutant un filtre à section k constante en cascade : Port 1 Section k dérivé en m Port 2 constant

39 Design par paramètres d image Filtres dérivés en m Filtre composite : réponse en fréquence 4 α (Np) ω c ω ω ω c dérivé en m k constant composite Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96

40 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design par paramètres d image Filtre composite adapté Filtres dérivés en m Ajoute des sections en m pour l adaptation : Adaptation Rejet haute f Rejet abrupt Adaptation dérivé en m m = 0.6 Section k constant dérivé en m m < 0.6 dérivé en m m = 0.6

41 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple Design par paramètres d image Filtres dérivés en m Faire le design d un filtre passe-haut composite ayant une fréquence de coupure de 50 MHz et une impédance de 50 Ω. Le pôle d atténuation doit avoir une fréquence de 48 MHz. Tracer le graphe de S 21 de 20 à 80 MHz.

42 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Design par paramètres d image Filtres dérivés en m La fréquence de coupure du filtre est : ω c = 2πf = rad/s À l aide du tableau 8.2 du manuel de Pozar, on peut calculer les éléments de circuit nécessaires.

43 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Design par paramètres d image Filtres dérivés en m Les éléments de la section à k constant sont : L = R 0 2ω c = 79.6 nh C = 1 2ω c R 0 = 31.8 pf 2C = pf

44 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Design par paramètres d image Filtres dérivés en m On peut ensuite calculer le rapport m : ( ) 2 m = f 1 = 0.28 f c Puis calculer les élément du filtre dérivé en m : 2C = pf m L = nh m 4m C = 38.6 pf 1 m2

45 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Design par paramètres d image Filtres dérivés en m Les sections d adaptation sont conçues avec m = 0.6 : 2C = pf m L = nh m 4m C = pf 1 m2

46 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Design par paramètres d image Filtres dérivés en m Le circuit : pf pf pf pf pf pf nh 79.6 nh nh nh pf 38.6 pf pf Adaptation k constant dérivé en m Adaptation

47 Design par paramètres d image Filtres dérivés en m Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) 0 20 Rejet Passante S21 (db) dû à f à cause de la section m = f (MHz)

48 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Méthode des pertes d insertion Donne un meilleur contrôle sur la bande passante Donne un meilleur contrôle sur la bande de rejet Permet de contrôler le déphasage

49 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Méthode des pertes d insertion On utilise le rapport de puissance perdue, P LR : P LR = puissance disponible de la source puissance founie à la charge = 1 + M(ω2 ) N(ω 2 ) = P inc P L = 1 1 Γ(ω) 2 Un filtre est physiquement réalisable si son rapport de pertes de puissance est de la forme de l équation précédente.

50 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Filtre Butterworth Le filtre Butterworth (ou maximally flat) a une réponse de la forme : P LR = 1 + k 2 ( ω ω c ) 2N pour un filtre passe-bas, où N est l ordre du filtre, ω c est la fréquence de coupure, et k = 1 pour une atténuation de 3 db à ω = ω c.

51 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Filtre Chebyshev Le filtre Chebyshev a une réponse de la forme : P LR = 1 + k 2 [ T N ( ω ω c )] 2 pour un filtre passe-bas, où N est l ordre du filtre, T N (x) est un polynôme Chebyshev d ordre N, et 1 + k 2 est le niveau d ondulations dans la bande passante.

52 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Filtre Chebyshev Polynômes Chebyshev N T (x) 1 x 2 2x x 3 3x 4 8x 4 8x x 5 20x 3 + 5x 6 32x 6 48x x 2 1 Source : mathworld.wolfram.com

53 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Filtres Butterworth et Chebyshev Butterworth Chebyshev PLR 1 + k 2 N = ω ω c Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96

54 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Autres types Réponse elliptique : Transition très abrupte entre la bande passante et de rejet Difficile à réaliser pratiquement Phase linéaire : Permet une phase linéaire dans la bande passante Réduit la distortion Transition de rejet moins idéale

55 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Méthode de design générale Méthode de design générale Paramètres du filtre Design passe-bas Échelonnage et conversion Implémentation

56 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Filtre passe-bas Design de filtres passe-bas 1 L C R Z in Le rapport de puissance voulu est (pour N = 2) : P LR = 1 + ω 4

57 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Filtre passe-bas Design de filtres passe-bas L impédance d entrée du filtre est : et puisque le rapport de puissance est : Z in = jωl + R(1 jωrc) 1 + ω 2 RC Γ = Z in 1 Z in + 1 P LR = Z in (Z in + Z in )

58 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Filtre passe-bas Design de filtres passe-bas Si on développe, on obtient un polynôme en ω 4 : P LR = [ (1 R) 2 + (R 2 C 2 + L 2 2LCR 2 )ω 2 + L 2 C 2 R 2 ω 4] 4R = 1 + ω 4 Alors, il faut que : ce qui donne R = 1, L = C = 2. 1 R = 0 R 2 C 2 + L 2 2LCR 2 = L2 C 2 R 2 = 1

59 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Méthode générale Design de filtres passe-bas On peut appliquer cette méthode à un nombre arbitraire d éléments : g 0 g 2 g 1 g 3 g N+1

60 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Valeurs Butterworth Design de filtres passe-bas N g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g

61 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Ordre du filtre : Butterworth Design de filtres passe-bas

62 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Transformation Design de filtres passe-bas Pour transformer les valeurs du tableau à des valeurs réelles : g k C k = R 0 ω c L k = R 0g k ω c

63 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Filtre Chebyshev passe-bas prototype Filtre Chebyshev passe-bas prototype Si la fréquence de coupure ω c = 1, le rapport de puissance voulu est : P LR = 1 + k 2 T 2 N(ω) où 1 + k 2 est le niveau d ondulations dans la bande passante. Les polynômes de Chebyshev ont la propriété que : { 0 pour N impair T N (0) = 1 pour N pair le filtre Chebyshev aura un rapport de puissance de 1 à ω = 0 pour N impair, mais un rapport de puissance de 1 + k 2 pour N pair. Il faut donc faire l analyse pour deux cas : N pair, et N impair.

64 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Valeurs des filtres Chebyshev Filtre Chebyshev passe-bas prototype Ondulations 0.5 db N g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g Ondulations 3 db N g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g

65 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design de filtres par la méthode des pertes d insertion Valeurs pour un filtre à phase linéaire Filtre Chebyshev passe-bas prototype N g 1 g 2 g 3 g 4 g 5 g

66 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Transformations de type de filtre Transformation passe-bas à passe-haut Remplacer des capacitances par des inductances Remplacer des inductances par des capacitances 1 C k = R 0 ω c g k L k = R 0 ω c g k

67 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple Transformations de type de filtre Faire le design d un filtre passe-haut à ondulations égales de 3 db ayant une fréquence de coupure de 2 GHz, ayant 5 sections. L impédance caractéristique est 50 Ω. Tracer S 21 vs la fréquence de 0 à 4 GHz.

68 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Transformations de type de filtre Pour un circuit d ordre 5, on obtient les paramètres suivants : g 1 = g 2 = g 3 = g 4 = g 5 = On peut ensuite calculer les valeurs des éléments : L 1 = R 0 1 = nh C 4 = = pf g 1 ω c R 0 g 4 ω c 1 C 2 = = pf L 5 = R 0 = nh R 0 g 2 ω c g 5 ω c L 3 = R 0 g 3 ω c = nh

69 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Transformations de type de filtre Le circuit est : pf pf nh nh nh

70 Transformations de type de filtre Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) db S21 (db) f (GHz)

71 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Transformations de type de filtre Transformation passe-bande Transformation passe-bande et à rejet Pour transformer de passe-bas à passe-bande, on utilise la substitution suivante : ω 1 ( ω ω ) 0 ω 0 ω où = ω 2 ω 1 ω 0 qui est le pourcentage de bande passante (ω 2 et ω 1 sont les limites de la bande passante). La fréquence centrale est : ω 0 = ω 1 ω 2

72 Transformations de type de filtre Transformation passe-bande et à rejet Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Transformation passe-bande et rejet Transformation passe-bande : Remplacer les inductances par un circuit LC série Remplacer les capacitances par un circuit LC parallèle Transformation à rejet : Remplacer les inductances par un circuit LC parallèle Remplacer les capacitances par un circuit LC série

73 Transformations de type de filtre Transformation passe-bande et à rejet Résumé Passe-Bas Passe-Haut Passe-Bande Rejet g k 1 R 0g k ω c R 0g k ω 0 g k R 0 ω 0 1 g k R 0ω 0 g k R 0ω 0 g k R 0 g k ω c R 0 g k ω 0 g k R 0ω 0 R 0 g k ω 0 g k R 0ω 0 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96

74 Implémentation des filtres Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Implémentation des filtres À hautes fréquences, difficile de faire des inductances Limité en valeurs (10 nh et 10 pf max) Transforme par 2 méthodes : Transformation de Richard : éléments localisés à distribués Identités de Kuroda : séparer des composants par des lignes

75 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Implémentation des filtres Transformation de Richard λ/8 à ω c L Z 0 = L λ/8 à ω c C Z 0 = 1 C

76 Implémentation des filtres Identités de Kuroda Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Identités de Kuroda Permet de : Séparer physiquement des lignes de transmission Transformer des stubs série en stubs shunt, ou vice-versa Changer des valeurs d impédances à des valeurs plus réalisables

77 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Identités de Kuroda Implémentation des filtres Identités de Kuroda Lignes de longueur λ/8 à ω c n 2 = 1 + Z 2 Z 1 Z 1 n 2 Z 1 Z 2 n 2 Z 2

78 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Identités de Kuroda Implémentation des filtres Identités de Kuroda Lignes de longueur λ/8 à ω c Z 1 n 2 = 1 + Z 2 Z 1 Z 2 n 2 Z 1 n 2 Z 2

79 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple Implémentation des filtres Identités de Kuroda Faire le design d un filtre passe-bas pour fabrication en micro-ruban avec un substrat en Alumine ɛ r = 9.6 d épaisseuxr 10 mil. Le filtre doit avoir une fréquence de coupure de 20 GHz, de 3 e ordre avec une impédance caractéristique de 50 Ω, et une ondulation égale de 0.5 db.

80 Implémentation des filtres Identités de Kuroda Exemple (suite) À l aide du tableau de valeurs, on obtient : g 1 = = L 1 g 2 = = C 2 g 3 = = L 3 g 4 = = R L Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96

81 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Implémentation des filtres Identités de Kuroda On transforme à l aide des transformations de Richard. Z 01 Z 03 Z 01 = g 1 = Z 02 = 1 g 2 = Z 03 = g 3 = Z 02

82 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Implémentation des filtres Identités de Kuroda Par la suite, on ajoute des segments de ligne adaptés l = λ/8 aux bouts du filtre : Z 01 Z 03 Z 0 = 1 Z 0 = 1 Z 02

83 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Implémentation des filtres Identités de Kuroda n 2 = 1 + Z 2 Z 1 = Z 01 Z 1k = Z 01 n 2 = Z 0 Z 1s = Z 0 n 2 =

84 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Implémentation des filtres Identités de Kuroda n 2 = 1 + Z 2 Z 1 = Z 03 Z 3k = n 2 Z 03 = Z 0 Z 3s = n 2 Z 0 =

85 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Implémentation des filtres Identités de Kuroda Ensuite il faut construire le filtre avec les stubs shunt : λ/8 Z 0 = λ/8 Z 0 = λ/8 Z 0 = λ/8 Z 0 = λ/8 Z 0 =

86 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Implémentation des filtres Identités de Kuroda Et puis on calcule les impédances dans le système 50 Ω : λ/8 Z 0 = Ω λ/8 Z 0 = Ω λ/8 Z 0 = Ω λ/8 Z 0 = Ω λ/8 Z 0 = Ω

87 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Implémentation des filtres Identités de Kuroda Pour faire l implémentation en microruban, il faut calculer la largeur et la longueur de chaque ligne, à 20 GHz, à l aide de LineCalc, par exemple. Z 0 Largeur Longueur 50 Ω 250 µm Ω 70 µm 766 µm Ω 8 µm 808 µm Ω 300 µm 720 µm

88 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) Implémentation des filtres Identités de Kuroda La géométrie : ➀ ➁

89 Implémentation des filtres Identités de Kuroda Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Exemple (suite) 0 5 S21 (db) f (GHz)

90 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Filtres à saut d impédance Filtres à saut d impédance On peut faire des filtres passe-bas en utilisant une cascade de segments de ligne de transmission de faible impédance et de haute impédance : Z 0 élevé Z 0 élevé faible Z 0 faible Z 0 faible Z 0

91 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Filtres à saut d impédance Filtres à saut d impédance Si la longueur de la ligne est faible (βl < π/4) et que Z 0 est élevé, on peut démontrer que le circuit équivalent est une inductance série : X L X L = Z 0 βl l Z 0 = Z h

92 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Filtres à saut d impédance Filtres à saut d impédance Si la longueur de la ligne est faible (βl < π/4) et que Z 0 est faible, on peut démontrer que le circuit équivalent est une capacitance shunt : l B c B c = Y 0 βl Z 0 = Z l

93 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design Filtres à saut d impédance Remplacer les inductances série par des lignes de haute impédance Z 0 = Z h Remplacer les capacitances shunt par des lignes de faible impédance Z 0 = Z l Le rapport Z h /Z l doit être le plus grand possible permis par le procédé de fabrication

94 Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Design Filtres à saut d impédance La longueur électrique de la section inductive est : βl = LR 0 Z h et la longueur électrique de la section capacitive est : βl = CZ l R 0 où L et C sont les coefficient g k du filtre prototype.

95 Conclusion Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Conclusion Les points clés de ce chapitre sont : Design de filtres prototypes passe-bas Transformation de type de filtre Transformations à des lignes de transmission Filtres à saut d impédance

96 Problèmes suggérés Gabriel Cormier (UdeM) GELE5222 Chapitre 6 Hiver / 96 Problèmes suggérés Dans le manuel de Pozar : 8.1, , , 8.13, 8.14, 8.18 Et aussi les exemples en classe.

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