CINEMATIQUE DU SOLIDE 3 : CHAMPS DES VITESSES ET TORSEUR CINEMATIQUE

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1 CINEATIQUE DU SOLIDE : CHAPS DES VITESSES ET TORSEUR CINEATIQUE I. CHAPS DES VITESSES D UN SOLIDE INDEFORABLE. Exemple : La figure représente le champ des vitesses d un solide animé d un mouvement de rotation. Le champ des vitesses du solide (S dans son mouvement par rapport à un repère ( est le champ qui associe à tout point appartenant à (S le vecteur vitesse V ( S/. Relation cinématique du solide : Soient solides (S0 et (S auxquels sont rattachés les repères ( et (R. R ( O, i0, j0, 0 0 k et R O, i, j, ( k On a une relation entre la vitesse de points d un même solide indéformable (Appelé relation de Varignon : V ( S/ V ( N S/ ( R/ N II. TORSEUR CINEATIQUE. Pour connaître le champ des vitesses d un solide (S, dans son mouvement par rapport à un repère, il suffit de connaître : Le vecteur vitesse de rotation ( R/ La vitesse d un point (la vitesse des autres points est donnée par la relation de Varignon. C est ce que l on appelle le torseur cinématique (ou torseur distributeur des vitesses. Notations : /9

2 ( R/ VS/ V ( S/ VS/ Autre notation : x z ( R/ V ( S/ v v v x z, dans est la résultante du torseur est le moment du torseur composantes exprimées dans un repère précisé. Torseurs particuliers : 0 VS / Torseur nul : 0 VS / Torseur couple : V (, S fixe / 0 S/, mouvement de translation Il existe plusieurs tpes de mouvement de translation selon la nature de la trajectoire : Translation rectiligne : les trajectoires des points sont des segments de droite, Translation circulaire : les trajectoires des points sont des arcs de cercle de même raon Translation curviligne : les trajectoires des points décrivent des courbes Exemple de translation rectiligne Exemple de translation circulaire : La grande roue Exemple de translation curviligne : Le téléphérique /9

3 VS / Torseur glisseur : Exemple : Un rotor ( R/ 0, mouvement de rotation autour d un axe passant par, et de direction ( R/ ouvement hélicoïdal : ( R/ VS/ V ( S/ p. avec V ( S/. ( R/ p : pas de l hélice, unités utilisées : mètre et radiant par seconde Exemple : mécanisme vis écrou La rotation et la translation de la vis sont conjuguées. Quand la vis tourne d un tour, elle avance du pas Point central, axe central du torseur cinématique : V ( S/ Un point central est un point ou le moment résultante ( R/. est soit nul, soit colinéaire à la L axe central est constitué de l ensemble des points centraux. Sur l axe central, V ( S/ est minimal et constante. Lorsque V ( S/ 0 sur l axe central et que ( R / 0 on parle alors d axe instantanée de rotation. Illustration : Un mouvement quelconque peut se décomposer en : Un mouvement de translation dans la direction (Δ Un mouvement de rotation autour de (Δ (mouvement de «vissage» Rappels : V ( C S/ V ( H S/ ( R/ HC /9

4 z V ( H S/ H V ( BS/ z A V ( A S/ V ( C S/ B C x ( R/ III. CHAP DES ACCELERATIONS D UN SOLIDE INDEFORABLE. En dérivant la relation de Varignon et après calcul, on trouve : d( R/ A( S/ A( N S/ ( N ( R/ [ ( R/ N ] Remarque : Retenir que la relation entre les accélérations de points d un même solide n est pas la même que la relation entre les vitesses de points d un même solide. IV. COPOSITION DE OUVEENT. Soient solides (S0, (S et (S. (S est en mouvement par rapport à (S et (S est en mouvement par rapport à (S0. Les repères ( O, i0, j0, k0, R ( O, i, j, k et R ( O, i, j, k sont lié aux solides (S0, (S et (S. ouvement de (S par rapport à (S0 : mouvement absolu. ouvement de (S par rapport à (S : mouvement relatif. ouvement de (S par rapport à (S0 : mouvement d entraînement. 4/9

5 . Composition des vecteurs vitesses de rotation. ( S/ ( S / S ( S/. Composition des vecteurs vitesses. Démonstration de la relation : Soit un point appartenant à (S. V do d( OO O doo do ( S/ ( ( ( ( doo Premier vecteur : V ( O S/ R 0 ( R 0 Deuxième vecteur : On utilise la formule de la base mobile do do ( ( ( R/ O R 0 R do ( V ( S / R ( R/ O ( S/ V ( O S/ V ( S/ R ( R/ O V ( S/ V ( S/ R V ( O S/ ( R/ O V On utilise la relation cinématique du solide : ( S/ S0 V ( O S/ S0 ( R/ O V Finalement : V ( S / V ( S / S V ( S/, S Remarque : S V ( S/ est la vitesse du point supposé appartenir à (S à l instant t, c est la vitesse de «bloqué sur (S»... Composition des torseurs cinématiques. V S/ V S/ S V S/ 4. Composition des accélérations. Les torseurs doivent être exprimés au même point (les vitesses des torseurs. En dérivant la composition des vitesses et après calcul, on trouve : 5/9

6 A( S/ A( S / S A( S/. ( R/ V ( S / R. ( R/ V ( S/ R est l accélération de Coriolis. V. EXEPLE Soit (S0 un solide de référence auquel est rattaché le repère R O, i, j, 0 ( 0 0 k0 Soit (S une barre animée d un mouvement de rotation d axe ( O, k 0 par rapport à. R ( O, i, j, k est lié à (S. On a k k et ( i, i 0 0 Soit (S un solide animé d un mouvement de translation d axe O, i par rapport à (S. O r.i On a ( Questions.. Déterminer les vitesses absolue, relative et d entraînement de.. Déterminer les accélérations absolue, relative, d entraînement et de Coriolis de. do d( r. i di V ( S / ( ( r. i r.( r. i r.. j V ( S / S r. i V ( S/ r.. j 6/9

7 V ( S/ r. i j r.. Rappel : di dj A A( S / r. i r.. j r.. j r.. j r. i ( S / r. i r.( r.. j r.. j r..(. A( S / r. i j r.. j r.. i. r.. A( i A(. ( R/ V ( S / R. r.. j S/ S r. accélération relative S/ r.. j r.. i accélération d entraînement accélération de Coriolis VI. EXEPLE : CENTRIFUGEUSE. Une centrifugeuse crée une accélération permettant par exemple de séparer rapidement liquides initialement mélangées. Autre exemple, la centrifugeuse du Laboratoire central des ponts et chaussées (LCPC permet l'étude du comportement d'ouvrages à partir de modèles réduits en corrigeant le facteur d échelle. Le bâti ( est fixe. Le solide ( est animé d un mouvement de rotation d axe ( O, z et d angle φ par rapport au bâti (. Ces solides sont liés par une liaison pivot. Le solide ( est animé d un mouvement de rotation d axe ( A, et d angle θ par rapport au solide (. Ces solides sont liés par une liaison pivot. Les repères R ( O, x,, z, R ( O, x,, z et R( A, x,, z sont liées respectivement aux solides (, ( et (. On a z z et On donne : O A a et Questions.x AB b.z. Déterminer au point B le torseur cinématique du mouvement du solide ( par rapport au solide (. Calculer la vitesse de B en utilisant la relation de Varignon.. Déterminer les vitesses absolue, relative et d entraînement de B. 7/9

8 Attention : est négatif sur le schéma cinématique donné (/ R V ( B / R B V ( B / R V ( A/ R (/ R AB V ( B / R V ( A / R (/ R AB V / R Torseur cinématique :. z. V ( B / R A 8/9

9 V V B / R V ( O / R (/ R O A (/ R AB B / R 0 (. z ( a. x (. z. ( b. ( ( z V ( B / R a.. x b..sin. b.. V ( B / R ( a b.sin.. x b.. V ( B / R ( a b.sin.. B Entrainement : V ( B / R b.. x Relative : Accélération du point B dans son mouvement par rapport au repère R. V ( B / R.( a b.sin. x b.. A( B / R.( a b.sin..( b..cos. dx.( a b.sin.(. x b.. x b..( R dx dx ( ( ( R / R x. z. z (cos. x sin. z R R dx. ( R. z.cos A( B / R [.( a b.sin. a. b...cos ]..( a b.sin. x b.. x b.. z Entrainement : A( B / R.( a b.sin..( a b.sin. x Relative : A( B / R b.. x b.. z A( B / R. a. b...cos. De Coriolis : 9/9