ETUDES DE FONCTIONS. Méthode : Déterminer l expression d une fonction polynôme de degré 2

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1 ETUDES DE FONCTIONS I. Fonctions polynômes de degré 1. Définition Une fonction polynôme de degré f est définie sur IR par des nombres réels donnés et a 0. ax bx c, où a, b et c sont Exemples : - f x x x ( ) g( x) 3x x - - La fonction carré est une fonction polynôme particulière telle que : a = 1, b = 0 et c = 0. Méthode : Déterminer l expression d une fonction polynôme de degré Dans un repère, la courbe représentative d une fonction polynôme de degré f passe par les points de coordonnées O(0 ; 0), A(1 ; 3) et B(4 ; 0). Déterminer une expression de la fonction f. ax bx c L écriture de la fonction correspondante est de la forme : On sait que les points O(0 ; 0), A(1 ; 3) et C( 4 ; 0) appartiennent à la courbe représentative pour trouver a, b et c, on peut résoudre le système suivant : f (0) 0 f (1) 3 f (4) 0 soit : c 0 a b c 3 16a 4b c 0 c 0 ab3 16a4b0 c 0 a3 b 16(3 b) 4b 0 c 0 a3 b 48 1b 0 c 0 a 3 b b 4 et c 0 a 1 b 4 D où x 4x Remarque : On pourra tracer la courbe à l aide d une calculatrice graphique pour vérifier. Page 1 sur 6

2 . Variations Propriétés : ax bx c Soit f une fonction polynôme de degré, telle que - Si a est positif, f est d abord décroissante, puis croissante. - Si a est négatif, f est d abord croissante, puis décroissante.. a > 0 a < 0 3. Extremum La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l axe des ordonnées. Définition : Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré, telle que ax bx c. b a Le sommet de la parabole représentant la fonction f a pour abscisse. Page sur 6

3 = - b a = - b²-4ac 4a Méthode : Etablir les variations d une fonction polynôme de degré Soit la fonction f définie sur IR par x 4x. a) Calculer les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction f. b) Ce sommet représente-t-il un maximum ou un minimum pour f. Justifier. c) Construire le tableau de variations de f, puis tracer sa courbe représentative dans un repère. a) L abscisse du sommet S de la parabole est égale à : 4 1 Son ordonnée est égale à : 4 4 D où : S( ; 4) b) S est un maximum pour la fonction f. En effet, le coefficient devant x est négatif, f est d abord croissante, puis décroissante. c) Tableau de variations : Page 3 sur 6

4 Méthode : Démontrer qu une fonction polynôme de degré admet un extremum Soit la fonction f définie sur IR par a) Démontrer que pour tout x réel, x 1x 3. f x ( ) ( x 3) 5. b) En déduire que f admet un minimum dont on précisera la valeur. a) En développant l expression donnée, on obtient : ( x 3) 5 ( x 6x 9) 5 x 1x 18 5 x 1x 3 f( x) b) Pour tout x réel, ( x 3) 0 D où f( x) 5. Or f (3) 5 f admet un minimum égal à 5 pour x 3. Remarque : On pourra tracer la parabole à l aide d une calculatrice graphique pour vérifier. ( x 3) 5 5 II. Fonctions homographiques 1. Définition ax b Une fonction homographique f est définie par f( x) cx d donnés et c 0. Exemples : - x 3 f( x) x 1, où a, b, c et d sont des nombres réels Page 4 sur 6

5 - gx ( ) 3x x 1 - La fonction inverse est une fonction homographique telle que : a = 0, b = 1, c = 1 et d = 0.. Ensemble de définition L ensemble de définition d une fonction est l ensemble des nombres réels qui ont une image par f. ax b Une fonction homographique f de la forme f( x) cx d est définie lorsque : cx +d 0 c est- d à-dire lorsque x. c L ensemble de définition de f est d d ; ; c c. Méthode : Déterminer l ensemble de définition d une fonction homographique. x Soit la fonction f définie par f( x) 3x 6. Déterminer l ensemble de définition de f. Le dénominateur ne peut pas s annuler. 3x 6 0 est équivalent à x. La fonction f n est pas définie pour x égal à. L ensemble de définition de f est ]- ; [U] ; + [ qui peut aussi s écrire \{}. 3. Représentation graphique Toutes les fonctions homographiques sont définies sur l ensemble des nombres réels privé d une valeur. Pour cette valeur, la fonction homographique n a pas d image. Les représentations graphiques des fonctions homographiques sont constituées de deux parties distinctes. Méthode : Etude graphique d une fonction homographique 3x Soit g la fonction définie sur ]- ; [ U ] ; +[ par gx ( ). x a) Tracer la courbe représentative de g à l aide d une calculatrice graphique. b) Par lecture graphique, donner les variations de g. Page 5 sur 6

6 a) b) Il est également possible d afficher un tableau de valeurs de la fonction. La fonction g est croissante sur l intervalle ]- ; [ et croissante sur l intervalle ] ; +[. Page 6 sur 6

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