Biostatistiques Biologie- Vétérinaire FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke

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1 Module ANOVA I ALEATOIRE PRINCIPE ECHANTILLONNAGE OPTIMAL EQUATION TEST D HYPOTHESE SUR σ TEST D HYPOTHESE SUR σ A NOMBRE D UNITES DU NIVEAU NOMBRE D UNITES DU 1 NIVEAU INTERVALLE DE CONFIANCE...9 4/10/08 Module 180-1

2 180 Anova I aléatoire Principe On cherche à déterminer si le taux de graisse dans le foie de rat est influencé par l'absorption d'alcool. L'expérimentateur a la possibilité de prendre plusieurs rats (réplicat 1 ou unités du premier degré d'échantillonnage, variance σ A) et d'effectuer plusieurs mesures par foie (duplicat ou unité du second degré, variance σ ). Rat 1 Rat i Rat 3 Rat x (i)j Mxi Mx Tableau Représentation schématique d un tableau de résultat. Le plan d'expérience correspond à une analyse à un critère de classification aléatoire (ANOVA I Aléatoire) La variance de la mesure dépend de deux sources de variabilité qui s'additionnent :! x =! A +! Par exemple, on sélectionne dans une population de rats, dont la teneur en graisse du foie est une v.a. N de moyenne 10 et d écart -type 0, un individu dont le taux de graisse moyen dans le foie est 130 Puis, sur le foie homogénéisé, on effectue une mesure dans une population de moyenne 130 et d écart -type 10 (cette population représente toutes les mesures -presque une infinité - que l on pourrait réaliser sur le foie homogénéisé). On obtient pour une mesure particulière la valeur Un réplicat est une expérience entièrement recommencée (répliquée). Un duplicat est une mesure réalisée deux fois dans les mêmes circonstances (on dit aussi triplicat (3X), quadruplicat (4X) ). 4/10/08 Module 180 -

3 Cette valeur correspond au modèle : X (i)j = µ + A i + E (i)j avec A (i) v.a. N (0 ;400) et E (i)j v.a. N (0 ;100) dans ce cas particulier, µ = 10, Ai = 10 et E (i)j = 13 : X (i)j = = 143.! a ! Figure Echantillonnage à deux niveaux Echantillonnage optimal En notant p le nombre de rats et n le nombre de mesures sur le foie de rat, l application du théorème central limite donne les variances suivantes :! Mxi =! A +! n! Mx! Mx =! A +! n na =! A +! n A N 4/10/08 Module 180-3

4 Ceci permet de mettre en évidence que pour N mesures (N = n.na) l échantillonnage idéal (variance de Mx minimale) correspond à n = 1 et na = N, soit un seul réplicat par rat et N rats. En effet, cela donne :! Mx! Mx =! A +! 1 N =! A N +! N Toutes les autres valeurs de na < N produisent une valeur de variance supérieure. Toutefois, il n'est guère réaliste expérimentalement de prétendre ne faire qu'une seule mesure par animal. Tout protocole requiert au minimum des duplicats, ne fut -ce que pour détecter des erreurs grossières... Les triplicats permettent non seulement de détecter une erreur, mais ils identifient aussi la mesure inexacte. Par ailleurs, il peut être plus intéressant de consentir un nombre total d'observations globalement plus grand, mais réalisées sur un plus petit nombre d'animaux, pour des raisons éthiques, et parfois simplement économiques. En considérant le rapport des coûts (moral, temps, matériel, réactifs, animalerie) de chaque type d observations C A C et le rapport des variances!! A on peut montrer que le nombre de réplicats optimal n 1 est déterminé par l'équation : n! CA " C " A expression qui suppose que σ A ne soit pas nul. 4/10/08 Module 180-4

5 180.3 Equation Soit trois individus et quatre mesures. Individu 1 Individu Individu Mx i SCE Total SCER 16 d.l CMR SCER/ Moy S i Tableau 180- Calcul de SCER et CMR dans un tableau reprenant un échantillonnage à niveaux : n a = 3 et n = 4. On remarquera que CMR = SCER/dl est aussi la moyenne des variances des 3 échantillons de même taille n. Individu 1 Individu Individu Mx 65 d.l. SCE SCEF 800 CMF 800/ 400 Tableau Calcul de SCEF et CMF dans un tableau reprenant un échantillonnage à niveaux : a = 3 et n = 4. Pour Visualiser le principe du calcul, les valeurs individuelles ont été remplacées par la moyenne de l échantillon correspondant. 4/10/08 Module 180-5

6 Individu 1 Individu Individu Mx 65 SCET 06 Tableau Calcul de SCET dans un tableau reprenant un échantillonnage à niveaux : a = 3 et n = 4.. On remarquera que SCET = SCEF +SCER (06 = ). On peut définir les sommes de carrés d écarts qui respectent les équations suivantes : SCET = SCEF + SCER d.l.t = d.l.f +d.l.r d.l. = degrés de liberté Dans notre exemple : 06 = = + 9 A partir des SCE, on définit des carrés moyens qui sont une généralisation de la notion de variance. CM = SCE d.l. CMR = SCER n A (n!1) Équation n étant constant dans les différents groupes, on constate que CMR = 136. représente bien la variance moyenne : ( )/4 = 136. Le carré moyen résiduel mesure la variance entre les duplicats. sous réserve d homogénéité des variances σ i = σ 4/10/08 Module 180-6

7 E(CMR) = σ CMF = SCEF n A!1. Équation 180- Le carré moyen factoriel mesure la variance entre les moyennes Mx i. sous réserve d homogénéité des variances σ i = σ E(CMF) = σ + n σ A Test d hypothèse sur σ Exemple : Un biochimiste étudie le taux de catalase dans le foie de rat et obtient les résultats suivants Rat 1 Rat Rat 3 Rat Moyennes Moyenne générale 70.5 Variances S.CE. D.L. C.M. F totale factoriel résiduel Tableau Etude du taux de catalase (6 réplicats sur 4 rats). Moyennes et table d ANOVA I. Ho : homogénéité des variances σ i H 5;4 = = 4.49 H 5;4;0.95 =13.7 4/10/08 Module 180-7

8 Il y a acceptation de Ho, au risque d erreur β inconnu Test d hypothèse sur σ a Sous Ho = σ A = 0, n σ A = 0 on constate donc que E(CMF) = σ + n σ A = σ = E(CMR) Sous Ho, le rapport CMF/CMR est une v.a. F avec n A -1 d.l. au numérateur et n A (n -1) d.l. au dénominateur. On peut donc tester si σ A est > 0 par un test de comparaison de deux variances. Ho : σ A = o F 3;0 = = F 3;0;0.95 = 3.1 Il y a rejet de Ho. On choisit donc H 1 : σ A > 0 au risque d erreur α 5% (soit avec une confiance de 95%). Puisque σ A n'est pas nulle, on peut donc l'estimer : E(CMF) = σ + n σ A E(CMF) = E(CMR) + n σ A E((CMF - CMR)/n) = σ A = Nombre d unités du niveau On peut dès lors estimer le nombre de mesures optimal, en utilisant l équation n! C A " C " A Équation En supposant un coût de 100 euros pour le rat et 10 euros pour le test n! 100 " " =.64 soit.64 < 3 ce qui signifie des triplicats pour chaque rat. 4/10/08 Module 180-8

9 180.7 Nombre d unités du 1 niveau En fixant la plus petite différence sensée Δ min, il est possible d utiliser l équation 6.6 pour déterminer le nombre de rats nécessaires à l expérience. n a! 16" Mxi # Par exemple, pour mettre en évidence une différence d au moins 10 unités de catalase, on estime σ Mx :! Mxi =! A +! n S Mxi = = n a! et ensuite on peut estimer n a : 16 " = soit 37 rats. Si l on prétend utiliser moins de rats, il faut réévaluer leur coût. Soit le coût du rat = 1000 euros : n! 1000 " " = 8.38! 9 S Mxi = = " 01. n a! 10 = 3.19! 3 On remarquera que dans le cas présent, la variance d un animal à l autre étant grande, on ne peut pas réduire substantiellement le nombre d animaux Intervalle de confiance! Mx =! A +! n n A = n! A +! na E(CMF) = σ + n σ A 4/10/08 Module 180-9

10 La variance de la moyenne générale Mx elle est donc estimée par CMF/n A n ou encore CMF/N ce qui représente, approximativement, pour une confiance de 95%! " CMF N Dans notre exemple, la moyenne générale est 70.5.! " = soit une moyenne générale du taux de catalase du foie de rat qui a 95% de chances environ d être comprise entre et Une estimation plus précise de l intervalle de confiance est obtenue par référence à la variable t de Student :! " t na #1;1#$ / CMF N Équation avec, dans notre exemple, n a -1 = 3 et t 3;0.975 = 3.18! " =.96 soit une moyenne générale du taux de catalase du foie de rat qui a 95% de chances environ d être comprise entre 47.9 et On notera que lorsque a est petit la référence à la variable t est nécessaire. Le nombre de degrés de liberté de t étant uniquement lié au nombre d unités du premier degré, l intervalle de confiance ne sera guère plus précis en multipliant le nombre de réplicats. 4/10/08 Module

11 Attention, si je commets l'erreur de ne pas considérer le critère de classification aléatoire "Rat", et j applique la formule de l'intervalle de confiance pour 4 observations indépendantes! " t n #1;1#$ / S x n =! " t 3; /10/08 Module