SUITES (Partie 2) = 3u n. et u 0. q n na (inégalité de Bernoulli), a pour limite car lim 4 n = +.

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1 SUITES (Partie ) I Comportemet à l'ifii d'ue suite géométrique ) Rappel Défiitio : Ue suite (u ) est ue suite géométrique s'il existe u ombre q tel que pour tout etier, o a : u + = q u Le ombre q est appelé raiso de la suite Exemple : La suite (u ) défiie par u + = 3u et u 0 = 5 est ue suite géométrique de raiso -3 et de premier terme 5 Propriété : (u ) est ue suite géométrique de raiso q et de premier terme u 0 Pour tout etier aturel, o a : u = u 0 q Exemple : Pour la suite précédete, o a pour tout : u = ( ) 5 3 ) Limites q q < q < q = q > lim q pas de limite Démostratio das le cas q > (exigible BAC) : Prérequis : Pour tout etier aturel, o a : ( a) + + a (iégalité de Beroulli), démotrée das le chapitre «SUITES (Partie ) Paragraphe I» O suppose que q >, alors o peut poser q = a + avec a > 0 ( ) Or lim ( a) q = + a + a + + =+ car a > 0 Doc d après le théorème de comparaiso lim q = + + Exemple : La suite de terme gééral 5 4 Yva Moka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiquesfr a pour limite car lim 4 = + + 3) Somme des termes d ue suite géométrique Propriété : est u etier aturel o ul et q u réel différet de alors o a : + q + q + + q q+ = q

2 Méthode : Utiliser la limite d'ue suite géométrique Vidéo Détermier les limites suivates : a) lim + ( ) 3 b) lim ( 3 ) + 3 c) lim a) ( ) est ue suite géométrique de raiso - et Doc ( ) e possède pas de limite Et doc lim + ( ) 3 'existe pas b) 3 3 = 3 Or lim = car 3 est ue suite géométrique de raiso 3 et < 3 < Doc : lim = + 3 Or lim 3 = + car 3 est ue suite géométrique de raiso 3 et 3 > + Doc par limite d'u produit Et doc lim ( 3 ) + = lim 3 = + 3 c) O recoaît les premiers termes d'ue suite géométrique de raiso et de premier terme 3 + Doc = = + Yva Moka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiquesfr

3 3 Or + lim = 0 + comme limite d'ue suite géométrique de raiso Doc + lim = et + + lim = + D'où 3 lim = + Méthode : Etudier ue suite arithmético-géométrique Vidéo Vidéo U ivestisseur dépose 5000 sur u compte rémuéré à 3% par a Chaque aée suivate, il dépose 300 de plus O ote (u ) la somme épargée à l'aée O a alors : u + =,03u et u 0 = 5000 ) Calculer u et u ) Prouver que la suite (v ) défiie pour tout etier par v = u est géométrique et doer sa raiso et so premier terme 3) Exprimer v e foctio de 4) E déduire u e foctio de 5) Etudier les variatios de (u ) ) u =,03u = 5450 u =,03u = 593,5 ) v + = u =,03u =,03u ( ) =,03 u =,03v Doc (v ) est ue suite géométrique de raiso,03 et de premier terme v 0 = u = = ) Pour tout, v = 5000,03 4) Pour tout, u = 5000, O a alors : u 0 = 5000, ,75 Yva Moka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiquesfr

4 4 5) Pour tout, u + u = 5000, , ( ) ( ) = 5000,03 +,03 = 5000,03,03 = 450,03 > 0 Doc la suite (u ) est strictemet croissate ( ) II Limites et comparaiso ) Théorèmes de comparaiso Théorème : Soit (u ) et (v ) deux suites défiies sur N Si, à partir d'u certai rag, u v et lim u + = + alors lim v + = + Par abus de lagage, o pourrait dire que la suite (u ) pousse la suite (v ) vers + à partir d'u certai rag Démostratio (exigible BAC) : Soit u ombre réel a - lim u + = +, doc l'itervalle a;+ cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag que l'o ote O a doc pour tout, a < u - A partir d'u certai rag, que l'o ote, o a u v - Aisi pour tout max( ; ), o a a < u v O e déduit que l'itervalle a;+ cotiet tous les termes de la suite (v ) à partir du rag max( ; ) Et doc lim v + = + Yva Moka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiquesfr

5 5 Théorème : Soit (u ) et (v ) deux suites défiies sur N Si, à partir d'u certai rag, u v et lim u + = alors lim v + = Méthode : Détermier ue limite par comparaiso Vidéo ( ) Détermier la limite suivate lim + ( ) + ( ) doc ( ) Or lim ( ) + + ( ) = + doc lim ( ) + + =+ ) Théorème d'ecadremet Théorème des gedarmes : Soit (u ), (v ) et (w ) trois suites défiies sur N Si, à partir d'u certai rag, u v w et lim u + = lim w + = L alors lim v + = L Par abus de lagage, o pourrait dire que les suites (u ) et (w ) (les gedarmes) se resserret autour de la suite (v ) à partir d'u certai rag pour la faire coverger vers la même limite Ce théorème est égalemet appelé le théorème du sadwich Yva Moka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiquesfr

6 6 Démostratio : Soit u itervalle ouvert I coteat L - lim u + = L, doc l'itervalle I cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag que l'o ote - lim = L, doc l'itervalle I cotiet tous les termes de la suite à partir d'u w + certai rag que l'o ote - A partir d'u certai rag, que l'o ote 3, o a u v w - Aisi pour tout max( ; ; 3 ), l'itervalle I cotiet tous les termes de la suite (v ) Et doc lim v + = L Méthode : Détermier ue limite par ecadremet Vidéo Détermier la limite suivate : si lim + + O a : si doc si Or lim = lim = si doc d'après le théorème des gedarmes lim + = 0 Et doc si lim + = + III Suites majorées, miorées, borées ) Défiitios : Défiitios : - La suite (u ) est majorée s'il existe u réel M tel que pour tout etier ϵ N, u M - La suite (u ) est miorée s'il existe u réel m tel que pour tout etier ϵ N, u m - La suite (u ) est borée si elle est à la fois majorée et miorée Exemples : - Les suites de terme gééral cos ou (-) sot borées - La suite de terme gééral est miorée par 0 Yva Moka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiquesfr

7 7 Méthode : Démotrer qu'ue suite est majorée ou miorée Vidéo O cosidère la suite (u ) défiie pour tout etier aturel par u + = 3 u + et u 0 = Démotrer par récurrece que la suite (u ) est majorée par 3 Iitialisatio : u 0 = < 3 La propriété est doc vraie pour = 0 Hérédité : - Hypothèse de récurrece : Supposos qu'il existe u etier k tel que la propriété soit vraie : u k 3 - Démotros que : La propriété est vraie au rag k+ : u k + 3 O a : u k 3 doc 3 u 3 k 3 = et doc 3 u + + = 3 k O a doc : u k + 3 Coclusio : La propriété est vraie pour = 0 et héréditaire à partir de ce rag D'après le pricipe de récurrece, elle est vraie pour tout etier aturel, soit : u 3 ) Covergece des suites mootoes Propriété : Soit (u ) ue suite croissate défiie sur N Si lim u + = L alors la suite (u ) est majorée par L Démostratio par l'absurde : Démotros par l absurde e supposat le cotraire, soit : «Il existe u etier p, tel que u p > L» - L'itervalle ouvert L ;u p cotiet L Or, par hypothèse, lim + u = L Doc l'itervalle L ;u p cotiet tous les termes de la suite (u ) à partir d'u certai rag () - Comme (u ) est croissate : u u p pour > p Doc si > p, alors u L ;u p () () et () sot cotradictoires, o e déduit qu'il 'existe pas p ϵ N, tel que u p > L Et doc la suite (u ) est majorée par L Yva Moka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiquesfr

8 8 Théorème de covergece mootoe : - Si ue suite croissate est majorée alors elle est covergete - Si ue suite décroissate est miorée alors elle est covergete - Admis - Remarque : Ce théorème permet de s'assurer de la covergece mais e doe pas la limite Das l'exemple ci-dessous, la suite décroissate est miorée par Cela prouve que la limite de la suite est supérieure à mais 'est pas écessairemet égale à Méthode : Utiliser le théorème de covergece mootoe Vidéo O cosidère la suite (u ) défiie pour tout etier aturel par u + = 3 u + et u 0 = Démotrer que la suite (u ) est covergete et calculer sa limite - O a démotré das le paragraphe I que la suite (u ) est croissate O a démotré das la méthode précédete que la suite (u ) est majorée par 3 D'après le théorème de covergece mootoe, o e déduit que la suite (u ) est covergete - O pose lim u + + = lim u + = L Or u + = 3 u +, doc lim u + + = L + par produit et somme de limites 3 Ue limite état uique, o e déduit que L = L +, soit L = 3 3 La suite (u ) coverge doc vers 3 Yva Moka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiquesfr

9 9 Corollaire : - Si ue suite croissate est o majorée alors elle ted vers + - Si ue suite décroissate est o miorée alors elle ted vers Démostratio : ) Soit u réel a Comme (u ) 'est pas majorée, il existe u etier p tel que u p > a La suite (u ) est croissate doc pour tout > p, o a u u p Doc pour tout > p, o a u > a Et doc à partir d'u certai rag p, tous les termes de la suite appartieet à l'itervalle a;+ O e déduit que lim u + = + ) Démostratio aalogue Hors du cadre de la classe, aucue reproductio, même partielle, autres que celles prévues à l'article L -5 du code de la propriété itellectuelle, e peut être faite de ce site sas l'autorisatio expresse de l'auteur wwwmaths-et-tiquesfr/idexphp/metios-legales Yva Moka Académie de Strasbourg wwwmaths-et-tiquesfr

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