Chapitre Suites Notion de suite

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1 SUITES ET SERIES DE FONCTIONS UE DE L2-S3 mention mathématique Louis Pernas année

2 2 SOMMAIRE Chapitre 1 : Suites et séries, généralités 1.1 Suites Notion de suite p Cas des suites réelles p Suites d un espace métrique p Séries Notion de série p Séries réelles p Séries d un E.V.N p Compléments p 15 Exercices du chapitre 1 p 19 DM du chapitre p 21 Chapitre 2 : Suites de fonctions 2.1 Introduction p Convergence simple p Convergence uniforme p Convergence uniforme et continuité p Convergence uniforme et intégration p Convergence uniforme et dérivation p Compléments p 31 Exercices du chapitre 2 p 33 DM du chapitre p 35 Chapitre 3 : Séries de fonctions 3.1 Notion de série de fonction convergence uniforme p Convergence normale p Propriété des séries uniformément convergentes p 40 Exercices du chapitre 3 p 42 Chapitre 4 : Séries entières 4.1 Notion de série entière p Rayon de convergence p détermination pratique du rayon de convergence p comportement sur lecercle de convergence p nature de la convergence p 48

3 4.3 Somme d une série entière Développement limité en 0 p Opérations sur les séries entières p Continuité p Intégration, dérivation p Développement en série entière p Développement classiques p 56 Sommation des séries enti eres p 60 Application : équations différentielles p 61 Exercices du chapitre 4 p 63 Chapitre 5 : Fonctions de la variable complexe 5.1 La fonction exponentielle p Module et argument p Fonctions circulaires et hyperboliques p 68 Exercices du chapitre 5 p 70 Chapitre 6 : Séries trigonométriques 6.1 Généralités Définitions p Convergence d une série trigonométrique p Continuité, dérivabilité, intégrabilité p Développement en séries trigonométriques p Formule de Parseval p 78 Exercices du chapitre 6 p 82 3

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5 Chapitre 1 Suites et séries : généralités On présente dans ce chapitre, sans démonstration la plupart du temps, des résultats connus. Dans les rares cas où le résultat est nouveau ou correspond à un approfondissement de résultats de niveau L1 un développement complet sera donné. 1.1 Suites Notion de suite Définition 1 Une suite d un ensemble A est une application de l ensemble des entiers naturels vers l ensemble A. Selon la nature de l ensemble A on parlera de suites réelles (si A = R), de suites complexes (si A = C), de suite de points du plan (si A est le plan) de suites de fonctions réelles de la variable réelles (si A est l ensemble des fonctions réelles de la variable réelle)... On n utilise pas la notation usuelle des applications pour les suites. On ne dira jamais, par exemple, soit u : N A la suite..., on utilise systématiquement soit (u n ) n N la suite... Les notions dont on pourra parler pour une suite de l ensemble A dépendent fondamentalement des notions existant dans A et aussi, bien sur, de celles existant sur l ensemble des entiers naturels. La notion d ordre sur N sera essentielle. On rappele que N est muni d un ordre total : l ordre naturel. 5

6 6 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES : GÉNÉRALITÉS Cas des suites réelles Dans ce paragraphe on considère le cas des suites réelles. L ensemble des réels R est muni de nombreuses structures - Structure d ordre : l ordre naturel - Structures algébriques : Il existe sur R deux lois de composition internes : Une loi appelée addi tion, notée +, qui est associative, admet un élément neutre 0, est telle que tout élément admet un symétrique (l opposé de x est noté x), et commutative. Une seconde loi appelée multiplication, notée, qui est associative, admet un élément neutre 1, est telle que tout élément différent de 0 admet un symétrique (l inverse de x est noté 1 x ou x 1 ) et commutative. - Structure métrique : Pour deux réels a et b on pose d(a, b) = a b on obtient ainsi une distance sur R, c est-à-dire que d est une application de R 2 = R R vers R + telle que - a, b R, d(a, b) = 0 a = b - a, b R, d(a, b) = d(b, a) - a, b, c R, d(a, c) d(a, b) + d(b, c) Notions attachées à l ordre de R : Suites croissantes, décroissantes, majorées, minorées. Soit X = (x n ) n N une suite réelle on dit qu elle est - Croissante lorsque n N, u n+1 u n - Strictement croissante lorsque n N, u n+1 > u n - Déroissante lorsque n N, u n+1 u n - Strictement décroissante lorsque n N, u n+1 < u n - Majorée lorsque M R/ n N, u n M - Minorée lorsque m R/ n N, u n m Exercices 1, 2 et 3. Notions attachées à la structure métrique : Convergence, valeur d adhérence, suites de Cauchy. Soit X = (x n ) n N une suite réelle on dit qu elle est bornée si On a M R/ n N, d(0, x n ) M. Propriété 1 Soit X = (x n ) n N une suite réelle on a X est bornée X est minorée et majorée

7 1.1. SUITES 7 Attention, nous verrons plus tard que la notion de suite bornée, même si, grâce à cette propriété, pour le cas des suites réelles est exprimable en terme d ordre est fondamentalement une notion métrique. La notion de suite bornée existera pour les suites complexes alors qu il n y a pas de notion d ordre sur C à laquelle la rattacher. Définition 2 Soit X = (x n ) n N une suite réelle. - Soit l un réel on dit que X tend vers l et on note limx = l lorsque ε > 0, N(ε) N/n > N(ε) = d(x n, l) < ε - Soit a un réel on dit que X admet a comme valeur d adhérence lorsque ε > 0, N N, n(ε, N) N/d(x n( ε,n), a) < ε Le sens intuitif de ces deux notions est le suivant - limx = l signifie que lorsque n devient grand, x n se rapproche de l. - a est une valeur d adhérence de X signifie qu aussi loin qu on aille dans la suite, elle revient toujours aussi près que l on veut de a. Exemple : - La suite dont les termes successifs sont 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5,... admet comme valeur d adhérence mais ne tend pas vers 0, ce n est pas une suite majorée. Définition 3 Soit X = (x n ) n N une suite réelle. S il existe un réel l tel que limx = l on dit que X est une suite convergente. Les suites qui ne sont pas convergentes sont dites divergentes. Définition 4 Soit X = (x n ) n N une suite réelle. - Lorsque M R, N(M) N/n > N(M) = x n(m) > M on dit que X tend vers + et on note limx = + - Lorsque M R, N(M) N/n > N(M) = x n(m) < M on dit que X tend vers et on note limx = Les suites telles que LimX = ± sont des suites divergentes. Exemple : - La suite définie par x n = ( 1) n+1 n est divergente mais ne tend ni vers + ni vers, elle n est ni minorée ni majorée. - La suite définie par x n = n tend vers +. Elle diverge.

8 8 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES : GÉNÉRALITÉS Définition 5 Soit X = (x n ) n N une suite réelle. On dit que c est une suite de Cauchy lorsque ε > 0, N(ε) N/[n > N(ε), p > N(ε)] = d(x n, x p ) < ε Théorème 2 Soit X une suite réelle, on a X est de Cauchy X est convergente C est une des propriété fondamentale de R qui est, de fait, construit à partir de l ensemble des rationnels de manière ad hoc pour que ce théorème soit satisfait. La construction par les coupures de Dedekind est longue mais tout à fait accessible au niveau L2. Théorème 3 Soit X = (x n ) n N une suite réelle. Si X est croissante et majorée alors elle est convergente. Si X est croissante et majorée alors elle est convergente. Exercices 4, 5, 6, 7, 8 et Suites d un espace métrique Définition 6 Soit E un ensemble, une distance sur E est une application d de E E vers R + satisfaisant - x, y E, d(x, y) = 0 x = y - x, y E, d(x, y) = d(y, x) - x, y, z E, d(x, z) d(x, y) + d(y, z) Un espace métrique est un ensemble muni d une distance. On a déjà un exemple d espace métrique : R muni de la distance définie par d(a, b) = a b, il en existe de nombreux autres - C muni de la distance définie par d(z 1, z 2 ) = z 1 z 2 ( il s agit ici du module ), - Q muni de la distance définie par d(q 1, q 2 ) = q 1 q 2, - R 2 muni de la distance définie par d(x 1, x 2 ), (y 1, y 2 )) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. Soit (E, d) un espace métrique. Si on ne dispose que de cette seule structure, les notions de croissance, décroissance, suites majorées, minorées n ont pas cours, il est néanmoins possible de parler de suite bornée : On choisit un point O dans E. Une suite X de E est dite bornée s il existe un réel M tel que n N, d(x n, O) M.

9 1.1. SUITES 9 Un changement dans le choix du point O ne change pas les suites bornées (cf Exercice 4). Les notions de suites convergentes, de valeurs d adhérence et de suites de Cauchy s étendent à ce cas Définition 7 Soit X = (x n ) n N une suite de l espace métrique (E, d). - Soit l E on dit que X tend vers l et on note limx = l lorsque ε > 0, N(ε) N/n > N(ε) = d(x n, l) < ε - Soit a E on dit que X admet a comme valeur d adhérence lorsque ε > 0, N N, n(ε, N) N/d(x(ε, N), a) < ε - On dit que c est une suite de Cauchy lorsque ε > 0, N(ε) N/[n > N(ε), p > N(ε)] = d(x n, x p ) < ε Propriété 4 Une suite d un espace métrique admet au plus une limite. Propriété 5 Soit X une suite de l espace métrique (E, d). Si X est convergente alors elle est de Cauchy. Démonstration Supposons que la suite X = (x n ) n N soit une suite convergente de l espace métrique (E, d) alors on trouve l E tel que ε > 0, N(ε) N/n > N(ε) = d(x n, l) < ε Soit ε > 0 donné, si n > N(ε/2 et p > N(ε/2 alors on a simultanément d(x n, l) < ε/2 et d(x p, l) < ε/2, donc d(x n, x p ) d(x n, l) + d(x p, l) = ε/2 + ε/2 = ε. La suite X est donc de Cauchy. Attention en général la réciproque n est plus vraie (voir théorème 2) : Il existe, par exemple (exercice 13), des suites rationnelles qui sont de Cauchy, donc convergente en tant que suites réelles, et qui ne convergent pas vers un rationnel, donc divergentes en tant que suites rationnelles. Définition 8 Soit (E, d) un espace métrique. On dit que cet espace est complet lorsque toutes les suites de Cauchy sont des suites convergentes. Propriété 6 - L ensemble des réels muni de la distance usuelle (d(a, b) = a b ) est complet. - L ensemble des complexes muni de la distance usuelle (d(a, b) = a b ) est complet. Exercices 10, 11, 12 et 13.

10 10 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES : GÉNÉRALITÉS 1.2 Séries Notion de série Soit M un ensemble non vide muni d une L.C.I. qu on supposera associative et commutative (on pourrait construire une théorie sans ces deux hypothèses mais ce serait compliqué et sans intérêt pratique). A toute suite X = (x n ) n N de M on associe une autre suite appelée série de terme général x n, les termes successifs de cette suite sont x 0, x 0 x 1, x 0 x 1 x 2, x 0 x 1 x 2 x 3,... En pratique la loi est une addition, dans ce cas le n ième terme de la série est appelé la n ième somme partielle de la série et on note ce terme n i=0 x i ou alors la loi est une multiplication, dans ce cas on parle plutôt de produit infini, le n ième terme est le n ième produit partiel on le note n i=0 x i Séries réelles On muni R de son addition. Soit X = (x n ) n N une suite réelle et x n la série de terme général x n. Lorsque la suite des sommes partielles est une suite convergente on dit que la série x n est une série convergente et on note + i=0 x i sa limite. Dans le cas contraire (la suite des sommes partielle est divergente) on dit que la série x n est une série divergente. Déterminer si une série donnée est convergente ou divergente c est déter -miner sa nature, dans le cas où elle converge, calculer + i=0 x i c est sommer la série. Soit x n et y n deux séries réelles, soit λ un réel. On pose : - x n + y n = (x n + y n ) c est la série somme des deux séries, - λ. x n = (λx n ) c est le produit de la série x n, par le réel λ. Propriété 7 1) Une série somme de deux séries convergentes est convergente et sa somme est la somme des sommes des deux séries. Une série somme d une série convergente et d une série divergente est divergente, on ne peut rien dire de général sur une série somme de deux séries divergentes. 2) La série obtenue en multipliant une série donnée par un réel non nul a même nature que la série qu on multiplie. Propriété 8 Soit (x n ) n N une suite, soit k un entier naturel quelconque, si on change les valeurs des k premiers termes on ne change pas la nature de la série associée.

11 1.2. SÉRIES 11 Séries réelles ou complexes Théorème 9 Si la série réelle ou complexe de terme général u n est convergente alors u n 0 Remarque : Ce théorème restera vrai dans le cas des séries dont le terme général est un espace vectoriel normé (voir p 13) Séries réelles à terme général positif On va dans ce paragraphe exploiter l existence d un ordre naturel sur R, le principal théorème est le théorème de comparaison : Théorème 10 Soit x n et y n deux séries réelles telle que n N, 0 x n y n alors Si la série y n est convergente, la série x n est également convergente. Si la série x n est divergente, la série y n est également divergente. Démonstration Remarquons que le second énoncé n est que la contraposition du premier. On se place sous les hypothèses de l énoncé. On a n N, 0 x n y n, ceci entraine que les suites de sommes partielles pour ces deux séries sont des suites croissantes. Si la seconde série converge alors on a n N, 0 n i=0 x i n i=0 y i + i=0 y i la suite des sommes partielles de la première série est donc majorée : elle est majorée et croissante : elle converge Le reste de ce paragraphe n est qu une succesion de corollaires plus ou moins triviaux. Corollaire 11 Soit x n et y n deux séries réelles à termes généraux positifs. 1) Si en + on a x n y n alors les deux séries sont de même nature. 2) Si en + on x n = o(y n ) alors si la série y n est convergente, la série xn est convergente. 3) Si en + on x n = O(y n ) alors si la série y n est convergente, la série x n est convergente Il suffit d utiliser les définitions suivantes 1) [ En +, x n y n ] [x n = y n ε n ] avec Lim(ε n ) = 1 2) [ En +, x n = o(y n )] [x n = y n ε n ] avec Lim(ε n ) = 0 3) [ En +, x n = O(y n )] [x n = y n ε n ] avec (ε n ) n N bornée. et la propriété 8.

12 12 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES : GÉNÉRALITÉS 1 Propriété 12 1) La série de terme général (série de Riemann) n α On commence la somme à l indice n = 1 - Converge lorsque α > 1 - Diverge lorsque α 1 2) La série de terme général r n (série géométrique) est - Convergente lorsque 0 r < 1 - Divergente lorsque r 1. Corollaire 13 1) Critère de Cauchy : Soit x n une série réelle à terme général positif, alors si lim n x n = l - Si l < 1 la série converge - Si l > 1 la série diverge - Si l = 1 on ne peut rien dire de général sur la nature de la série. 2) Critère de d Alembert : Soit x n une série réelle à terme général strictement positif, alors si lim x n+1 x n = l - Si l < 1 la série converge - Si l > 1 la série diverge - Si l = 1 on ne peut rien dire de général sur la nature de la série. Cas général Définition 9 Soit x n une série réelle, on dit qu elle est absolument convergente lorsque la série de terme général x n est une série convergente. Théorème 14 Une série réelle absolument convergente est convergente. Cas des séries alternées Définition 10 Une série réelle est dite alternée lorsque le signe de son terme général est alternativement positif et négatif. Théorème 15 (Critère d Abel) Soit ( 1) n x n une série réelle alternée. Alors, si la suite ( x n ) n N est décroissante et tend vers 0, la série converge. Exercices 14, 15 et 16.

13 1.2. SÉRIES Séries d un E.V.N. Définition 11 Une norme sur un espace vectoriel réel (E, +,.) est une application N de E vers R + satisfaisant - u E, N( u ) = 0 u = 0 - u E, λ R, N(λ. u ) = λ.n( u ) - u, v E, N( u + v ) N( u ) + N( v ) Un espace vectoriel réel muni d une norme est un espace vectoriel normé, un E.V.N. Exemples - L ensemble des réels est muni d une structure d espace vectoriel grâce à l addition des réels et à la multiplication, la valeur absolue est une norme. - Sur l espace vectoriel R 2 (plus généralementr n ) il existe plusieurs normes classiques (et beaucoup d autres!) La norme euclidienne (x, y) 2 = x 2 + y 2 La norme un (x, y) 1 = x + y La norme infini (x, y) = Max( x, y ) Lorsque un espace vectoriel est muni d une norme, il est automatiquement muni d une distance : Propriété 16 Soit (E, N) un E.V.N. la formule d( u, v ) = N( u v ) détermine une distance sur E. On profite donc de ce fait pour prolonger au cas des suites à valeurs dans un E.V.N. les notions de suites bornées, convergente, de suite de Cauchy et de valeurs d adhérence. La présence d une L.C.I. à savoir l addition des vecteurs, autorise à parler de série de terme général dans un E.V.N. Définition 12 Un E.V.N. qui est complet en tant qu espace métrique est appelé un espace de Banach. Définition 13 Une série u n de terme général dans un E.V.N. est dite absolument convergente (ou convergente en norme) lorsque la série réelle N( u n ) est convergente. Théorème 17 Soit E un E.V.N on a Les séries absolument convergente de E sont des séries convergentes. L E.V.N. E est un espace de Banach. Le théorème 14 n est qu un cas particulier de ce théorème.

14 14 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES : GÉNÉRALITÉS Démonstration Supposons que (E, N) soit un espace de Banach, considérons une série u n absolument convergente. Cela signifie que la suite des sommes partielles ( i=k i=0 N( u i ) ) est une suite (réelle) convergente donc est de Cauchy, k N donc i=k ε > 0, K(ε) N/k > l > K(ε) = N( i=l u i ) N( u i ) < ε c est-à-dire i=0 ε > 0, K(ε) N/k > l > K(ε) = i=k i=l+1 On a N ( i=k ) i=l+1 u i i=k i=l+1 N( u i ), donc on a Donc ε > 0, K(ε) N/k l > K(ε) = N ( i=k i=0 N( u i ) < ε i=l+1 u i ) < ε ε > 0, K(ε) N/k > l > K(ε) = N ( i=k i=l u i ) u i < ε La suite des sommes partielles de la série u n est donc une suite de Cauchy de E, comme E est un espace de Banach cette suite est convergente, donc la série converge. Supposons que toutes les séries absolument convergentes de l E.V.N. (E, N) soient des séries convergentes. Soit ( u n ) n N une suite de Cauchy de E. On a ε > 0, P (ε) N/n, p > P (ε) = N( u n u p ) < ε - Faisons ε = 1 2, on trouve P 1 N tel que si n > P 1 alors pour tout q > 0, on a N( u n u n+q ) < 1 2. On choisit un tel entier n et on pose σ(1) = n. - Faisons ε = 1 2 2, on trouve P 2 N tel que si n > P 2 alors pour tout q > 0, on a N( u n u n+q ) < En particulier, si n > Max(P 2, σ(1)) alors pour tout q > 0, on a N( u n u n+q ) < On choisit un tel entier n et on pose σ(2) = n. On a σ(2) > σ(1) et N( u σ(1) u σ(2 ) < i=0 i=0

15 1.2. SÉRIES 15 - On pose ensuite successivement ε = 1 2 k (pour k entier) et on choisit un entier n strictement supérieur à Max(P k, σ(k 1)) et on pose σ(k) = n. On obtient ainsi une suite strictement croissante : > σ(k) > σ(k 1) > > σ(2) > σ(1) telle que pour tout entier k non nul N( u σ(k 1) u σ(k) ) < 1 2 k. La suite ( u σ(k) ) k N est extraite de la suite de Cauchy ( u n ) n N. La série de terme général v k = u σ(k) u σ(k 1) est absolument convergente (en norme elle est majorée par la série géométrique de raison 1 ) donc cette 2 série est convergente. Sa k ième somme partielle vaut u σ(k) u σ(1) donc la suite ( u σ(k) ) k N est convergente. Cela signifie que la suite de Cauchy ( u n ) n N admet une valeur d adhérence et donc est convergente Compléments Produits infinis On ne considérera que les produits infinis de réels. Soit X = (x n ) n N une suite de réel. On dit que le produit infini x i converge lorsque la suite des produits partiels ( n i=0 x i) n N est convergente et dans ce cas, la limite de cette suite est notée i=0 x i. - Il est évident que si un terme de la suite X est nul alors le produit infini associé converge vers 0 puisqu à partir du premier indice où la suite X est nulle, la suite des produits partiels est identiquement nulle. - On suppose désormais que la suite X ne s annule jamais. Supposons que le produit partiel x i soit convergent, soit l sa limite. On a n N, x n = n i=0 x i n 1 i=0 x i si le produit infini converge vers l 0 alors le numérateur et le dénominateur de la fraction convergent vers l 0 et donc la fraction converge vers 1 : Propriété 18 Si un produit infini converge vers une limite non nulle alors le terme général converge vers 1.

16 16 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES : GÉNÉRALITÉS Attention ce n est pas une condition suffisante pour la convergence. Cas des produits infinis de termes strictement positifs On a n i=0 x i = exp[ln( n i=0 x i] = exp[ n i=0 ln(x i)] On pose pour alleger la présentation y i = ln(x i ), il a 4 possibilités - La série y i converge vers un réel s alors le produit infini converge vers exp(s) - La série y i diverge qui se décompose en 3 sous-cas - Elle diverge vers + alors le produit infini diverge vers + - Elle diverge vers alors le produit infini converge vers 0 - Elle diverge mais n admet pas de limite dans {+, } R alors le produit infini diverge. Cas général Si un produit infini converge vers une limite non nulle alors son terme général tend vers 1 donc à partir d un certain rang reste positif. Nous avons donc deux cas à traiter - A partir d un certain rang N le terme général du produit infini x i reste positif : pour n > N on a n i=0 x i = N 1 i=0 x i n i=n x i, le premier produit est un réel fixe P le comportement du produit infini est le même que celui du produit infini x i+n. - Il n existe pas de rang à partir duquel le terme général reste positif alors le produit infini ne converge pas vers un réel non nul : ou bien il diverge ou alors il converge vers 0. Pour déterminer le cas dans lequel on est il suffit d étudier le produit infini des valeurs absolues. Série commutativement convergentes Définition 14 Soit x n une série d un E.V.N. convergente, on dit qu elle est commutativement convergente lorsque σ : N N, bijective, la série xσ(n) est convergente et a même somme que la série x n. Théorème 19 Les séries commutativement convergentes d un espace de Banach sont les séries absolument convergentes Démonstration Soient x n et y n deux séries réelles à termes généraux positifs. Supposons qu il existe une bijection σ de N dans lui-même telle que n N, y n = x σ(n). Remarquons qu alors il existe une bijection ϕ de N dans lui-même telle que n N, x n = y ϕ(n) (cette bijection est la bijection réciproque de σ).

17 1.2. SÉRIES 17 Soit k N. L ensemble {σ(0), σ(1),..., σ(k)} est une partie finie de N donc admet un plus grand élément notons ce plus grand élément K(k), on a i=k i=0 y i = i=k i=0 x σ(i) i=k i=0 x i puisque les séries sont à termes positifs. Si la série de terme général x n converge la suite de ses sommes partielles aussi, donc est majorée : i=l M > 0/ l N, u i M par conséquent k N, i=k i=0 y i M comme la suite des sommes partielles de la série de terme général y n est croissante (puisque c est une série à termes positifs), la série de terme général y n est convergente et sa somme est inférieure à la somme de la série x n. En utilisant la bijection ϕ on obtient de même que la série x n converge dès que la série y n converge et que sa somme est plus petite que celle de la série y n. Soit (E, N) un E.V.N. et x n unesérie de cet E.V.N. Supposons que la série soit absolument convergente. Soit σ une bijection de N dans lui-même, la série réelle positive de terme général N(x n ) est convergente donc celle de terme générla N(x σ également la série x σ(n) est donc absolument convergente donc comme E est un espace Banach cette série est convergente. Reste à montrer que les sommes des séries x n et x σ(n) sont égales. Supposons i=0 x n = l alors Donc on a aussi i=0 ε > 0, P 1 (ε) N/p > P 1 (ε) = N( p > P 1 (ε) = N( i=p+1 p x i l) < ε i=0 x i ) ε. Soit ε > 0 fixé. Soit n un entier naturel quelconque on a ( N ( ) ( i=n i=0 x i=n σ(i)) l = N( i=0 x σ(i)) ( i=n i=0 x i) + ( ) i=n i=0 x i) l ( n ) ( N i=0 (x n ) σ(i) x i ) + N i=0 x i l. Donc ( si n > P 1 (ε/2) on a N ( ) ( i=n i=0 x n ) σ(i)) l N i=0 (x σ(i) x i ) + ε/2 Soit P 2 (ε) = Max{σ 1 (0), σ 1 (1),..., σ 1 (P 1 (ε/2))}.

18 18 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES : GÉNÉRALITÉS Si n > Max(P 2 (ε), P 1 (ε/2)) alors {0, 1,..., P 1 (ε/2)} {0, 1,..., n} donc dans la somme n i=0 (x σ(i) x i ) = n i=0 x σ(i) n i=0 x i tous les termes correspondant à des indices inférieurs à P 1 (ε/2) se simplifient. Une fois faites toutes les simplifications il reste n i=0 x σ(i) n i=0 x i = j J x j k K x k avec J et K des parties finies et disjointes de {P 1 (ε/2), P 1 (ε/2) + 1,..., n}. On a donc ( n ) N i=0 (x σ(i) x i ) = N( j J x j ) k K x k N( i=p 1 (ε/2)+1 ε/2. La série x σ(n) a pour somme l. et finalement, N( i=n i=0 x σ(i) l) ε : La série x σ(n) a pour somme l. Produit de deux séries réelles ou complexes On s interesse dans ce paragraphe à la construction d un produit de somme infinie tel que la propriété de distributivité de la multiplication reste vraie, autrement dit ce qu on veut c est que dans le cas de séries réelles (ou complexes) convergentes on ait u i.[ v i + i=0 i=0 w i ] = i=0 u i. v i + i=0 i=0 u i. i=0 i=0 w i Soit u n et v n deux séries réelles (ou complexes). Soit k un entier, on pose p k = n i=0 u i.v k i, On obtient ainsi une nouvelle série p k appelée série produit des séries u n et v n. On vérifie assez facilement que ce produit est commutatif, que la série dont le terme général vaut e 0 = 1 et k > 0, e k = 0 est élément neutre, la distributivité est un peu plus difficile (échange de deux signes somme) à vérifier.

19 1.2. SÉRIES 19 Exercices du chapitre 1 Exercice 1 Soit X = (x n ) n N une suite réelle, on suppose qu elle est majorée à partir d un certain rang c est-à-dire M R/ N N/n N = x n M Montrer que la suite X est majorée et exprimer un majorant de cette suite à l aide de M et des N premiers termes de la suite. Exercice 2 Montrer qu une suite croissante est toujours minorée et donner un minorant d une telle suite. Exercice 3 Donner des exemples de suites a) Non majorée, non minorée, ni majorée ni minorée. b) Non croissante et non majorée. Exercice 4 Montrer que pour une partie quelconque A de R on a [ M R/ a A, d(0, a) < M c R, P (c) R/ a A, d(c, a) < P (c) Exercice 5 Montrer que si la suite réelle X est convergente alors elle n admet qu une seule limite. Exercice 6 Montrer que si la suite réelle X est convergente alors elle n admet qu une unique valeur d adhérence. Exercice 7 Montrer qu une suite réelle convergente est bornée. Exercice 8 Donner des exemples de suites réelles - admettant deux valeurs d adhérence et qui n est ni majorée ni minorée. - bornée mais non convergente Exercice 9 Montrer qu une suite réelle prenant toutes ses valeurs dans l intervalle borné ]a, b[ admet au moins une valeur d adhérence dans [a, b] Exercice 10 Montrer qu une suite de Cauchy d un espace métrique quelconque est une suite bornée. Donner un contre-exemple à la réciproque. Exercice 11 - Soit σ : N N une application croissante. Montrer que si X = (x n ) n N est une suite de l espace métrique (E, d) qui est convergente alors la suite Y = (y n ) n N telle que n N, y n = x σ(n) est convergente et admet la même limite que X. La suite Y est dite extraite de X par σ. - Soit X une suite de l espace métrique (E, d), soit a E. Montrer que a est valeur d adhérence de X Il existe une suite extraite de X convergent vers a. Exercice 12 Montrer qu une suite de Cauchy d un espace métrique quelconque qui admet une valeur d adhérence converge vers cette valeur d adhérence.

20 20 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES : GÉNÉRALITÉS Exercice 13 Soit la suite X = (x n ) n N définie par x 0 = 1 et n N, x n+1 = xn+ 2 xn. 2 Montrer que la suite X est bien définie et rationnelle. Montrer qu elle est une suite réelle convergente, quelle est sa limite? que pouvez-vous dire de l ensemble des rationnels (muni de sa distance usuelle)? Exercice 14 Déterminer les natures des séries de termes généraux a) u n = 2 1+1/2+ +1/n b) v n = n! 2n c) w n n n = (2n)n n! d) t n = ( 1)n (n > 0) e) ln(1 + ( 1)n (2n 1) n.n 1/n n f) (2n) an où a est un réel donné. Exercice 15 1) Soit (ε n ) n N une suite réelle positive décroissante et (v n ) n N une suite réelle ou complexe. On suppose que la suite (V p ) p N des sommes partielles de la série de terme général v k est bornée, soit M tel que p N, V p < M. Soit (S p ) p N la suites des sommes partielles de la série de terme général ε k v k. Montrer que p N, S p < Mε 0. 2) On suppose de plus que la suite (ε n ) n N tend vers 0. Montrer que la série de terme général ε k v k est convergente. Exercice 16 Etudier la nature de la série de terme général sin(nx) n

21 1.2. SÉRIES 21 DM : Séries numériques A rendre la semaine du 19 Septembre 2016 des indications seront données la semaine du 12 septembre pour ceux qui en auraient besoin Problème I Soit (v n ) n N la suite définie par la formule v n = 1 où h > 0. n h 1) Soit a n le réel défini par v n+1 v n = 1 1+a n. Montrer que na n tend vers h lorsque n tend vers +. 2) Soit (u n ) n N une suite strictement positive. On pose u n+1 u n = 1 1+b n. Montrer que si à partir d un certain rang on a nb n > k > 1 alors la série de terme général u n est convergente, et si à partir d un certain rang on a 0 < nb n 1 la série diverge. (c est la règle de Duhamel) Que dire si nb n admet une limite? 3) Soit ( 1) n u n (u n > 0) une série alternée. On défini α n par la relation u n+1 u n = 1 1+α n. Montrer que si à partir d un certain rang on a 1 < α n < 0 alors la série diverge et que si on a à partir d un certain rang nα n > k > 0 alors la série converge. (C est la règle de Darboux) Que dire si nα n admet une limite? Problème II On désigne par p n le n ième nombre premier. Etudier successivement les séries de termes généraux ln 1 1 1/p n et 1 p n.

22 22 CHAPITRE 1. SUITES ET SÉRIES : GÉNÉRALITÉS

23 Chapitre 2 Suites de fonctions 2.1 Introduction Nous allons étudier dans ce chapitre la notion de convergence pour une suite de fonctions (f n ) n N, la limite d une suite de fonctions sera une fonction f. Un premier problème est que la notion de convergence d une suite n est définie que dans le cadre des suites d un espace métrique, or nous ne disposons pas, pour l instant, d une notion de distance sur les ensembles de fonctions, la notion de convergence sera définie par des moyen détournés. La question centrale sera de savoir quelles sont les propriétés des fonctions f n qui se transmettent à la fonction limite f. Par exemple, si les fonctions f n sont continues, la fonction f l est-elle? que dire si les fonctions f n sont dérivables? intégrables sur un intervalle I?... Nous verrons deux types de convergence, la convergence simple facile à comprendre et la convergence uniforme un peu plus difficile, grossièrement parlant les limites simples perdent les propriétés remarquables que peuvent avoir les termes d une suite de fonction les limites uniformes ont tendance à les conserver. 2.2 Convergence simple Définition 15 Une suite de fonctions réelles de la variable réelle (f n ) n N converge simplement vers la fonction f sur l intervalle I lorsque x I, lim(f n (x)) = f(x) Si on développe la définition on obtient x I, ε > 0, N(x, ε) N/ f n (x) f(x) < ε 23

24 24 CHAPITRE 2. SUITES DE FONCTIONS Lorsque la suite F = (f n ) n N converge simplement vers la fonction f on notera (f n ) n N f(cs). Exemples : - La suite de fonctions (f n ) n N où x R, f n (x) = x/(n + 1) converge simplement sur R vers la fonction identiquement nulle. En effet, pour un réel x quelconque on a lim n + f n (x) = 0. - La suite de fonctions (f n ) n N où x R, f n (x) = nx ne converge simplement vers aucune fonction sur aucun intervalle autre que [0, 0]. En effet, pour x 0, lim n + f n (x) n existe pas (ce n est pas un réel). Exercices 1, 2 et Convergence uniforme Définition 16 Une suite de fonctions réelles de la variable réelle (f n ) n N converge simplement vers la fonction f sur l intervalle I lorsque ε > 0, N(ε) N/ x I, f n (x) f(x) < ε Lorsque la suite F = (f n ) n N converge uniformément vers la fonction f on notera (f n ) n N f(cu) Propriété 20 Si la suite de fonctions (f n ) n N converge uniformément vers la fonction f sur l intervalle I alors elle converge simplement vers f sur l intervalle I. Exemples et contre-exemples - La suite de fonctions (f n ) n N définies par x R, f(x) = nx converge 1+n 2 x 2 simplement sur ]0, + [ vers la fonction identiquement nulle. En effet, soit nx 1 x un réel strictement positif fixé, Lim n + = Lim 1+n 2 x 2 n + = 0. En nx revanche, la convergence n est pas uniforme. En effet, si c était le cas elle convergerait uniformément vers la fonction f n 1 n 1+n 2 1 identiquement nulle, or on a f n ( 1 ) f( 1 ) = = 1. n n n 2 2 Donc pour n importe quel réel ε tel que 0 < ε < 1 on a x > 0 (prendre 2 x = 1 ) tel que f n n(x) f(x) ε. - La suite de fonctions (f n ) n N définies sur R par f n (x) = 1 cos(x) converge n uniformément vers la fonction identiquement nulle sur R. En effet, soit ε > 0 fixé. soit x un réel quelconque, on a f n (x) = 1 cos(x) n 1 donc si n 1 on a f n ε n(x) ε.

25 2.3. CONVERGENCE UNIFORME 25 Il existe pour les suites numériques réelles ou complexes un critère permettant de savoir si la suite converge ou non, sans pour autant avoir à calculer la limite. C est le critère de Cauchy : Si une suite réelle est de Cauchy alors elle converge (Théorème 2 page 4). Nous allons voir un analogue de ce résultat pour les suites de fonctions réelles de la variable réelle relativement à la notion de convergence uniforme. Propriété 21 (Critère de Cauchy uniforme) Une suite (f n ) n N de fonctions réelles de la variable réelle converge uniformément sur l intervalle I vers une fonction f si et seulement cette suite est uniformément de Cauchy sur I, c est-à-dire si ε > 0, N(ε) N/ x I, (p, q N(ε)) = f p (x) f q (x) < ε Démonstration Supposons que la suite (f n ) n N de fonctions réelles de la variable réelle converge uniformément sur l intervalle I vers une fonction f. Alors ε > 0, N(ε) N/n > N(ε) = x I, f n (x) f(x) < ε Soit ε > 0 fixé. Supposons que p et q soient des entiers naturels supérieurs à N(ε/2) alors on a simultanément x I, f p (x) f(x) < ε/2 et x I, f q (x) f(x) < ε/2 donc x I, f p (x) f q (x) f n (x) f(x) + f(x) f q (x) < ε/2 + ε/2 = ε La suite est donc uniformément de Cauchy. Réciproquement, supposons que la suite (f n ) n N de fonctions réelles de la variable réelle soit uniformément de Cauchy sur l intervalle I, on a ε > 0, N(ε) N/ x I, (p, q N(ε)) = f p (x) f q (x) < ε donc x I la suite réelle (f n (x)) n N est une suite de Cauchy, donc est convergente (Propriété 2 chap 1), la limite de cette suite est un réel dépendant de x, f(x). La suite de fonction (f n ) n N est donc simplement convergente vers une fonction f sur I. Donc x I, ε > 0, Q(ε, x)/q > Q(ε, x) = f q (x) f(x) < ε Pour tout x I, pour tout entier n et q, on a f n (x) f(x) f n (x) f q (x) + f q (x) f(x) Donc en particulier si q > Max[N(ε/2), Q(ε/2, x)] et si n > N(ε/2), on a

26 26 CHAPITRE 2. SUITES DE FONCTIONS f n (x) f q (x) < ε/2 et f q (x) f(x) < ε/2 Donc, en résumé : Soit ε > 0 fixé, si on suppose que n > N(ε/2) pour tout x I on a f n (x) f(x) < ε. La convergence de la suite versla fonction f est donc uniforme. Exercices 4 et 5 Le fait que le rang assurant que f n (x) f(x) < ε soit dans le cas de la convergence uniforme indépendant du point où l on se place à des conséquences importantes Convergence uniforme et continuité Fait : La limite simple d une suite de fonctions continues n est pas néssairement continue : Soit (f n ) n N la suite de fonction réelles de la variable réelle définie sur l intervalle [0, 1] par x [0, 1], f n (x) = x 1 n+1. Soit x ]0, 1] on a f n (x) = x 1 1 n+1 = e n+1 ln(x) 1 puisque ln(x) 0. n+1 et n N, f n (0) = 0 donc f n (0) 0. Par conséquent (f n ) n N f(cs) où fest la fonction valant 0 en 0 et 1 sur ]0, 1]. On constate que toutes les fonctions f n sont continues sur [0, 1] mais que la limite simple de cette suite n est pas continue. Théorème 22 Soit (f n ) n N une suite de fonctions réelles de la variable réelle convergent uniformément sur l intervalle I vers la fonction f, alors, Si toutes les fonctions f n sont continues en un point fixé x 0 de I la limite uniforme f est également continue en x 0. Démonstration Soit (f n ) n N une suite de fonctions réelles de la variable réelle convergent uniformément sur l intervalle I vers la fonction f. Soit x 0 I, on suppose de plus que n N, f n est continue en x 0 La convergence uniforme donne ε > 0, N(ε) N/ x I, n > N(ε) = f n (x) f(x) ε La continuité de chaque fonction f n en x 0 donne n N, ε > 0, α(n, ε) > 0/ x x 0 α(n, ε) = f n (x) f n (x 0 ) ε Pour x quelconque dans I, et n quelconque dans N on a f(x) f(x 0 ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x 0 ) + f n (x 0 ) f(x 0 )

27 2.3. CONVERGENCE UNIFORME 27 Soit ε > 0 fixé. - Choisissons et fixons un entier n 0 > N(ε/3) on a pour x quelconque dans I : f(x) f n0 (x) ε/3 - Si on fait x x 0 α(n 0, ε/3) on a simultanément f n (x) f n (x 0 ) ε/3, f(x) f n0 (x) ε/3 et f(x 0 ) f n0 (x 0 ) ε/3 Donc finalement f(x) f(x 0 ) ε. La fonction f est donc continue en x 0. Une conséquence évidente de ce théorème est que dans l exemple précédent la convergence n est certainement pas uniforme. Fait : Il peut arriver que la fonction limite simple, non uniforme, d une suite de fonctions continues soit continue. La suite de fonction (f n ) n N où f n (x) = 0 si x ], n 1[ ]n + 1, + [ x n + 1 si x [n 1, n[ x + n + 1 si x [n, n + 1] est une suite d applications continues sur R puisque pour tout entier naturel n l application f n est affine par morceaux et l expression x n + 1 vaut 0 en x = n 1, vaut 1 en n et l expression x + n + 1 vaut 1 en n et vaut 0 en n + 1. Un point de vue imagé est que les graphes des applications de cette suite correspond à un chapeau pointu qui glisse le long de l axe des abscisses. Il est évident que cette suite converge simplement vers la fonction identiquement nulle (qui est bien sur continue sur R) sans pour autant converger uniformément, puisque en x = n, la fonction f n vaut 1. Théorème 23 (Dini) Soit (f n ) n N une suite de fonctions réelles de la variable réelle définies sur l intervalle compact I = [a, b]. Si - La suite convergent simplement sur I vers la fonction f, - La suite est monotone, c est-à-dire n N, x I, f n+1 (x) f n (x) ou n N, x I, f n+1 (x) f n (x), - Toutes les fonctions f n sont continues sur I et la limite simple f est continue sur I alors la convergence est uniforme. Démonstration Soit (f n ) n N une suite de fonctions réelles de la variable réelle convergent simplement sur l intervalle I = [a, b] vers la fonction f. On suppose que n N, f n et la fonction limite simple f sont continues sur I.

28 28 CHAPITRE 2. SUITES DE FONCTIONS Comme I est compact ( fermé borné ) les fonctions continues sur I sont uniformément continue sur I, donc n N, ε>0, α(n, ε)>0/ x, y I, x y α(n, ε) = f n (x) f n (y) ε et ε > 0, β(ε) > 0/ x, y I x y α(n, ε) = f(x) f(y) ε La suite (f n ) n N converge simplement vers f sur I donc x I, ε > 0, N(x, ε) N/n > N(x, ε) = f n (x) f(x) ε La suite (f n ) n N est monotone (pour fixer les idées on la suppose décroissante mais le cas où elle est croissante se traiterait de la même manière) donc n N, x I, f n+1 (x) f n (x) Enfin on rappelle que la compacité de I entraîne que de tout recouvrement de I par des ouvert on peut extraire un sous-recouvrement fini. On pose, pour tout entier n, g n = f n f, la suite (g n ) n N est une suite décroissante de fonctions positives continues sur I qui converge simplement vers la fonction identiquement nulle. On a n N, ε>0, α(n, ε)>0/ x, y I, x y α(n, ε) = g n (x) g n (y) ε et x I, ε > 0, N(x, ε) N/n > N(x, ε) = 0 g n (x) ε x I, n N, 0 g n+1 (x) g n (x) Soit ε > 0 fixé. Soit x un élément fixé de I. - Si n > N(x, ε/2) alors 0 g n (x) ε/2. Fixons un tel entier n, par exemple choisissons n = N(x, ε/2) Si x α(n, ε/2) y x + α(n, ε/2) alors g n (x) g n (y) < ε/2 donc 0 g n (y) < g n (x) + ε/2 < ε donc y I x =]x α(n(x, ε/2) + 1, ε/2), x + α(n(x, ε/2) + 1, ε/2)[, si m > N(x, ε/2) + 1 alors 0 g m (y) < ε. Les intervalles I x sont ouverts et leur réunion recouvre I donc on peut trouver un nombre fini d entre eux dont la réunion recouvre I, soit I x1,..., I xk tels que k j=1 I x j = I. Soit N(ε) = Max{N(x 1, ε/2) + 1,..., N(x k, ε/2) + 1}. Soit n > N(ε) et y quelconque dans I. Il existe un intervalle I xl tel que y I xl,comme n > N(x l, ε/2 + 1) on a 0 g n (y) ε. La convergence est donc uniforme. Exercice 6

29 2.3. CONVERGENCE UNIFORME Convergence uniforme et intégration Théorème 24 Soit (f n ) n N une suite de fonctions continues convergeant uniformément sur l intervalle fermé borné [a, b] (a < b) vers la fonction f, alors b b lim n + f n (t)dt = f(t)dt a Démonstration La continuité des fonctions f n sur l intervalle fermé borné [a, b] assure l existence des intégrales b a f n(t)dt. Le théorème 21, chap 2, assure que la fonction limite uniforme, f, est continue sur l intervalle [a, b] et donc l existence de l intégrale b a f(t)dt. On a ε > 0, N(ε) N/ t [a, b], n > N(ε) = f n (t) f(t) ε Soit n un entier quelconque, on a b f a n(t)dt b f(t)dt = b (f a a n(t) f(t))dt b f a n(t) f(t) dt (b a)sup{ f n (t) f(t) ; t [a, b]} Soit ε > 0 fixé. Si n > N(ε/(b a)) alors t [a, b], f n (t) f(t) ε/(b a) donc Sup{ f n (t) f(t), t [a, b]} ε/(b a) et donc b a f n(t)dt b a f(t)dt ε donc lim n + b a f n(t)dt = b a f(t)dt. Théorème 25 Soit (f n ) n N une suite de fonctions continues convergent uniformément sur l intervalle fermé borné [a, b] (a < b) vers la fonction f. Soit x 0 [a, b]. La suite des primitives des fonctions f n s annulant en x 0 converge uniformément vers la primitive de f s annulant en x 0. Démonstration Il suffit de remarquer que la primitive d une fonction g continue sur [a, b] s annulant en x 0 est la fonction G définie sur [a, b] par G(x) = x x 0 g(t)dt. On applique ensuite le théorème précédent. Remarques : Ce résultat donne une condition suffisante pour pouvoir intervertir une limite et une intégrale Puisque l énoncé signifie que si f n f (CU) sur [a, b] alors x [a, b], x lim x a n + f n (t)dt = lim n + f a n(t)dt C est donc la concommitancedes deux hypothèses convergence uniforme et intervalle fermé borné qui assure la validité de cette interversion. Dès a

30 30 CHAPITRE 2. SUITES DE FONCTIONS qu une des deux hypothèses n est pas vérifiée il arrive que l interversion soit fausse : 1) Si on supprime l uniformité de la convergence : Soit f n définie sur [0, 1] par f n (t) = { n 2 t si 0 t 1/2n n n 2 t si 1/2n < t 1/n 0 si 1/n t 1 Cette suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle sur [0, 1] : On a n N, f n (0) = 0 et pour t ]0, 1] si n < 1/t alors f n (t) = 0. On a 1 lim 0 n + f n (t)dt = 0 et comme 1 f 0 n(t)dt = 1 1! 2) Si on supprime la compacité de l intervalle (on est dans le cas des intégrales généralisées). Soit f n définie sur [0, + [ par { 1/n si 0 t n f n (t) = n + 1/n t si n < t n + 1/n 0 si n + 1/n t Cette suite de fonctions converge uniformément vers la fonction nulle sur [0, + [ : Soit t 0, si n > t, f n (t) = 1/n 0 et Sup t [0,+ [ f n (t) = 1/n 0 On a + lim 0 n + f n (t)dt = 0 et comme + f 0 n (t)dt = 1 + 1/2n 2 1! Attention : Les hypothèses ne sont pas nécéssaires : Il arrive que l on ait que la convergence simple et que l on puisse intervertir limite et intégrale. Il arrive aussi que l interversion soit possible pour des intégrales généralisées. Exemple : Soit f n définie sur [0, 1] par f n (t) = Si t = 0 on a f n (t) = 0 0 et pour t > 0, f n (t) 1 quand n +. Donc (f n ) n N converge simplement vers la fonction valant 0 en 0 et 1 sur ]0, 1], la convergence n est pas uniforme puisque la limite simple n est pas continue alors que les fonctions de la suite sont toutes continues. On a 1 f 0 n(t)dt = dt = nt 0 et 1 0 lim n + f n (t)dt = 1. Exercice 7 nt. 1+nt dt 1+nt = n ln(1 + n) 1

31 2.4. COMPLÉMENT Convergence uniforme et dérivabilité Théorème 26 Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur l intervalle I = [a, b]. On suppose que - Pour tout n, f n admet sur I une fonction dérivée f n continue sur [a, b] - La suite de fonctions (f n) n N converge uniformément sur I vers une fonction g. - La suite (f n ) n N converge uniformément sur I vers une fonction f. Alors f une primitive de g sur I. Démonstration Soit n N on a x I, f n (x) = f n (a) + x f a n(t)dt. x On sait (théorème 24) que x [a, b], lim n + f a n(t)dt = x g(t)dt. a Donc en passant à la limite dans la relation précédente il vient x [a, b], lim n + f n (x) = lim n + f n (a) + x g(t)dt. a c est-à-dire x [a, b], f(x) = f (a) + x g(t)dt. a Une autre version legèrement plus forte Théorème 27 Soit (f n ) n N une suite de fonctions définies sur l intervalle I = [a, b]. On suppose que - Pour tout n, f n admet sur I une fonction dérivée f n continue sur [a, b] - La suite de fonctions (f n) n N converge uniformément sur I vers une fonction g. - x 0 I tel que la suite numérique (f n (x 0 )) n N converge. Alors la suite (f n ) n N converge uniformément sur I vers une primitive de g sur I. Démonstration Posons pour x [a, b], ϕ n (x) = x x 0 f n(t)dt, d après le théorème 24 la suite (ϕ n ) n N converge uniformément sur [a, b] vers la fonction ϕ primitive de g s annulant en x 0, ϕ(x) = x x 0 g(t)dt. Comme ϕ n (x) = f n (x) f n (x 0 ) et que la suite numérique (f n (x 0 )) n N converge, la suite (f n ) n N converge uniformément vers la fonction x lim n + f n (x 0 ) + ϕ(x). Exercices 8, 9 et Complément Il a été dans l introduction du chapitre que la notion de convergence d une suite exige la présence d une distance sur l ensemble dans lequel la suite prend ses valeurs, il est en fait possible de définir cette notion dans un cadre un peu plus général celui des espaces topologiques. Nous allons voir ici que la convergence uniforme entre dans le cas métrique. On rappelle quelques faits :

32 32 CHAPITRE 2. SUITES DE FONCTIONS - Fait : Soit I une partie de R l ensemble R I des fonctions définies sur I est muni d une structure d espace vectoriel lorsqu on considère l addition des fonctions définie par f, g R I, f + g est la fonction définie sur I par x I, (f + g)(x) = f x) + g(x) et la multiplication par un scalaire définie par f R I, λ R, λ f est la fonction définie sur I par x I, (λ f)(x) = λ.f(x). La vérification de ce fait est quasi immédiate, le vecteur nul correspond à la fonction identiquement nulle sur I le vecteur opposé de f est la fonction f. - Fait : Soit a < b deux réels. Si I = [a, b] l ensemble des fonctions continues sur [a, b] que l on note C([a, b]) est un sous-espace vectoriel de R [a,b]. Ceci provient de résultats bien connus : la somme de deux fonctions continues en un point x 0 est continue en x 0, le produit d une fonction continue en un point x 0 par un scalaire λ est continue en x 0. - Fait : L ensemble des fonctions bornées sur I (on ne suppose pas ici que I est un intervalle fermé borné) est un sous-espace vectoriel de R I. ( un combinaison linéaire de fonction bornée sur I est bornée sur I). - Fait : Les fonctions continues sur un intervalle fermé borné sont bornées et atteignent leur bornes. C est un corrolaire direct du théorème de Bolzano- Weierstrass. Conséquences : Soit a < b deux réels. L ensemble C([a, b]) muni de l addition des fonctions et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel et tous ses éléments sont des fonctions bornées. On va définir une norme ( cf définition 11) sur cet espace vectoriel : Pour f C([a, b]) on pose f = Sup{ f(x), x [a, b]}. Ceci définit une norme : L existence de f est assurée par le fait que f est bornée. La vérification de l ensemble des axiomes de norme est triviale. Donc C([a, b]),. ) est un E.V.N. On a de manière évidente Soit (f n ) n N une suite de C([a, b]), la suite converge uniformément équivaut à la suite est convergente en tant que suite de l E.V.N. C([a, b]),. ). Remarque : il n est pas possible, sauf dans des cas très particulier pour I, de raccrocher la notion de convergence simple à une notion de convergence associée à une distance ni même à une topologie.

33 2.4. COMPLÉMENT 33 Exercices du chapitre 2 Exercice 1 La suite de fonctions définies sur [0, 1] par f n (x) = n 2 x n est elle simplement convergente, si c est le cas vers quelle fonction converge-t elle simplement? Exercice 2 La suite de fonctions définies sur [ π/2, π/2] par f n (x) = cos n x est elle simplement convergente, si c est le cas vers quelle fonction converget elle simplement? Exercice 3 La suite de fonctions définies sur R par f n (x) = n 3 si 0 < x 1/n et f n (x) = 1 sinon, est elle simplement convergente, si c est le cas vers quelle fonction converge-t elle simplement? Exercice 4 Soit la suite de fonctions définies sur R par f n (x) = e nx sin(nx) 1) Pour x R étudier lim n + f n (x). 2) Quels sont les intervalles maximaux (au sens de l inclusion) sur lesquels la suite converge simplement? 3)Quels sont les intervalles maximaux sur lesquels la suite converge uniformément? Exercice 5 Soit la suite de fonctions définies sur R par f n (x) = e (x n)2. 1) Montrer que cette suite converge uniformément sur tout intervalle de la forme ], a] (a R). 2) Est-elle uniformément convergente sur R? Exercice 6 Soit la suite de fonctions définies sur R par f n (x) = e nx2. 1) Pour tout réel x étudier lim n + f n (x). La suite admet-elle une fonction limite simple sur R? si oui quelle est la fonction limite simple. 2) Trouver un argument simple permettant de montrer que la suite ne converge pas uniformément sur R Exercice 7 Soit la suite de fonctions définies sur [0, + [ par f n (x) = 1) Determiner, pour tout x de [0, + [, la limite de la suite numérique (f n (x)) n N 3n x 1+3 n x 2 2) Calculer I n = 1 0 f n(t)dt.etudier la limite de la suite (I n ) n N 3) En déduire que la suite (f n ) n N ne converge pas uniformément sur [0, 1]. 4) Retrouver ce résultat directement. Exercice 8 Etudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites des fonctions suivantes 1) Sur [0, 1], f n (x) = 1/n sur [0, 1/n] et = 0 sur ]1/n, 1] 2) Sur [0, 1], f n (x) = 1 sur [0, 1/n] et = 0 sur ]1/n, 1] 3) Sur [0, 1], f n (x) = x sur [0, 1/n] et = 1/n sur ]1/n, 1] 4) Sur [0, 1], f n (x) = n sur [0, 1/n] et = 0 sur ]1/n, 1]

34 34 CHAPITRE 2. SUITES DE FONCTIONS Exercice 9 (exemple de fonction dérivable dont la dérivée n est pas continue) Etudier la dérivabilité puis la continuité de la fonction dérivée de la fonction définie sur R par f(x) = x 2 sin(1/x) si x 0 et f(0) = 0. Exercice 10 Soit (f n ) n N la suite de fonction définies sur [0, 1] par f n (x) = n(x n x n+1 ). 1) Pour chaque x dans [0, 1] étudier la suite (f n (x)) n N. 2) Sur quelle partie S de [0, 1] la suite de fonction converge-t elle simplement? vers quelle fonction? 3) Calculer pour tout n, Sup{ f n (x), x [0, 1]}. La suite converge-t elle uniformément sur S? 4) Montrer que si a > 0 la suite converge uniformément sur [a, 1].