,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf2013e
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- Tristan Jobin
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1 ,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf0e Antilles-Guyane septembre 0 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O; u, v) On considère les points A, B et C d affixes respectives A i ; B i ; C i On note D le point tel que le triangle OCD soit rectangle isocèle en O avec OC, OD On note E le point tel que OBEC soit un parallélogramme a Écrire les nombres complexes A et B sous forme exponentielle b Sur une feuille de papier millimétré, en prenant pour unité graphique cm, placer les points A, B et C c Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle a Construire les points D et E Calculer leurs affixes D et E b Montrer que les vecteurs OE et AD sont orthogonaux et que OE = AD Le but de cette question est de retrouver le résultat précédent dans un cas plus général Il est inutile de refaire une figure Soient A, B, C, D et E les points d affixes respectives non nulles A, B, C, D et E tels que le triangle OAB est rectangle isocèle en O avec OA, OB ; le triangle OCD est rectangle isocèle en O avec OC, OD ; le quadrilatère OBEC est un parallélogramme a Justifier les égalités suivantes : B = i A ; D = i C ; E = i A + C D A b Montrer que i E D A c Interpréter géométriquement E arg E et D A puis conclure Amérique du sud novembre 0 5 points Le plan complexe est muni d un repère orthonormé (O; u, v) (unité graphique cm) On considère les points A, B et C d affixes respectives : A = i, B = i et C = On considère la transformation f qui à tout point M du plan d affixe, distinct de A, associe le point i M ' d affixe ' i On fera une figure que l on complètera au fur et à mesure Déterminer l ensemble des points invariants par la transformation f Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points B' et C', images respectives des points B et C par f a Montrer que, pour tout point M distinct de A, l affixe ' de M ' vérifie l égalité ' i i b En déduire que si le point M appartient au cercle de centre A et de rayon, alors son image M ' appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon u, B M ' u, AM c Exprimer une mesure de l angle en fonction d une mesure de l angle
2 ,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf0e d On considère le point D d affixe D i Vérifier que D appartient au cercle Construire, à la règle et au compas, le point D et son image D' par f 4 On note G l isobarycentre des points O, B et C a Déterminer l affixe du point G b On admet que l image G' du point G a pour affixe G' i Le point G' est-il l isobarycentre des points O, B' et C'? Nouvelle-Calédonie novembre 0 5 points Dans cet exercice les deux parties peuvent être traitées indépendamment Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O; u, v), on appelle A le point d affixe et C le cercle de centre A et de rayon La figure sera réalisée sur une feuille de papier millimétré avec 4 cm pour unité graphique Partie A On considère l équation (E) : + = 0, où est un nombre complexe On appelle et les solutions de (E) Résoudre l équation (E) dans l ensemble des nombres complexes On appelle M et M les points d affixes respectives et dans le repère (O; u, v) Montrer que M et M appartiennent au cercle C Partie B On considère l application f du plan complexe qui à tout point M d affixe distinct de A associe le point M ' d affixe ' définie par ' Placer le point A et tracer le cercle C sur une figure que l on complètera au fur et à mesure Montrer que pour tout complexe distinct de on a ( ' )( ) Montrer que pour tout point M distinct de A on a : AM A M ' ; M ' A ; u, A M u, A M ' 0 k, où k est un entier relatif 4 On considère le point P d affixe i 4 P e Construire le point P 5 En utilisant la question, expliquer comment construire le point P', image de P par f, et réaliser cette construction 6 Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète ou d initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l évaluation Soit un point M appartenant à la droite D d équation x Soit M ' son image par f 4 a Montrer que le point M ' appartient au cercle C ' de centre O de rayon b Tout point de C ' a-t-il un antécédent par f?
3 ,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf0e 4 Pondichéry avril 0 5 points Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O; u, v) On note i le nombre complexe tel que i = On considère le point A d affixe A = et le point B d affixe B = i À tout point M d affixe M = x + iy, avec x et y deux réels tels que y 0, on associe le point M ' d affixe M ' = i M On désigne par I le milieu du segment [AM] Le but de l exercice est de montrer que pour tout point M n appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM est aussi une hauteur du triangle OBM ' (propriété ) et que BM ' = OI (propriété ) Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend a Déterminer la forme algébrique de M b Montrer que M ' i Déterminer le module et un argument de M ' M i e c Placer les points A, B, M, M ' et I dans le repère (O; u, v) en prenant cm pour unité graphique Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés et à l aide du graphique On revient au cas général en prenant x i y avec y 0 a Déterminer l affixe du point I en fonction de x et y b Déterminer l affixe du point M ' en fonction de x et y c Écrire les coordonnées des points I, B et M ' d Montrer que la droite (OI ) est une hauteur du triangle OBM ' e Montrer que BM ' = OI M 5 Polynésie juin 0 points PARTIE DE QCM Cet exercice est un questionnaire à choix multiples Aucune justification n est demandée Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est exacte Chaque réponse correcte rapporte point Une réponse erronée ou une absence de réponse n ôte pas de point Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie Soit 6e i 4 et i e La forme exponentielle de i est : a e 9 i b e i c 7 i e d e i L équation, d inconnue complexe, admet : a une solution b deux solutions c une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite d une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur un cercle
4 ,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf0e 6 Antilles-Guyane juin 0 5 points On considère la suite ( n ) à termes complexes définie par 0 = + i et, pour tout entier naturel n, par n n n Pour tout entier naturel n, on pose : n = a n + ib n, où a n est la partie réelle de n et b n est la partie imaginaire de n Le but de cet exercice est d étudier la convergence des suites (a n ) et (b n ) Partie A Donner a 0 et b 0 Calculer, puis en déduire que a et b On considère l algorithme suivant : Variables : A et B des nombres réels K et N des nombres entiers Initialisation : Affecter à A la valeur Affecter à B la valeur Traitement : Entrer la valeur de N Pour K variant de à N FinPour Afficher A A A B Affecter à A la valeur B Affecter à B la valeur a On exécute cet algorithme en saisissant N = Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l état des variables au cours de l exécution de l algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 0 4 près) K A B b Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice? Partie B Pour tout entier naturel n, exprimer n en fonction de a n et b n En déduire l expression de a n+ en fonction de a n et b n, et l expression de b n+ en fonction de a n et b n Quelle est la nature de la suite (b n )? En déduire l expression de b n en fonction de n, et déterminer la limite de (b n ) a On rappelle que pour tous nombres complexes et ' : ' ' (inégalité triangulaire) n Montrer que pour tout entier naturel n, n b Pour tout entier naturel n, on pose un n Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n En déduire que la suite (u n ) converge vers une limite que l on déterminera c Montrer que, pour tout entier naturel n, an un En déduire que la suite (a n ) converge vers une limite que l on déterminera n 4
5 ,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf0e 7 Asie juin 0 points Partie de QCM Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes Pour chaque question, une affirmation est proposée Indiquer si chacune d elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (O; u, v) On considère les points A, B, C, D et E d affixes respectives : a i, b i, c i, i Affirmation : les points A, B et C sont alignés e i d et Affirmation : les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E 8 France métropolitaine juin 0 points Partie de QCM Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée Une réponse non justifiée n est pas prise en compte Une absence de réponse n est pas pénalisée Proposition : Dans le plan muni d un repère orthonormé, l ensemble des points M dont l affixe vérifie l égalité i est une droite Proposition : Le nombre complexe i 4 est un nombre réel 5
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