Le nombre de chemins en percolation orientée
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- Baptiste Lecours
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1 Le ombre de chemis e percolatio orietée Olivier Garet, e commu avec Régie Marchad et Jea-Baptiste Gouéré. MAS 206, Greoble. Istitut Élie Carta, Uiversité de Lorraie, Nacy, Frace.
2 Percolatio orietée e dimesio d + Le graphe orieté Z d N. Chaque sommet a 2d + efats: N (x, + ) (x, + ) (x +, + ) (x, ) (0, 0) Z d Le graphe aléatoire. Sous la mesure produit de Beroulli P p, chaque arête est gardée avec probabilité p (0, ), de maière idépedate.
3 Quelques dessis Figure: Exemples avec p = 0.7, 0.6, 0.5, 0.4.
4 Percolatio orietée e dimesio d + Trasitio de phase: Existece de chemis ouverts ifiis? Ω = {(0, 0) } P p (Ω ) > 0 p > p c (d + ). Deux questios aturelles: Où vot les chemis? ξ = {x Z d : (0, 0) (x, )}. Théorème de forme asymptotique pour ξ. 2 Combie de chemis ouverts jusqu ue hauteur doée, vers u poit doé?
5 Vu du dessus: la forme asymptotique (p > p c (d + )) [Durrett Griffeath 82, Bezuidehout Grimmett 90, Durrett 9, Garet Marchad 2] Figure: forme asymptotique, couleur = temps d atteite Théorème (Forme asymptotique) ξ = {x Z d : (0, 0) (x, )}. Temps d atteite : t(x) = if{ 0 : x ξ }. Poits atteits : H = {x Z d : t(x) }. (H ) : suite croissate d esembles aléatoires. O ote P p = P p ( Ω ). Il existe ue orme µ p sur R d (boule uité: A µp ), telle que ( P p N > 0 N ( ε)a µp H + [0, ] d ) ( + ε)a µp =.
6 Le ombre de chemis ouverts e percolatio orietée N x, : ombre de chemis de (0, 0) à (x, ) Questio Figure: = 3, p = 0.6. N x,+ = Comportemet de N? y x N = x Z d N x, : ombre de chemis de (0, 0) au iveau. (y,) (x,+) N y,.
7 Le ombre de chemis: comportemet moye et martigale Comportemet moye: E p (N ) = (2d + ) p ; log E p(n ) = log((2d + )p). ( ) N ((2d + )p) est ue martigale positive: [Darlig 9] W 0 lim + N ((2d + )p) = W P p a.s. sur l évéemet {W > 0}: lim + log N = log((2d + )p). Sur {W > 0}, (N ) a la même croissace expoetielle que (E p (N )). Problème Souvet, W = 0. [Yoshida 08, Lacoi 02] Que dire alors?
8 Le théorème pricipal Figure: = 3, p = 0.6. N x, : ombre de chemis ouverts de (0, 0) à (x, ) N = x Z d N x, : ombre de chemis ouverts de (0, 0) au. Theorem (Garet Gouéré Marchad) lim + log N = α p (0) P p a.s. Stratégie : Das u esemble dese de directios, trouver ue ifiité de poits pour lesquels N x, est cotrôlé. 2 Utiliser la zoe couplée de la percolatio orietée retourée pour cotrôler les fluctuatios.
9 Sous-additivité N c Soit a, b, c avec a b c das Z d N: N a,c N a,b N b,c ( log N a,c ) ( log N a,b ) + ( log N b,c ). a b (0, 0) Z d sous-additivité statioarité : N b,c N 0,c b itégrabilité: N x itégrable? (Hum...) ( ) log N devrait coverger. Ca set le théorème ergodique sous-additif! [Kigma 68,73; Hammersley 74...] Mais il faut choisir des poits aléatoires a, b, c de maière à avoir des itégrabilités et coserver des boes statioarités.
10 Le temps d atteite essetiel [Garet Marchad 2] O ote P p (.) = P p (. Ω ). Propriétés géométriques: (0, 0) (x, σ(x)) + ; σ(x) est proche de t(x): p > 0 sup E p ( σ(x) t(x) p ) < +. σ(x) µ(x) (P p p.s., L ) quad x + Sur les lois: P p est ivariat sous θ x = T x θ σ(x) ; Sous P p, σ(x) est idépedat du triagle rose N σ(x) (x, σ(x)) θ σ(x) (0, 0) x Z d T x
11 Limites directioelles (y, h) Z d N. ˆθ = θ h 0 θ y, temps associé s(y, h). (0, 0) (y, s(y, h)) ; P p est ivariat par ˆθ; (s(y, h) (ˆθ j ) j 0 sot iid itegrables. Itératio : Des poits d appui das ue directio S = s(y, h) ˆθ k E p (s(y, h)). k=0 (0, 0) (y, S ) (2y, S 2 )... N (y,s).n (py,sp) ˆθ N ((+p)y,s+p). 0 log N (y,s) S log(2d + ). N E p(s(y, h)) (0, 0) y Z d : (y, S ). Le théorème ergodique sous-additif s applique à f = log N (y,s): α p (y, h) > 0 lim + S (y, h) log N (y,s ) = α p (y, h) P p p.s.
12 Retour au global Limites Directioelles: lim + S (y, h) log N (y,s ) = α p (y, h). Les directios (y, E p (s(y, h))) sot deses das le côe de percolatio. Cotributio maximale: α p = sup { α p (y, h) : (y, h) Z d N }. O se ramèe à N, qui compte les chemis qui débutet u chemi ifii. Avatage: N est croissat. 2 Partie facile: lim + log N α p. mootoie de N + S (y, h) peu espacés. 3 Partie difficile: lim + log N α p. motrer que l essetiel des chemis passe par os poits de cotrôle. utiliser la zoe couplée N (0, 0) Z d
13 Couplage das le côe de percolatio U problème de chaîe de Markov { ξ0 Z d, ξ = {x Z d : x 0 ξ 0 : (x 0, 0) (x, )}. Commet ξ déped-t il de la cofiguratio iitiale ξ 0? (y, 0) (0, 0) (x, ) Zoe couplée. K 0 est l esemble des poits qui sot das le même état que l o parte de ξ 0 = {0} ou de ξ 0 = Z d. Aisi, si x K 0, et y tel que (y, 0) (x, ), alors (0, 0) (x, ). Théorème (Théorème de forme de la zoe couplée) P p ( N N ( ε)a µp (H K 0 ) + [0, ] d ( + ε)a µp ) =. Autremet dit: u poit suffisammet élevé qui est strictemet à l itérieur du côe de percolatio et qui est atteit depuis u certai (x, 0) est atteit depuis (0, 0).
14 La zoe couplée retourée But: Motrer que toutes les cotributios à N sot comptées das le N x,m d u poit de cotrôle proche. Le chemi oir cotribue à N (x,) : M est u poit de la suite associée à (y, h). ( + ε) ( + ε) (0, 0) M x z (0, 0) E rose: la zoe couplée retourée K issue de M. O repart de M: x K et z x: doc M x! Doc N (x,) N M. Approximatio par D directios: Le iveau est recouvert par les D zoes couplées: N N. (0, 0) lim log N α p.
15 Covergece directioelle N A Theorem (Garet Gouéré Marchad 5) Il existe ue foctio cocave α p telle que pour les bos esembles A (0, 0) Z d N A, = N x,. x A lim + log N A, = sup α p (x) x A P p a.s. Figure: La couleur du pixel (x, k) est proportioelle à k log N x,k.
16 Ce que dit la littérature Rappel: sur {W > 0}: lim + log N = log((2d + )p). il est possible que P p (Ω ) > 0 et P p (W = 0) = : [dimesio et 2: Yoshida 08] il est possible que, das la phase surcritique de percolatio, lim + log N < log((2d + )p) pour certais p, lim + log N = log((2d + )p) pour des p plus grads. [avec de grads voisiages, et d assez grad: Lacoi 2] Questio Comportemet asymptotique de log N sur l évéemet de percolatio? O ote P p (.) = P p (. Ω ).
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