Sur la théorie des phénomènes de transport dans les solides

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1 Sur la théorie des phénomènes de transport dans les solides J. Tavernier To cite this version: J. Tavernier. Sur la théorie des phénomènes de transport dans les solides. Journal de Physique, 1963, 24 (2), pp < /jphys: >. <jpa > HAL Id: jpa Submitted on 1 Jan 1963 HAL is a multidisciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 L auteur The La A LR JOURNAL DE PHYSIQUE TOME 24, FÉVRIER 1963, 99. SUR LA THÉORIE DES PHÉNOMÈNES DE TRANSPORT DANS LES SOLIDES Par J. TAVERNIER, Laboratoire Central des Industries Électriques, FontenayauxRoses (Seine) Résumé. permettant de décrire les phénomènes provoqués par un champ électrique et un gradient de température en présence d un champ magnétique. Un calcul simple donne l expression générale des tenseurs de conductivité électrique, pouvoir thermoélectrique, etc... développe une généralisation de la méthode du «gain moyen d énergie» 2014 Abstract. author develops a generalization of the «average energy gain» method which permits a description of the phenomena caused by an applied electric field and a temperature gradient, in the presence of a magnetic field. One straightforward calculation gives the general expression for the electrical conductivity and thermoelectricpower tensors. 1. Introduction. théorie classique des phénomènes de transport dans les solides utilise l équation de Boltzmann pour déterminer la fonction de répartition f( v, r) des porteurs, de position r, et de vitesse v. En présence d un champ électrique E, d une induction magnétique B et d un gradient de température grad T, l équation à résoudre en régime stationnaire est : 2. Fonction de répartition. l équilibre thermique, la fonction de répartition des électrons est où e est l énergie des électrons, y l énergie de Fermi et T la température. où q et m sont respectivement la charge et la masse des porteurs de charge (électronstrous) et ]() t cou la variation de la fonction de répartition par unité de temps sous l influence des collisions ; on adopte souvent le modèle simple représenté par : La fonction de répartition f est alors solution de l équation que l on résout au premier ordre en E et grad T. Dans une série d articles [1, 2, 3] précédents, nous avons calculé les transferts isothermes en utilisant la méthode du gain moyen d énergie ; puis à l aide des relations d Onsager, nous avons déterminé les phénomènes liés à l existence d un gradient de température. Dans le présent article, nous proposons une généralisation de la méthode du gain moyen d énergie qui permet de décrire de façon simple tous les processus provoqués par un champ électrique et un gradient de température en présence d un champ magnétique. Soit f 0 FIG TI la fonction de répartition des électrons à l instant où ils subissent une collision avec le réseau en un point où la température est T. Nous admettons que la répartition des électrons est représentée par la fonction f o correspondant à la température du point de collision. En l absence de forces extérieures si les collisions interélectroniques sont élastiques, la,fonction est conservée après la collision avec le réseau. Mais les électrons isolés du thermostat (réseau) subissent l action du champ électrique et du champ magnétique appliqués. L électron de libre parcours A(E, B) gagne au champ électrique l énergie moyenne : Article published online by EDP Sciences and available at

3 A. L1E Nous 100 par suite son énergie provenant du thermostat est : E As. Donc, en un point où la température est T, les électrons possèdent la température et leur énergie thermique est E leur fonction de répartition est : ; par suite, l équation de Boltzmann au premier ordre par rapport aux forces. 3. Calcul du libre parcours moyen. rappelons les résultats obtenus dans un article précédent [1]. Dans l hypothèse d une masse effective isotrope, la vitesse moyenne de l électron vérifie l équation du mouvement : Remarquons qu au premier ordre par rapport aux «forces o E et grad T le numérateur de l argument de f o s écrit : où il == [1. q cp est le potentiel électrochimique. Notons que la validité de ce résultat impose que le libre parcours moyen A soit calculé pour E = grad T = 0 : A ne dépend que de B. Finalement, la fonction de répartition s exprime sous la forme : où la pulsation cyclotron Wc = qb m Un opérateur antisymétrique p agissant dans l espace des vitesses est défini par : Dans ces conditions, la solution de l équation du mouvement prenant la valeur v à l instant t = 0 est : Le libre parcours moyen est : où grad J représente une généralisation du gain moyen d énergie tenant compte simultanément des forces d origine électrique et thermique. Pour traiter les problèmes de transports en présence de champ électrique champ magnétique et gradient de température, il suffit donc d évaluer : A(E = 0 ; grad T = 0 ; B). Dès maintenant, notons que la fonction de répartition introduite cidessus à partir d un raisonnement physique, est bien solution de l équation de Boltzmann en l absence de champ magnétique. En effet, au premier ordre par rapport aux forces, f (v, T) se développe en : Un calcul simple permet d écrire : où l opéraleur A est défini par : Notons que l opérateur C adjoint de A est : Le résultat précédent permet d écrire la fonction de répartition (6) : ou ou L hypothèse de l existence d un temps de relaxation tel que A = vr permet d écrire : équation en laquelle on reconnait la solution de Dans cette relation l opérateur C dépend de la vitesse v par l intermédiaire du temps de relaxation. Nous faisons l hypothèse supplémentaire que T ne dépend que de l énergie e. Il faut remarquer que ce résultat est celui que

4 La 4.1. Afin conductivité Peltier conductivité 101 l on obtient à partir de l équation au moyen de calculs pénibles [4]. 4. Calcul des courants. TRIOUE. définition : de Boltzmann COURANT ÉLEC densité de courant électrique est par où les tenseurs du second ordre Li; (B) obéissent aux relations d Onsager LI représente l opérateur transposé de l opérateur L Nous avons donc : soit d après le résultat cidessus : Les hypothèses formulées précédemment, savoir : isotropie de la masse effective et temps de relaxation ne dépendant que de l énergie, conduisent à la forme simple suivante : où et n représente la densité électronique. La définition admise pour C(E)> impose l origine des énergies au bas de la bande de conduction. 42. FLUX D ÉNERGIE THERMIQUE. Un calcul analogue au précédent permet d évaluer le flux d énergie thermique défini par : Les relations d Onsager sont évidemment sati faites par ces coefficients puisque : (cette propriété résulte de l antisymétrie de l opérateur 9). Par ailleurs, il est aisé d identifier les trois tenseurs indépendants L11, L12 L22 aux tenseurs habituels : électrique a 41 défini par J = a grad p pour grad T = 0 ; 7r défini par J, =:= nj pour grad T 0 ; = thermique À défini par J, = x grad T pour J 0. = Un calcul simple, montre que : Tous calculs faits, on trouve : Le tenseur de pouvoir thermoélectrique Q défini par : 5. Interprétation des résultats. en évidence les lois de symétrie relations phénoménologiques conjuguées, nous développons l expression de J : de mettre caractérisant les entre flux et forces le second terme dans s obtient à partir O soit : O de la relation de Kelvin : La théorie des processus irréversibles [56] permet d écrire : l opérateur CC(E) >1 qui apparaît dans les relations cidessus, peutêtre calculé en toute géné ralité On trouve :

5 Dans 102 où et Ce résultat permet de retrouver toutes les relations classiques. 6. Conclusions. les pages précédentes, nous nous sommes bornés à décrire une théorie simple basée sur la généralisation de la méthode de gain moyen d énergie. L exploitation des résultats obtenus (16abcd) permet d atteindre toutes les lois classiques concernant la résistivité, le pouvoir thermoélectrique les effets Hall, Nernst, Ettingshausen,...Les termes en p et en p2 dans le développement (10) de l opérateur C conduisent respectivement à ceux en B et B2 dans le résultat. Bien que la méthode proposée ne soit qu une transcription sous forme condensée de celle de l équation de Boltzmann, grâce à l utilisation d opérateurs adaptés, elle permet de donner un sens physique aux résultats des manipulations mathématiques effectuées à partir de l équation de Boltzmann. Dan s un article postérieur, nous pensons reprendre dans les détails les résultats obtenus en les étendant à des solides possédant plusieurs vallées d énergie de forme quelconque et plusieurs types de porteurs. Manuscrit reçu le 13 septembre BIBLIOGRAPHIE [1] GODEFROY (L.) et TAVERNIER (J.), J. Physique Rad., 1960, 21, 249. [2] GODEFROY (L.) et TAVERNIER (J.), J. Physique Rad., 1960, 21, 544. [3] GODEFROY (L.) et TAVERNIER (J.), J. Physique Rad., 1960, 21, 660. [4] WILSON (A. H.), Theory of Metals, University Press, Cambridge, [5] DE GROOT (S. R.) and MAZUR (P.), Non Equilibrium Thermodynamics. North Holland Publishing Company, Amsterdam, [6] DOMENICALI, Rev. Mod. Phys., 1954, 26, 237.