Propriétés des anneaux. Anneaux. Anneau quotient. Sous-anneau et idéal. Théorème des

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1 Anneaux Anneau : un anneau A est un groupe abélien, noté additivement, sur lequel est défini une deuxième loi interne, notée multiplicativement, telle que :. est associative et possède un élément neutre (). est distributive par rapport à l addition c est-à-dire pour tout x,y,z de A, (x+y).z=x.z+y.z (distributivité à droite) et z.(x+y)=z.x+z.y (distributivité à gauche) Note : - un anneau est dit commutatif si. est commutative Propriétés des anneaux Quelques propriétés des anneaux : Pour tout x d un anneau A,.x=x.= Preuve :.x=(+).x=.x+.x d où.x=. De même x.=x.(+)=x.+x. d où x.= Pour tout x,y de A, x.(-y)=(-x).y=-(x.y) et (-x).(-y)=xy Preuve : x.y+(-x).y=(x+(-x)).y=.y= d où (-x).y=-(x.y). De même, x.y+x.(-y)=x.(y+(-y))=x.= d où x.(-y)=-(x.y) Exemples : - (Z,+,.) est un anneau commutatif - (Q,+,.) est un anneau commutatif Anneau intègre : un anneau A est dit intègre si pour tout x,y de A, x.y= x= ou y= Sous-anneau et idéal Sous-anneau : soit un anneau A. B A est un sous-anneau de A si B est un sous-groupe additif de A et si pour tout x,y de B, x.y B et B. Idéal : soit un anneau commutatif A. I A est un idéal de A si I est un sous-groupe additif et pour tout x de A et tout i de I, x.i I Notes : - dans le cas d un anneau non commutatif, on peut définir un idéal à droite et un idéal à gauche - si un idéal I est un sous-anneau, I, mais alors.x I pour tout x de A et I=A Exemple : - dans l anneau (Z,+,.), les nz sont des idéaux Anneau quotient Relation d équivalence induite par un idéal : dans un anneau A, si I est un idéal la relation pour tout x,y de A, xry x-y I est une relation d équivalence Preuve : x-x I pour tout x de A car I est un sous-groupe pour + donc contient. R est donc réflexive. Si x-y I, y-x aussi puisque I est un sous-groupe pour +, donc R est symétrique. Si x-y I et y-z I, (x-y)-(y-z)=x-(y-y)-z=x-z I par associativité de +, donc R est transitive. Anneau quotient : si I est un idéal d un anneau A, on peut définir l anneau quotient A/I comme l ensemble des classes d équivalence de la relation induite par I sur A Théorème des restes chinois (/3) Théorème des restes chinois : soit A un anneau commutatif et soient I et J deux idéaux de A tels que I+J=A (avec I+J={x+y, x I et y J}. Alors pour deux éléments a et b de A, il existe x dans A tel que x a mod I et x b mod J (c est-à-dire x est en relation avec a modulo I et x est en relation avec b modulo J). Preuve : I+J=A donc il existe α I et β J tels que α+β=. Posons x = a.β + b.α. Alors x - a.β I donc x a.β mod I (car α I donc par définition d un idéal, b.α I). Or β= - α mod I d où x a mod I. De même, x b.α mod J. D où, puisque α=-β mod J, x b mod J. Théorème des restes chinois (2/3) Proposition 5 (théorème de Bezout) : pour tous a et b de Z, avec pgcd(a,b)=n, az+bz=nz Preuve : az+bz est un sous-groupe de Z car ax+by a pour inverse -ax-by et (ax+by)+(az+bt)=a(x+z)+b(y+t). Donc az+bz est de la forme nz. a nz et b nz, donc n divise a et b. De plus, si m Z divise a et b, m divise n car n est de la forme au+bv. Donc m est le plus grand diviseur commun à a et b (pgcd). Notes : - pour deux nombres a et b premiers entre eux, az+bz=z - ce résultat se généralise pour une somme finies de sous-groupes de Z : a Z+a 2 Z+..+a n Z = pgcd(a,a 2,.., a n )Z Note : - par induction, on montre ce théorème pour un nombre quelconque d idéaux.

2 Théorème des restes chinois (3/3) Corollaire au théorème des restes chinois : tout système de n équations de congruence sur des nombres premiers deux à deux dans (Z,+,.) a une solution dans Z : x a mod b Z x a 2 mod b 2 Z.. x a n mod b n Z => il existe un x solution dans Z Preuve : (Z,+,.) est un anneau commutatif. Dans Z, les idéaux sont les nz. De plus si les b i sont premiers entre eux, b Z+b 2 Z+..+b n Z = Z. On peut donc appliquer le théorème des restes chinois et en déduire qu il existe une solution au système d équation. Algorithme sur le problème des restes chinois Pour résoudre sur Z le système On résout pour chaque i x a mod b Z x i mod b Z x a 2 mod b 2 Z.. x i mod b i- Z.. () x i mod b i Z (2) x i mod b i+ Z.. x a n mod b n Z x i mod b n Z On pose k i =b.b 2... b i-.b i+.... b n pour tout i. Les k i et b i sont donc premiers entre eux et k i Z+b i Z=Z donc il existe u et v entiers relatifs tels que u.k i +v.b i =. On pose x i =u.k i et alors x i vérifie bien le système (2). Une solution du système () est alors x=a.x +a 2.x a n.x n Soit le système Exemple sur le théorème chinois (/2) x mod (3) x 2 mod (5) x 3 mod (7) On a k = 35, k 2 = 2 et k 3 = 5 x = mod (3) et mod (5) et mod (7) donc il faut trouver u et v tels que 35.u + 3.v =. Par exemple, u = 2 et v = -23. Donc x = 7 x 2 = mod (5) et mod (3) et mod (7) donc il faut trouver u et v tels que 2.u + 5.v =. Par exemple, u = et v = -4. Donc x 2 = 2 Exemple sur le théorème chinois (2/2) x 3 = mod (7) et mod (3) et mod (5) donc il faut trouver u et v tels que 5.u + 7.v =. Par exemple, u = et v = -2. Donc x 3 = 5 Finalement, x = = 57 est solution. En effet, 57/3 = 52 et reste, 57/5 = 3 et reste 2, et 57/7 = 22 et reste 3 Algorithme de Bezout (/2) a et b, entiers relatifs, étant donnés, on note c=pgcd(a,b). On veut déterminer x et y tels que ax + by = c Algorithme de Bezout (2/2) On veut trouver x et y tels que 96x + 8y = pgcd(96,8) k 2... i- i i+... n n+ r k a b r i- r i r i+ r n q k q2 q i- q i q i+ q n x k x i- x i x i+ x n x n+ y k y i- y i y i+ y n y n+ r i- = q i* r i + r i+ x i+ = x i- - q i *x i y i+ = y i- - q i *y i pgcd(a,b) = r n x = x n y = y n k r k q k x k y k r i- = q i* r i + r i+ x i+ = x i- - q i *x i y i+ = y i- - q i *y i pgcd(a,b) = r n 2-3 x = x n y = y n pgcd(96,8) = 3 et x = et y = -3 2

3 Structures algébriques Corps Corps : (C,+,.) est un corps si (C,+,.) est un anneau commutatif tel que et que tout élément de C différent de a un inverse pour. ( est l élément neutre pour +, est l élément neutre pour.). Note : - un corps est commutatif si sa multiplication est commutative. Exemples : - (Q,+,.) est un corps, (R,+,.) est un corps Théorème de Wedderburn : tout corps fini est commutatif Rappel Treillis : Un treillis est un ensemble ordonné dans lequel toute paire d'éléments admet une borne supérieure et une borne inférieure, c est-à-dire qu étant donnés deux éléments x et y, l ensemble des majorants communs à x et y n est pas vide et admet un minimum noté x y et l ensemble de leurs minorants communs n est pas vide et admet un maximum noté x y. Définition algébrique des treillis (/4) Treillis : un ensemble E muni de deux opérations et, est un treillis (algébrique) si les propriétés suivantes sont satisfaites :. x x = x = x x (idempotence) 2. x y = y x et x y = y x (commutativité) 3. x (y z) = (x y) z et x (y z) = (x y) z (associativité) 4. x (x y) = x = x (x y) (absorption) Proposition 6 : Si E muni d une relation d ordre est un treillis, alors tout couple (x,y) d éléments de E vérifie les propriétés,2,3 et 4. Définition algébrique des treillis (2/4) Preuve de la proposition 6 : soit (T, ) un treillis. () pour {x}, on a bien x x = x = x x (2) pour {x,y}={y,x}, on a bien x y = y x et x y = y x (3) sup(x,sup(y,z)) = sup(sup(x,y),z) = sup({x,y,z}) donc x (y z) = (x y) z et inf(x,inf(y,z)) = inf(inf(x,y),z) = inf({x,y,z}) donc x (y z) = (x y) z (4) inf(x,sup(x,y)) = x et sup(x,inf(x,y)) = x donc x (x y) = x = x (x y) Définition algébrique des treillis (3/4) Proposition 7 : si E est un ensemble muni de deux opérations et vérifiant les propriétés,2,3 et 4, alors E muni de la relation d ordre définie par x y x y = y est un treillis. Preuve : Montrons que ainsi définie est une relation d ordre. est réflexive par l idempotence. Si x y et y x, x y = y et y x = x mais alors x = y par commutativité, donc est antisymétrique. Si x y et y z, x y = y et y z = z donc x z = x (y z) = (x y) z par associativité = y z = z donc x z et est transitive. Remarquons que x y = y x y = x (x y ) = x par absorption et que x y = x x y = (x y ) y = y (y x ) par commutativité et = y par absorption. Donc x y = y x y =x et x y x y = x 3

4 Définition algébrique des treillis (4/4) Suite de la preuve : montrons que tout couple d éléments de E admet une borne inf. Pour tout couple (x,y) de E², x y est borne inférieure de {x,y}. En effet, x (x y) = (x x) y par associativité = x y par idempotence donc x (x y) = x y soit x y x. Et y (x y) = y (y x) par commutativité = (y y) x par associativité = y x par idempotence = x y par commutativité donc y (x y) = x y soit x y y. Donc x y est minorant de {x,y}. Montrons que x y est le plus grand des minorants. S il existe z minorant de {x,y}, x z = z et y z = z. Donc (x y) z = x (y z) = x z = z et donc z x y. En utilisant l équivalence x y = y x y =x on montre que x y est la borne supérieure de {x,y}. c Treillis distributifs (/3) d e a b a (b c) = a e = a et (a b) (a c) = a d = a donc a (b c) = (a b) (a c) (distributivité de à droite). Mais a (b c) = a d = a et (a b) (a c) = b e = b donc a (b c) (a b) (a c) Dans un treillis, et ne sont pas forcément distributives l une par rapport à l autre Treillis distributifs (2/3) Treillis distributif : un treillis T est distributif si est distributive par rapport à et inversement : () a (b c) = (a b) (a c) pour tout a,b,c de T (2) a (b c) = (a b) (a c) pour tout a,b,c de T Note : - dans un treillis, on a toujours (a b) (a c) a (b c) car b c est un majorant de b et de c. De même, on a toujours a (b c) (a b) (a c). Exemples : - N doté des opérations x y = pgcd(x,y) et x y = ppcm(x,y) est un treillis distributif - L ensemble de tous les sous-ensembles d un ensemble E est un treillis distributifs pour l intersection et l union Treillis distributifs (3/3) Proposition 8 : dans un treillis, la distributivité de par rapport à est équivalente à la distributivité de par rapport à Preuve : supposons a (b c) = (a b) (a c) pour tout a,b,c de T. Alors (a b) (a c) = ((a b) a) ((a b) c). Or, (a b) a = a (a b) = a par absorption. Et (a b) c = c (a b) = (c a) (c b). D où (a b) (a c) = a ((c a) (c b)) = (a (c a)) (c b) par associativité = a (c b) par absorption. On a donc bien a (c b) = (a b) (a c). On montre de même par dualité que la distributivité de par rapport à entraîne celle de par rapport à. Treillis complémentés (/2) Complément d un élément : dans un treillis, doté d un plus grand élément noté T et d un plus petit élément noté, le complément d un élément x est tout élément x tel que x x = T et x x =. On dit que x et x sont complémentaires. En particulier, et T sont complémentaires. Exemple : dans ce treillis, b et c sont sont complémentaires, tandis que a et d n ont pas de complément b a T d c Treillis complémentés (2/2) Treillis complémenté : un treillis est complémenté s il admet un et un T et si tout élément admet au moins un complément Théorème 5 : dans un treillis distributif admettant un et un T, tout élément admet au plus un complément. Preuve : il suffit de montrer que x z = y z et x z = y z implique que x = y. On a x = x (x z) = x (y z) = (x y) (x z). On a aussi y = y (y z) = y (x z) = (y x) (y z) = (x y) (x z) = x. 4

5 Treillis de Boole Treillis de Boole : un treillis de Boole est un treillis distributif et complémenté. Notes : - dans un treillis de Boole, tout élément admet exactement un complément - on peut donc ajouter aux opérations et du treillis l opération de complémentation qui a un élément x fait correspondre son complément x (ou x ) - dans un treillis de Boole, on appelle «vrai» ou l élément T, «faux» ou l élément, «et» l opération et «ou» l opération. On a x = x, x =, x =, x = x, = et = Lois de Morgan Lois de Morgan : dans un treillis de Boole, pour tous x,y on a (x y) = x y et (x y) = x y Preuve : (x y) (x y ) = (x (x y )) (y (x y )) = ((x x ) y ) ((y y ) x ) = ( y ) ( x ) =. De plus, (x y) (x y ) = ((x y) x ) ((x y) y ) = ( y) (x ) =. Par unicité du complément, x y est bien le complément de x y. Par dualité, on déduit l autre loi de Morgan. Exemple : - l ensemble des parties d un ensemble muni de l inclusion est un treillis de Boole Anneau booléen Anneau booléen : un anneau booléen est un anneau dans lequel la multiplication est idempotente, c est-à-dire que x, x²=x Exemples : - (Z/2Z,+,.) est un anneau booléen - (P(E),, ) est un anneau booléen Proposition 9 : tout anneau de Boole est commutatif Preuve : si x et y sont deux éléments d un anneau de Boole, supposons x.y y.x. Alors y.x.y.x y.y.x.x donc y.x y.x ce qui est faux. Complément dans un anneau booléen Proposition : dans un anneau booléen, tout élément différent de est son propre opposé pour l addition Preuve : pour tout a, a+(-a) =, donc a.(a+(-a)) = a. = et a.(a+(-a)) = a.a+a.(-a) = a + a.(-a) = et donc (-a) = a.(-a). De même, (-a).(a+(-a)) = (-a). = et (-a).(a+(-a)) = (-a).a+(-a).(-a) = (-a).a+(-a) = donc (-(-a))=(-a).a=(-a) donc -a=a. Complément dans un anneau booléen : pour tout a d un anneau booléen A, on pose a =a+, a est le complément de a Proposition : dans un anneau booléen a =a pour tout a, = et = Preuve : (voir TD) treillis booléen (/7) Treillis booléen : une relation d ordre deux opérations et associatives, commutatives et distributives est idempotente et absorption d une opération par l autre une opération de complémentation Anneau booléen : deux opérations + et. associatives, commutatives. distributive par rapport à + et. idempotente une opération de complémentation Théorème 6 : tout anneau booléen (A,+,.) est un treillis booléen pour les opérations définies par x y = x.y et x y = x+y+x.y, la relation d ordre définie par x y x.y=x et le complément a =a+ treillis booléen (2/7) Preuve du théorème 6 : Montrons d abord que la relation définie est bien une relation d ordre. L idempotence de. donne la réflexivité ( x, x.x=x donc x x). La commutativité de. donne l antisymétrie (si x.y=x et y.x=y, alors x=y). La transitivité découle de la définition (x.y=x et y.z=y x.y.yz=x.y.z=x.z.y et donc x.z.y=x.y donc x.z=x). Montrons ensuite que les opérations et correspondent bien aux bornes inférieures et supérieures (ce qui donne un treillis), et qu elles sont distributives l une par rapport à l autre. x y existe pour tout couple (x,y). De plus x.y.x = x.y.y = x.y donc x.y x et x.y y. Donc x.y = x y est un minorant de {x,y}. Montrons que c est le plus grand. Si z x et z y, alors x.z = z et y.z = z donc x.z.y.z=z soit x.y.z=z donc z x.y. 5

6 treillis booléen (3/7) Suite de la preuve : x y existe pour tout couple (x,y). De plus (x+y+x.y).x = x+y.x+y.x=x donc x x+y+x.y = x y. De même pour y donc x y est bien majorant de x et y. Montrons que c est le plus petit. Si x z et y z, alors x.z = x et y.z = y donc (x y).z = (x+y+x.y).z = x.z+y.z+(x.y).z = x+y+x.y = x y donc x y z. Montrons maintenant que le treillis obtenu est distributif. x (y z) = x.(y+z+y.z) = x.y+x.z+x.y.z = x.y+x.z+(x.y).(x.z) = (x y) (x z). Et (x y) (x z) = (x+y+x.y).(x+z+x.z) = x²+x.z+x.x.z+y.x+y.z+y.x.z+x.y.x+x.y.z+x.y.x.z = x + y.z + x.y.z = x (y z) treillis booléen (4/7) Fin de la preuve : Montrons que le treillis est complémenté. Le et le de l anneau sont les plus petit et plus grand éléments du treillis. En effet, x = x++x. = x et x = x.= x pour tout x. De plus, pour tout x, x+= x est tel que x x = x+x++x.(x+) = + x + x = et x x = x.(x+) = x²+x = Théorème 7 : tout treillis booléen est un anneau booléen pour les opérations + et. définies par x.y = x y et x+y = (x y ) (y x ) Preuve : Soit (T,,,, ) un treillis distributif et complémenté. On pose x+y = (x y ) (y x ) et x.y = x y. Il faut montrer que (T,+,.) est un anneau booléen, et donc d abord que (T,+) est un groupe abélien. treillis booléen (5/7) Suite de la preuve : montrons que la loi d addition a un élément neutre. Si on note le plus petit élément du treillis, x+ = (x ) ( x ) = (x ) ( x ) = x = x et +x = x par symétrie de l expression. Tout élément est son propre symétrique pour + car x+x = (x x ) (x x ) = x x =. Montrons que + est associative. x+(y+z) = (x (y+z) ) (x (y+z)). Or x (y+z) = x ((y z) (y z )) = x (y z) (y z ) = x (y z ) (y z) (par Morgan) = x (((y z ) y ) ((y z ) z)) (par distributivité) = x (((y y ) (z y )) ((y z) (z z))) (par distributivité) = x (( (z y )) ((y z) )) = x ((z y ) (y z)) = (x y z ) (x y z) treillis booléen (6/7) De plus x (y+z) = x ((y z ) (z y )) = (x y z ) (x z y ) Donc x+(y+z) = (x y z ) (x y z) (x y z ) (x z y ) Par symétrie de l expression trouvée, x+(y+z) = z+(x+y) et par la commutativité de l addition (due à sa définition), on a z+(x+y) = (x+y)+z (T,+) est donc un groupe abélien. La multiplication x.y = x y est associative et commutative comme. Montrons qu elle est distributive par rapport à l addition. x.y+x.z = ((x.y) (x.z) ) ((x.z) (x.y) ) = ((x y) (x z) ) ((x z) (x y) ) = ((x y) (x z )) ((x z) (x y )) = ((x y x ) treillis booléen (7/7) ((x y x ) (x y z )) ((x z x ) (x z y )) = ( (x y z )) ( (x z y )) = (x y z ) (x z y ) = x ((y z ) (z y )) = x.(y+z) La commutativité de. entraîne la distributivité à droite. De plus, est bien élément neutre pour. de par la définition de. Pour finir, x.x = x x = x, donc l anneau ainsi défini est bien idempotente et c est donc un anneau de Boole Conclusion : tout anneau de Boole peut être muni d une structure de treillis de Boole (théorème 6) et tout treillis de Boole peut être muni d une structure d anneau de Boole (théorème 7). Algèbre de Boole Algèbre de Boole : on appelle algèbre de Boole une structure algébrique dotée de deux éléments remarquables, notés et, et munie de deux opérations. et + vérifiant les propriétés suivantes :.x =,.x = x, +x = x, +x = commutativité de + et. associativité de + et. distributivité de. par rapport à + et de + par rapport à. idempotence pour + et. absorption (x.(x+y) = x et x+x.y = x) complémentation (x.x = et x+x = ) 6

7 Théorème de Stone Théorème de Stone : toute algèbre de Boole est isomorphe à l algèbre des sous-ensembles d un ensemble munie de l inclusion (cet ensemble est en fait l ensemble des atomes de l algèbre, c est-à-dire les éléments a tels que x, x a = a ou ). Note : - étudier une algèbre de Boole revient à étudier un treillis de sous-ensemble Corollaire : le nombre d éléments d un algèbre de Boole finie est une puissance de 2 Les algèbres de Boole sont un outil puissant en logique, pour algébriser le calcul des propositions Treillis booléen à 2 éléments Treillis booléen à 2 éléments : l ensemble B={,} est un treillis de Boole pour l ordre Proposition 2 : le produit de deux treillis distributifs est un treillis distributif et le produit de deux treillis complémentés est un treillis complémenté pour les opérations (x,y) (z,t) = ((x z), (y t)) et (x,y) (z,t) = ((x z),(y t)) Produit de treillis booléens : pour tout n N, l ensemble B n est un treillis de Boole à 2 n éléments. B n est isomorphe à l ensemble des parties d un ensemble à n éléments Hypercube Hypercube : l hypercube de dimension n est le diagramme de Hasse du treillis B n Fonctions booléennes (/2) Fonction booléenne : une fonction f à n variables f:b n B est appelée fonction booléenne (,) (,) (,) (,,) (,,) (,,) (,,) Fonction complète : une fonction booléenne f de n variables est complète si elle dépend effectivement de ses n variables, c està-dire si il n existe pas de fonction g de m variables, m < n, telle que f(x,.., x n ) = g(y,..,y m ) avec y i {x,.., x n } i (,) (,,) (,,) (,,) (,,) Exemples : - les fonctions complètes à une variable sont l identité et la complétion - les fonctions complètes à 2 variables sont +,,,,,,, Fonctions booléennes (2/2) Représentation d une fonction booléenne : en noir sont les sommets de B n ayant pour image, en blanc les autres Proposition 3 : l ensemble des fonctions booléennes à n variables forme un treillis de Boole 7