DS AN PASSE A B C A B C. Pour mieux satisfaire ses clients, une agence de voyage leur a envoyé un questionnaire. Parmi les 200 réponses reçues :

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1 DS AN PASSE Exercice n ( points) : cet exercice est un QCM pour chaque question une réponse est exacte Vous notez votre réponse sur la copie (aucune justification n est demandée) Une bonne réponse rapporte point, une mauvaise enlève 0,5 points et une absence de réponse donne 0 point Si le total de l exercice est négatif, il est ramené à zéro(entourez votre réponse) - Pour cette série statistique : Valeur x i Effectif n i La moenne et la médiane M valent - La forme factorisée de (x+)-(x-5) (x+) est : - Dans le plan muni d un repère ortho normal on donne : D (0 ; ), E( ; -) et F( ; 5) - Pour un réel x différent de 0 on pose alors l ensemble solution de l inéquation : est : A B C A (x+)(6-x) B (x+)(-x+5) C (x+)(-x-) A DEF est un B DEF est un triangle C DEF est un triangle triangle équilatéral isocèle non rectangle rectangle et isocèle A B C Exercice n ( points) : Pour mieux satisfaire ses clients, une agence de voage leur a envoé un questionnaire Parmi les 00 réponses reçues : 0 personnes déclarent partir en vacances en famille Parmi les clients qui ne partent pas en famille, 60% préfèrent les voages organisés, et 0% préfèrent les croisières ) Compléter le tableau Voage organisé Club de vacances croisière total En famille 6 Seul ou entre amis total 7 00 ) On choisit un client au hasard parmi les 00 qui ont répondu Calculer la probabilité des évènements suivants : A : «le client choisi part en famille» B : «le client choisi préfère les croisières» C : «le client choisi ne part pas en club de vacances» ) Définir par une phrase chacun des évènements suivants : puis calculer leurs probabilités ) Le client choisi part en vacances en famille Quelle est la probabilité qu il préfère les croisières (donner la valeur exacte sous forme de fraction puis la valeur arrondie à 0 - près Exercice n ( 6 points) On considère dans un repère orthonormé (O ;I,J) les points A ( - ;0), B ( ;) et C (-6 ;) )Placer les points sur la figure ci-contre, à compléter au fur et à mesure de l exercice )a) Calculer les coordonnées du point N milieu de [BC] b) Déterminer l équation de la droite (AN) puis celle de la droite (BC) x )Soit le point M ( ; ) milieu du segment [AC] a)déterminer l équation de la droite ( BM) b) Calculer les coordonnées du point G point d intersection des droites (BM) et (AN)

2 ) a) Tracer dans le repère la droite d d équation = x b) Déterminer l équation de la droite parallèle à la droite d, passant par le point C c) Justifier que le point G est situé sur la droite d) Que représente le point G pour le triangle ABC? Justifier 5) a)justifier que la droite (AN) est la médiatrice de [BC] Que peut-on en déduire pour le triangle ABC? b) Calculer AB En déduire sans calcul AC, Justifier Exercice : (6 points) On termine toujours par du sucré! A sa grande surprise, Charlie vient d être nommé responsable de la chocolaterie de son village Malheureusement, l entreprise est en difficulté et Charlie doit trouver une solution pour que la production soit de nouveau rentable On note x la quantité de chocolat produite (en tonnes) avec 0 x 60 Charlie sait que le coût de production comme la recette de son entreprise se calcule en fonction de la quantité produite Il a deux objectifs : rendre la production rentable et maximiser le bénéfice de sa chocolaterie Partie A Le graphique ci-dessous donne le coût de production ainsi que la recette (en k soit en milliers d euros) en fonction de la quantité x produite (en tonnes) La courbe C C représente le coût, la droite C R représente la recette 5500 ) A partir du graphique a) Déterminer la valeur approchée de la recette et celle du coût de production pour 0 tonnes de chocolat produites b) Déterminer la valeur approchée de la recette et celle du coût de production pour 0 tonnes de chocolat produites ) a) Calculer la valeur du bénéfice ou de la perte pour 0 tonnes de chocolat produites b) Calculer la valeur du bénéfice ou de la perte pour 0 tonnes de chocolat produites ) A partir du graphique a) Déterminer l intervalle de la quantité de 500 chocolat à produire pour que la chocolaterie soit rentable b) Déterminer la quantité à produire pour que le bénéfice soit maximum x Partie B : ) Les formules donnant le coût C(x) et la recette R(x) de la production ont été calculées: C(x) = x² + 0x et R(x) = 00x a) Montrer que le bénéfice de l entreprise est donné par B(x) = -x² + 70x 000 b) Montrer que B(x) = (-x + 0)(x 50) c) Déterminer les valeurs de x pour lesquelles B(x) 0 d) En déduire les quantités de chocolat à produire pour lesquelles la chocolaterie de Charlie fait du bénéfice ) a) Montrer que la forme canonique de B(x) = (x 5)² + 5 b) En déduire le tableau de variations de B(x) sur [0 ; 60] c) En déduire la quantité de chocolat à produire pour le bénéfice soit maximum et préciser la valeur de ce bénéfice

3 Exercice n 5 ( points) Soit la fonction f définie sur IR { } par : ( x) ) à l aide du graphique dresser le tableau de variation de f ) Montrer que f est une fonction homographique ) a) dresser le tableau de signes de : x+ 7 f b) en déduire les solutions de l inéquation ( x) 0 f = + et sa courbe représentative Courbe x

4 CORRECTION EXERCICE N / Réponse B / Réponse A / Réponse C / Réponse B EXERCICE N / Voage organisé Club de vacances croisière total En famille Seul ou entre amis total / P ( A ) = = = 0, 55 ; P ( B ) = 7 = = 0, ; P ( C ) = = = = 0, / A B : " Le client choisi part en famille et préfère les croisières " ; A B : " Le client choisi part en famille ou préfère les croisières " P ( A B ) = 6 = = 0, et P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A B ) = = = = 0, / P = = 0, 0 55 EXERCICE N xb+ xc 6 B+ C + / a) x N = = = et N = = = Donc N (, ) b) On a : A (, 0 ) et N (, ), donc une équation de ( AN ) est : x = On a : B ( ; ) et C ( 6 ; ), donc une équation de ( BC ) est = / Soit le point M ( ; ) milieu du segment [ AC ] M B 5, 5, a) Le coefficient directeur de ( BM ) est : a = = = = = x x 6 M B 5 On en déduit une équation de ( BM ) de la forme : = x+ b Or, B (, ) ( BM ) donc = + b, soit b = = 5 ( BM ) a pour équation : = x+ 5 = x+ b) G est le point d intersection des droites ( BM ) et ( AN ), donc on résout le sstème : x= = Ce qui donne x= ( ) / a) Traçons la droite d d équation = 5 + = On en déduit : G (, ) x Elle passe par les points de coordonnées ( 0, ) et (, 0 ) b) // d donc ces deux droites ont le même coefficient directeur La droite a donc une équation de la forme : = C -6-5 M - - N A - G d B x x + b

5 Or, C ( 6, ) d'où : = + b, puis : b = = a pour équation : = x+ c) Calcul : x G+ = ( ) + = + = = G Les coordonnées de G vérifient l'équation de, donc G d) G est le point d'intersection de ( BM ) et ( AN ) Or, M milieu du segment [ AC ], donc ( BM ) médiane de ABC, et N milieu de [ BC ], donc ( AN ) médiane de ABC On en déduit que G est centre de gravité de ABC 5/ a) Une équation de ( AN ) est x = et une équation de ( BC ) est = Par conséquent, ( AN ) est perpendiculaire à [ BC ] De plus, N milieu de [ BC ], donc ( AN ) est perpendiculaire à [ BC ] et passe par son milieu : ( AN ) est la médiatrice de [ BC ] La droite ( AN ) est à la fois médiane et médiatrice : Le triangle ABC est isocèle en A = B A B A b) AB ( x x ) + ( ) = ( + ) + ( 0) = 6+ 9= 5= 5 AC = AB = 5, car le triangle ABC est isocèle en A EXERCICE N Partie A / Par lectures graphiques, a) Recette pour 0 tonnes : 000 k ; Coût de production pour 0 tonnes : 00 k b) Recette pour 0 tonnes : 000 k ; Coût de production pour 0 tonnes : un peu plus de 750 k / a) Calcul : = 00 Bénéfice pour 0 tonnes : 00 k ( entreprise déficitaire ) b) Calcul : = 50 Bénéfice pour 0 tonnes : un peu moins de 50 k ( entreprise rentable ) x / a) La chocolaterie est rentable si la recette est supérieure au coût On lit les abscisses des points de la droite CR situés au dessus de la courbe CC : Il faut produire entre 0 tonnes et 50 tonnes b) On repère l'abscisse commune aux points M de CC et N de CR, telle que la longueur MN soit maximale On trouve x = 5 Partie B / C ( x) = x + 0x+ 000 et R( x) 00x = a) B( x) = R( x) C( x) = 00( x + 0x+ 000) = 00 x 0000= x b) Calcul : ( x + 0)( 50) = x + 50x+ 0000= x = B( x) c) Résolvons B ( x) 0, soit ( + 0)( 50) 0 x x + 0=0 x = 0 et x 50= 0 x = 50 Tableau de signes : L'ensemble solution de ( x) 0 d) La chocolaterie de Charlie fait du bénéfice si il produit entre 0 et 50 tonnes de chocolat B est [ 0, 50 ] / a) Calcul : ( x 5) + 5= ( x 70x+ 5) + 5= x = x = B( x) b) < 0, donc B est croissante sur [ 0, 5 ] puis décroissante sur [ 5, 60 ]

6 c) Le bénéfice est maximal pour x = 5 et sa valeur est 5 Il faut produire 5 tonnes de chocolat pour réaliser un bénéfice de EXERCICE N 5 On a : ( x) / f = +, avec x \ { } / Calcul : f ( x) ( ) + x+ + x+ 7 = + = = = On reconnaît le quotient de deux fonctions affines : c'est effectivement une fonction homographique x+ 7 / a) Tableau de signes de : b) Les solutions de ( x) 0 7 f sont dans,