Marchés à Terme d Indices et plateforme de trading automatique Intraday

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1 Marchés à Terme d Indices et plateforme de trading automatique Intraday II Gestion du risque, levier Systèmes automatiques Architecture & Développement Daniel HERLEMONT, YATS tel: Sommaire partie II Rappels : Plateforme de trading biais comportementaux et faits stylisés Styles de trading Gestion du risque : Var Intraday Futures Gestion du levier, stratégies "optimales" Estimations : volatilité, temps de passage, plus haut, plus bas, Aspects techniques: trading manuel vs automatique analyse stats vs prédiction temps réel, backtesting, optimisation, datasnooping, model trading, prédictibilités et patterns Architecture système, standard, gestion des données, programmation s'automates (en JAVA) 2 Page 1 1

2 Biais comportementaux Excès de confiance (Overconfidence) => prise de risque sur réaction (aux statut quo) / sous réaction (aux changements inattendus) Point de référence (Anchoring) Aversion aux pertes - asymétrie négative Mimétisme - semble plus prononcé en période calme que sous stress, atteint un maximum juste avant un krach Anomalies : effet Janvier, effet lundi, situation spéciales (entrée sortie Indice, OPA, fusion, annonces, etc ) Dans un système de trading, peu importe l'origine, de l'inefficience: expérience, modélisation, data mining, il est souhaitable de pouvoir l'expliquer par des biais comportementaux et/ou fondamentaux et/ou «techniques» pour juger de la robustesse, pertinence et stabilité dans le temps 3 Faits "stylisés" Absence d'auto-corrélation des rendements La traduction la plus immédiate de l'hypothèse des Marchés Efficients (EMH) rend inefficace toute méthode dite "linéaire" : moyenne mobile, analyse de Fourier, "Fat tails" (queues épaisses) la distribution des prix ne suit pas une gaussienne, comme le prédit l'emh. Les pertes sévères ne sont pas aussi rares relation directe entre : mimétisme, liquidité et kurtosis (mesure de l'aplatissement) Asymétrie négative: biais vers les pertes plus élevées. Lié à plusieurs facteurs : aversion aux pertes, analystes, politique de communication : les blue ships étant plus sujettes à une forte asymétrie négative. Clustering de volatilité les périodes calmes alternent avec des périodes de grande activité Effet de levier : corrélation négative rendement / volatilité : si le prix baisse, le ratio d'endettement augmente et donc le risque et donc la volatilité, et inversement discutable Corrélation volume / volatilité: une augmentation du volume correspond, en général, à une augmentation de l'intensité (fréquence) de trading Auto-corrélation valeur absolue des rendements c'est l'autocorrélation la plus forte les mesures dite robustes (valeur absolue, range,.. ) donnent de meilleurs estimations source: Rama Cont 4 Page 2 2

3 Importance de l'asymétrie rendements élevé <=> asymétrie négative élevés La prime marginale de risque augmente avec l'asymétrie cohérent avec une fonction d'utilité dont l'aversion absolue décroît avec la richesse U'''>0 5 70% des day traders perdent de l'argent La tendance apparaît clairement a des horizons de temps de l'ordre de plusieurs années Les données intraday sont dominées par la volatilité (bruit) Les rendements des prix suivent (en première approche) un mouvement brownien géométrique : - indépendance = la meilleure prédiction possible est le cours actuel. - facteur d'échelle ~ racine carré du temps (conséquence de l'indépendance) : volatilité jour = volatilité annuelle / rendement jour = rendement annuel / 260 signal/bruit = r/s ~ t 1/2 fi 0 lorsque Dt fi 0 rendement volatilité signal/bruit = r/σ ~ t 1/2 annuel 5% 20% 0.25 jour 0,02% 1.26% 0,016 temps caractéristique = s 2 /m 2 temps pour lequel signal ~ bruit exemple précédent T=16 ans!!! 6 Page 3 3

4 Styles trend following / momentum suivi de tendance : joue une auto corrélation > 0 Achat vente contrarian / value Achète (resp vend) les valeurs "sous évaluées" (resp sur-évaluées) joue une auto corrélation < 0 Long/short, marché neutre, risque neutre, etc... 7 Momentum: acheter les winners, vendre les loosers en général: asymétrie négative gains réguliers mais faibles, pertes élevées mais rares investisseurs impatients Momentum vs Contrarien? Explications comportementale: sous réaction aux nouvelles, transmission d'information, persistence dans les cycles économiques,? Contrarien: acheter les loosers, vendre les winners en général: asymétrie positive: pertes faibles mais régulières, gains élevés mais rares investisseurs patients et plus prudent (?) Tentative d'explication: sur réaction à très court terme, retour à la moyenne à très long terme Évidences empiriques: < 1 semaine 1 mois 3 à 12 mois 3 à 5ans Contrarien Contrarien Momentum Contrarien Porte en général sur des sociétés de faible taille et peu liquides Tentatives d'explication de retours anormaux par une rémunération d'un risque plus élevé de - de capitalisation - d'endettement - de liquidité 8 Page 4 4

5 But : limiter les risques Long/short: achat et vente simultanée de titres différents Peut être basé sur une stratégie de type contrarien (achat simultané des losers et vente à découvert des winners ) ou momentum (vente à découvert des losers et achat des winners ): si les stratégies sont les bonnes, on est gagnant sur les 2 pattes. pas nécessairement hedgé contre divers risques, mais limite au moins la casse en cas de problèmes: co mouvement directionnel suite à un krach, pannes, indisponibilité, arbitrages classiques (actif coté sur différentes place, options, etc ) Autres arbitrages (avant/après OPA, entrée/sortie dans un indice,, ) Convergence trading: «pari» sur un "retour à la moyenne» (spread ) exemple: pairs trading, cointégration, VAR 9 Risques Risque de marché : C est l exposition d un portefeuille due aux mouvements et aux changements des facteurs du marché : taux d intérêt, cours des actions, taux de change Risque de crédit : Exposition au risque qu une contrepartie fasse défaut à ses engagements : payer la dette d un créancier, ou les coupons d une obligation émise, restructuration de la dette. Risque de liquidité: C est le risque lié à la détention d un actif peu liquide, ce qui ne permet plus de faire une couverture aux prix du marché, et nécessite une durée beaucoup plus grande pour la liquidation des positions. C est le cas particulièrement pour le marché des OTC. Risque de modèle : Les pertes dues à l utilisation d un modèle erroné, ou pas assez précis pour le pricing, et la gestion du risque. La validation par des modèles indépendants est la procédure la plus utilisée pour éluder ce genre de problèmes. Risque Opérationnel: Cela comprend un grand nombre de sources de risque, allant de la fraude au risque technologique, au risque lié au changement de législature entre les différentes filières d une banque dans plusieurs pays. En raison de la diversité et la disparité de ces sources, le risque opérationnel est très difficile à quantifier. Source: ENSAE 10 Page 5 5

6 Gestion du risque Gestion du risque = identifier les risque, les mesurer, mettre en place des moyens (procédures, gestion) pour éviter des pertes inacceptables les principaux risques en trading sur futures risques opérationnels: en premier lieu: personnel: erreurs humaines, autres défaillances, matérielles, logicielles, réseau, anomalies/pannes broker, place de marché : risque de défaut, litiges, pannes,.. risque de marché Estimations VaR, Expected Shorfall Fonction d'utilité Gestion du levier ratios: Sharpe, Sterling (rendement/maxdrawdown), Omega... Contrôle: procédures, reporting, ajustements, mesures (stop loss, arrêt), 11 VaR VaR = Value at Risk =perte potentielle maximale pour une probabilité fixée sur une période donnée. Exemple si VaR(95%,10jours)=1 Million, la perte maximale sera inférieure à 1 Million, avec une probabilité de 95% Très utilisé, car rend bien compte de la notion de risque, y compris et surtout extrêmes facile à comprendre, même par les managers devient réglementaire : Bâle (1995) VaR 1 %, à 10 jours, sur historique de 1 an au moins. Besoin en capital = Max [VaR(jour-1), 3*MA(VaR,6jours)] Mesure sévère 12 Page 6 6

7 Estimation de la VaR Un double défi : manque de données: comment estimer des probabilités d'événements qui ne sont que très rarement observés? dont on ne connaît pas la loi de distribution Méthodes: VaR historique : quantile de l'échantillon encore faut il avoir suffisamment de données. VaR normale ne tient pas compte des queues épaisses Approximations (Cornish Fisher) mieux que la VaR normale, mais pb de validité de l'approximation et intervalle de confiance car basé l'estimation de moments d'ordre 3 et 4 Théorie des valeurs extrêmes (Frechet, Gumbel, Weibull, Pareto Généralisé, ) 13 Estimation VaR naïve Histogramme des incréments de 1 heure sur 500 jours de cotations Gaussienne sigma=18.5 pic au centre + queues épaisses = Distribution leptokurtique Var 1 heure 90% 95% 99% 99.90% 99.99% Normale Historique hist/normal divergence Note: on travaille en incréments et points de base, et non pas en %, car plus adapté au trading sur futures. Finalement assez peu de différence entre incréments et incréments des log (à cette echelle de temps) 14 Page 7 7

8 Tout sauf normal!!! qqplot incréments de 1 heure Centre de distribution ~ gaussien Queues de distribution "anormales" Lecture verticale Perte à -3 sigma attendue ~ 50 réalisée ~ 100 ~ 8 sigma!!! quasiment impossible avec l'hypothèse normale Lecture horizontale La perte "normale" -50 à -3 sigma ( ~ 0.14%), se produit en réalité à -2 sigma ( ~ 2.28%) soit en réalité, ~ 16 fois plus d'évènements à 3 sigma que dans le modèle normal Idem pour les hausses sans doute moins marqué (asymétrie négative - a voir. ) 15 Déviation normalité en fonction de la durée La divergence est d'autant plus marquée que l'intervalle de temps est court 10 secondes 1 minute 10 minutes N ticks > 5 millions incrément ~ 25 pts en moins de 10 secondes Les fortes pertes à 10 secondes sont sensiblement les mêmes que les pertes en 1 minutes. Les mouvements de très forte ampleur se produisent à des instants précis et très rapidement ce qui laisse très peu de temps pour réagir fonctionnement par bursts: pic d'activié+forts mouvements alternent avec des périodes de calme 16 Page 8 8

9 Exemples distributions Student, degré de liberté = 3 peut être utilisé pour modéliser la distribution des incréments Exponentielle: également utilisée pour modéliser les cours Cauchy à l'extrême possède une moyenne et variance infinies Toutes les distributions n'ont pas des queues épaisses: exemple la loi uniforme autres exemples: binomiale gaussienne tronquée qui sont des profils de P&L de systèmes de trading avec profit exit et stop loss. Rappel normal= 17 VaR CAC40 Future Intraday Étude empirique portant sur le contrat CAC40 Future, étude de la queue de distribution d'un portefeuille de Futures L approximation normale semble correcte pour 1-alpha < 95% le centre de distribution est à peu près gaussien, conséquence du Théorème de la Limite Centrale Le TCL n est pas applicable aux queues de distribution L approximation normale sous estime largement les évènements rares : pour 1-alpha >> 95% La VaR gaussienne (212) sous estime la VaR historique (305) qui sous estime l approximation de Cornish Fisher (505) A noter : déposit exigé, de l ordre de 4500» VaR(99%,1jours)/3 cf exigence de Bâle, sauf que le capital exigé est sur 10 jours: 3*VaR(99%,10jours) >> déposit requis 18 Page 9 9

10 Exemple: VaR contrat CAC40 Future Etude de la VaR Intraday pour différents intervalles de temps de qqes secondes à 8 heures. VaR CAC40 Future sur 600 jours de cotations du 24/8/99 au 2/1/2002, entre 8h et 22h nombre de ticks= historicalvar99(t) = 1,15 t 0,48 ln(historicalvar99)=0,14 + 0,48*ln(seconds) R2=1,00 sigma(t) = 0,39 t 0,50 ln(sigma)=-0,95 + 0,50*ln(seconds) R2=1,00 Approximation de Cornish Fisher VaR Historique = quantile échantillon 19 VaR CAC40 Future à différents moments de la journée période calme entre 11h et 14h30 17/9/2002 au 26/6/2003 VaR(99%,2h) ~ 40 période agitée entre 14h30 et 19h30 17/9/2002 au 26/6/2003 VaR(99%,2h) ~ 80 historicalvar99(t) = 0,92 t 0,42 ln(historicalvar99)=-0,08 + 0,42*ln(seconds) R2=0,99 sigma(t) = 0,69 t 0,33 ln(sigma)=-0,38 + 0,33*ln(seconds) R2=0,91 Anti persistence marquée en période "creuse" Var Historique ~ VaR Cornish Fisher >> VaR gaussienne historicalvar99(t) = 0,92 t 0,49 ln(historicalvar99)=-0,09 + 0,49*ln(seconds) R2=1,00 sigma(t) = 0,64 t 0,40 ln(sigma)=-0,45 + 0,40*ln(seconds) R2=0,95 20 Page 10 10

11 Exposant de queue de distribution P(X>x)=1-F(x) ~ C x -α Plus α est petit et plus la queue est épaisse P( x<x<x+dx) ~ C x -α-1 α est aussi l'exposant de queue les moments d'ordre k >= α sont infinis Les moments d'ordres k : E[x k ] ne sont définis que si k-α-1<-1, c'est a dire k < α si α >= 2 la variance est infinie si α >= 1 la moyenne est infinie CAC40 Future intraday Estimateur de Hill α ~ 3 à 6 µ=1/α ~ 0.15 à :00:00 à 22:30:00 CAC40 Future intraday 2 ans (2002/2003) dépend de la période en cours de journée La variance de l'estimateur est grande 11:00:00 à 14:30:00 21 Théorème des Valeurs Extrêmes Comnent estimer des probabilités d'évènements rares dont on manque de données? Théorème des Valeurs Extrêmes: Il existe µ, σ, ξ tels que le (Mn- µ)/σ converge vers ξ=0 Weibull ξ>0 Frechet ξ<0 Gumbel Les actifs financiers sont dans la classe de Frechet ξ>0, avec ξ entre 0.2 et 0.5, soit un exposant de queue entre 2 et 5 estimation par méthode de block maxima et maximum de vraisemblance suppose un historique important et échantillon iid pour une estimation plus précise de la VaR, on pourra utiliser les lois de Pareto Généralisées 22 Page 11 11

12 Estimation des queues de distribution par les valeurs extrêmes Échantillon: sur 500 jours, fin = 30/9/2003, de 10h00 à 17h30, n ticks > 8 millions incréments = 1 heure Estimation du modèle GEV (Generalized Extreme Value) incréments prix x s m Distribution de Pareto Généralisée - GPD On s'intéresse à la distribution des pertes au delà d'un certain seuil u: Pour les distributions vérifiant le théorème des valeurs extrêmes et pour un seuil u suffisamment grand, Il existe ξ, β tel que Fu converge vers la distribution de Pareto Généralisée Si n est le nombre total de l'échantillon et Nu le nombre de valeurs dépassant u,alors On peut aussi estimer l'espérance de la perte en cas de dépassement de la VaR (Expected Shortfall) 24 Page 12 12

13 GPD fit Échantillon: sur 500 jours, fin = 30/9/2003, de 10h00 à 17h30, n ticks > 8 millions incréments = 1 heure u=20, n=3388, Nu=303 x= ± 0.06 b= 11.7 ± 1. Excellent fit 25 VaR exemple avec GPD Normal Pareto Historique Cornish Fisher 26 Page 13 13

14 Estimation du seuil pour Pareto Généralisé Détermination du seuil u: compromis entre un seuil élevé et signification de l'estimation: Estimation du paramètre de forme (ξ) et Var en fonction du seuil montre une excellente stabilité du résultat dans les zones -/-3 sigma ξ ~ 1.5 VaR(99%,1h;GPD) ~ 50 Intervalle de confiance : il n'est pas possible d'obtenir de très grandes précisions pour le paramètre de forme (xi) L'intervalle de confiance dans l'estimation GPD est obtenu par la méthode de "Profile Likelihood" 27 Détermination des intervalles de confiance par la fonction de vraisemblance La fonction de vraisemblance peut être utilisée pour déterminer les intervalles de confiance, la fonction G^2 suit une loi du khi2 à un degré de liberté: L* L*-1.92 θ 0 - θ 0 * θ 0 + θ 28 Page 14 14

15 Conclusion étude VaR Future Intraday 1. La VaR normale à des seuils < 90% semble être une bonne approximation voire une sur estimation de la VaR historique 2 La VaR extrême (>0.99) est largement sous estimée par la VaR normale 3 les meilleurs résultats sont obtenus par l'utilisation des distributions de la théorie des valeurs extrêmes (Pareto Généralisé, ) Nota: L'utilisation des incréments semble donner de meilleurs résultats que les incréments en % (logarithme). De fait, sur les marchés futures, on raisonne plus souvent en points de base qu'en % 29 Sigma(t) s(t) ~ t H H = exposant de Hurst induit, des auto-corrélations "longues", souvent modélisé par des processus de type "fractals", H est coef. de similarité H. >1/2 Persistence: auto-corrélation positive, les fortes hausses (resp. baisses) ont tendance à se succéder, plus souvent le cas pour des actions/indices (actions/indices H ~ ) H = 1/2 Gaussien <1/2 Anti Persistence, auto-corrélation négative: une forte hausse (resp. baisse) sera plutôt suivie d une forte baisse (resp. hausse), semble être le cas intraday en période calme exemple: intraday CAC40 Futures en période "calme" de 11:00:00 à 14:30:00 : sigma(t) = 0,69 t 0,33 ln(sigma)=-0,38 + 0,33*ln(seconds) R2=0,91 H de l ordre de 0.6 sur actions et indices: persistence à des échelles de temps plus longues (>journée) H=0.33 => Anti-persistence intraday semble + prononcée en périodes les plus calmes Estimation de H : Statistique R/S, Ondelettes, H=0.33 Semble en désaccord avec la littérature H= a vérifier de plus près. 30 Page 15 15

16 GARCH(1,1) Échantillon: sur 500 jours, fin = 30/9/2003, de 10h00 à 17h30, n ticks > 8 millions incréments = 1 heure Coefficients α0 α1 β e e e Kurtosis Normalement nulle, pour une gaussienne K(t) ~ K 1 /t 1/2 La kurtosis est probablement infinie, ce qui remet en cause toute approximation du type Cornish Fisher, dépend de l'exposant de la queue de distribution, distribution gaussienne ou exponentielle: tous les moments sont finis loi puissance d'exposant a P(X>x) ~ C x -α-1 : les moments d'ordre supérieurs à a sont infinis avec a ~3 la kurtosis est infinie Instabilité de l'estimation: l'intervalle de confiance de la kurtosis empirique dépend des moments théoriques d'odre 8!!! Sans doute infinis Interprétation classique: l'épaisseur de la queue est aussi une signature d'inefficience due à la présence de spéculateurs La kurtosis est directement liée au mimétisme? Cf. modèle Cont-Bouchaud Modèle Hwang : le mimétisme est mesuré par la dispersion transversale (atteint son maximum avant un krach). ref: "empirical porperties of asset returns: stylized facts and statistical issues", Rama Cont. 32 Page 16 16

17 Utilité espérée L'utilité est censée mesurer la satisfaction de l agent, fonction d'un revenu aléatoire Agent risquophobe: préfère un revenu certain à un même revenu espéré (et donc aléatoire) Rendement fl Risques fl Rendement Risques U (w) > 0 U (w) < 0 U On tentera donc de maximiser la satisfaction de l agent: maximun E [U(w)] Il y autant de f.u. que d agents. Dépend de l aversion pour le risque de l agent w Aversion relative pour le risque = -w U"/U' = γ ne dépend pas du niveau de la richesse ma préférée : f.u. en logarithme. Indice relatif d aversion au risque = 1, 33 Utilité - exemple Quel revenu certain (salaire) souhaiteriez vous en échange d un revenu incertain (investissement)? U(w)=ln(w) U loterie : w1=4 avec p=0.5, w2=16 avec 1-p=0.5 U(E[w]) E[w]=p w1 + (1-p) w2 = 0.5*4+0.5*16=10 E[U(w)] E[U(w)] = p U(w1) + (1-p) U(w2) = 0.5*ln(4)+0.5*ln(16)=ln(8)=U(8) U(w) Aversion aux risques : concavité de la f.u. à revenu égal, préférence pour le certain sur l aléatoire E[U(w)] < U(E[w]) Quel est le revenu certain équivalent au revenu aléatoire revenu aléatoire = équivalent certain + prime de risque 10 = Indifférence: équivalent certain (8) vs revenu aléatoire (10) préférence revenu certain si revenu certain > 8 préférence revenu aléatoire si revenu certain < 8 w Cas général: l = prime de risque U(E[w]-λ) = E[U(w)] prime risque absolue» - 1/2 U"/U' variance(w) prime risque relative (en %)» - 1/2 W U"/U' variance(w) pour faibles variations, par un développement de Taylor aversion relative = - <W> U"/U' = 1 pour une f/u. en log Exemple : portefeuille d'actions, avec rendement=10% volatilité=40%, prime de risque = variance/2 = /2= 8%, équivalent certain (salaire) = 10%-8%=2% pour un équivalent salaire de par an, il faut générer une performance 5 fois plus grande sur un portefeuille de 5 millions et encore l'aversion au risque est faible 34 Page 17 17

18 Var, Utilité, Espérance-Variance? Espérance/Variance <=> Utilité espérée si Utilité quadratique et/ou variations faibles. <=> VaR dans le cas gaussien seulement. Le plus souvent, les rendements restent «négligeables» devant les risques extrêmes => Maximiser un f.u. avec des queues épaisses est assez proche de la recherche du minimum d une VaR Dans le cas de stratégies «risque neutre» (ex: pairs trading), on tente de se protéger contre les risques extrêmes, les rendements sont faibles et des leviers nécessaires l ajustement du levier devient un facteur essentiel. 35 Gestion du levier Comment déterminer la fraction de capital à investir dans l'actif risqué? En fonction du rendement et risques attendus du capital l'aversion aux risques Soient S un actif risqué W un portefeuille f la fraction investie dans S une stratégie possible : optimiser le taux de croissance Kelly, Vince, Thorp, Merton, Maslov, Baviera, Cover, stratégie très souvent citée parmi les traders sur futures, hedge funds, 36 Page 18 18

19 Kelly Kelly (1956 Bell Labs) avec Shannon, pose le problème suivant: gain = doublement de la mise, avec une probabilité 1/2<p<1 perte de la mise, avec probabilité q=1-p Quelle proportion f du capital doit on miser? f =levier si p=1 : levier infini si p<1 Si f=1, c'est la ruine assurée dès la première perte. Si f=0, on ne profite pas d'un réel avantage => f compris entre 0 et 1 Solution de Kelly : maximiser le taux de croissance. Wn = valeur du portefeuille à la période n On cherche à maximiser la moyenne du taux de croissance <=> maximiser la moyenne géométrique <=> Taux de croissance équivalent certain 37 Kelly (formules) G G* 0.1 f f* En étroite relation avec la notion d'entropie. H= -p log p - q log q Maximiser G <=> minimiser l'entropie H <=> maximiser la prédictibilité d'un signal (au sens Shannon) 38 Page 19 19

20 Kelly (exemple) G f f* G f p=0.53 q=0.47 f*= G*= G p=0.7 q=0.3 f*=p-q=0.4 et G* ~ 8% soit Il vaut mieux sous estimer que sur estimer f* pour f ~ 2*f* G<0, on perd par contre pour f ~ f*/2 G ~ 6%, soit 25% de manque à gagner, seulement 1.Pour un avantage aussi minime soit il (p=0.53), le taux de croissance reste respectable G*~ 1.8% (doublement en 385 coups) mais le levier doit rester très faible : 6% 2. Les pertes interviennent dès 12% de levier. à f ~ 60%, taux de croissance probable ~ -18% après 12 périodes, le capital restant le plus probable n'est plus que 11% du capital initial exp(-0.18*12) Il vaut mieux "sous-parier" que "sur-parier" En trading, faut faire comme les anglais: roulez à gauche p=0.9, q=0.1 f*=0.8 et G~36.8% gains très élevés, G chute très rapidement au delà de f* encore une fois mieux vaut sous estimer f* 39 Mieux comprendre Kelly p (1+f) 5 Portefeuilles exponentiels, fortement improbables p (1+f) 2 p 1-p (1+f) 3 (1+f) 4 p 1-p p (1+f) 4 (1-f) 1-p (1+f) 3 (1-f) p 1-p L'espérance du portefeuille E(Wn/W0) = E(W1/W0) n =((2p-1)f+1) n est constituée de termes exponentiellement grands et fortement improbables p 1-p (1+f) (1-f) 1-p (1+f) 2 (1-f) (1+f)(1-f) 3 (1-f) 4 (1+f) 3 (1-f) 2 (1+f)(1-f) (1+f) 2 (1-f) 2 p 1-p p 1-p (1+f)(1-f) 2 (1+f) 2 (1-f) 1-p p 1-p p 3 (1-f) 2 p 1-p (1-f) 3 p p (1+f)(1-f) 4 p Kelly Maximiser le portefeuille le plus probable Maximiser le portefeuille médian Maximiser la moyenne géométrique des P&L 1-p 1-p 1-p (1-f) 5 Le portefeuille le plus probable (maximum de la probabilité) correspond à la moyenne géométrique Ce portefeuille le plus probable est aussi le portefeuille médian Quasi nul, mais pas de risque de ruine. Propriétés analogues à la distribution log normale : de fait, log (Wn/W0) peut être approché par une loi normale log (Wn/W0) gaussienne moyenne variance 40 Page 20 20

21 Kelly - Application modèle binomial et Futures (suite) gain: w %, avec probabilité=p, perte: l %, avec probabilité=q=1-p g=p log(1+fw)+q log(1-fl) f*=(pw-ql)/(wl) = a/(wl) avec a= pw-ql espérance arithmétique Exemple: contrat Future CAC40, stratégie de type bracket trading encadrement des gains + des pertes profit exit à +20 pts et stoploss à -20pts, un trade par jour croissance 60% 50% 40% 30% 20% Kelly Buy&Hold 10% jours 0% sous jacent en pts S 3000 multiplicateur m 10 valeur contrat m*s Systeme de trading delta pts pts 20 cout c 4 gain/contrat W=m*pts-c 196 perte/contrat L=m*pts+c 204 proba gain p 0,54 proba perte q=1-p 0,46 probacritique pc=l/(w+l) 0,510 gain en % sous jacent w 0,65% perte en % sous jacent l 0,68% Espérance a=p w-q l 0,040% Kelly f* f*=a/(w l) 9,00 taux de croissance / trade G*=p ln(1+f w)+q ln(1-f l) 0,180% nb trades n 250 taux de croissance global exp(ng*) 1,57 % 56,96% catipal requis par contrat W L /(pw-ql) 3332 capital nombre de contrats 3 marge / contrat 2400 n contat/marge 4,2 Capital par contrat = WL / (p W-qL)= K n contrats = arrondi.inf(capital/k) 41 Kelly - Exemple Futures (suite) Exemple type contrat DAX, multiplicateur = 25 delta trading à +/- 20 pts, probabilité gain = % 1800% sous jacent en pts S % Kelly Buy&Hold multiplicateur m % valeur contrat m*s % Systeme de trading delta pts pts % cout c 4 800% gain/contrat W=m*pts-c % perte/contrat L=m*pts+c % proba gain p 0,58 200% proba perte q=1-p 0,42 probacritique pc=l/(w+l) 0,504 0% jours gain en % sous jacent w 0,66% perte en % sous jacent l 0,67% Espérance a=p w-q l 0,101% Kelly Soit plus de 1000% / an!!!! Cherchez l'erreur.. f* f*=a/(w l) 22,80 taux de croissance / trade G*=p ln(1+f w)+q ln(1-f l) 1,161% Suppose être investi avec levier 22 sur future DAX : nb trades n 250 quasiment 100% de la marge!!! taux de croissance global exp(ng*) 18,21 % 1720,67% Avec 55 contrats en fin de période!!! catipal requis par contrat W L /(pw-ql) capital nombre de contrats 3 problèmes? marge / contrat n contat/marge 4,2 P(gain) trop optimiste? capital en fin de periode Stationnarité des probabilités? n contrats 55 slippage? (gain et pertes réelles!= attendues) Buy & Hold f*/2 11 avantage vs taille des ordres vs Liquidité? G(f*/2) 0,87% Complexité opérationnelle avec la taille? 8,77 42 croissance Page 21 21

22 Sensibilité Très grande sensibilité du levier en fonction de la probabilité de succès delta(levier) = 2S/pts delta(p) = 600 delta(p) delta(p)=0.01 => delta(levier)=6!!! 60 levier p succès Grande sensibilité du levier vs estimation des gains et pertes. exemple précédent : bracket trading autour de 20 pts sur DAX, avec p(succès)=0.58 => f* 22 si le gain passe à 19 pts au lieu de 20 pts, ou la perte passe à 21 pts au lieu de 20, f* passe à 7 au lieu de 22!!! Or: l'espérance d'un perte est plus souvent plus grande qu'attendue et celle d'un gain plus faible les raisons peuvent être multiples : spread (bid/ask), chasse aux ordres stop, pb de liquidité, stoploss en situation de krach, 43 Désir et réalité Performance Les positions ne peuvent par être multipliées à l'infinie sans tenir compte de facteurs qui détériorent la performance: - liquidité - profondeur de marché (impacts) La stratégie de Kelly suppose le même succès avec 55 contrats qu'avec un seul: c'est faux La probabilité gain décroît avec la taille Rappelez vous sur-estimer le levier est catastrophique. or le levier est très sensible à la probabilité de gain... Taille des positions => estimation réaliste des probabilités de gain en fonction de la liquidité et autres facteurs de risque stratégie moins agressive (Kelly Fractionnel) diversification multi supports / multi stratégies 44 Page 22 22

23 Exemple levier optimal - marché action Comparaison Buy&Hold et stratégie optimale active: Le critère de Kelly est la stratégie optimale: le portefeuille le plus probable croit de manière exponentielle W(T)=exp(T sharpe 2 ) W0 sharpe= µ/σ LES DANGER D'UN LEVIER TROP ELEVE: exemple: + 25% ou -15% par mois avec probabilités 50/50 Avec une levier de 5, pour une mise de départ de 100, au bout de 12 mois, le capital probable est de 3!!!! Le levier optimal est 1.33 = ( *.15)/(.25*.15), gain géométrique moyen = 3%, gain probable au bout de 12 mois = 47% ce qui est fort différent d'une perte de -97% avec un levier de 5!!! Ruine certaine si levier = 1/perteMax = 6.67, risque élevé et perte, si on utile un levier = 2 * levier optimal!!!! Les rendements sont multiplicatifs. Après une perte de 50%, il faut 100% de hausse pour se "refaire"... En revanche : utiliser un levier prudent = levieroptimal/2, entraine un manque a gagner de 25% seulement. 45 Exemples Un levier constant amplifie les hausses et les baisses un levier trop grand (5) conduit a des pertes rapides Fonctionne mieux en ajustement intraday sur futures avec faibles coûts de transaction: levier de 2 du sous jacent <=> ncontrats = 0.2 Capital / valeursousjacent ncontrats= levier Capital / multiplicateur * valeursousjacent 46 Page 23 23

24 Exemples (suite) Plus de 60 fois la valeur du NASDAQ et pourtant le levier n'est que de 2 NASDAQ Utilisation d'un levier constant ~ 2 S&P 500 Peut mieux faire en intraday future, avec une estimation dynamique des volatilités: taux sans risque : r 2% µ= rendement+σ 2 /2, rendement 5% levier optimal (σ)= (µ-r)/σ 2 = ½ / σ 2 Opportunités en ce moment (Nov. 2003)? car faible volatilité (historique) et reprise économique => autorise des leviers plus élevés 47 NASDAQ en levier 5 Levier 5 démontre le caractère exponentiel de la stratégie : NASDAQ * 3500!!! bien loin de NASDAQ*5 explosion à la hausse mais implosion à la baisse. Reste quelques cents 48 Page 24 24

25 Ajustements dynamiques Les stratégies de type Kelly (ou basées sur une fu isoélastique) nécessitent des ajustements permanents, afin de maintenir une proportion constante ("Constant Rebalanced Portfolios"): Soit un portefeuille d'une valeur 1000 avec seul actif risqué de valeur unitaire 10, avec un levier de 4. On détient donc 400=(1000/10)*4 unités de l'actif. Le mois suivant, l'actif perd 20%, l'actif passe à 80. Le levier étant de 4, la perte en capital est quatre fois plus importante, la valeur du portefeuille devient 3200=400*80!!! Pour maintenir un levier constant de 4, il faut ajuster le nombre d'unités en fonction : des nouvelles valeurs du portefeuille (3200) et l'actif 80, soit un nombre d'unités : 160=(3200/80)*4, il faut donc alléger de =240 unités, soit de 60% =(4-1)*20% (cf ci dessous) On doit ajuster la quantité pour vérifier : f<1 δq δs < 0 CONTRARIEN on doit ajuster en sens inverse de la variation: acheter lorsque l'actif baisse, vendre lorsque l'actif est en hausse. Donc f>1 δq δs > 0 SUIVEUR on doit acheter lorsque l'actif monte et vendre lorsqu'il baisse. f=1: on est investi à 100% dans l'actif risqué, et on le restera même en cas de hausse ou de baisse de l'actif. 49 Kelly - Distribution quelconque p(r) distribution des rendements discrète ou continue Distribution continue Distribution discrète des rendements r i, avec probabilité p i f* solution de : f* solution de : solutions approchées au second ordre: G G* 3/4 G* Exemple: pertemax=20% alors f* << 5 G f<r>- f 2 <r 2 >/2 f* <r>/<r2 > f* 50 f*/2 Solution approchée (très grossière) f Page 25 25

26 Allocation optimale inter-temporelle en temps continu Merton - Continuous Time Finance Recherche de l'allocation optimale x On retrouve les mêmes résultats que dans le cas mono-périodique avec Γ la matrice de covariance, ρ le vecteur des rendements (ρ i = µ i -r), r le taux sans risque, γ l'aversion relative au risque. Solution par contrôle optimal stochastique (Hamilton-Jacobi-Bellman) Cas mono actif Cas d'actifs (ou stratégies) non corrélées Résultat remarquable, sachant que µ et σ peuvent dépendre du temps Mais: 1. suppose que les proportions sont ajustées en continu 2 ne tient pas compte des coûts de transaction. résultats analogues au CAPM à la différence essentielle que: - le CAPM est mono périodique - Kelly (ou Merton) est multi-périodique - dans le cas de Merton, les pondérations varient, mais faiblement => réajustements toujours nécessaires Applicable à tout processus, pas seulement I(1) Merton est applicable à des processus de retour à la moyenne (OU), 51 Levier optimal - cas continu - exemple mono actif Exemple d un modèle lognormal la stratégie optimale consiste à maintenir un ratio constant dans l actif risqué : γ = aversion au risque γ=1, pour un f.u. en logarithme. Exemple: action/indice classique: CAC40 rendement R 5%, taux sans risque =2% σ = volatilité 30% µ = R + σ 2 /2 = /2 = 9.5% => f=(µ-r) /σ 2 = ( )/0.09 = 0.83 => investi à 83% en CAC40 (si fu en log) : Exemple f* tels que mesuré f* mesuré depuis CAC DAX E DJI NASDAQ f* ~ 1 : traduit une hypothèse de non arbitrage Kelly vs Buy& Hold? 52 Page 26 26

27 DJI AA AXP BA C CAT DD DIS EK <r>/sigma^2 pour les actions composant le DJI, depuis le 2 janvier 1962 au 6 mars levier moyen f* 1.4 GE GM HD HON HWP IBM INTC IP JNJ JPM KO MCD MMM MO MRK MSFT PG SBC T UTX WMT XOM simga^ y = x + 6E-05 R 2 = <r> 53 Comment gagner sur une actif qui perd Non seulement on peut battre le sous jacent avec un levier < 1 mais on peut gagner sur un sous jacent qui décline!!! ln S T /S 0 ~ gaussienne moyenne (µ - σ 2 /2)T et variance σ 2 T Le rendement moyen peut donc être 0, mais µ>0 si Rendement = 0, l'action reste stable Kelly gagne tout en restant à l'achat sur un actif qui perd!!! Une stratégie active permet néanmoins de gagner en restant investi à 50% à tout instant car R=0 => µ= σ 2 /2 > 0 => levier f*=µ/σ 2 =0.5 taux de croissance optimal G*(r=0) = ½ µ 2 /σ 2 = σ 2 /8 si σ=40% G*(r=0)=2% / an pas trop mal pour une action qui stagne et plus elle est volatile meilleure est la performance!!! si σ=100% G*(r=0)=12.5% / an Fonctionne aussi pour R<0, dans la limite µ>0 donc µ < σ 2 /2, dans ce cas f<1/2 f* peut être négatif (vente à découvert) Source maslov, Zhang La stratégie de type Kelly (portefeuille CRP) peut être vue comme un système de "capture" de la volatilité Compatible avec l'efficience des marchés: l'effet de la stratégie de Kelly sera de réduire de la volatilité "une centrale hydraulique qui va capturer une énergie produite par la hauteur des vagues, aura pour effet de réduire la hauteur des vagues, mais peut on imaginer un océan sans vagues ni tempêtes. " COVER 54 Page 27 27

28 Levier et Sharpe Sharpe ~ µ/σ, une autre mesure du rendement corrigé du risque Relation Kelly avec Sharpe: Optimiser le taux de croissance est assez proche de l'optimisation du ratio de Sharpe. Sharpe dépend du temps : (En première approche) si un facteur d'échelle en 0.5 le levier optimal ne dépend pas du temps f*(intraday)=f(jour)=f(mois)=f(année) pour être considéré comme une bonne stratégie, le Sharpe annuel doit être > 2 f ~ µ/σ 2 => f=sharpe/ σ donc si Sharpe=2 et σ=10%, sur un seul actif, suppose un levier f= 20!!! 55 Drawdowns Drawdowns = perte historique depuis le dernier plus haut mesure de risque agressive: Drawdown Le Drawdown s'exprime aussi en %: D% = (Wmax-W)/Wmax=1-1/D, Probabilité (D%>x%) = P(D>1/(1+x)) ratio de sterling = rendement / maxdrawdown% exemple exigence forte: 30% rendement annuel, max drawdown 10% (Sterling=3) A B C D E F G H drawdowns A/B C/D C / F C / H I.. Loi universelle: les queues de distribution des drawdowns suivent une loi puissance Avec Γ solution de Modèle binomial: gain Λ avec probabilité p, perte - Λ avec 1-p Cas gaussien 1/Γ représente le drawdown probable. 56 Page 28 28

29 Kelly et les drawdowns Hypothèse : investissement dans un actif risque de rendement (instantané) µ et volatilité σ 2 Portefeuille de Kelly se comporte comme un processus gaussien multiplicatif: Exposant de la densité des Drawdowns Le drawdown est sur le point de diverger espérance et variance infinies Résultat universel: indépendant de la distribution des rendements!!! Justifie, encore une fois, l'intérêt d'utiliser des stratégies moins agressives (kelly fractionnel) Avec f*/2, l'espérance et la variance sont finies 57 Drawdowns (suite) Exemples τ = 4 Prob(perte historique > 50%) ~ 12,25% 50% <=> capital/2 depuis le plus haut historique τ = 4 correspond à un Kelly/2 t = 2 Prob(perte historique > 50%) ~ 50%!!! τ = 2 correspond à Kelly Une méthode simple pour définir une gestion cohérente: exigences de gestion: rendement 30% par an max drawdown, ne doit pas dépasser 10% (au seuil de 5%) P(D>-drawdown) DD% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% DD=Wmax/W tau DD% = (Wmax-W)/Wmax=1-1/DD DD=1/(1-DD%) Probabilité (DD%>x%) = P(DD>1/(1+x)) => τ > 30 DD%=10% DD=1/(1-0.1) P(> DD) ~ DD^(- τ-1)< 5% τ > 1+log(0.05)/ log(1-0.1)=29.43, τ =2µ/σ 2 et µ=30% => σ < 15% => sharpe = µ/σ > 2 Si une stratégie de type Kelly (proportion constante), sous entend d'utiliser un levier 15 fois inférieur à celui de Kelly aversion relative pour le risque de l'ordre de Page 29 29

30 Kelly Fractionnel Malgré la prise en compte des risques, le levier optimal de kelly reste agressif, Une mauvaise estimation des paramètres peut conduire à une sur estimation du levier et donc: décroissance rapide du capital dans des drawdowns sévères Il est plus "prudent" d'utiliser des fractions du levier optimal: se placer à f*/2, f*/4. Kelly Fractionnel: utiliser un levier f=δ f*, avec 0<δ<1 <=> maximiser la fonction d'utilité U(w)= w 1- γ /(1- γ) γ est l'indice d'aversion relatif pour le risque: plus γ est grand et plus l'agent est risquophobe. À la limite γ = 1, la fonction d'utilité est le logarithme. δ γ utilité G*(δ )/G* 1/2 2 -w /3 3 -w /4 4 -w le levier optimal est f*(γ)= 1/ γ µ/σ 2 59 Investissement "optimal" et coûts de transactions Impact très important des coûts de transaction sur une gestion active Cette stratégie exige un ajustement permanent pour maintenir un ratio constant dans l'actif risqué: soit "f" ce ratio, l'ajustement quotidien devrait être de l'ordre de (f-1)*variationactif f=1 on est investi à 100% en permanence. f<1, on est contrarien... hausse => vente, baisse => achat f>1 on est suiveur de tendance: hausse => achat, baisse => vente Il existe des "no trade regions" : re-équilibrage uniquement lorsque le ratio sort de bornes f max, f min, exemple µ=12,5%, σ=20%, f=0.6, avec des coûts de 0,5%, ne pas faire réajuster tant que f reste dans un intervalle de l'ordre de 10% autour de f. La région de "non trading est proportionnelle à la racine cubique des coûts (ref: Leland, Baviera, ) si c= coût % Si µ/σ 2 0 ou 1, f 0 f maximum pour µ/σ 2 0.5, le sous jacent est quasi stable (rendement = µ σ 2 0) permet de retrouver la variation nécessaire de l'actif pour sortir de la zone de "non trading" 60 Page 30 30

31 Quantités Les quantités ne sont pas indivisibles. Pour justifier d'un réajustement encore faut il que δq soit entier (peut poser probl ème sur futures notamment ) δq=1 Conclusion : en raison des coûts et des quotités, il n'est pas possible d'ajuster en permanence: Quelle conséquence sur le taux de croissance? la pondération optimale w* réalise le maximum du taux de croissance => 61 Kelly en intraday? Faire du CRP en intraday est délicat en raison: - des coûts de transaction - courtage - spread - des quantités indivisibles Possible si les variations sont importantes: se placer immédiatement en contrarien (tjrs pour maintenir le ratio constant) si les coûts de transaction sont suffisamment faibles, la stratégie de Kelly (ou CRP) peut alors se coupler à une stratégie de tenue de marché, car on connaît à l'avance les prix limites d'intervention, ce qui aura pour effet de réduire l'impact des frictions Exemple simple de tenue de marché: Placer des ordres limites d'achat et vente à cours ± cette stratégie peut être bénéficiaire en elle même (tenue de marché), ce qui annule l'effet négatif des coûts de transaction S i série des prix, obtenue en retirant toute variation < p + = Proba (hausse S i ) p- = Proba (baisse S i ) p -+ = Proba (hausse S i S i-1 =baisse) p +- = Proba(S i baisse S i-1 = hausse) Proba(gain) = p = p -+ p - + p +- p + p - =p + =.5 et p -+ =p +- =.7 => p=.7 Espérance=p ( +2c) + (1-p) (- -2c)= (2p-1) -2c, c= cout de transaction En pratique on trouve E( ) 0 exemples: future = 10, p=.7 c=2 / share (IB) E= (2p-1) -2c = 10 (2*0.7-1)-2*0.02 = 0 action = 0.1$, p=.7 c=0.02$ / share (IB) E= (2p-1) -2c = 0.1(2*0.7-1)-2*0.02 = 0 action = 0.5%, p=.7 c=0.1% E= (2p-1) -2c = 0.5(2*0.7-1)-2*0.1 = 0 bref p=0.7 => 0 = 5c Vente Vente Achat Achat Attention, à l'effet Mickey. il faut tenir compte des priorités à l'exécution, il peut y avoir un forte anti-autocorrélation cas de spread trop large, (penny stocks, Eurotunnel, Eurodysney) avec accumulation des ordres limites sur la fourchette donc sans véritable opportunité 62 Page 31 31

32 Retour vers le future Les mêmes principes de gestion du levier s'appliquent au profil des P&L Soient Ri les profits (et pertes) absolus par contrat les Ri sont issus: - de l'historique des opérations, - ou d'une distribution espérée - ou les deux. W richesse Soient S le prix du contrat, M = multiplicateur 1 contrat investissement M S γ = aversion relative aux risques Stratégie de trading Séries Trades/ncontrats Calcul du levier optimal analyse correlations,... Stratégie corrigée: levier nombre de contrats par opération on/off 63 Kelly tout simplement Vince présente Kelly d'une manière simple: soit TWR = valeur terminale du portefeuille après N périodes Le levier se traduit directement terme de niveau de risque sigma(levier) = levier * sigma, si bien que l'on peut représenter la valeur terminale probable TWR en fonction du risque. La performance n'est pas croissante avec le risque, mais atteint un maximum correspond au levier optimal. 64 Page 32 32

33 Levier optimal, asymétries, valeurs extrêmes Le levier optimal est très sensible aux plus fortes pertes donc aux queues de distribution: Le levier optimal est d'autant plus faible que: - la distribution a une asymétrie négative - la kurtosis est grande ce qui est le cas de la plupart des actifs financiers!!! Mn= moment d'ordre n =E(r n ) Cas d'une distribution, avec queue en loi puissance Source: Thèse de Baviera 65 Estimation du levier optimal Estimations indépendantes de µ et σ (voir après) Estimation directes: résoudre L'erreur d'estimation du levier est en 1/σ estimation d'autant meilleure que l'actif est volatile!!! Cas multivarié et cas général: Les contraintes pouvant être arbitraires (vente à découvert ou pas, contraintes sur actif particulier, secteurs, coût de transactions, ) : nécessite des programmes complexes d'optimisation dans le cas général sinon, on pourra utiliser une première approximation, du monde gaussien sans contraintes Monde gaussien avec contraintes Méthodes adaptatives et itératives: voir Portefeuilles Universels 66 Page 33 33

34 Kelly-Conclusion (provisoire.) Stratégie optimale avec le meilleur taux de croissance (si iid) Le taux de croissance = taux de croissance certain équivalent (peut être comparé au taux sans risque) minimise aussi la durée pour atteindre un objectif le risque de ruine n'existe pas en principe Points critiques : Stratégie très active : maintenir un ratio constant a tout moment => tenir compte des coûts de transaction. Risque importants en cas de dépassement du levier optimal, les drawdowns peuvent être sévères Positions pouvant être importantes => Kelly Fractionnel Suppose une modélisation correcte: nécessité une estimation correcte des rendements et risques attendus. le plus délicat étant l'estimation des rendements mais. Il existe aussi des méthodes "non paramétriques" 67 Kelly - Méthodes non paramétriques, adaptatives et universelles Portefeuilles Universels (Thomas Cover - prof. Théorie de l'information - successeur de Shannon) Méthodes non paramétrique, adaptative et optimale (universelle) approche classique: - Modélisation - stratégie optimale modèle -> G*(modèle) = µ/σ 2 Inconvénients: - problèmes d'estimations des paramètres (surtout µ) - risque de modèle: mauvaise adéquation, variation des paramètres dans le temps Approche Non paramétrique, on-line et universelle - non paramétrique : pas besoin de spécifier un modèle "let's the data speak"" - online: adaptation en fonction de nouvelles données - universel: convergence vers la stratégie optimale a posteriori (Hindsight ) L'algorithme de COVER garantit que le taux de croissance du portefeuille universel (UNI) converge vers le taux de croissance optimal rétrospectif du meilleur portefeuille CRP (BCRP) lim G (UNI)= G(BCRP) t Méthode dite compétitive: convergence même dans le pire cas Comme si on était capable de se projeter dans l'avenir et sélectionner un portefeuille qui aurait donné les meilleurs résultats a posteriori!!! Avec des hypothèses minimales sur les distributions: la seule hypothèse est E log(rendement) < Attention la convergence peut être longue (résultat asymptotique). et comme toute méthode non paramétrique, nécessite un grand nombre de données la méthode est complexe et coûteuse en temps de caclul Exemple d'algorithme universel: compression en gz, zip tend vers le taux maximal de compression fichier 68 Page 34 34

35 Propriétés remarquables du meilleur CRP et fondements Performance d'un CRP: BCRP = meilleur portefeuille CRP au temps t x t = performances relatives des actifs au temps t normalisation W 0 =1, w=pondération constante sur toute la durée Taux de croissance optimal Théorème fondamental: si les x t sont IID, la meilleure stratégie est une stratégie CRP, c'est celle qui maxime le taux de croissance = BCRP la distribution des rendements peut être quelconque, multivariée, pas nécessairement lognornales, avec ou sans correlations, En pratique les rendements ne sont pas iid, mais suffisamment proches pour que ce théorème puisse s'appliquer avec succès Ce théorème est d'autant plus pertinent que l'efficience des marchés s'accroît BCRP bat le meilleur actif. le buy & hold dans un seul actif est aussi une stratégie CRP particulière Tout portefeuille buy & hold (BAH) est moins performant que le meilleur actif: BCRP fait mieux que la gestion indicielle BCRP bat les indices classiques du type DJI ou CAC40 Et tous les portefeuilles BAH, en général On peut toujours générer de la performance absolue par une couverture BAH adéquate en fonction des objectifs (dollar neutre, marché/bêtas neutre) le portefeuille BCRP bat la moyenne géométrique (indice Value Line) (en raison de la concavité du logarithme) Note: concavité du logarithme la performance de tout CRP est meilleur que la moyenne des performances 69 Portefeuilles Universels (suite) Le temps de calcul du portefeuille universel croit de manière exponentielle avec le nombre d'actifs!!! Incalculable au delà de 9 actifs Algorithme YATS Mais il existe des méthodes approchées linéaires avec le nombre d'actifs et historique La convergence peut être longue ln(t)/t ~ 1% au bout de 2 ans mais il s'agit du pire cas ln(t)/t 1 t Quoiqu'il en soit, fournit des fondements théoriques importants pour justifier des méthodes non paramétriques et adaptatives pourvu qu'elles vérifient certaines propriétés (universalité et compétitivité) S'agissant de marché actions, il est difficile de prétendre à des modélisations précises, on doit accepter une large classes de distribution et processus candidats : les hypothèses des ptf universels fournit un tel cadre ce faisant on ne peut donc espérer guère mieux que ces résultats ce qui n'est pas si mal La pratique montre que ce type d'algorithmes donne des résultats bien meilleurs que la limite du pire cas. 70 Page 35 35

36 Portefeuilles universels (suite) combinent deux phénomènes: - contrarien à très court terme, par effet des réajustements - momentum et suivi de tendance à moyen terme, par apprentissage des pondérations Avec des résultats spectaculaires en pratique Le portefeuille universel est très proche du meilleur portefeuille CRP rétrospectif bat la meilleure valeur de l'indice!!! Les meilleurs résultats sont obtenus par la recherche du meilleur CRP en tentant compte de dépendances résultats spectaculaires Univers = actions du DJI (36 actions) sur 22 ans avec différents coûts de transaction de 0 à 1.2% capital multiplié par plus de Exemple coût=0.2% même en présence de coûts de transaction capital x 1 million, avec coût de transaction à 0.15%!!! (*) (*) On rouve actuellement des brokers avec coûts bien plus faibles, mais ex: 0.02$/share, tombe soit à 0.02% capital pour x une 100 action si à 100$ coût à 1% croissance du capital 71 Exemple Kelly adaptatif (et universel) Phase d'apprentissage Mesures de performance: Sharpe, Sterling Sterling= performance/maxdrawdown 72 Page 36 36

37 Kelly adaptative (suite) Gain > x 1000 Krach de 87 le levier est très sensible aux fortes pertes aura du mal a s'en remettre Échelles logarithmiques!!! Richesse finale = , soit ~ un facteur de l'ordre de ^FCHI from: to: constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0 asset (f*=1.0) optimal F in Hindsight Adaptative ^GDAXI from: to: constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0 asset (f*=1.0) optimal F in Hindsight Adaptative ^SSMI from: to: constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0 asset (f*=1.0) optimal F in Hindsight Adaptative ^STOXX50E from: to: constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0 asset (f*=1.0) optimal F in Hindsight Adaptative A noter, la méthode adaptative fait mieux que le meilleure CRP a posteriori!!! 74 Page 37 37

38 ^DJI from: to: constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0 asset (f*=1.0) optimal F in Hindsight Adaptative Pas trop mal malgré un Krach comme celui de 87 ^IXIC from: to: constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0 asset (f*=1.0) optimal F in Hindsight Adaptative ^GSPC from: to: constant leverage (f) Terminal wealth return: W(T)/W0 asset (f*=1.0) optimal F in Hindsight Adaptative Historique Le critère de Kelly a été utilisé par Ed. Thorp (Élève de Shannon), hedge fund (Princeton Newport Partners) arbitrages long-short, Sharpe=3. Utilisé couramment par les traders sur Futures et hedge Fund Défaillance LTCM : pari/levier > levier optimal de Kelly Pour le fun sur la base de ces théories, Thorp et Shannon créent le premier ordinateur "prêt à porter" (habillable) en 1966 pour battre le casino!!! autre aventure dans le même style: Eudaemonic Enterprise Doyne Farmer, Norman Packard, mathématiciens spécialisé en théorie du chaos. réalisent un ordinateur à pied! Pour exploiter les biais de la roulette au casino puis ils créent la société "Prediction" pour développer des modèles de prédiction sur les marchés financiers (contrats avec UBS) 76 Page 38 38

39 Estimations Généralités: Les méthodes d'estimation des paramètres: Méthodes fréquentielles (maximum de vraisemblance, méthode des moments, etc ) : requière souvent des hypothèses d'indépendances pas toujours conformes à la réalité. Méthodes bayesiennes, plus adaptées sans doute aux environnements de trading on line Méthodes non paramétriques (Noyau, KNN,..): évite à modéliser, nécessitent un grand nombre de données. qualité d'estimation et intervalles de confiance Exemples: rendements, drift (m) volatilité maximum, minimum, temps de passage,. 77 Estimation de la tendance Finalement, pour appliquer Kelly, dans un modèle paramétrique en f=µ /σ 2 il faut estimer deux paramètres essentiels: µ et σ le plus délicat est l'estimation de µ Estimation à partir des rendements historiques: le meilleur estimateur est la moyenne: r = ( r i )/n avec r i = ln(s i /S i-1 ) se réduisant à r = ln(s n /S à ) /n les valeurs intermédiaires ne servent pas!!! On a interet à choisir la période la plus longue possible. Vous avez dit tendance? Pour un actif ~ lognormal (5%,20%) intervalle de confiance an à 95% ~ 5% ± 1.64*20%!!! N'est pertinent que lorsque r devirent ~ σ, c'est à dire au bout de T tq Tr ~ T ½ σ, ie. T ~ σ 2 /r 2 =0.2 2 / = 8 ans nota: temps caractéristique = 1/sharpe 2 Si Sharpe annuel = 2, on pourra juger de la pertinence du rendement au bout de 3 mois de tracking seulement!!! 78 Page 39 39

40 Estimations de la volatilité L'estimation de la volatilité est essentielle: gestion du risque, pricing dérivés, leviers, Estimation à partir des cours de clôture (ou last) Riskmetrics (JP Morgan) µ=0.94 soit temps caractéristique de 16 jours ouvrés, soit 3 semaines environ GARCH(1,1) Les estimateurs utilisant les plus haut / plus bas sont beaucoup plus efficaces (x10) et réactifs La mesure du range (plus haut - plus bas) est parmi les meilleurs estimateurs de volatilité Méthodes utilisant les extremums: Rogers Satchell, Parkinson, Garman Klass, True Range Maximum de vraisemblance de la distribution des +haut et +bas Estimateur utilisant tous les ticks: Zhou et variantes 79 Estimations de la volatilité (suite) Pourquoi utiliser les plus haut et plus bas? - utilise toutes les données disponibles - les extremum sont des mesures agrégées sur toute une période: les open/close ne sont que photos à des moments précis - permet d'effecteur des mesure plus précises, robustes et réactives (meilleur résultat avec moins d'historique) 80 Page 40 40

41 Estimateur de volatilité par maximum de vraisemblance avec Open/Close/High/Low Source: Malik Magdon Ismail, Amir F. Atiya Volatility Estimation Using High, Low, and Close Data (Algorithmes implémentés dans YATS) 81 Distributions plus haut, plus bas, temps de passage, etc... Intérêts des distributions des plus haut, plus bas, temps de passage, les statistiques basée sur les valeurs absolues,, les plus hauts et plus bas, sont plus robustes (cf estimation volatilité) renseignements pour le placement des ordres de sortie (stop, limites, ) base d'un style de trading (bracket trading) Quelques questions classiques: des temps de passage pour atteindre un objectif donné. temps de sortie d'une double barrière timing des plus haut / plus bas 82 Page 41 41

42 Temps de passage temps pour atteindre un niveau donné x: Brownien sans drift : en application du principe de réflexion densité du temps de passage Mais le temps le plus fréquent ne dépend que de la volatilité et la barrière Exemple: un stop à -3% avec une volatilité de 32% (0.02/jour) temps typique = /3* = 0.75 d une journée de trading, soit 6 heures Trailing stop à temps constant T est proportionnel à σ : TrailingStop 1.73 T σ Le temps typique de passage peut être vu comme l horizon optimal d investissement étant donné un objectif Le temps de passage d'une diffusion "anormale" la densité est en H=0.5 pour une diffusion normale, on retrouve bien une densité en t -3/2 H<0.5 => temps de passage > normal, H>0.5 => temps de passage < normal 83 distribution des plus bas, plus haut P(low-open < -L) 2P(close-open < -L) E[ (high-low) / open] = 2 E[ close-open /open ] Cas d'un un actif sans drift (µ=0) Densité de la valeur absolue 84 Page 42 42

43 La loi Arcsinus Src : Timing the highs and lows of the day, Emmanuel Acar, Pierre Lequeux and Stephane Ritz, Banque Nationale de Paris Plc La loi arcsinus : le timing du plus haut et du plus bas sur un intervalle de temps T est régi par la loi : Contrairement à l'intuition, il y a plus de chance que le plus haut ou plus bas se produise en début ou fin de période (jour, semaine, mois.). Les plus haut et plus bas se trouveront le plus souvent aux extrêmes : 30% dans le 2 déciles extrêmes c'est a dire les premiers ou derniers 3/4 d'heures d'un jour de trading, le premier jour ou dernier jour sur deux semaine de trading, etc... à droite ou a gauche et à l'opposé l'un de l'autre. En pratique les PH et PB se produisent bien avant ou bien après que la loi de l'arcsinus le prédit. L'extremum se produit dans la premiere heure dans 30% des cas ou la denrière heure dans 20% des cas conséquences: breakout de la première heure et mean reversion en milieu de journée? 85 Double barrière Dualité temps / rendement: au lieu d'examiner les rendements à des intervalles de temps réguliers, on intéresse à la durée nécessaire pour atteindre un rendement fixé à l'avance ou sortir d'une barrière, Utile pour définir des stratégies de trading: placement des ordres limites, ordres stop, avec horizon de temps bracket trading: estimation des profits exit et stop loss H Référence=0 L T0 distribution de la durée pour atteindre et dépasser H ou L la première fois? Probabilité(H soit atteint avant L)? Distribution de la durée de sortie de la barrière? Problèmes classiques options exotiques (barrière, lookback, ) 86 Page 43 43

44 Temps de sortie d'une double barrière Espérance du temps de sortie d'une double barrière x1<0, x2>0 (σ=1) x2 0 Avec p = probabilité de sortie par le haut (x2) x1 T=0 Dans le cas µ=0 Dans le cas µ 0 l'espérance et surtout la variance du temps de sortie dépendent peu du drift (second ordre) Encore une façon pour estimer une volatilité: mesurer les durées dans un tunnel offre l'avantage de fonctionner avec des séries irrégulièrement espacées (intraday) Pas si évident. En pratique peut être considéré comme une mesure du temps de trading certains auteurs parlent de temps intrinsèque 87 Temps de sortie CAC40 Future Temps de sortie d'une double barriere =5pts n 52321, mean 300s, std dev 528s, skewness 5,767 kurtosis 61,77 median 128 auto-correlation 0,3 E(τ) = 300s temps typique = 2 minutes pour franchir 5 pts à la hausse ou la baisse <τ> ~ α avec α de l'ordre de 1.5 à 1.8 (1.5 plutôt en période agitée) < 2 (cas gaussien) tendance à sortir plus rapidement que la diffusion normale à comparer à r ~ t H ou t ~ r 1/H α=1/h < 2 => H > ½ => persistence time = 8.70 delta 1.76 régression: ln(time)= *ln(barrier) R2=1.00 CAC40 sur Page 44 44

45 Automatique vs Manuel Automatique: l'automatisation de stratégies nécessite une approche rigoureuse, dans toutes les phases: modélisation, backtests, opérations, ne laisse pas de place au hasard.. réduction des erreurs de trading nécessairement "simpliste", pour des raisons de: difficultés de calibrage, stabilité, robustesse vs paramètres de la complexité opérationnelle et de développement: gestion multi actifs, mutli quantité, exécution partielle, incohérences des états, risques de bugs ou spécifications incomplètes, il n'est pas possible de prendre en compte tous les évènements possibles (exit all dès le moindre avènement inattendu) un travail long et complexe à mettre au point Manuel: Prise en compte d'une multitude de paramètres issues de l'expérience, approche plus "intuitive", pas souvent "formalisable": il n'est pas toujours possible, ni souhaitable de chercher à automatiser des méthodes manuelles peut réagir à toute situation. Semi automatique: marche:arrêt, surveillance des automatismes par un opérateur... une approche plus sûre 89 Trading vs Études Statistiques Objectifs différents : le trader est surtout intéressé par les prédictions et la dynamique, En trading on est surtout intéressé par les dépendances statisticien modélise pour décrire, éventuellement expliquer, il s'intéresse surtout aux aspects statiques, En analyse, on fait tout pour retirer les dépendances, la plupart des analyses statistiques s'effectuent avec des variables aléatoires "Indépendantes et Identiquement Distribuées" Des méthodes différentes : Les méthodes statiques fréquentielles en analyses statiques (ex: Maximum de Vraisemblance), Études statiques portant sur un grand nombre de données Les probabilités objectives existent, vs les méthodes Bayesiennes en dynamique: Posterior = Prior * Vraisemblance Ne soufre pas du pb d'échantillon de faible taille Mise à jour en fonction de nouvelles données plus adaptées dans le cas d'estimation on-line et trading temps réel. 90 Page 45 45

46 Utilisation d'indicateurs Indicateurs, mis à jour au fur et à mesure de l'arrivée des données, sensés donner des indications sur l'état du marché: Moyennes mobiles, momentum RSI(Relative Strength Index) Bandes de Bollinger CCI (Commoditiy Channel Breakout) etc,. En réalité la plupart des indicateurs sont redondants, privilégier les indicateurs simples, et significatifs, si possible robustes, du type range, valeur absolue discrétisation (du type p(+ +-+)=0.68), simplifie, les procédures de tests tout en enrichissant les modèles simplifie les analyses numériques, permet un traitement sous la forme de Chaîne de Markov, réduit les degrés de liberté. 91 Backtests et Data Snooping Risque de Data Snooping: Trouver des stratégies qui ne sont que des artefacts dans les données. Essayer de très nombreux systèmes avec de très nombreux paramètres, éventuellement optimiser ces paramètres ne sélectionner que les meilleurs, sans savoir pourquoi ils fonctionnent => forte probabilité pour ne sélectionner que des Snoopy: c'est à dire des systèmes qui fonctionnent à merveille sur le passé et vont se révéler catastrophiques en réel. DATA SNOOPING dans une marche aléatoire: Prenons le cas d'une marche aléatoire, avec un certain nombre de data générée, représentant un historique de marché dans ce cas E[gain de tout système] est <0 = coût de transaction on réalise des backtests de 900 trades de quoi donner confiance au trader, confiance illusoire Essayons plusieurs milliers de systèmes disons (il suffit de tester un système avec 4 paramètres pouvant prendre 10 valeurs différentes) avec des performances additives: perf globale = perf trades la performance globale est une v.a. (gaussienne, le théorème de la limite centrale) de moyenne nulle et variance(perf globale)=n variance(trade) (1+2ρ) supposons σ(trade)=1500, et autocorrélation ρ=0.3> 0, car on utilise des stop loss. variance(900 trades) = au lieu de si pas d'ac (l'ac > 0 des trades entraîne un risque plus élevé) les 10 meilleurs systèmes sur essayés correspondent au quantile 10/10000 de la gaussienne N(0, 45000) soit une espérance de gain de 195 par trade pour le plus mauvais des 10 meilleurs!!! Avec une bonne t-stat=3.9 Si on a affaire à des queues plus épaisses, l'illusion sera encore plus aveuglante. Comment éviter le data snooping? - modélisation + explication des anomalies 92 Page 46 46

47 Trading et modélisation Modélisation = simplification du réel Exemple de modèles: mean reversion (series AR(1), ARIMA, avec coefficient de rappel) Pairs trading, co intégration, Chaînes de Markov, recherche de solutions analytiques ou par simulation de Monte Carlo Fit: Data réelle = Modèle + ε 0 Simulations: Data Synthétiques = Modèle + ε 1, avec ε 1 ε 0 A la différence essentielle que l'on peut générer autant de données que nécessaire pour "résoudre" le système, trouver les paramètres optimaux, le maximum de la fonction objectif (exemple utilité horaire), sans soupçon de data snooping ou suroptimisation. On reporte le risque de data snooping sur le risque de modèle: Inadéquation du modèle, Mauvais usage du modèle, Approximations grossières, Bugs dans le développement, Données instables, 93 backtesting Définir le système de trading: traduire l'idée en modèle, puis en règles claires et non ambiguës, pouvant donner lieu a programmation cohérentes complètes: prévoir tous les cas Définir sa fonction d'utilité Se placer dans des conditions les plus fidèles (cas du simulateur YATS/RAPT) Prise en compte des coûts de transaction de la fourchette bid/ask, ou sinon du slippage (ersatz de spread lorsqu'on ne dispose pas de tous les ticks) délais de transmission des ordres et des priorités à l'exécution, Tester et backtester sur les données du marché ou par simulation de monte carlo. Optimisations, avec prudence sur les données réelles, sans modération sur les modèles. études de sensibilité aux valeurs des paramètres à des étalons : au système de trading idéal et parfait, au système aléatoire 94 Page 47 47

48 Critères de performance et contraintes On doit choisir une fonction d'utilité à optimiser parmi: - la fonction d'utilité classique : isoélactique (logarithme, puissance), - une utilité terminale ou utilité par unité de temps exemple: on pourra chercher à optimiser l'utilité/jour en principe, l'utilité/jour devrait donner une idée du revenu certain équivalent (à comparer à un salaire, par exemple) - le ratio de Sharpe : rendement/volatilité - le ratio de Sterling : rendement/maxdrawdown - une pénalisation des performances (pessimistic ratio de Pardo) - minimiser la VaR Ajouter à cela des contraintes Sur la fonction objectif: exemple: rejet de toute solution dont - le maxdrawdown serait > 10% - le nombre de trades serait jugé insuffisant (pour des raisons de signification statistiques, ) - etc Sur les paramètres du système: marge? la somme des pondérations libre ou contraintes = 1 ou =X avec X = levier uatorisé vente à découvert? (pondération<0?) maximum/minimum sur certaine actifs, classes d'actifs, contraintes sur les paramètres des indicateurs techniques, 95 Exemple Exemple: système de retour à la moyenne le plus simple possible: µ= moyennemobile (1h) σ =volatilité(1h) ENTRY RULE ACHAT si last - µ > 2σ VENTE si last - µ < 2σ EXIT RULE // retour à la moyenne SI position=achat et last < µ ou position=achat et prix > µ ou profitandloss > stoploss ou dureeposition > stoptime Nota: on peut faire exactement l'inverse pour un système de breakout On a déjà défini 4 paramètres : longueur moyenne mobile, seuil de volatilité, valeur du stoploss et exittime, on peut y ajouter : la tranche horaire, etc chacun pouvant prendre 10 valeurs au moins, le nombre de cas à tester croit de manière exponentielle avec le nombre de paramètres. Donc de fortes chances pour trouver un système de mean reversion qui va fonctionner sur les données disponibles 96 Page 48 48

49 Optimisations Les fonctions (avec contraintes) à optimiser n'ont pas souvent les belles propriétés que l'on trouve dans le livres: ne sont pas toujours continues (a fortiori ni différentiables), les solutions peuvent être entières (quantités) YATS inclut des méthodes d'optimisation globales permettant de trouver des optimums de fonctions objectifs à plusieurs variables (paramètres) et sous contraintes arbitraires Méthodes utilisées = recuit simulé combiné avec des optimisations locales (BFGS, Hooke, ) Maximum global Optimum locaux (ces mêmes méthodes sont utilisés dans les estimateurs de maximum de vraisemblance) - directement sur les prix du marché pour tester et optimiser des stratégies avec un risque important de sur-optimisation - sur des données synthétiques issus d'un modèle pour trouver la stratégie optimale du modèle. 97 Stop Loss Le Stop Loss est une pratique courante pour limiter les pertes Exemple: position sur CAC40 Future, stop loss à -10pts de perte => permet de s'assurer que la perte ne dépassera jamais 10pts. Oui mais si on continue et sans traitement complémentaire, le résultat sera le même Si une stratégie est mauvaise, elle restera mauvaise, même avec stop loss. Stop loss Stop loss Stop loss En général, le stop loss fait apparaître des autocorrélations positives. 98 Page 49 49

50 Auto corrélation des trades En général la série des trades d'un système de trading présente de fortes auto corrélations positives (mauvaise modélisation, ). Tout n'est pas perdu: on peut appliquer un système "anti autocorrélation" exemple: Win=20, Loss=-20 Cost=4 probabilité(win)=0.5 Système brut : perte : Avec traitement Anti AC: gain de 544!!! Système ultra simpliste: si AC >0, alors les proba(perte perte)>0.5, il suffit alors d'arrêter après une perte, et reprendre après le premier gain... perte constatée arrêt trading réel, passage en mode virtuel gain virtuel: reprise du trading réel Après traitement, il n'y a plus d'autocorrélation évidente Utilisation possible d'algorithmes plus sophistiqués de prédiction on line 99 Exemples de patterns prédictibles Après le pattern "caacaac", on peut vendre le SMI, en plaçant un profitexit et stop loss +/- 4 pts, la probabilité du modèle étant (0.72) > à la probabilité critique (0.68) avec une espérance de gain de 3.48 par contrat et par trade (aller retour) 100 Page 50 50

51 Pairs Trading Stratégies Long/Short pour réduire les risques, rechercher la performance absolue: Soient wi = pondérations dans l'actif i w0= ponderation actif sans risque long/short dollar neutre : montant investi en long = montant en short Σ wi = 0, i 1 long/short marché neutre: exemple: r1=α + βr2 + ε le portefeuille vérifiant w2 = -β w1 sera ~ neutre aux variations de si β 0, à la fois dollar et beta neutre co intégration / pairs trading recherche de retour à la moyenne dans les ratios des prix x1/x2 y=ln(x1)-ln(x2) régression: y(t)=µ+ρ y(t-1)+ε ρ = 1 marche aléatoire ρ < 1 y(t) est stationnaire et y(t) prévisible mais σ 2 (y) = σ ε 2/(1-ρ 2 ) peut être très grand si ρ proche de 1 test statistique de racine unitaire (Dickey Fuller): H0: ρ = 1 co integration!= corrélation : penser à un homme ivre qui se promène avec son chien en laisse ils vont nulle part mais ils y vont ensemble 101 Trading de spread sur futures indices en intraday Exemple de pairs trading sur future: Le spread est stationnaire on peut donc mettre en œuvre une stratégie de retour à la moyenne du spread: exemple achat si spread < µ +2σ vente si spread > µ +2σ µ=moyenne mobile vente vente achat?s n = 43,801-0,055 S n-1 + e avec S i =spread = CAC40(i*10seconds) -ESTX50(i*10seconds) et? S i =S i -S i-1 Augmented Dickey Fuller Test t-stat: -10,532 => LE SPREAD EST STATIONAIRE (Dickey Fuller pvalue: 0,01) Dans tous les cas une position long/short semble préférable sur futures ne serait ce que pour rendre ces instruments moins risqués limiter les risques opérationnels (pannes, krach, ) 102 Page 51 51

52 Trading de spread sur futures indices en intraday (suite) Mais pas si évident, en raison du véritable couts : la fourchette Prix achat du spread Prix vente du spread Le spread peut aussi être un indicateur pour négocier un seul instrument en utilisant des relations d'équilibre se placer en cas de rupture d'équilibre exemple achat du CAC40 Les instruments le plus liquides sont en avance sur les moins liquides (causalité Granger) exemple:?cac40 t = 0, ,487?ESTX50 t + 0,195?ESTX50 t-10s + e en clair: les variations du CAC40 à t dépendent aussi des variations du E50 à t-10s 103 Programmation dynamique et apprentissage Les systèmes de simulation/backtests sont myopes une opération (achat/vente) commence par une perte nette: coûts de transaction, spread, la récompense éventuelle n'intervient que plus tard pb classiques des jeux (échecs, backgammon, ) A quel moment est il intéressant de prendre une position puis sortir pour en prendre une autre, en fonction des états, gains espérés et incertitudes (risques) Système de trading États: rendements des actifs, indicateurs, position courante du ptf Reward - coûts de transaction immédiats ± P&L trades avec retard Actions: Vente, Achat Marché + Portefeuille Modèle Continu de Merton avec consommation/épargne optimisation conjointe du flux des revenus C et du capital W qui procure ces revenus U (C) = salaire équivalent du trader ρ = taux d'actualisation des revenus futurs pas nécessairement le taux sans risque, permet de définir une fen être mobile moyenne mobile pondérée Modèle discret et mis sous la forme d'un processus de décision de Markov π = politique = fonction Etats Actions Solution : programmation dynamique ou apprentissage trouver les actions optimales en fonction de l'état Il existe des algorithmes qui garantissent une convergence vers la solution unique (Q-learning, SARSA, TD-learning,...) 104 Page 52 52

53 Programmation dynamique et apprentissage (suite) Parmi les problèmes les plus complexes: - explosion combinatoire, - risque d'overfitting (si appliqué directement aux data) - solution analytique, si modèles analytiques simples ou le plus souvent par simulation exemple solution analytique dans le cas de process lognormaux (Merton), avec mean reversion (Ornstein- Uhlenbeck, AR), avec coût de transaction (le modèles les plus simples se traduisent par des équations puissante mais horriblement complexes) - extractions de modèles non paramétriques (exemple chaîne de Markov) et solution par des techniques d'apprentissage - devient rapidement inextricable => application réaliste dans des cas relativement simples: trading sur un seul instrument (1 devise, 1 future, ), Sujets d'etude /stage: trading sur futures indices par apprentissage automatique 105 Architecture Plateforme de trading Excel DCOM bridge DDE link Socket port 7496 IB Trader Work Station Standalone configuration Slect socket Port = default is 7496 other quotes, news feed server FIXML engine server Internet IB FIX/XML server Enable socket clients checkbox 106 Page 53 53

54 Gestion des données haute fréquence La plupart des outils statistiques ne sont adaptés qu'aux données régulièrement espacées dans le temps => régularisation des données haute fréquence: méthodes: précédent, interpolation linéaire, spline cubique en temps réel => performance et stockage (surtout en mode simulation et backtests) T Le temps d'accès disque demeure le principal goulet d'étranglement (assez peu de progrès vs CPU) Les bases de données SQL sont mal adaptées à la gestion des données haute fréquence pb de performance et encombrement (produits intéressant : KDB) Utiliser plutôt des structures de fichiers «plats» optimisées pour des accès rapides par instrument et en cross section (à une date donnée) autres problèmes: gestion des mauvais ticks, gestion des interruptions, duplications, suspensions, La gestion des données est très lourde représente plus de 50% du temps consacré à l'élaboration et opération d'un système 107 FIX / XML et ISO Page 54 54

55 MVC architecture Query state Data Data Model Model instruments instruments quotes quotes on going orders on going orders account information account information State change Notify change View View = Trading Trading Algorithms Algorithms + (User (User interface) interface) quotes, quotes, buy/sell buy/sell buttons buttons charts, charts, etc etc Trading (& user) actions View selection Controller Controller -- maps maps user user actions actions to to model model updates updates - - monitor monitor external external events events (price, (price, orders, orders, etc etc ) ) user External events ticks, order status IB TWS API orders, request market data account information, etc Plateform Scheduler Manual or Automated trading Buy/sell/cancel requests Trading manager Read /schedule and timely dispatch events Event queue USER INETRFACE tables charts Order status Broker manager Actual or simulated Posting events Live quotes feed Quotes manager Historical quotes Simulated quotes 110 Page 55 55

56 Order State Diagram Placed On decision: timeout, etc... Cancel Placed onstatus = filled Filled Cancelled onstatus = cancelled Notes: Transitions from Placed to Cancelled may be due to the market, or portfolio constraints (margin, etc ) Transition from Placed to cancel placed may be due to decisions to cancel the order, but a filled status may arrive while cancel is sent In conclusion: states should be based on recieved order status. 111 Exemple de Diagramme d'état d'un automate de trading stopped ready evalentry Entry placed timeout Entry cancel placed Status=filled Entry filled Status=filled Entry cancelled Exit placed Exit cancel placed Status=filled Exit filled Stop loss Stop loss init Exit cancelled Stop loss placed timeout Stop loss cancel placed Stop loss filled Some principles: - wait for cancel confirmation before entering a new order - set to stopped on any error or unexpected state / event Redo cancel Stop loss cancelled 112 Page 56 56

57 Évènements package com.yats.trading.event; import java.util.*; /** * Trading listener. * can be registered within the Manager, via standard java method * manager.addlistener. * <p>all "callbacks" method names start with "on" : ontick, onorderstatus, *... <a Herlemont</a> */ public interface TradingListener extends EventListener, TickListener, com.yats.trading.tradingconstants { public void onmarketdepth(marketdepthevent te); public void onorderstatus(orderstatusevent te); public void onconnectionclosed(tradingevent te); public void onconnectionopened(tradingevent te); public void onerror(errorevent te); public void onopenorder(openorderevent te); public void onupdateaccounttime(updateaccounttimeevent te); public void onupdateaccountvalue(updateaccountvalueevent te); public void onupdateportfolio(updateportfolioevent te); public void ontradingaction(tradingactionevent te); Architecture push: on ne maîtrise pas l'arrivée des évènements il faut réagir à différents évènements éventuellement asynchrones: tick data status des ordres informations (compte, positions,..) connections. } S'oppose à la programmation procédurale: on ne peut pas écrire un seul programme linéaire il faut écire es bouts de procédures qui vont partager des mêmes données, avec tous les pbs de synchronisation afférents l'environnement est thread safe (cad que l'on peut programmer comme si il n'y avait qu'un seul processus (thread) actif 113 Programmation /* * Copyright 2001 YATS, All rights reserved. * Use is subject to license terms. */ public class MeanReversionTS extends InstrumentEESTS { static Logger logger=logger.getlogger(meanreversionts.class.getname()); package com.yats.trading.studio.daniel; import java.util.logging.*; import java.beans.*; import com.yats.trading.*; import com.yats.math.*; import com.yats.trading.event.*; import com.yats.trading.studio.*; import com.yats.trading.indicator.*; import com.yats.commons.util.*; /** * A simple mean reversion system. * <p>settings: * <li>max = maximum on b bars. * <li>min = minimum on b bars. * <p>entries: * <li>sell if price hits the Max * <li>buy if price hits the Min * <p>exits: * trailing stop at Max-Min <a Herlemont</a> */ TimeSeries maximum; TimeSeries minimum; TrailingStopOrderExecutor trailingstop; int bars=15; double profitexitpts=4; double stoplosspts=4; public void init() { super.init(); bars=getproperties().getinteger("bars",bars); profitexitpts=getproperties().getdouble("profitexitpts",profitexitpts); stoplosspts=getproperties().getdouble("stoplosspts",stoplosspts); } maximum=tickindicators.chainbylistener(functions.maximum(bars), getlastslivetimeseries()); minimum=tickindicators.chainbylistener(functions.minimum(bars), getlastslivetimeseries()); 114 Page 57 57

58 Programmation (suite) protected void evalentry(tradingevent event) { double max=maximum.getlastvalue(); double min=minimum.getlastvalue(); if (getlast()>=max) { entryorderexecutor.sellatlimit(getask()); // entryorderexecutor.sellatbid(); } if (getlast()<=min) { entryorderexecutor.buyatlimit(getbid()); // entryorderexecutor.buyatask(); } void placeexit() { boolean isbuy=entryorderexecutor.isbuy(); if (isbuy) // exitorderexecutor.sellatbid(); exitorderexecutor.sellatlimit(getask()); else // exitorderexecutor.buyatask(); exitorderexecutor.buyatlimit(getbid()); } } protected void evalexit(tradingevent event) { double plpts=getprofitandlosspoints(); if (plpts>=profitexitpts plpts<-stoplosspts) { placeexit(); } } 115 Librairies YATS - Time séries (estimation ARMA, générateur, ) - Calcul stochastique - Options classiques et exotiques (barriere, lookback) - Gestion de risque, estimation des queues de distribution (Pareto Generalisé, valeurs extrêmes, ) VaR fonctions d'utilité - gestion de portefeuille CRP, critères de Kelly, - portefeuilles universels - estimation de la volatilité et co dépendance en utilisant les plus haut plus bas, par maximum de vraisemblance - ondelettes - estimation Hurst (R/S, Variance ratio, ) - filtre de Kalman - chaine de markov à longueur variable - interfaces avec logiciel d'apprentissage automatique (Weka) et non linéaires (KNN, densité non paramétrique à noyau) - algorithmes de prédictions universelles - régressions linéaire, ANOVA, - co intégration : test Dickey Fuller, régression VAR/VECM - tests statistiques (normalité, BDS, ) - optimisations locales: BFGS, Hooke et globales: recuit simulé, - calcul matriciel - programmation fonctionnelle Analyse technique/statistiques de systèmes de trading: moyenne mobiles, RSI, MACD, volatilité, range, et moins classiques environnement de backtesting optimisations de stratégies. - Réutilisations de stratégies, avec paramètres - programmation en javascript, 116 Page 58 58

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