1 ) Exemple 1. Résoudre dans l équation cos x (1). Astuce de départ : 1 cos 2 3. Réécriture de l équation. (1) s écrit cos x cos 3

Transcription

1 ère S Chapitre 0 I. Règles fondamentales ) Egalité de deux cosinus a et b sont deux réels. Equations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et des sinus b II. Exemples de résolutions d équations trigonométriques ) Exemple Résdre dans l équation cos x (). stuce de départ : cos Réécriture de l équation () s écrit cos x cos ' () cos x cos («on équilibre l équation») b x k k (on «enlève» les cos avec la règle ) x k ' k ' cos a cos b si et seulement si k a b k a b k ' k ' S k, k k ', k ' ) Exemple ) Egalité de deux sinus a et b sont deux réels. Résdre dans l équation sin x ne pas développer (). stuce de départ : b b sin ' sin a sin b si et seulement si a b k k a b k ' k ' Réécriture de l équation () s écrit sin x sin () sin x sin x k k x k ' k '

2 x k k x k ' k ' x k k 8 x k ' k ' x k k 5 x k ' k ' 5 S k, k k ', k ' ) Exemple S k, k k ', k ' 8 M' 5 M 8 M0 8 Résdre dans l équation cosx sin x (). stuce de départ : sin x cos x Réécriture de l équation ' 9 M 8 M 8 M' 0 () s écrit cosx cos x () cosx cos x x x k k x x k' k ' x k x k ' k k ' ère famille (points rges) e famille (points verts) k 0 : 8 k : k : k : k ' 0 : k ' : x x k k k ' k '

3 III. Equations trigonométriques particulières Equation cos x ) Règles Les solutions ont pr point image. Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient dans chaque cas une seule famille de solutions. cos x x k cos x x k k k cos x 0 x k k sin x x k k sin x x k k sin x 0 x k k ' ) Justification Donner cercles trigonométriques Les solutions sont les nombres,,, Il s agit des nombres de la forme kavec k. Equation cos x Les solutions ont pr point image. Equation cos x 0 Les solutions ont pr points images et. ' ' Les solutions sont les nombres 0,,,, Il s agit des nombres de la forme kavec k. Les solutions sont les nombres,,, Il s agit des nombres de la forme x k avec k. 5

4 Equation sin x Les solutions ont pr point image. Equation sin x 0 Les solutions ont pr points images et. ' ' Les solutions sont les nombres,,,, Il s agit des nombres de la forme k avec k. Equation sin x Les solutions ont pr point image. Les solutions sont les nombres 0,,,,,,,, Il s agit des nombres de la forme x k avec k. IV. Résolution d une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple) Résdre dans [0 ; ] l équation cos x (). ère étape : n rést l équation dans. stuce de départ : cos ' () cos x cos x k x k' k k ' Les solutions sont les nombres,,,, Il s agit des nombres de la forme k avec k. x k k x k ' k ' 7 8

5 e étape : n cherche les solutions dans [0 ; ] ère famille e famille V. Inéquations trigonométriques ) Remarques préliminaires Il n y a pas de règle. n utilise le cercle trigonométrique. n cherche k tel que : 0 k 0 k k 0,...,8... k : ( n cherche k ' tel que : 0 k ' 0 ' k 5 k ' 0,... 5,... k ' : ( ) Exemples Exemple Résdre dans l intervalle [ ; ] l inéquation cos x. ' Donc Donc k 0 k k k n donne l ensemble des solutions dans [0 ; ] S0 ; ; ; ; ; ; ; ; k' k' k ' k' D après le cercle trigonométrique : S ;. Exemple Résdre dans l intervalle ; l inéquation sin x. ère étape n pose : X x. x x ( X 9 sin X Donc X ; 0

6 ' 5 VI. Utilisation de la calculatrice ) Pr les cosinus cos x ' 0 D après le cercle trigonométrique : 5 X e étape r X x Calculatrice Mode radians : Donc 5 x nd cos 0,5 =,079 5 x 5 S ; : ( La calculatrice donne une valeur dans l intervalle [0 ; ]. ) Pr les sinus ' La calculatrice donne une valeur dans l intervalle ;.

7 ère S Exercices sur les équations et inéquations trigonométriques Résdre dans l équation cos x. Résdre dans l équation sin x. Résdre dans l équation sin 5x sin x 0. Résdre dans l équation cos x 7cos x 0. 5 Résdre dans l équation cos x sin x 0. Résdre dans l équation cos x sin x. 7 Résdre dans 0 ; l inéquation cos x. 8 Résdre dans ; l inéquation sin x. 9 Résdre dans ; l inéquation cos x. Réponses S k, k k', k' k 5 k' S, k, k' 8 8 stuce : l équation est équivalente sin 5x sin x soit sin 5x sin x. k S, k k', k' stuce : on effectue le changement d inconnue X cos x. S k, k k', k' 5 stuce : utiliser la formule de duplication sin x sin x cos x puis factoriser le er membre. S k, k k', k' k'', k" stuce : réduire le er membre en utilisant une formule d addition. S k, k 7 Méthode : utiliser le cercle trigonométrique. S ; 8 Méthode : utiliser le cercle trigonométrique. S ; ; 9 S ; ;