Rappels sur les ensembles

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1 Chapitre 1 Rappels sur les esembles 1.1 Esembles Défiitios Soit E u esemble, o ote P(E) = {parties dee} Soiet A, B das P(E) E A = E \ A = complémetaire de A das E = A c A \ B = {x A, x / B} = A E A A B = (A \ B) (B \ A)= différece symétrique. Propositio ( ) 1. Soiet (A i ) i I ue famille quelcoque d élémets de P(E), B P(E) A i \ B = (A i \ B) ( i I ) i I A i \ B = (A i \ B) i I( ) i I B \ A i = (B \ A i ) ( i I ) i I B \ A i = (B \ A i ) i I i I Image réciproque : f : E X, X esemble B X, f 1 (B) = {x E, f(x) B} Propositio ( ) 2. Soiet (B j ) j I ue famille quelcoque d élémets de P(E) f 1 B j = f 1 (B j ) j I j I ( ) f 1 B j = f 1 (B j ) j j f 1 (B c ) = (f 1 (B)) c Foctio idicatrice A E, 1 A : E {0, 1} { 0 si w / A si w E, 1 A (w) = 1 si w A 1

2 2 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES ENSEMBLES Remarque 1. : Il existe ue bijectio etre P(E) et {0, 1} E Rappel : X I = F(I, X) Remarque 2. R N = {suites réelles} 1.2 Esemble déombrable E, F ot même cardial si et seulemet si il existe ue bijectio de E das F. O écrit card E = card F. Défiitio 1. card E card F il existe ue ijectio de E das F Remarque 3. Si card E card F et card F card E alors card E = card F Défiitio 2. : U esemble E est déombrable si et seulemet si il existe ue bijectio de E das N ou das ue partie de N. Par covetio, φ est déombrable. Exemples : 1- L esemble des etiers pairs a même cardial que N. 2- P(E) a u cardial strictemet supérieur à celui de E ie de bijectio de E das P(E). P(N) est pas déombrable. 3- N 2 est déombrable. Propositio 3. 1) Ue réuio déombrable d esembles déombrables est déombrable. 2) U produit fii d esembles déombrables est déombrable. 3) Q est déombrable. 1.3 Limite supérieure, limite iférieure d ue suite R = R {, + } est mui d u ordre défii par si x, y sot das R, x y y x R + x + pour tout x R. Propositio 4. Toute partie o vide de R possède ue bore iférieure et ue bore supérieure das R. Toute suite croissate (respectivemet décroissate) (x ) N de R est covergete das R et lim + = sup{x, 1} (respectivemet if{x, 1}. Défiitio 3. Limite supérieure, limite iférieure : lim sup x = lim x = if + lim if sup 1 k x = lim + x = sup if x k = k 1 Propositio 5. 1) lim + x = lim ( x ) + 2) a < lim x = a < x pour ue ifiité de 1 + 3) lim x < b = 1, k, x k < b. + 4) Soit a R, x k = lim sup + x k k lim if x k + k

3 1.3. LIMITE SUPÉRIEURE, LIMITE INFÉRIEURE D UNE SUITE 3 a = lim x { ε, 1, k, x k < a + ε + ε, 1, k, x k > a ε. 5) Soiet (x ) ue suite de R, a das R lim + x lim x + lim x = lim + + x = a lim x = a + lim x = lim x = + + lim + x = + lim x = ) Soiet (x ), (y ) des suites de R telles que, x y. O a lim x lim y + + lim + x lim + y. 7) lim x lim + + x (x ) est covergete das R.

4 4 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR LES ENSEMBLES

5 Chapitre 2 Espaces Mesurés 2.1 Mesure sur u semi-aeau Défiitio 4. E esemble. S famille o vide de parties de E. S est u semi-aeau si et seulemet si 1) A S et B S A B S 2) A, B S, il existe ue famille fiie (C j ) j J d élémets de S, 2 à 2 disjoits tel que A \ B = C j j J Remarque 4. φ S Mesure sur u semi-aeau Défiitio 5. S semi-aeau sur u esemble E. O appelle mesure sur S toute applicatio µ : S [0, + ] telle que : µ(φ) = 0 pour toute suite (A ), fiie ou déombrable d élémets de S, 2 à 2 disjoits et telle que A S, o a µ( A ) = µ(a ) o dit que µ est déombrablemet additive ou que µ vérifie la propriété de σ additivité. Remarque 5. µ ue mesure, A, B S tel que A B = φ et A B S O a µ(a B) = µ(a) + µ(b) Prologemet d ue mesure sur u aeau Défiitio 6. U aeau est ue famille o vide de parties d u esemble E stable pour toutes les opératios esemblistes fiies :,,, \. Propositio 6. Soit S u semi aeau sur E. Le plus petit aeau A, coteat S ou ecore l aeau egedré par S est formé des réuios fiies disjoites d élémets de S. Propositio 7. Soit S semi-aeau sur E, µ ue mesure sur S, A = aeau egedré par S = A(S) Alors il existe u uique prologemet de µ à l aeau A qui soit ue mesure sur A Propriétés d ue mesure sur u semi-aeau Propositio 8. S semi-aeau sur E, µ mesure sur S. 1) µ est croissate ie A, B S, A B µ(a) µ(b) 5

6 6 CHAPITRE 2. ESPACES MESURÉS 2) µ est déombrablemet sous additive = si I est u esemble déombrable (fii ou o) d idices, A S pour tout I, si S alors A I µ( A ) ). Iµ(A 3) (A ) suite croissate d élémets de S tq A S µ( A ) = lim + µ(a ) = sup µ(a ) 4) (A ) suite décroissate d élémets de S. O suppose que µ(a 1 ) < et A S. Alors µ( A ) = lim µ(a ) = If µ(a ). + E particulier, si A = φ alors (µ(a )) Mesure sur ue tribu Défiitio d ue tribu Ue tribu est ue famille o vide T de parties de E, stable pour toutes les opératios esemblistes déombrables et coteat l esemble E. Ue famille o vide T de parties de E est ue tribu si et seulemet si (A T A c T ), (, A T A T ) et E T. Exemples de tribu : P(E) tribu triviale {φ, E} tribu grossière. O peut défiir la tribu egedrée par ue famille C o vide d élémets de P(E)comme la plus petite tribu coteat C. O admet l existece et l uicité de cette tribu. Exemple : {φ, A, A c, E} = plus petite tribu egedrée par {A}. Défiitio 7. U espace mesurable est u couple (E, T ) où E est u esemble, T ue tribu sur E. O dit qu ue partie de E est mesurable si et seulemet si elle appartiet à T. Remarque 6. O peut défiir ue mesure sur T (car T est u semi aeau!) µ = A [0, + ] µ(φ) = 0 pour toute suite fiie ou déombrable (A ) d élémets 2 à 2 disjoits de T, µ( A ) = µ(a ) (o a A T par def de la tribu) O dit que (E, T, µ) est u espace mesuré Propriété des espaces mesurés Propositio 9. (E, T, µ) espace mesuré Pour tout A, B das T, o a (i) µ(a) = µ(a \ B) + µ(a B) (ii) si A B alors µ(a) µ(b) (iii) µ(a B) µ(a) + µ(b) (iv) µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b) Défiitio 8. µ est fiie ou borée si µ(e) est fii. µ est σ - fiie s il existe (A ) suite de T tq E = A et µ(a ) < + pour tout.

7 2.2. MESURE SUR UNE TRIBU 7 Remarque 7. si µ(e) = 1 o dit que µ est ue probabilité. (E, T, µ) est alors u espace probabilisé. Les mesures borées sot σ-fiies. Si µ est borée et o ulle (ie µ(e) 0) alors µ µ(e) est ue probabilité Costructio du prologemet d ue mesure Soit µ ue mesure σ fiie sur u semi-aeau S d u esemble E. O voudrait prouver l existece d u uique prologemet de µ à ue mesure sur la tribu egedrée par S et costruire ce prologemet. Pour cela, o itroduit µ, foctio défiie sur P(E) par u (A) = If { µ(a ), A A, A S} µ :=mesure extérieure associée à µ. µ a les propriétés suivates : a) µ (φ) = 0 b) µ est croissate. c) µ est déombrablemet sous-additive :, A P(E) µ ( A ) µ (A ) Défiitio 9. Ue partie A de E est dite µ -mesurable si et seulemet si B E, µ (B) = µ (B A) + µ (B \ A) O ote M µ l esemble des parties µ -mesurables. Propositio 10. 1) M µ est ue tribu sur E qui cotiet S. 2) La restrictio de µ à la tribu M µ est ue mesure. Remarque 8. C est l uique prologemet de µ à la tribu T (S) egedrée par S. Remarque 9. T (S) M µ Théorème 1. Théorème de Carathéodory Si µ est ue mesure σ-fiie sur u semi-aeau S d u esemble E alors il existe u uique prologemet (ecore oté µ), de µ à la tribu T (S) egedrée par S Esembles égligeables.complétio d ue mesure Soit S u semi-aeau sur u esemble E, T la tribu egedrée par S et µ ue mesure σ-fiie sur S. O costruit µ S mesure extérieure à partir de S. O e déduit µ mesure sur T puis o costruit la mesure extérieure de µ à partir de T, otée µ T. Alors µ S = µ T Défiitio 10. : Ue partie A de E est égligeable si et seulemet si u S(A) = µ T (A) = 0 O ote N l esemble des parties égligeables.

8 8 CHAPITRE 2. ESPACES MESURÉS Propositio 11. Soit µ ue mesure sur ue tribu T 1- Toute partie coteue das ue partie égligeable est égligeable. 2- Toute réuio déombrable de parties égligeables est égligeable. 3- Ue partie N de E est égligeable si et seulemet si B T tq N B et µ(b) = 0. Théorème 2. µ ue mesure sur ue tribu T, σ fiie T = {A N, A T, N égligeable} est ue tribu dite tribu complétée de T. O dit que l espace mesuré (E, T ) est complet lorsque T = T La mesure µ défiie sur T par µ(a N) = µ(a) est dite la mesure complétée de µ. Propositio 12. T = M µ et µ = µ Mµ Lemme 1. Les parties égligeables sot das M µ 2.3 Mesure de Borel et de Lebegue sur R Propositio 13. Les familles de parties de R suivates egedret la même tribu B(R). 1) Les ouverts de R. 2) Les fermés de R. 3) Les itervalles ouverts (ou fermés ou semi ouverts d u côté, illimité ou o). Défiitio 11. La tribu B(R) est appelée la tribu boréliee de R. La mesure sur B(R) prologeat la mesure logueur sur les itervalles est appelée mesure de Borel, sa complétée la mesure de Lebesgue. A est u borélie de R si et seulemet si A B(R). Propositio 14. Pour toute partie A de R et λ réel, o ote A + λ = {a + λ, a A} le traslaté de A par λ et λa = {λa, a A} l homothétique de A par λ. 1) Si A B(R) alors A + λ B(R), λa B(R) 2) Si µ est la mesure de Lebesgue sur R alors pour tout A B(R), λ R, µ(a + λ) = µ(a) et µ(λa) = λ µ(a). Défiitio 12. Ue foctio cotiue de R das R est ulle presque partout si et seulemet si l esemble A = {x R, f(x) 0} est de mesure ulle i.e. µ(a) = 0. Propositio 15. Ue foctio cotiue de R das R, ulle presque partout est ulle partout. Deux foctios égales presque partout sot égales partout. Gééralisatio : Soit E u espace topologique. La tribu boréliee sur E est la tribu egedrée par l esemble des ouverts de E. Exemple : B(R 2 ) = T ({U V, U, V ouverts de R}) = T ({rectagles}) = T ({I J, I, J itervalles de R})

9 Chapitre 3 Foctios mesurables 3.1 Gééralités Défiitio 13. Ue applicatio f d u espace mesurable (E 1, T 1 ) das u espace mesurable (E 2, T 2 ) est mesurable ou T 1 T 2 mesurable si et seulemet si f 1 (T 2 ) T 1 si et seulemet si pour tout B T 2, f 1 (B) T 1. Ue variable aléatoire réelle est ue applicatio mesurable d u espace probabilisé (Ω, T, P ) das (R, B(R). Propositio 16. 1) La composée de deux foctios mesurables est mesurable. 2) Ue partie A d u esemble mesurable (E, T ) est mesurable si et seulemet si 1 A est mesurable. 3) Les foctios costates sot mesurables. Lemme 2. f : E 1 E 2 et C P(E 2 ) T (f 1 (C)) = f 1 (T (C)). Théorème 3. Soit f : (E 1, T 1 ) (E 2, T 2 ). O suppose que la tribu T 2 est egedrée par ue famille F de parties de E 2. f est mesurable ssi f 1 (F) T 1 ssi B F, f 1 (B) T 1. Cas particulier : Les applicatios cotiues de R das R sot mesurables. Attetio : Les applicatios mesurables de R das R e sot pas forcémmet cotiues. Remarque 10. f : (E, T ) (R, B(R)), f mesurable a R, {x, f(x) > a} T a R, {x, f(x) a} T. Défiitio 14. Mesure Image f applicatio mesurable d u espace mesuré (E, T, µ) das u espace mesurable (E, T ) Pour tout B T, o pose µ f (B) = µ(f 1 (B)). µ f est ue mesure, appelée mesure image de µ par f. Propositio 17. f foctio mesurable de (X, T, µ) das (X, T ) g foctio mesurable de (X, T ) das (X, T ) Alors µ g f = (u f ) g. Défiitio 15. Si X est ue variable aléatoire défiie sur (Ω, A, P ), o appelle loi de X la probabilité image P X de P par X. Remarque 11. Si X e pred qu u ombre fii de valeurs x 1,..., x alors P X = P ({w Ω, X(w) = x i })δ i i=1 9

10 10 CHAPITRE 3. FONCTIONS MESURABLES 3.2 Foctios mesurables réelles Notatios : M + = M + (E, T ) = esemble des foctios mesurables positives (fiies ou o) d u espace mesuré (E, T ) das [0, + ] mui de la tribu boréliee egedrée par les [a, + ]. M = M(E, T ) = esemble des foctios mesurables réelles (fiies) défiies sur (E, T ) à valeurs das R mui de la tribu boréliee B(R). f Propositio 18. (E, T ) (E, T g ) (E, T ). Si f, g sot mesurables alors g f est mesurable Corollaire 1. 1) Soit a R, soit f : (E, T ) (R, B(R)) mesurable. Alors max(f, a), mi(f, a), f, f + = max(f, 0), f = mi(f, 0) sot mesurables. 2) f : (E, T ) (R, B(R )) mesurable alors 1 est mesurable. f 3) f : (E, T ) (R +, B(R + )) mesurable alors f l est. Propositio 19. f, g : (E, T ) (R, B(R)) F : (E, T ) (R 2, B(R 2 )) x (f(x), g(x)) F est mesurable si et seulemet si f, g le sot. Applicatio : f : (E, T ) (C, B(C)) f est mesurable si et seulemet si Im f et Re f sot mesurables de (E, T ) das (R, B(R)). Propositio 20. f, g : (E, T ) (R, B(R)) mesurables. Alors pour tout α R, αf +g, fg sot mesurables. De même sup(f, g), if(f, g) sot mesurables. Corollaire 2. Si f M alors f 2, f sot das M Attetio : Si f est mesurable, f est pas forcémmet mesurable. Propositio 21. Soit (f ) suite de foctios de M ou de M +, les foctios suivates (lorsqu elles existet) sot mesurables : sup f, if f, lim sup f, lim if f, lim f, f. Défiitio 16. foctio étagée Ue foctio f de E das R est étagée si et seulemet si f(e) est u esemble fii de R. Cela reviet à supposer l existece d ue partitio fiie (A i ) i {1,...,} de E, de costates α i deux à deux distictes tq f = α i 1 Ai. 1 i O a A i = f 1 ({α i }) et cette écriture est uique. O l appelle décompositio caoique de f. Rappel : (A i ) i partitio de E E = A i, A i φ et les A i sot deux à deux disjoits. i Propositio 22. f est mesurable si et seulemet si i, A i T. O ote E l algèbre des foctios mesurables étagées E + l algèbre des foctios mesurables étagées positives fiies ou o. Propriétés : Soiet f, g E, λ R Alors λf, f + g, fg, sup(f, g), if(f, g), f sot das E. Théorème 4. 1) Toute foctio mesurable réelle f est limite simple d ue suite (f ) de foctios étagées. 2) Si de plus f est borée par M sur E, la suite (f ) peut être supposée croissate et uiformémet covergete vers f. 3) Si f est positive fiie ou o, la suite (f ) peut être supposée croissate et positive.

11 3.3. INTÉGRALE SUPÉRIEURE D UNE FONCTION DE M+ 11 Défiitio 17. Covergece presque partout. Soit (f ) ue suite de foctios mesurables. La suite (f ) est covergete presque partout s il existe u esemble N de mesure ulle tq (f (x)) est covergete pour tout x / N. Remarque 12. Si (f ) est ue suite de vecteurs aléatoires, o parle de covergece presque suremet. Remarque 13. Ue limite presque partout d ue suite de foctios mesurables est pas écessairemet mesurable. Ce résultat est vrai lorsque la tribu est complète ie T = T. 3.3 Itégrale supérieure d ue foctio de M Itégrale supérieure d ue foctio étagée mesurable positive Soit f = i I α i 1 Ai décompositio caoique de f E +, I de cardial fii. Défiitio 18. O appelle itégrale supérieure de f par rapport à µ la quatité (fiie ou o) : fdµ = α i µ(a i ) i I E particulier, pour tout A T, 1 A dµ = µ(a). Remarque 14. Par covetio, o pose 0 (+ ) = 0. Propriétés : a) f, g E +, λ > 0, (λf)dµλ fdµ b) f, g E +, (f + g)dµ fdµ + gdµ Remarque : pour toute écriture f = i I α i 1 Ai caoique ou o fdµ = α i µ(a i ) i I c) f, g E + f g fdµ gdµ. Propositio 23. a) Si A T, f E + alors 1 A f ξ +. O pose alors A fdµ := 1 A fdµ. b) Soiet A, B das T tq A B = φ, f ξ. O a fdµ = fdµ + A B A B c) Soit (E ) 1 ue suite d élémets de T, croissate pour l iclusio et tq E = dµ E. Alors pour tout f ξ + + fdµ = lim E fdµ

12 12 CHAPITRE 3. FONCTIONS MESURABLES Itégrale supérieure d ue foctio mesurable positive Idée : pour défiir l itégrale supérieure d ue foctio mesurable positive, f M +, o peut l écrire comme limite croissate d ue suite de foctios de ξ + et poser fdµ = lim f dµ. Il faut justifier que ceci est correct. Si o a 2 suites de foctios croissates qui coverge vers f, a-t-o lim f dµ = lim g dµ? Défiitio 19. f : (E, T, µ) (R +, B(R + )) mesurable fdµ := sup { ϕdµ, ϕ f, ϕ ξ + }. Propositio 24. Si f, g M + et f g alors fdµ gdµ. Théorème 5. Théorème de Beppo-Lévi ou de covergece mootoe. Soit (f ) ue suite croissate d élémet de M +. Alors f := lim f M + et fdµ = lim f dµ. Remarque 15. O peut aussi écrire Propositio 25. Soiet f, g M +. a) (f + g)dµ = fdµ + gdµ. sup f dµ = sup f dµ. b) λ 0 λfdµ = λ fdµ. Corollaire 3. de Beppo-Lévi : Soit f M +. O a f dµ = f dµ. Théorème 6. Thérème de Fatou : Soit (f ) suite de M +. O a lim if f lim if f. E particulier, si f coverge simplemet vers f M +, M R, f dµ M fdµ M. Propositio 26. Soit f M +, alors fdµ = 0 µ({x, f(x) 0}) = 0 ie f = 0 pp Propositio 27. Soiet f, g M +. a) f g pp fdµ gdµ. b) f = g pp fdµ = gdµ. Propositio 28. Iégalité de Markov. fdµ. Soit f M +, pour tout A > 0, µ{x, f(x) A} 1 A

13 Chapitre 4 Foctios itégrables 4.1 Gééralités Défiitios Défiitio 20. soit f M. O dit que f est itégrable par rapport à µ si et seulemet si f + dµ < et f dµ <. rappel : f + = sup(f, 0) f = sup( f, 0) L itégrale de f par rapport à µ est le ombre réel ou f(x)dµ(x). f + dµ f dµ oté Si µ est la mesure de Lebesgue, o dit que f est Lebesgue-itégrable. Notatio : L 1 = L 1 (E, T, µ) = {foctios itégrables par rapport à µ}. fdµ ou f Propositio 29. 1) f est itégrable si et seulemet si f est itégrable. 2) L 1 est u sous espacevectoriel de M. L itégrale est ue forme liéaire positive sur L 1. E particulier, f g fdµ g dµ fdµ f dµ. si f, g L 1 alors sup(f, g) L 1, if(f, g) L 1. 3) (f M et f = 0 pp) f L 1 et fdµ = 0. 4) (f L 1, g M et g = f pp) g L 1 et fdµ = gdµ 5) f M et g L 1, f g µ pp alors f L Cas complexe C est mui de la tribu boréliee. Défiitio 21. Ue foctio complexe mesurable est itégrable si et seulemet si f est itégrable. L itégrale de f par rapport à µ est fdµ = Refdµ + i Imf dµ. Propositio 30. L esemble des foctios complexes itégrables est u C-espace vectoriel et l itégrale ue forme liéaire à valeurs das C tq fdµ f dµ. 13

14 14 CHAPITRE 4. FONCTIONS INTÉGRABLES Propositio 31. f M + f L 1 µ({x, f(x) = + }) = Propriétés Théorème 7. µ, ν deux mesures sur u espace mesurable (E, T ). La foctio λ = µ + ν est ue mesure sur E. Ue foctio réelle ou complexe f est λ itégrable si et seulemet si elle est à la fois µ- itégrable et ν-itégrable. O a alors fdλ = fdµ + fdν Propositio 1. Soit (E, T, µ) u espace mesuré f : E R, f est itégrable relativemet à la mesure complétée µ ie f L 1 (E, T, µ) si et seulemet si f est égale presque partout à ue foctio g L 1 (E, T, µ). O a alors gdµ = fdµ Itégrale sur ue partie A de T Défiitio 22. Soit f ue foctio réelle ou complexe, mesurable sur (E, T, µ), A T. f est itégrable sura par rapport à µ si et seulemet si f1 A est itégrable. O ote fdµ = f1 A dµ. A Propositio 32. Soit f ue foctio réelle ou complexe, mesurable sur (E, T, µ). a) Si f est itégrable alors pour toute partie A de T, f est itégrable sur A. b) Si f est mesurable et borée alors elle est itégrable sur toute partie A de T tq µ(a) <. c) Si A T est égligeable alors f est itégrable sur A et fdµ = 0. A d) Si f est itégrable et si pour tout A T, fdµ = 0 alors f = 0 pp. 4.2 Itégrale de Riema - Itégrale de Lebesque Théorème 8. Toute foctio f Riema itégrable sur [a, b] est Lebesgue-itégrable sur [a, b] ie f1 [a,b] est itégrable pour la mesure de Lebesgue λ et les itégrales coïcidet. Itérêt : Lorsqu o a ue foctio Riema itégrable, o pourra utiliser tous les résultats cous avec Riema pour calculer l itégrale de Lebesgue. Il existe des foctios Lebesgue itégrable sur [a, b] qui e sot pas Riema itégrable. Théorème 9. I = (α, β) u itervalle o compact. f ue foctio Riema itégrable sur tout [a, b] coteu das I. f est Lebesgue itégrable sur I si et seulemet si l itégrale impropre de Riema de f est absolumet covergete. + Das ce cas, les deux itégrales coïcidet. O écrira idifféremmet f(x)dx, fdλ. 4.3 Théorèmes de covergece et applicatios Rappel : lemme de Fatou Soit (f ) suite de M + lim if f dµ lim if f dµ A R

15 4.3. THÉORÈMES DE CONVERGENCE ET APPLICATIONS 15 Applicatio : (f ) suite de foctios itégrables covergeat simplemet vers f et vérifiat sup f dµ < +. Alors f L Théorème de Lebesgue ou covergece domiée Lemme 3. Soit (h ) ue suite décroissate de M + tq h 1 L 1. Alors lim h = lim h Théorème 10. Théorème de Lebesgue Soit (f ) ue suite d élémets de L 1 (E, T, µ) à valeurs das R ou C. O suppose que (i) f coverge µ pp vers ue foctio mesurable f. (ii) g L 1 tq, f g pp (coditio de domiatio). Alors f L 1 et lim f dµ = lim f dµ. Remarque 16. Itérêt de ce théorème : o a pas besoi de la CU de la suite (f ) comme das le cas Riema. L hypothèse de CU implique la coditio (ii) avec g costate. Corollaire 4. Itégratio terme à terme des séries de foctios. Soit f L 1 tq f dµ <. O a f < pp et f dµ = f dµ Limite, cotiuité et dérivatio sous le sige Théorème 11. Soit (E, T, µ) u espace mesuré, f ue foctio réelle ou complexe défiie sur E I où I est u itervalle de R. Soit t 0 u poit adhéret à I (t 0 R). O suppose : a) t I, x f(x, t) est itégrable sur E. b) Pour presque tout x E, lim t t0 f(x, t) existe das R et vaut ϕ(x). c) Il existe ue foctio itégrable g sur E tq t I, f(x, t) g(x) p.p. Alors la foctio F défiie par F (t) = f(x, t)dµ(x) admet ue limite quad t t 0, ϕ est itégrable et lim f(x, t)dµ(x) = ϕdµ. t t0 E E Théorème 12. Soit (E, T, µ) u espace mesuré, f ue foctio réelle ou complexe défiie sur E I où I est u voisiage de t 0, poit de R. O suppose : a) t I, x f(x, t) est itégrable sur E. b) Pour presque tout x E, t f(x, t) est cotiue au poit t 0. c) Il existe ue foctio itégrable g sur E tq Alors la foctio F (t) = t I, f(x, t) g(x) p.p. f(x, t)dµ(x) est cotiue au poit t 0.

16 16 CHAPITRE 4. FONCTIONS INTÉGRABLES Théorème 13. Dérivatio : Soit (E, T, µ) espace mesuré, f foctio réelle (ou complexe) défiie sur E I où I itervalle de R. O suppose : a) t I, x f(x, t) est itégrable sur E. b) Pour presque tout x E, t f(x, t) est dérivable sur I. c) Il existe ue foctio itégrable g sur E tq t I, f(x, t) t g(x) pp Alors la foctio F (t) = f(x, t)dµ(x) est dérivable sur I. t I, x t f(x, t) est itégrable sur E et F (t) = f(x, t)dµ(x). t Itégratio par rapport à ue mesure image Propositio 33. Soit f ue foctio mesurable d u espace mesuré (E, T, µ) das u espace mesurable (E, T ). O ote µ f la mesure image de µ par f. Ue foctio mesurable réelle ϕ est itégrable par rapport à µ f si et seulemet si ϕ f est itégrable par rapport à µ. O a alors ϕdµ f = ϕ fdµ i.e. ϕ(x )dµ f (x ) = ϕ f(x)dµ(x). Applicatio aux probabilités = momet d ue variable aléatoire X : (Ω, A, P ) R. momet d ordre r = X r (ω)dp (ω) = x r dp X (x). Pour r = 1 o retrouve l espérace de X Mesure à desité Défiitio 23. Soit f mesurable positive défiie sur (E, T, µ). Soit A T, la formule (f.µ)(a) = f.µ. A fdµ défiit ue mesure positive dite de desité f par rapport à µ et otée Propositio 34. A T, µ(a) = 0 f.µ(a) = 0. Défiitio 24. Ue mesure ν sur (E, T, µ) est dite absolumet cotiue par rapport à µ si et seulemet si A T, µ(a) = 0 ν(a) = 0. Propositio 35. si f M +, f.µ est absolumet cotiue par rapport à µ. Théorème 14. Théorème de Rado-Nikodym : Si µ et ν sot deux mesures σ-fiies sur (E, T ) et si ν est absolummet cotiue par rapport à µ alors il existe ue foctio f mesurable positive fiie telle que ν = f.µ.

17 Chapitre 5 Mesure produit Théorèmes de Fubii et du chagemet de variable. 5.1 Tribu Produit (E 1, T 1, µ 1 ), (E 2, T 2, µ 2 ) sot deux espaces mesurés. µ 1, µ 2 sot des mesures σ-fiies Tribu produit Défiitio 25. O appelle tribu produit de T 1 et T 2, la tribu otée T 1 T 2 défiie par T 1 T 2 = T ({A B, A T 1, B T 2 }) Propositio 36. pr 1 : E 1 E 2 E 1 pr 2 : E 1 E 2 E 2 (x 1, x 2 ) x 1 (x 1, x 2 ) x 2 T 1 T 2 est la plus petite tribu sur E 1 E 2 redat mesurables les projectios pr 1 et pr 2. Remarque 17. B(R 2 ) = B(R) B(R) Sectio d u élémet de la tribu Si C T 1 T 2, que peut-o dire de la mesurabilité de ses sectios défiies par Propositio 37. Soit C T 1 T 2 x E 1, C x T 2 y E 2, C y T 1 C x := {y E 2, (x, y) C} C y := {x E 1, (x, y) C} Corollaire 5. Soit f : (E 1 E 2, T 1 T 2 ) R, R ou C avec la tribu boréliee. O suppose f mesurable. Pour tout x E 1, la sectio de f d abscisse x défiie par f x : E 2 R, R ou C est T y f x (y) = f(x, y) 2 -mesurable. De même, pour tout y E 2, l applicatio 17

18 18CHAPITRE 5. MESURE PRODUITTHÉORÈMES DE FUBINI ET DU CHANGEMENT DE VARIABLE f y : E 1 R, R ou C x f y (x) = f(x, y) est T 1 mesurable. 5.2 Mesure produit de mesures σ-fiies Théorème 15. Soiet (E 1, T 1, µ 1 ) et (E 2, T 2, µ 2 ) deux espaces mesurés où µ 1 et µ 2 sot des mesures σ-fiies. 1) Il existe ue uique mesure µ sur (E 1 E 2, T 1 T 2 ) telle que A T 1, B T 2, µ(a B) = µ 1 (A)µ 2 (B) De plus, cette mesure est σ-fiie. O la ote gééralemet µ 1 µ 2. 2) Pour tout C T 1 T 2, µ(c) = E 1 µ 2 (C x )dµ 1 = E 2 µ 1 (C y )dµ Théorèmes de Fubii Théorème 16. Théorème de Fubii-Toelli Soit f : (E 1 E 2, T 1 T 2, µ ν) R + ue foctio mesurable. µ et ν sot 2 mesures σ-fiis sur (E 1, T 1 ), (E 2, T 2 ) respectivemet a) La foctio x E 2 f(x, y)dν(y) est défiie sur E 1 et est T 1 mesurable La foctio y E 1 f(x, y)dµ(x) est défiie sur E 2 et est T 2 mesurable. b) ( ) fd(µ ν) = f(x, y)dν(y) dµ(x) E 1 E 2 E 1 E ( 2 ) = f(x, y)dµ(x) dν(y) E 1 Remarque : ces égalités ot lieu das R +. E 2 Théorème 17. Théorème de Fubii Soit f : (E 1 E 2, T 1 T 2, µ ν) R ou C O suppose f itégrable ie f L 1 (E 1 E 2, T 1 T 2, µ ν) a) µ p.p., l applicatio y f(x, y) est das L 1 (ν) et ν p.p., l applicatio x f(x, y) est das L 1 (µ) b) Les foctios y E 1 f(x, y)dµ(x) et x E 2 f(x, y)dν(y) sot itégrables presque partout. c) E 1 E 2 fd(µ ν) = ( ) E 1 E 2 f(x, y)dν(y) dµ(x) = ( ) E 2 E 1 f(x, y)dµ(x) dν(y) 5.4 Théorème du chagemet de variables Défiitio 26. Soiet U, V des ouverts de R, φ : U V, φ = (φ 1,..., φ ). O ote pr i la ième projectio de R R, φ i = pr i φ. O dit que φ est u difféomorphisme de classe C 1 de U das V = φ(u) ssi φ est bijective de U sur V, φ est C 1 ie les φ i, φ i sot cotiues, i = 1,..., j = 1,...,, µ [ j ] φi la matrice jacobiee de φ defiie par J φ (u) = (u) est iversible pour tout u U. u j Théorème 18. Chagemet de variable : φ difféomorphisme de classe C 1 d u ouvert U de R das l ouvert V = φ(u) de R. f foctio réelle ou complexe, Lebesgue mesurable sur V La mesure de Lebesgue dx sur V est l image par T de la mesure µ = DetJ φ (u) du sur U i,j

19 5.4. THÉORÈME DU CHANGEMENT DE VARIABLES 19 (qui est la mesure de desité DetJ φ (u) par rapport à du). f est Lebesgue itégrable sur V ssi f φ est Lebesgue itégrable sur U pour la mesure µ et o a alors V =φ(u) f(x)dx = U f(φ(u)) DetJ φ(u) du

20 20CHAPITRE 5. MESURE PRODUITTHÉORÈMES DE FUBINI ET DU CHANGEMENT DE VARIABLE

21 Chapitre 6 Trasformatio de Fourier sur L Espace L 1 Soit (E, T, µ) u espace mesuré. L 1 (E, T, µ) = {f : (E, T, µ) R ou C, f itégrable}. O cosidère la relatio R sur L 1 défiie par frg f = g µpp Propositio 38. R est ue relatio d équivalece sur L 1. Défiitio 27. L 1 = {classes d équivalece pour la relatio R} = L 1 /R espace quotiet de L 1 par R Théorème 19. Soit f L 1, f la classe d équivalece de f. La foctio f f 1 = f dµ est ue orme sur L 1. Théorème 20. Théorème de Fisher-Riesz (L 1, 1 ) est u espace de Baach ie u espace vectoriel ormé complet ie toute suite de Cauchy das L 1 pour 1 est covergete. La covergece pour la orme 1 est dite covergece e moyee. Propositio 39. Si (f ) est ue suite de foctios covergetes vers f das L 1. Alors il existe ue sous suite (f k ) k qui est covergete µ p.p. vers f. Propositio 40. L esemble des foctios étagées sur les itervalles borés est dese das L 1 (R, B(R), λ) f = α i 1 Ai où A i est u itervalle boré. i=1 6.2 Covolutio des foctios Théorème 21. Soiet f, g deux foctios itégrables sur R. Pour presque tout x R, la foctio t f(t)g(x t) est itégrable sur R. Défiitio 28. O appelle produit de covolutio de f et g la foctio f g défiie par f g(x) = f(t)g(x t)dt 21

22 22 CHAPITRE 6. TRANSFORMATION DE FOURIER SUR L 1 Propositio 41. Soiet f, g deux foctios itégrables sur R. 1) f g L 1 (R ) 2) Le produit de covolutio est commutatif, associatif et distributif par rapport à l additio. 3) f g = f g et f g 1 f 1 g Trasformée de Fourier sur L 1 (R, B(R ), λ) Défiitio Soit f L 1 (R ) o appelle trasformée de Fourier de f la foctio défiie pour x R par Ff(x) = e 2iΠ<x,t> f(t)dt où < x, t >= x i t i i= Propriétés élémetaires de la trasformée de Fourier Propositio 42. F est ue applicatio liéaire sur L 1 (R ) Propositio 43. Soiet f, g das L 1 (R ) 1) Pour tous (x, y) R R, o ote (f g)(x, y) = f(x)g(y) O a F(f g) = Ff Fg 2) F(f g) = Ff Fg 3) x R, o pose f V (x) = f( x) F(f V ) = (Ff) V 4) Soit a R, pour tous x R, o pose τ a f(x) = f(x a) F(τ a f)(x) = e 2iΠ<x,a> Ff(x) 5) Soit r R \ {0}, h : t f( t r ) F(h)(x) = r F(f)(rx) Propriétés topologiques Théorème 22. Soit f L 1 (R ) Ff est uiformémet cotiue et borée sur R Lemme 4. Lemme de Riema Lebesgue Soit f L 1 (R ) alors Ff ted vers 0 e + et e. Propositio 44. F est ue applicatio liéaire cotiue de (L 1 (R ), 1 ) das (C 0 (R ), ) où C 0 (R ) = { applicatios cotiues sur R ulles à l ifii} Corollaire 6. Pour tous f 1, f 2 das L 1 (R ), les foctios (Ff 1 )f 2 et f 1 (Ff 2 ) sot itégrables. De plus (Ff 1 )f 2 = f 1 (Ff 2 ) Trasformée de Fourier et dérivée Soit f L 1 (R) et soit p u etier positif 1) Si la foctio t g t p f(t) est itégrable alors Ff est p fois dérivable et (Ff) (p) (x) = ( 2iΠ) p Fg(x) 2) Si les dérivées f,..., f (p) existet et sot itégrables, o a (Ff (p) )(x) = (2iΠx) p Ff(x) 3) E particulier, si f admet ue dérivée première et secode itégrables alors Ff L 1

23 6.3. TRANSFORMÉE DE FOURIER SUR L1 (R N, B(R N ), λ) Trasformatio de Fourier iverse : Défiitio 29. Soit f L 1 (R ), o pose (Ff)(x) = e 2iΠ<x,t> f(t)dt Propositio 45. Soiet f, g das L 1 (R ) 1) (Ff)(x) = (Ff)( x) = (Ff) V (x) si f est paire, Ff(x) = Ff(x) 2) Ff = Ff si f est réelle, Ff = Ff 3) Ff L 1 (R ) Ff L 1 (R ) si Ff L 1 (R ) alors x R, FFf(x) = FFf(x) 4) F(f g) = F(f)F(g) Théorème 23. Théorème de réciprocité : Si f L 1 (R ) est telle que Ff L 1 alors FFf = f p.p. i.e. FFf = f das L 1. Remarque 18. Si f L 1, o a pas forcémet Ff das L 1 Propositio 46. Soit f L 1 (R ) tq Ff L 1 (R ) 1) Si f est cotiue alors F(Ff) = f, égalité vraie partout. 2) Plus précisemmet, F(Ff)(t) = f(t) e tout poit de cotiuité de f Propositio 47. Soit f, g das L 1 (R ) tq Ff, Fg soiet das L 1 (R ) Alors fg L 1 (R ) et F(fg) = Ff Fg presque partout.

24 24 CHAPITRE 6. TRANSFORMATION DE FOURIER SUR L1

25 Chapitre 7 Trasformatio de Fourier sur L Espace L 2 Soit (E, T, µ) u espace mesuré. L 2 (E, T, µ) = {f : (E, T, µ) R ou C, f 2 itégrable}. O cosidère la relatio R sur L 2 défiie par frg f = g µpp Propositio 48. R est ue relatio d équivalece sur L 2. Défiitio 30. L 2 (E, T, µ) = {classes d équivalece pour la relatio R} Propriétés = L 2 (E, T, µ)/r espace quotiet de L 2 (E, T, µ) par R Propositio 49. 1) L 2 (E, T, µ) est u espace vectoriel. 2) Pour tous f, g das L 2 (E, T, µ), fg L 1 (E, T, µ) et < f, g >= fg défiit u produit scalaire sur L 2. O peut alors défiir ue orme sur L 2 (E, T, µ) e posat f 2 = f 2. 3) (L 2 (E, T, µ),. 2 ) est u espace de Hilbert. 4) Pour tous f, g das L 2 (E, T, µ), o a fg 1 = fg ( f 2 ) 1 2 ( g 2 ) 1 2 = f 2 g 2 Iégalité de Cauchy Schwartz. f + g 2 ( f + g 2 ) 1 2 ( f 2 ) ( g 2 ) 1 2 = f 2 + g 2 Iégalité de Mikowski Comparaiso etre L 2 et L 1 Propositio 50. Si µ est fiie, o a L 2 (E, T, µ) L 1 (E, T, µ) et pour tout f L 2 (E, T, µ), f 1 µ(e) 1 2 f Sous esemble deses das L 1 et L 2 Théorème 24. {foctios étagées sur des pavés borés}, {foctios cotiues à support compact },{foctios 25

26 26 CHAPITRE 7. TRANSFORMATION DE FOURIER SUR L 2 idéfiimet dérivables à support compact } sot deses das L 1 et L Tasformatio de Fourier sur L 2 (R ) Espace de Wieer Défiitio 31. H = {f L 1 (R ), Ff L 1 (R )} est l espace de Wieer. Propositio 51. 1)Hest coteu das L 2 (R ). 2) H est u espace préhilbertie. 3) F et F sot deux bijectios réciproques sur H, adjoites l ue de l autre. Ce sot des isométries pour la orme. 2. 3) H est dese das L Trasformée de Fourier sur L 2 Propositio 52. Soit f L 2, il existe (h ) H telle que f = lim h das L 2. O peut défiir Ff = lim Fh das L 2. Aisi o prologe par cotiuité les opérateurs F et F défiis sur H à L 2. ATTENTION : O e peut pas appliquer la formule e 2iπ<x,t> f(t)dt pour obteir la trasformée de Fourier d ue foctio de L 2. Théorème 25. Placherel Parceval 1) Soit f L 2, FFf = FFf = f das L 2 c.a.d. presque partout. 2) F, F sot adjoites l ue de l autre. 3) La trasformée de Fourier est ue isométrie sur L 2 et coserve le produit scalaire c.a.d. < Ff, Fg >=< f, g >. Propositio 53. 1) Si f L 1 L 2 alors les deux défiitios de la trasformée de Fourier coicidet. 2) Soit f L 2, Ff = (Ff) V et Ff = F f. 3) Soiet f et g das L 2, Ff.g = f.fg. 4) Soit f cotiûmet dérivable telle que f, f soiet das L 2 (R), o a x R, Ff (x) = (2iπx)Ff(x). 5) Soit f L 2 (R) alors pour tout λ > 0, 1 [ λ,λ] f L 1 et Ff(x) = lim F L 1(1 [ λ,λ]f)(x) das L 2 c.a.d. λ + Ff(x) = λ lim λ + λ e 2iπxt f(t)dt das L 2. 6) Si f L 1 et F L 1f L 2 alors f L 2 et f = F L 2F L 1f. 7.3 Lie avec le produit de covolutio Soiet f, g das L 2 (R), f g est bie défiie et f g f 2 g 2. Propositio 54. Soiet f, g das L 2, o a fg L 1 et F(fg) = Ff Fg.

27 7.3. LIEN AVEC LE PRODUIT DE CONVOLUTION 27 Propositio 55. Soiet f, g das L 2. O a Ff.Fg L 1 F(Ff.Fg) = f g. Propositio 56. Soiet f L 1 (R) et g L 2 (R). La foctio f g est défiie presque partout par f g(x) = f(t)g(x t)dt. f g L 2 (R) et f g 2 f 1 g 2.