Exercices type Bac Nombres complexes

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1 Exercces type Bac Nombres complexes Exercce 1 : Pour chaque queston, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1 pont. Une absence de réponse n est pas sanctonnée. Il sera retré 0,5 pont par réponse fausse. On ne demande pas de justfer. La note fnale de l exercce ne peut être nféreure à éro. On pose = ) La forme algébrque de est : A : B : C : + + ( ) D : + ) s écrt sous forme exponentelle : A : e B : e C : e D : ) s écrt sous forme exponentelle : 7 5 A : e B : e C : e D : e ) + A : Exercce : 7 e et sont les cosnus et snus de : 5 B : C : D : Parte 1 On consdère, dans l ensemble des nombres complexes, l équaton suvante (E) : + 16 = 0. 1) Montrer que est soluton de (E), pus que (E) peut s écrre sous la forme ( )(a + b + c) = 0 où a, b et c sont tros réels que l on détermnera. ) En dédure les solutons de l équaton (E) sous forme algébrque pus sous forme exponentelle. Parte Le plan complexe est mun du repère orthonormal drect (O ; u ; v ). 1) Placer les ponts A, B et D d affxes respectves A =, B = et D = +. ) Calculer l affxe C du pont C tel que ABCD sot un parallélogramme. Placer C ) Sot E l mage du pont C par la rotaton de centre B et d angle et F l mage du pont C par la rotaton de centre D et d angle + a) Calculer les affxes des ponts E et F, notées E et F. b) Placer les ponts E et F. F A ) a) Vérfer que =. E A b) En dédure la nature du trangle AEF. 5) Sot I le mleu de [EF].

2 Exercce : Détermner l mage du trangle EBA par la rotaton de centre I et d angle (O ; u ; v ) est un repère orthonormal du plan (P). A est le pont d affxe et B le pont d affxe 1. f est l applcaton de (P) prvé de O dans (P) qu à tout pont M d affxe dstnct de O assoce 1 le pont M = f(m) d affxe =. 1) a) Sot E le pont d affxe E = e ; on appelle E son mage par f d affxe E. Détermner l affxe de E sous forme exponentelle, pus sous forme algébrque. b) On note C 1 le cercle de centre O et de rayon 1 ; Détermner l mage de C 1 par f. 5 6 ) a) Sot K le pont d affxe K = e et K l mage de K par f. Calculer l affxe K de K. b) Sot C le cercle de centre O et de rayon ; Détermner l mage de C par f. ) On désgne par R un pont d affxe 1 + e θ où θ ] ; [. R appartent au cercle de centre A et de rayon 1. 1 a) Monter que + 1 =. En dédure que ' + 1 = '. Exercce : b) S on consdère mantenant les ponts d affxes 1 + e θ où θ ] ; [, montrer que leurs mages sont stuées sur une drote. On pourra utlser le résultat du a). Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u ; v ). Unté graphque : 0,5 cm. On note j le nombre complexe e. On consdère les ponts A, B et C d affxes respectves a =, b = 6j et c = j. Sot A l mage de B par la rotaton de centre C et d angle Sot B l mage de C par la rotaton de centre A et d angle Sot C l mage de A par la rotaton de centre B et d angle 1) Placer les ponts A, B, C, A, B et C dans le repère donné. ) On appelle a, b et c les affxes respectves des ponts A, B et C. a) Calculer a. On vérfera que a est un nombre réel. b) Montrer que b = 16 e. En dédure que O est un pont de la drote (BB ). c) On admet que c = Montrer que les drotes (AA ), (BB ) et (CC ) sont concourantes en O. ) On se propose désormas de montrer que la dstance MA + MB + MC est mnmale lorsque M = O. a) Calculer la dstance OA + OB + OC. b) Montrer que j = 1 et que 1 + j + j = 0. c) On consdère un pont M quelconque d affxe du plan complexe. On rappelle que a =, b = 6j et c = j ;

3 Exercce 5 : Dédure des questons précédentes les égaltés suvantes : ( a ) + ( b ) j + ( c ) j = a + bj + cj d) On admet que, quels que soent les nombres complexes, et : + ' + '' + ' + '' Montrer que MA + MB + MC est mnmale lorsque M = O. = Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u ; v ). On prendra pour unté graphque cm. Sot f l applcaton qu à tout pont M du plan d affxe non nulle assoce le pont M d affxe =, où désgne le nombre complexe conjugué de. 1) Détermner l ensemble des ponts nvarants par f. ) Détermner l ensemble des ponts dont l mage par l applcaton f est le pont J d affxe 1. ) Sot α un nombre complexe non nul. Démontrer que le pont A d affxe α admet un antécédent unque par f, dont on précsera l affxe. ) a) Donner une mesure de l angle ( OM ; OM ' ). Interpréter géométrquement ce résultat. b) Exprmer ' en foncton de. S r désgne un réel strctement postf, en dédure l mage par f du cercle de centre O et de rayon r. c) Chosr un pont P du plan complexe non stué sur les axes de coordonnées et tel que OP = et construre géométrquement son mage P par f. 5) On consdère le cercle C 1 de centre J et de rayon 1. Montrer que l mage par f de tout pont de C 1, dstnct de O, appartent à la drote D d équaton x =. Exercce 6 : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u ; v ). L unté graphque est cm. On désgne par le nombre complexe de module 1 et d argument + On réalsera une fgure que l on complètera au fur et à mesure des questons. 1) Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équaton =. Ecrre la soluton sous forme algébrque. ) Résoudre dans C l équaton + = 0. Ecrre les solutons sous forme exponentelle. ) Sot A, B, A et D les ponts du plan complexe d affxes respectves : a =, b =, a = et d = +. Quelle est la nature du trangle ODB? ) Soent E et F les ponts d affxes respectves e = 1 et f = 1 +. Quelle est la nature du quadrlatère OEAF? 5) Sot (C) le cercle de centre A et de rayon. Sot (C ) le cercle de centre A et de rayon. Sot r la rotaton de centre O et d angle + a) On désgne par E l mage par la rotaton r du pont E. Calculer l affxe e du pont E. b) Démontrer que le pont E est un pont du cercle (C ). c) Vérfer que : e d = ( + )( e d). En dédure que les ponts E, E et D sont algnés. 6) Sot D l mage du pont D par la rotaton r. Démontrer que le trangle EE D est rectangle.

4 Exercce 7 : Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect (O ; u ; v ). (unté graphque 1 cm) 1) Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes, l équaton suvante : + 6 = 0. ) On consdère les ponts A et B qu ont pour affxes respectves les nombres complexes : a = et b = +. a) Ecrre a et b sous forme exponentelle. b) Calculer les dstances OA, OB, AB. En dédure la nature du trangle OAB. ) On désgne par C le pont d affxe c = + et par D son mage par la rotaton de centre O et d angle Détermner l affxe d du pont D. ) On appelle G le barycentre des tros ponts pondérés (O ; 1), (D ; 1), (B ; 1). a) Justfer l exstence de G et montrer que ce pont a pour affxe g = + 6. b) Placer les pont A, B, C, D et G sur une fgure. c) Montrer que les ponts C, D et G sont algnés. d) Démontrer que le quadrlatère OBGD est un parallélogramme. 5) Quelle est la nature du trangle AGC? Exercce : Le plan complexe est rapporté à un repère orthogonal drect ( O ; u ; v ) ; unté graphque 1 cm. On consdère dans l ensemble des nombres complexes, l équaton (E) d nconnue suvante : + ( + ) + (17 ) + 17 = 0. I. Résoluton de l équaton (E). 1) Montrer que est soluton de (E). ) Détermner les nombres réels a, b, c tels que + ( + ) + (17 ) + 17 = ( + )( a + b + c) ) Résoudre l équaton (E) dans l ensemble des nombres complexes. II. On appelle A, B et C les ponts d affxes respectves +, et. 1) Placer les ponts sur une fgure que l on complétera dans la sute de l exercce. ) Le pont Ω est le pont d affxe. On appelle S l mage de A par la rotaton de centre Ω et d angle de mesure Calculer l affxe de S. ) Démontrer que les ponts B, A, S, C appartennent à un même cercle C dont on détermnera le centre et le rayon. Tracer C ) A tout pont M d affxe, on assoce le pont M d affxe =. a) Détermner les affxes des ponts A, B, C assocés respectvement aux ponts A, B et C. b) Vérfer que A, B, C appartennent à un cercle C de centre P, d affxe. Détermner son rayon et tracer C. c) Pour tout nombre complexe, exprmer ' en foncton de. d) Sot M un pont d affxe appartenant au cercle C. Démontrer que ' = 5. e) En dédure à quel ensemble appartennent les ponts M assocés aux ponts M du cercle C.

5 Exercce 9 : Le plan complexe est mun du repère orthonormal drect ( O ; u ; v ) ; unté graphque cm. On appelle A et B les ponts du plan d affxes respectves a = 1 et b = 1. On consdère l applcaton f qu, à tout pont M dfférent du pont B, d affxe, fat 1 correspondre le pont M d affxe défne par : =. + 1 On fera une fgure qu sera complétée tout au long de cet exercce. 1) Détermner les ponts nvarants de f c'est-à-dre les ponts M tels que M = f(m). ) a) Montrer que, pour tout nombre complexe dfférent de 1, ( 1)( +1) = b) En dédure une relaton entre ' 1 et + 1, pus entre arg( 1) et arg( + 1), pour tout nombre complexe dfférent de 1. Tradure ces deux relatons en termes de dstances et d angles. ) Montrer que s M appartent au cercle (C) de centre B et de rayon alors M appartent au cercle (C ) de centre A et de rayon 1. ) Sot P le pont d affxe p = +. a) Détermner la forme exponentelle de ( p + 1 ). b) Montrer que le pont P appartent au cercle (C). c) Sot Q le pont d affxe q = p où p est le conjugué de p. Montrer que les ponts A, P et Q sont algnés. d) En utlsant les questons précédentes, proposer une constructon de l mage P du pont P par l applcaton f.