Outils Maths Discrètes

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1 Outils Maths Discrètes CM n o 1 Damien Bouloc Bureau 106 Bâtiment 1R damien.bouloc@math.univ-toulouse.fr 14 septembre 2017

2 Informations sur Moodle Tous les cours L1 SNAF - Sciences numérique fondamentales et appliquées S1 - Spécifique Outils Maths Discrètes L1 S1 Informations pédagogiques Ressources de cours, TD et TP Modalités de Contrôle de Connaissances

3 Matériel (fortement) conseillé Le polycopié de cours Pour garder sous les yeux les énoncés (définitions, théorèmes,...) utilisés dans les questions et les exercices, pour l annoter en fonction des remarques faites en amphi De quoi prendre des notes propres Pour noter les corrections d exercice, les démonstrations,... Du brouillon Pour certaines questions qui ne peuvent pas se faire de tête, pour vos recherches pendant les phases d exercice Son boîtier de vote Pour répondre aux questions qui vous sont posées pendant la séance

4 Programme 1. Arithmétique élémentaire 1.1 Division euclidienne dans Z 1.2 Calcul en base b 1.3 Exponentiation rapide 1.4 Algorithme d Euclide 2. Arithmétique modulaire...

5 Énoncé du théorème Théorème Soient a Z et b N. Il existe un unique couple (q, r) Z Z tel que { a = bq + r 0 r b 1 On dit que q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b.

6 Énoncé du théorème Question Dans la division euclidienne de 20 par 3, 1. le quotient vaut 6 et le reste vaut 2 2. le quotient vaut 6 et le reste vaut 2 3. le quotient vaut 6 et le reste vaut 2 4. le quotient vaut 7 et le reste vaut 1 5. le quotient vaut 7 et le reste vaut 1 6. le quotient vaut 7 et le reste vaut 1 7. aucune des réponses ci-dessus

7 Démonstration Théorème Soient a Z et b N. Il existe un unique couple (q, r) Z Z tel que { a = bq + r 0 r b 1 Démonstration : On fixe a Z et b N. Il y a deux choses à démontrer : l existence du couple (q, r) son unicité

8 Démonstration : unicité Soient (q, r) et (q, r ) deux couples dans Z Z tels que { { a = bq + r a = bq + r et 0 r b 1 0 r b 1 Alors donc (q, r) = (q, r ).

9 Démonstration : existence On utilise un algorithme : q := 0 r := a si (a >= 0) alors tant que (r >= b) faire r := r - b q := q + 1 fin tant que sinon tant que (r < 0) faire r := r + b q := q - 1 fin tant que fin si rendre (q, r) Exemple : a = 20, b = 3 q r

10 Démonstration : existence q := 0 r := a si (a >= 0) alors tant que (r >= b) faire r := r - b q := q + 1 fin tant que sinon tant que (r < 0) faire r := r + b q := q - 1 fin tant que fin si rendre (q, r) Question Si a = 19 et b = 3, alors l algorithme renvoie (q, r) = (6, 1) 2. renvoie (q, r) = (-7, 2) 3. renvoie (q, r) = (-6, 1) 4. renvoie (q, r) = (7, -2) 5. ne s arrête jamais 6. On ne peut pas savoir

11 Démonstration : existence q := 0 r := a si (a >= 0) alors tant que (r >= b) faire r := r - b q := q + 1 fin tant que sinon tant que (r < 0) faire r := r + b q := q - 1 fin tant que fin si rendre (q, r) Question Si a = 19 et b = 0, alors l algorithme renvoie (q, r) = (19,0) 2. renvoie (q, r) = (0,19) 3. ne s arrête jamais 4. On ne peut pas savoir

12 Démonstration : existence Pour utiliser cet algorithme comme démonstration, il faut vérifier deux choses : Terminaison : l algorithme s arrête en temps «fini» Ici, il faut vérifier qu on finit toujours par sortir des boucles tant que Correction : l algorithme renvoie le résultat voulu Ici, il faut vérifier que le couple (q, r) rendu par l algorithme vérifie bien { a = bq + r 0 r b - 1 Pour ça on utilise un invariant de boucle.

13 Lien avec la partie entière Définition Soit x R. On appelle partie entière de x l unique nombre entier n tel que n x < n + 1 On la note en général x. Question Que vaut 3, 61?

14 Lien avec la partie entière Corollaire Soient a Z et b N. Le quotient de la division euclidienne de a par b est exactement a b Démonstration :

15 Exercice avancé Exercice Soit x R. On appelle mantisse de x le nombre M(x) := x x 1. Montrer que M(x) est l unique nombre réel α [0, 1[ tel que x α Z 2. Exprimer le reste de la division euclidienne de a par b en fonction de M(a/b).

16 Prochain amphi Jeudi 21 septembre, 7h45 Travaux dirigés Début des TD semaine 40 Imprimez et préparez vos TD