Intégrale d une fonction : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com

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1 Intégrale et aire On considère la fonction affine f dont la courbe ci-contre passe par les points A et B. ) Déterminer l epression de f(). ) En déduire une primitive F de f. ) a) Déterminer l intégrale Intégrale d une fonction : Eercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com f()d à l aide de F. En déduire l aire du domaine vert. b) Déterminer l aire du domaine vert d une autre façon. Intégrale et aire On a tracé la courbe d une fonction f définie sur [-4 ;]. Sur [- ;], la courbe est un demi-cercle. ) Déterminer ) En déduire 4 4 f()d, puis f()d f()d, puis Calcul intégral - Intégrale d un polynôme - n Calculer les intégrales suivantes : a) 5 d b) f()d ( t )( + t)dt c) 5 d d) n d Intégrale et primitive d un quotient - u u Calculer les intégrales suivantes : e a) d b) d c) 4 d d) + t t dt Intégrale et primitive avec des eponentielles ou des racines - u e u - Calculer les intégrales suivantes : a) e + 6 d b) e e d c) 4 + d u u Intégrale et primitive d un quotient - u u Calcul intégral avec un quotient de polynôme : ) Étudier suivant les valeurs du réel, le signe de ) En déduire la valeur de d

2 Intégrale et primitive Calculer les intégrales suivantes : a) e) 4 d b) e e d f) + 5 d c) e t dt d) + π d g) sin()d h) ( + ) + d 4 t t + dt t Intégrale et aire On a tracé la courbe de la fonction f définie sur ]; + [ par f() =. On a tracé également les courbes des fonctions g et h définies sur [; + [ par g() = et h() =. ) Déterminer l aire du domaine rose. ) Déterminer l aire du domaine bleu. ) Déterminer l aire du domaine vert.

3 Intégrale et aire entre deu courbes On a représenté les courbes des fonctions f et g définies sur R par : f() = ( )( ) et g() =. Déterminer l aire de la surface hachurée. Intégrale et aire entre deu courbes C f et C g sont les courbes représentatives de deu fonctions f et g définies sur R par f() = 4 et g() = ( + ) ( ). ) Étudier la position relative de leurs courbes représentatives. ) En déduire l aire A du domaine en unité d aire compris entre les deu courbes sur l intervalle [- ;]. Intégrale et aire - fonction changeant de signe La courbe C représente dans un repère orthogonal, la fonction f définie sur R par f() =. Les unités graphiques sont : cm sur l ae des abscisses et.5 cm sur l ae des ordonnées. ) Étudier la position relative de la courbe C par rapport à l ae des abscisses. ) En déduire l aire A du domaine en unité d aire puis en cm compris entre la courbe C, l ae des abscisses et les droites d équation = et =. Intégrale et aire - fonction changeant de signe On considère la fonction définie sur R par f() = ( )e dont on a tracé la courbe ci-dessous : ) Déterminer a, b et c tels que la fonction définie sur R par F() = (a + b + c)e soit une primitive de f. ) En déduire l aire de la surface bleue.

4 Fonction définie par une intégrale - signe d une intégrale On donne ci-dessous le tableau de variations d une fonction f définie sur R : 4 + f 5 On définit la fonction F sur R par F () = ) Déterminer le tableau de variations de F. ) Déterminer le signe de l intégrale f(t)dt. f(t)dt et de ) Déterminer la limite de F en + et en. 5 f(t)dt. Fonction connaissant une primitive Soit f une fonction définie [- ;5] et F une primitive de f. On a tracé la courbe de F ci-dessous : ) Déterminer le tableau de signe de f sur [- ;5]. ) Déterminer la valeur de l intégrale f()d. Comparer des intégrales On a tracé ci-dessous la courbe d une fonction f définie sur R. ) Comparer les intégrales ) Comparer les intégrales ) Encadrer l intégrale f() d et f() d et f() d. f() d. f() d. 4

5 5

6 Encadrer une intégrale On a tracé ci-dessous la courbe d une fonction f définie sur R. Déterminer un encadrement de l intégrale 4 f() d. Fonction définie par une intégrale On considère la fonction définie sur R par g() = + t dt. ) Justifier que g est bien définie sur R. ) Déterminer le tableau de variations de g. ) Déterminer le tableau de signe de g(). 4) Démontrer que pour tout, g(). 5) Démontrer que l inégalité du 4) reste vraie pour. QCM Intégrale f est une fonction continue sur R. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant : a) b) Si c) Si f() d = f() d = f() d g() d alors pour tout [; ], f() = g(). f() d = alors pour tout [ ; ], f() =. d) Si f est positive sur [ ;] alors e) Si f) f() d. f() d alors pour tout [; ], f(). f () f() d = F () F () où F = f. 6

7 Fonction définie par une intégrale - dérivée - variations t On considère la fonction g définie par g() = + t dt. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant : a) La fonction g est définie sur R. b) g ( ) = c) g( ) = d) g est croissante sur R. e) g() = ln( + ). Inégalité et intégrale ) Démontrer que pour tout, ) En déduire un encadrement de l intégrale : +. Inégalité et intégrale - encadrement de ln ) Démontrer que pour tout réel t, t t. t + d ) En déduire que pour tout réel, ln. ) En déduire un encadrement de ln. Vérifier la cohérence du résultat à l aide d une calculatrice. Inégalité et intégrale - encadrement de ln ) Démontrer que pour tout t, t + t t + t. ) En déduire que pour réel, ln( + ) +. ) En déduire un encadrement de ln. Vérifier la cohérence du résultat à l aide d une calculatrice. Suite définie par une intégrale Pour tout entier naturel n, on pose : u n = + n d, f n désigne la fonction définie sur [ ;] par f n () = + n, C n désigne la courbe de f n. On a tracé C, C, C, C, C 4 dans un repère orthonormé. ) A l aide du graphique, conjecturer le sens de variation de (u n ). ) Déterminer le sens de variation de (u n ) par le calcul. ) Démontrer que pour tout entier naturel n, et tout [; ] : + n 4) En déduire que la suite (u n ) est convergente. 7

8 Suite définie par une intégrale Pour tout entier naturel n, on pose u n = n ) Démontrer que la suite (u n ) est croissante. ) Justifier que pour tout entier n, u n ) Démontrer que Suite définie par une intégrale Pour tout entier naturel n, on pose u n = + d. n + d + d. + d. En déduire que la suite (u n) est convergente. n e d. ) Déterminer u. ) Démontrer que (u n ) est décroissante. ) Démontrer que (u n ) est convergente. 4) Démontrer que pour tout entier naturel n, u n n +. 5) Que peut-on déduire? Fonction définie par une intégrale - dérivation - variations - limite e t On considère la fonction définie sur ]; + [ par f() = t dt. ) Justifier que f est définie et dérivable sur ]; + [, déterminer f () puis les variations de f. ) En déduire le tableau de signe de f(). e t ) Démontrer que pour tout réel t ]; + [, t t. 4) Déduire du ) que pour tout [; + [, f() ln. 5) Déduire du ) que pour tout ]; ], f() ln. 6) En déduire lim f() et lim f(). + > Intégrale et aire entre deu courbes On se place dans un repère orthogonal d unité cm sur l ae des abscisses et 4 cm sur l ae des ordonnées. On a tracé les courbes de fonctions f et g définies sur ]; + [ par f() = ln (ln ) et g() =. ) Associer à chaque fonction la courbe qui lui correspond. Justifier. ) Déterminer les positions relatives des courbes de f et g par le calcul. ) Déterminer une primitive de f puis de g sur ]; + [. 4) Déterminer l aire du domaine vert en unité d aire puis en cm. Intégrale et primitive On considère la fonction f définie sur R par f() = ( + )e. Soit u et v les fonctions définies sur R par u() = et v() = e. a) Vérifier que f = (u v + uv ). b) En déduire la valeur de l intégrale f() d. 8

9 D après sujet Bac Pondichéry 5 Terminale S Soit f et h les fonctions définies sur R par f() = et h() = f(). + e. Justifier que la fonction h est positive sur R.. Soit H la fonction définie sur R par H() = ln ( + e ). Démontrer que H est une primitive de h sur R.. Soit a un réel strictement positif. a. Donner une interprétation graphique de l intégrale a b. Démontrer que h() d = ( ) ln + e a. a h() d. c. On note D l ensemble des points M( ; y) du plan définis par Déterminer l aire, en unité d aire, du domaine D. { f() y. Baccalauréat 4 - Amérique du Nord eercice Intégrale et aire - théorème des valeurs intermédiaires - calcul d intégrale On considère la fonction f définie sur [; + [ par f() = 5e e +. On note C f la représentation graphique de la fonction f et D la droite d équation y = dans un repère orthogonal du plan. On considère la fonction A définie sur [; + [ par A() = f(t) (t ) dt.. Justifier que, pour tout réel t de [; + [, f(t) (t ) >.. Hachurer sur le graphique ci-contre le domaine dont l aire est donnée par A().. Justifier que la fonction A est croissante sur [; + [. 4. Pour tout réel, calculer A(). 5. Eiste-t-il une valeur de telle que A() =? Calculer une intégrale à l aide d un argument géométrique L objectif de cet eercice est de calculer : d. On considère la fonction f définie par f() =. ) Déterminer le domaine de définition de la fonction f. ) Quelle conjecture peut-on faire concernant la courbe de la fonction f? Démontrer cette conjecture. ) En déduire la valeur de l intégrale d. 9