Géométrie dans l espace (Chapitre 4)

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1 Géométrie dans l espace (Chapitre 4) I. Représentations planes de figures de l espace 1) Les patrons d un solide Définition : Un patron d un solide est obtenu en plaçant toutes ses faces dans un même plan. Exemple 1 Remarque : Un même solide peut avoir plusieurs patrons de formes différentes, non superposables. Certains solides n ont pas de patron : c est la cas de la sphère. 2) La perspective cavalière Quelques règles de représentation en perspective cavalière : La représentation d un solide en perspective cavalière doit respecter les règles suivantes: Une figure située dans le plan vu de face est représentée en vraie grandeur (mêmes longueurs, même forme) Deux droites parallèles dans la réalité sont représentées par deux droites parallèles en perspective cavalière. (Attention! Deux droites parallèles en perspective cavalière ne sont pas forcément parallèles dans la réalité) Des points alignés dans la réalité sont représentés par des points alignés en perspective cavalière. (Attention! Des points alignés en perspective cavalière ne sont pas forcément alignés dans la réalité) Le milieu d un segment est représenté par le milieu de la représentation de ce segment. Les éléments «visibles» sont représentés en traits pleins ; les éléments cachés sont représentés en pointillés

2 Exemple 2 Vocabulaire : On parle d angle de fuite et de coefficient de réduction (car le plus souvent choisi entre 0 et 1 ) II. Les solides usuels 1) Les solides droits Les solides droits sont : Le volume des solides droits est donné par la formule : V B h où B est l aire de la base et h la hauteur du solide associée à cette base. Remarques : Le cube est un pavé particulier. Exemple : cube de 2 carreaux de côté à représenter en perspective cavalière avec angle 2 de fuite de 45 et coefficient de réduction de 2. Les faces latérales des pavés droits et des prismes sont des rectangles. Sur le patron d un cylindre, la face latérale est un rectangle.

3 2) Les pyramides et cônes 1 Le volume des pyramides et cônes est donné par la formule : V B h où B est l aire de la base et h la hauteur du solide associée à cette base. Remarques : Le tétraèdre est une pyramide à base triangulaire Les faces latérales des pyramides sont des triangles ) La sphère Le volume de la sphère est donné par la formule : V où R est le rayon de la sphère 4 R Remarques : La sphère est non «développable», c'est-à-dire qu on ne peut pas réaliser son patron. III. Droites et plans de l espace 1) Règles de base Règles : (axiomes) Par deux points distincts de l espace, il passe une unique droite. Par trois points non alignés A, B et C de l espace, il passe un unique plan noté (ABC). Si un plan contient deux points distincts A et B alors il contient toute la droite (AB). Dans chaque plan de l espace, on peut appliquer tous les théorèmes de géométrie plane (théorèmes de Pythagore, Thalès ) Un plan peut être défini de différentes manières. Ainsi, un plan peut être déterminé par : Trois points non alignés. Une droite d et un point A extérieur à d. Deux droites sécantes. Deux droites parallèles. Vocabulaire :Nous dirons que des points, des droites sont coplanaires lorsqu ils sont situés dans un même plan (trois points, un point et une droite le sont toujours ; en revanche, le fait d être coplanaire n est plus une évidence s il s agit de quatre points ou de deux droites )

4 2) Positions relatives de deux droites de l espace Deux droites de l espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires ) Positions relatives d une droite et d un plan Propriétés (admises) Une droite et un plan de l espace sont soit sécants, soit parallèles. Si une droite et un plan sont sécants alors leur intersection est un point. 4) Positions relatives de deux plans Propriétés (admises) Deux plans de l espace sont soit sécants, soit parallèles. Si deux plans sont sécants alors leur intersection est une droite Notations : ( ABC) ( ABF ) ( AB) (ou P P' d comme ci-dessus) signifie que les plans (ABC) et (ABF) ont pour intersection la droite (AB). ( AB) ( ABC) (ou d Pcomme ci-dessus encore) signifie que la droite (AB) est incluse (c'est-à-dire contenue) dans le plan (ABC)

5 IV. Parallélisme dans l espace 1) Parallélisme entre droite et plan Si une droite est parallèle à une droite d contenue dans un plan P alors est parallèle au plan P Théorème dit «du toit» Si on a : Deux droites parallèles d et d Un plan P qui contient d Un plan P qui contient d P et P sécants selon la droite Alors est parallèle à d et d. 2) Parallélisme entre plans Propriété 1 (admise) Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux. Propriété 2 (admise) Si un plan P contient deux droites sécantes et parallèles à un plan P Alors les plans P et P sont parallèles. Corollaire (admis) Si un plan P contient deux droites sécantes et parallèles respectivement deux droites d un plan P, alors les plans P et P sont parallèles. Propriété (admise) Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et leurs intersections sont deux droites parallèles.

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