DYNAMIQUE DES STRUCTURES

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1 Ecole des Ponts ParisTech Département Génie Civil et Construction DYNAMIQUE DES STRUCTURES Alain PECKER Année 2017

2 DYNAMIQUE DES STRUCTURES Notions générales Amphi 1

3 DEFINITION PHENOMENE DYNAMIQUE Phénomène résultant d une variation dans le temps et l espace du chargement Abus de langage Chargement cyclique Phénomène caractérisé par le rôle prépondérant des forces d inertie

4 p(t) Statique p(t) Dynamique Forces d inertie

5 ETAPES D'UN PROBLEME DE DYNAMIQUE Caractérisation des actions s'exerçant sur le système Modélisation du système Mise en équation Résolution des équations

6 ACTIONS Déterministe Chargement parfaitement défini par sa variation temporelle Aléatoire (stochastique) Chargement aléatoire défini par ses propriétés statistiques Résultats Déplacements D = f(t) Efforts résultent de D

7 CARACTERISATION DES ACTIONS Déterministes Périodique Harmonique, anharmonique Non périodique Impulsif, entretenue Aléatoires A chaque type d action correspond un mode de caractérisation et une méthode de résolution

8 SOLLICITATION HARMONIQUE Machine tournante Sollicitation Temps

9 SOLLICITATION HARMONIQUE Définie par : Amplitude Pulsation = ω =R ρ e i t y Acos( t) e ω

10 SOLLICITATION PERIODIQUE Propulseur navire Sollicitation Temps

11 SOLLICITATION ANHARMONIQUE Transformation de Fourier Définie par : Amplitudes Pulsations 0 yt () Ae + i (jω t) = Re j j= - 2πk 2πk y t = a + a cos( t) + b sin( t) T () 0 k k T k= 1 p k= 1 p

12 SOLLICITATION IMPULSIVE Explosion aérienne Sollicitation Temps

13 SOLLICITATION IMPULSIVE Diagramme temporel y = F(t) Représentation simplifiée Réponse maximale Spectre de choc

14 SOLLICITATION ENTRETENUE Séisme Sollicitation ÿ(t) Temps

15 SOLLICITATION ENTRETENUE Diagramme temporel y = F(t) Transformation de Fourier 1 = ω ω 2π + -iωt y A( )e d - Représentation simplifiée Réponse maximale Spectre de réponse oscillateur

16 Accélération (m/s 2 ) DIAGRAMME TEMPOREL Temps (s) TRANSFORMEE DE FOURIER Re Im Fréquence (Hz)

17 SOLLICITATION ALEATOIRE Vibration environnement Sollicitation Temps

18 SOLLICITATION ALEATOIRE Densité spectrale de Puissance Réponse moyenne + s/2 ω i t y(t) e dt s/2 DSP( ω ) = lim = s 2 πs 2 A( ω) ω 2

19 Vitesse (mm/s) DIAGRAMME TEMPOREL Temps (s) DSP (mm/s) 2 /Hz DENSITE SPECTRALE DE PUISSANCE Fréquence (Hz)

20 MODELISATION p() t Mu(t)=0 p(t) ensemble des forces agissant sur M Forces extérieures Forces de liaison élastiques Forces de frottement. m(x)

21 MASSES CONCENTREES m 1 m 2 m 3 f I1 f I2 f I3 Nombre de composantes du déplacement requises pour exprimer les forces d inertie = Nombre de degrés de liberté dynamiques Cas général: 6 N N X ( 3 translations + 3 rotations)

22 DEPLACEMENTS GENERALISES L b 1 b 2 V(x) = sin( π L x ) + sin( 2 π L x ) b 3 + sin( 3 π L x )

23 v(x) = = n 1 b n sin( n π L x ) = = n 1 Z Ψ (x) n n Ψ n (x) Fonctions de déplacement choisies a priori Z n Coordonnées généralisées Nombre fini (faible) de Ψ n requis N <

24 METHODE ELEMENTS FINIS v V 3 =1 θ θ 3 =1 Coordonnées généralisées = déplacements des nœuds

25 EQUATIONS DU MOUVEMENT Formulation directe: seconde loi de Newton Principe de D Alembert Principe des Puissances Virtuelles Formulation Energétique Principe d Hamilton Equations de Lagrange

26 FORMULATION DIRECTE M u M p u Masse du système Vitesse Quantité de mouvement Forces appliquées à la masse M 2 d du d u p() t = ( M ) = M M u(t) dt dt dt 2 p() t Mu(t) = 0 Forces d Inertie

27 PUISSANCES VIRTUELLES Système en équilibre sous effet de charges extérieures; Système subit des mouvements virtuels; Û Puissance virtuelle des efforts extérieurs + Puissance virtuelle des efforts intérieurs = Puissance virtuelle des quantités d accélération

28 Pour tout mouvement virtuel Û P (Û) P (Û) i + e = A (Û) Cas particulier: Û = U mouvement réel P (U) P (U) A (U) i + e = = d dt K(U) K(U) = Energie cinétique du système

29 FORMULATION ENERGETIQUE T V W nc Energie cinétique Energie potentielle Travail des forces non conservatives Forces d amortissement Forces extérieures t t 1 2 δ( T V)dt + δw dt = 0 Ne fait intervenir que des grandeurs scalaires t t 1 2 nc

30 Principe de Hamilton δx(t) 2 [ ] t 2 F(t) mx(t) δ x(t) = 0 1 t 1 F(t) t t mx(t) δ x(t)dt + F(t) δ x(t)dt = t t t t t mx(t) δ x(t)dt = mx(t) δ x(t)dt =δ T(t)dt t t t V(t) F(t) = F c(t) + F nc(t) = + F nc(t) x t t t F(t) δ x(t)dt = δ V dt + δw dt t t t nc

31 EQUATIONS DE LAGRANGE Energie cinétique et énergie potentielle exprimées en fonction de coordonnées généralisées q i i = 1,n T = T(q, q ), V = V(q ), δw = Q δq i i i nc i i Principe de Hamilton t t 1 2 T T V ( δ q + δq δ q + Q δ q ) dt = 0 q q q i i i i i i i i i

32 Intégration par parties t t T T t2 d T q t1 i q i dt q t i 1 t δ qidt = δqi δqidt = 0 t 2 d T T V Q i q i dt 0 dt + + δ = q q q t1 i i i i Valable δq i d T T V Q dt q + = i q i q i i

33 θ 1 L 1 x x y = L sin( θ ) x L cos( θ ) = θ = L cos( θ1 ) y = L θ sin( θ ) 1 1 x = L sin ( θ1) + L sin( θ 2) x = L θ cos( θ ) + L θ cos( θ ) = ( θ ) + ( θ ) y = L θ sin( θ ) L θ sin( θ ) y L cos L cos y m 1 θ 2 L 2 m 2 ( m + m ) L θ + m L L θ cos T = m 1(x 1 + y 1) + m 2(x 2 + y 2) 2 2 V = m g(l y ) + m g(l +L y y ) ( θ2 θ1) ( θ2 θ1) ( ) ( θ1) ( 2 1) 2 ( θ θ ) ( θ ) θ 2 m2l1l2 2 sin + m1 + m2 g L1sin = 0 2 m L θ 2 + m L L θ cos θ θ m L L θ sin + m g L sin =

34 COMPARAISON Toutes les méthodes sont équivalentes Méthode directe Plus intuitive Difficile de mise en oeuvre dans systèmes complexes Grandeurs vectorielles Puissance virtuelles Générale, puissante pour les milieux continus Méthode énergétique Grandeurs scalaires

35 METHODE DE RESOLUTION Dépend: Du comportement de l ouvrage Linéaire Non linéaire De la définition de la sollicitation Temporelle Fréquentielle Spectrale Du résultat cherché Historique de la solution Réponse maximale

36 Intégration temporelle Linéaire, non linéaire Définition temporelle de y(t) Cas particulier: intégration modale temporelle Choix particulier d un système de coordonnées généralisées Base Modale Système linéaire

37 Intégration fréquentielle Linéaire Définition fréquentielle de y(t) Transformée de Fourier, DSP

38 Intégration modale-spectrale Linéaire Définition spectrale de y(t) Spectre de réponse, spectre de choc

39 SYNTHESE DES METHODES Réponse maximale u m [ ut] = max ( ) t Système Linéaire Modale spectrale Modale temporelle Fréquentielle Intégration directe Réponse temporelle Modale temporelle ut () Fréquentielle Intégration directe Système Non Linéaire Intégration directe Intégration directe